Apostila Aneis Cristina Marques
Apostila Aneis Cristina Marques
Apostila Aneis Cristina Marques
Esta apostila consta das notas de aula feitas para as disciplinas Álgebra I e Estruturas Algébricas,
as quais que já lecionei várias vezes na UFMG. Ele tem por objetivo introduzir a estrutura algébrica
dos anéis .
O pré requisito para a leitura desse livro é a disciplina Fundamentos de Álgebra, ou seja, uma
introdução aos números inteiros. Fazemos uma recordação dessa disciplina no Capı́tulo 1.
Esta apostila foi escrita com o intuito de ajudar aos alunos na leitura de outros textos de
Álgebra como por exemplo o excelente livro do Gallian [1]. Vários anéis são apresentados como os
anéis quocientes, anéis de polinômios sobre anéis comutativos e outros. No Capı́tulo 7 é feita uma
generalização desses anéis, definindo domı́nios euclidianos, domı́nios de fatoração única e domı́nios
de ideais principais. Tambem apresentamos o Teorema Fundamental dos Homomorfismos que
permite a compararação de anéis.
Belo Horizonte,9/3/99.
i
Sumário
Prefácio i
1 Inteiros 1
1.1 Propriedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Teorema Fundamental da Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Indução matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Relação de equivalência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Exercı́cios do capı́tulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Anéis 10
2.1 Definições e propriedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Subanéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Domı́nios Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Caracterı́stica de um anel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6 Exercı́cios do Capı́tulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Homomorfismos de anéis 26
4.1 Definição e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2 Propriedades dos homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3 O teorema fundamental dos homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.4 O corpo de frações de um domı́nio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.5 Lista de exercı́cios do Capı́tulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 Anéis de Polinômios 34
5.1 Definição e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2 O Algoritmo da divisão e conseqüências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3 Lista de exercı́cios do Capı́tulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
ii
SUMÁRIO iii
6 Fatoração de polinômios 41
6.1 Testes de redutibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.2 Testes de irredutibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.3 Fatoração única em Z[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.4 Lista de exercı́cios do Capı́tulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7 Divisibilidade em domı́nios 51
7.1 Irredutı́veis e primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.2 Domı́nios de Fatoração única . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.3 Domı́nios Euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.4 Lista de exercı́cios do Capı́tulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Inteiros
• Inverso aditivo: Para todo inteiro a existe um inteiro x que é solução da equação a + x = 0.
Tal x é denominado inverso aditivo e tem a notação −a.
Obs: a notação b − a significa b + (−a).
a(b + c) = (b + c).a
1
2 CAPÍTULO 1. INTEIROS
Exemplo 1.1.2. Podemos provar que 0.a = 0. Para isto, observe que como
0=0+0
0 = 0.a = a.0
1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2. (−1)a = −a
3. −(ab) = a(−b)
4. (−a)(−b) = ab
Definição 1.1.4. Se a e b são inteiros dizemos que a é menor que b, e denotamos por a < b
quando b − a for positivo.
Se a < b escrevemos também b > a.
• Fecho dos inteiros positivos: a soma e o produto de dois inteiros positivos são positivas.
Exemplo 1.1.5. Suponha que a, b e c são inteiros com a < b e c > 0. Vamos provar que ac < bc.
Por definição a < b significa que
b−a>0
Pela propriedade do fecho
(b − a)c > 0.
Pela propriedade distributiva e o exercı́cio anterior, segue o resultado.
Princı́pio da boa ordenação (PBO) Todo subconjunto não vazio de inteiros positivos possui
um menor elemento.
O PBO diz que se S é um subconjunto não vazio dos inteiros positivos então existe um s0 ∈ S
tal que s ≥ s0 para todo s em S.
O conceito de divisibilidade é muito importante na teoria dos números e será estendido na teoria
de anéis em geral. Dizemos que um inteiro não nulo t é divisor de um inteiro s se existe um inteiro
u tal que s = tu. Escrevemos neste caso que t|s ( lemos t divide s )
Quando t não é um divisor de s, nós escrevemos t 6 | s. Um primo é um inteiro positivo maior que
1 cujo únicos divisores positivos são 1 e ele mesmo.
Como nossa primeira aplicação do PBO temos uma propriedade fundamental do inteiros:
Teorema 1.1.7 (Algoritmo de Euclides (AE)). Sejam a e b inteiros com b > 0. Então existem
inteiros q e r tais que a = bq + r onde b > r ≥ b. Tais q e r são únicos.
Demonstração :
Existência: Considere o conjunto S = {a − bk | k ∈ Z e a − bk ≥ 0}.
Se 0 ∈ S, existe q ∈ Z tal que a − bq = 0. Fazendo r = 0 o algoritmo está provado.
Se 0 6∈ S vamos aplicar o PBO.
Para isto temos que provar que S 6= ∅.
Se a > 0, a − b0 = a > 0 e então S 6= ∅.
Se a < 0, a − b2a = a(1 − 2b) > 0 e então S 6= ∅.
Pelo PBO, S possui um menor elemento que chamaremos de r. Assim, existem q, r ∈ Z tais que
a − bq = r , r é o menor elemento de S e r > 0. Só falta provar que r < b.
Se r = b
a − bq = r = b
a − bq = b
a − b(q + 1) = 0
Isto indica que 0 ∈ S, o que não acontece neste caso.
Se r > b
a − bq = r > b
a − bq − b > 0
a − b(q + 1) > 0
Isto indica que a − b(q + 1) pertence a S o que é um absurdo pois é menor que r = a − bq e r é o
menor elemento de S.
Unicidade
Suponha que existam q, q ′ , r, r′ tais que
a = bq + r = bq ′ + r′
4 CAPÍTULO 1. INTEIROS
Para provarmos este teorema temos de provar algumas propriedades dos primos.
Lema 1.2.2 (Lema de Euclides). Se p é um primo que divide a.b então p divide a ou p divide b.
Demonstração :
Suponha que p é um primo que divide ab mas que p 6 |a.Como p é primo podemos afirmar que p e
a são relativamente primos .Assim existem inteiros r e s tais que ra + sp = 1. Então rab + rpb = b.
Como p|ab e p|rpb temos que p|b.
Note que o Lema de Euclides falha se p não for primo ; por exemplo 6|4.3 ,6 6 |4 e 6 6 |3
n = p1 p2 ...pr = q1 q2 ...qs .
Pelo Lema de Euclides p1 |qi para algum qi e como p1 e qi são primos temos que p1 = qi para
algum i ∈ {1, 2, ..., s}. Analogamente p2 = qj para algum j ∈ {1, 2, ..., s} e assim por diante . Pela
propriedade do cancelamento teremos 1 = qi1 ...qik se s > r. Mas isto é um absurdo pois nenhum
primo é invertı́vel. Analogamente se r < s chegamos num absurdo. Logo s = r e os primos são os
mesmos.
Existência: Séra feito depois do segundo princı́pio da indução matemática na próxima seção .
Assim, para provarmos que uma afirmação é verdadeira para todo inteiro positivo, nós devemos
primeiro verificar que a afirmação é verdadeira para o inteiro 1. Nós então supomos que a afirmativa
é verdadeira para o inteiro n e usamos esta afirmativa para provar que a afirmativa é válida para
n + 1.
6 CAPÍTULO 1. INTEIROS
Exemplo 1.3.1. Podemos usar o (10 P IM ) para provar que n! ≤ nn para todo inteiro positivo n.
A afirmativa é válida para n = 1 pois 1! = 1 ≤ 11 = 1. Agora suponha que n! ≤ nn ; esta é a
hipótese de indução .Temos de provar que (n + 1)! ≤ (n + 1)(n+1) . Usando a hipótese de indução
(n + 1)! = (n + 1).n!
(n + 1)! ≤ (n + 1).nn
(n + 1)! ≤ (n + 1).(n + 1)n
(n + 1)! ≤ (n + 1)(n+1)
Isto completa a prova.
Para usar esta forma de indução , nós primeiro provamos que a afirmativa é válida para a.
Depois mostramos que se a afirmativa é verdadeira para todos os inteiros maiores ou iguais a a e
menores que n então ela é verdadeira para n.
Exemplo 1.3.2 (Existência do TFA). Nós usamos o 2o P IM com a = 2 para provar a parte da
existência do TFA. Seja S ⊂ Z formado de inteiros maiores que 1 que são primos ou um produto
de primos. Claramente 2 ∈ S. Agora nós assumimos que para algum inteiro n, S contém todos
os inteiros k com 2 ≤ k < n. Nós devemos mostrar que n ∈ S. Se n é primo, então n ∈ S por
definição . Se n não for primo, n poderá ser escrito na forma n = ab onde 1 < a < n e 1 < b < n.
Como estamos assumindo que a e b pertencem a S, nós sabemos que eles são primos ou produto
de primos. Assim, n também é um produto de primos. Isto completa a prova.
Quando R for uma relação de equivalência num conjunto S, escrevemos aRb ao invés de
(a, b) ∈ R. Também como uma relação de equivalência é uma generalização de igualdade, sı́mbolos
sugestivos são ≈, ≡, ou ∼.
Se ∼ for uma relação de equivalência num conjunto S e a ∈ S , então o conjunto [a] = {x ∈ S | x ∼
a} é chamado de classe de equivalencia de S contendo a .
a ≡ b mod n ⇔ n|(a − b)
3. Se a ≡ b mod n e b ≡ c mod n temos que n|(a − b) e n|(b − c) e então n|(a − c). Isto mostra
que a ≡ c mod n
As classes de equivalencia de Z mod n serão as classes dos restos da divisão por n. Com
efeito, dado a em Z pelo algorı́tmo de Euclides temos a = qn + r com 0 ≤ r < n. Isto mostra
que a ≡ r mod n. Denotaremos por Zn o conjunto das classes de equivalencia de Z módulo n.
Usaremos a notação ā para [a].Assim
Definição 1.4.3 (Partição de um conjunto S). Uma partição de um conjunto S é uma coleção de
subconjuntos não vazios disjuntos de S cuja união é S.
Demonstração :
Seja ≡ uma relação de equivalencia em S. Para todo a ∈ S temos que a ∈ [a] pela propriedade
reflexiva. Assim [a] 6= ∅ e a união de todas as classes de equivalencia de S é S. Vamos agora provar
que duas classes de equivalencia distintas são disjuntas . Com efeito, suponha que [a] e [b] possuem
um elemento x em comum. Isto implica que x ≡ a e x ≡ b. Pela propriedade transitiva a ≡ b e
portanto [a] = [b].
A recı́proca é deixada como exercı́cio.
Exemplo 1.4.5. Pelo exemplo anterior temos que Z = [0] ∪ [1] ∪ ... ∪ [n − 1].
8 CAPÍTULO 1. INTEIROS
10. Para todo inteiro positivo n, prove que um conjunto com n elementos tem exatamente 2n
subconjuntos(contando com o vazio e o todo).
11. Prove o Lema generalizado de Euclides: Se p é um primo e p|a1 ...an , prove que p|ai para
algum i, i = 1, 2, ..., n.
13. Seja S = Z.
Se a, b ∈ S defina aRb se ab ≥ 0.
R é uma relação de equivalencia em S ?
14. Uma relação num conjunto S é um conjunto de pares ordenados de elementos de S. Ache
um exemplo de uma relação que seja simétrica, reflexiva mas não transitiva.
15. Ache um exemplo de uma relação que seja reflexiva , transitiva mas não simétrica.
16. Ache um exemplo de uma relação que seja simétrica, transitiva e não reflexiva.
17. Sejam n e a inteiros positivos e d = (a, n). Mostre que a equação ax ≡ 1 mod n tem uma
solução ⇔ d = 1.
19. Seja (x0 , y0 ) uma solução de ax + by = c com a, b e c inteiros. Mostre que todas as soluções
de ax + by = c têm a forma x = x0 + t(b/d), y = y0 − t(a/d) onde d = mdc(a, b) e t ∈ Z.
Anéis
x+y =y+x
(x + y) + z = x + (y + z)
(x.y).z = x.(y.z)
Observações : 1) Observe que a multiplicação não necessita ser comutativa. Quando isto
ocorrer, dizemos que A é um anel comutativo
10
2.1. DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES BÁSICAS 11
2) Um anel não necessita ter elemento neutro da multiplicação (isto é, um elemento y tal que
xy = yx = x para todo x ∈ A). Este elemento é chamado de unidade do anel e denotado por 1.
Quando um anel A possui o elemento neutro da multiplicação dizemos que A é um anel com unidade.
3) Os elementos não nulos de um anel não necessitam ter inversos multiplicativos (isto é, y é
inverso multiplicativo de x se e somente se xy = yx = 1). Os elementos de um anel A que possuem
inverso multiplicativo são chamados de invertı́veis de A ou unidades de A.
Usaremos a notação U (A) = {x ∈ A| x é uma unidade de A}.
Exemplo 2.1.1. O conjunto dos inteiros Z com a adição e multiplicação usuais é um anel.
Exemplo 2.1.2. Os conjuntos Q, R, C com as operações usuais são exemplos de anéis. Observe
que U (Q) = Q − {0}, U (R) = R − {o}, U (C) = C − {0}.
Exemplo 2.1.3 (O anel Zn ). Já definimos Zn no capı́tulo 1.
ā = b̄ ⇔ n|(a − b)
Em Zn definimos as operações :
Zn × Zn → Zn Zn × Zn → Zn
(ā, b̄) → a + b (ā, b̄) → a.b
Como estamos trabalhando com classes, as quais são conjuntos, temos de mostrar que estas
operações estão bem definidas, isto é , se ā = a1 e b̄ = b1 então a + b = a1 + b1 e a.b = a1 .b1 .
Pela igualdade das classes temos que existem x, y ∈ Z tais que
a − a1 = xn e b − b1 = yn
(a + b) − (a1 + b1 ) = (x + y)n
Exemplo 2.1.4. O conjunto Z[x] de todos os polinômios na variável x com coeficientes inteiros
com a multiplicação e adição usuais é um anel comutativo com unidade. Recorde que se
f (x) = a0 + a1 x + ... + an xn
e
g(x) = b0 + b1 x + ...bm xm
então
f (x) + g(x) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + ... + (ak + bk )xk onde k = max{n, m}
f (x).g(x) = c0 + c1 x + ... + cn+m xn+m onde cj = aj .b0 + aj−1 .b1 + ... + a0 .bj
Agora verifique que Z[x] realmente um anel comutativo e a sua unidade é f (x) = 1
Exemplo 2.1.7. O conjunto das funções reais contı́nuas a uma variável cujo gráfico passa pelo
ponto (1, 0) é um anel comutativo sem unidade com as operações : (f + g)(a) = f (a) + g(a) e
(f g)(a) = f (a)g(a)
Exemplo 2.1.8. Se A1 e A2 são anéis , nós podemos definir um novo anel A1 × A2 = {(a1 , a2 )|ai ∈
Ai } com as operações componente a componente:
4. a.0 = 0.a = 0
6. (−a)(−b) = ab
8. (−1)a = −a
9. (−1)(−1) = 1
2. Suponha que existam dois elementos neutros, a saber, e e e1 . Usando a definição de elemento
neutro temos e = e + e1 = e1 .
4. Utilizando a distributividade temos a.0 = a(0 + 0) = a.0 + a.0. pelo cancelamento em 1 temos
que a.0 = 0. Analogamente 0.a = 0.
5. Queremos provar que a(−b) é o simétrico de ab. Para isto basta somar a(−b) + ab e ver se o
resultado é zero. Como a(−b) + ab = a(−b + b) = a.0 = 0, segue o resultado. Analogamente
para (−a)b é o simétrico de ab.
6. (−a)(−b) = −[a(−b)] = −[−ab] pelo ı́tem anterior. É fácil ver que −(−a) = a para todo a
em A.
9. Direto de 6.
10. Suponha que existam duas unidades em A: 1 e b . Pela definição de unidade teremos 1 =
1.b = b.
2.2 Subanéis
Um subconjunto S de um anel A é um subanel de A se S for um anel com as operações de A.
Exemplo 2.2.1. Z é um subanel de Q, Q é um subanel de R e R é um subanel de C.
1. S 6= ∅
2. Para todo a e b em S, a − b ∈ S e ab ∈ S.
Demonstração
Como as propriedades comutativa, associativa,distributiva são válidas para A, em particular, para
S. Então faltam apenas verificar se as operações são fechadas, se o elemento neutro aditivo está em
S e se o inverso aditivo de cada elemento de S está em S. Por hipótese, se a e b ∈ S então ab ∈ S.
Como S 6= ∅, tome x em S.Por hipótese x − x = 0 ∈ S. Também, por hipótese 0 − a = −a ∈ S
para todo a ∈ S Logo, se a e b ∈ S ,a + b = a − (−b) ∈ S por hipótese e o teste está provado.
Exemplo 2.2.3. {0} e A são subanéis de A.
Exemplo 2.2.4. {0̄, 2̄, 4̄} é um subanel de Z6 . Construa as tabelas para verificar isto.
Exemplo 2.2.5. Os subanéis de Z são da forma nZ .
Exemplo 2.2.6 (Inteiros de Gauss). Z[i] = {a + bi | a e b ∈ Z} é um subanel de C.
Com efeito, Z[i] 6= ∅.
(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i ∈ Z[i]
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i ∈ Z[i]
Pelo teste, Z[i] é um subanel de C.
2.4 Corpos
Em muitas aplicações , um tipo especial de domı́nio é usado.
Definição 2.4.1. Um anel comutativo com unidade é chamado um corpo se todo elemento não
nulo é uma unidade.
Frequentemente usamos a notação ab−1 como a dividido por b. Pensando nisto podemos dizer
que um corpo é um conjunto o qual é fechado em relação à adição , subtração , multiplicação e
divisão.
Exemplo 2.4.2. Q, R, C são os exemplos mais famosos de corpos.
O teorema seguinte diz que no caso finito, corpos e domı́nios são os mesmos.
Teorema 2.4.3. Se D é um domı́nio finito então D é um corpo.
Demonstração
Como D é um domı́nio, D já é um anel comutativo com unidade. Assim só falta provar que todo
elemento não nulo é invertı́vel. Seja a 6= 0 um elemento de D. Como D é finito, a sequencia
a, a2 , a3 , a4 , ... começará a se repetir, isto é, existe um i > j tal que ai = aj . Então pela lei do
cancelamento aj (ai−j − 1) = 0 e como a 6= 0 temos que ai−j = 1 . Se i − j = 1 , a = 1 e portanto é
invertı́vel. Se i − j > 1, ai−j−1 é o inverso de a e então a é invertı́vel.
Corolário 2.4.4. Se p é primo Zp é um corpo.
Usando o exemplo 2.3.7 anterior temos
Corolário 2.4.5. Zn é corpo se e somente se n é primo.
Exemplo 2.4.6 (Corpo com 49 elementos). Seja Z7 [i] = {a + bi | a, b ∈ Z7 e i2 = −1}. Este é o
anel dos inteiros de Gauss módulo 7. Elementos são adicionados e multiplicados como em números
complexos, exceto que é módulo 7. Mostre que Z7 [i] é um corpo.
√
Exemplo 2.4.7. Q[ 2] é um corpo . Prove isto.
16 CAPÍTULO 2. ANÉIS
Exemplo 2.5.2. Z tem caracterı́stica zero e Zn tem caracterı́stica n. Um anel infinito pode ter
caracterı́stica não nula. Por exemplo, o anel Z2 [x] de todos os polinômios com coeficientes em Z2
tem caracterı́stica 2.
Teorema 2.5.3 (caracterı́stica de um anel com unidade). Seja A um anel com unidade 1. Se
n.1 = 0 e n é o menor inteiro positivo tal que n.1 = 0 temos que a caracterı́stica de A é n. Se não
existe n inteiro positivo tal que n.1 = 0 então a caracterı́stica de A é 0.
Demonstração
Suponha que não existe n inteiro positivo tal que n.1 = 0; pela definição de caracterı́stica deA,
car(A) = 0. Se n é o menor inteiro positivo tal que n.1 = 0 temos que nx = n(1x) = (n.1)x = 0
para todo x em A. Isto prova que car(A) = n
Demostração
Seja D um domı́nio . Pelo teorema 2.5.3, como D possui unidade basta verificar a unidade. Se não
existe n inteiro positivo tal que n.1 = 0, então a caracterı́stica de D é 0.Suponha agora que existe
um inteiro positivo m tal que m.1 = 0 e seja n o menor inteiro positivo tal que n.1 = 0. Queremos
provar que n é primo. Suponha que n não é primo. Então existem inteiros s, t tal que n = st com
1 < s, t < n. Assim 0 = n.1 = (st).1 = (s.1)(t.1) e como D é domı́nio temos que s.1 = 0 ou t.1 = 0.
Mas isto contraria o fato de n ser o menor inteiro positivo tal que n.1 = 0. Logo n é primo.
2.6. EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 2 17
3. Mostre que se m e n são inteiros e a e b são elementos de um anel, então (ma)(nb) = (mn)(ab).
Observe que ma = a + a + ... + a, m vezes se m for positivo e ma = (−a) + (−a) + ... + (−a),
−m vezes quando m for negativo. Observe que usamos isto no teorema 2.5.4.
4. Z6 é um subanel de Z12 ?
5. A unidade de um subanel tem de ser a mesma do anel todo? Se sim, prove! Senão , dê um
exemplo.
7. Determine o menor subanel de Q que contem 1/2, isto é, um subanel X tal que se S for um
subanel de Q que contém 1/2 então S vai conter X.
9. Suponha que exista um inteiro positivo par n tal que an = a para todo elemento a de um
anel R. Mostre que −a = a para todo a em R.
√ √ √
10. Seja Z[ 2] = {a + b 2 | a, b ∈ Z}. Prove que Z[ 2] é um anel com as operações +, . usuais
dos reais.
11. Ache um inteiro n que mostre que Zn não necessita ter as propriedades abaixo, as quais Z
tem:
(a) a2 = a ⇒ a = 0 ou a = 1
(b) ab = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0
(c) ab = ac e a 6= 0 ⇒ b = c.
Este inteiro n é primo? Mostre que as tres propriedades acima são válidas em Zn quando
n for primo.
12. Prove que um anel comutativo com a propriedade de cancelamento (na multiplicação ) não
tem divisores de zero.
13. Liste todos os divisores de zero de Z20 . Qual a relação entre os divisores de zero de Z20 e as
unidades de Z20 ?
14. Mostre que todo elemento não nulo de Zn é um unidade ou um divisor de zero.
15. Ache um elemento não nulo num anel que não é um divisor de zero nem uma unidade.
18 CAPÍTULO 2. ANÉIS
16. Seja R um anel comutativo finito com unidade. Prove que todo elemento não nulo de R ou
é um divisor de zero ou uma unidade. O que acontece se tirarmos a hipótese finito de R?
ab
20. Seja S o conjunto das matrizes 2 × 2 com entradas em Z da forma .
00
21. Prove que se um anel tem um único elemento neutro multiplicativo a esquerda,ele também é
um elemento neutro multiplicativo a direita e portanto é o elemento neutro multiplicativo do
anel.
22. Ache o inverso multiplicativo de 2̄x2 + 2̄x + 3̄ ∈ Z4 [x] e o inverso multiplicativo de 4̄x3 + 6̄x2 +
2̄x + 5̄ ∈ Z8 [x].
Os exercı́cios abaixo estão relacionados entre si.
25. Seja A um anel comutativo com unidade, A[x] o anel dos polinômios com coeficientes em A
e f (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a0 ∈ A[x].
Prove que f (x) é uma unidade em A[x] ⇔ a0 é uma unidade em A e a1 , a2 , ..., an são nilpo-
tentes. (Sug.: Se b0 + b1 x + ...bm xm é o inverso de f , prove por indução que ar+1
n bm−r = 0.
Portanto an é nilpotente e então use o exercı́cio anterior).
Definiremos agora um subanel que nos permitirá definir novos anéis a partir dele.
3.1 Ideais
Definição 3.1.1 (Ideal). Um subanel I de um anel A é chamado um ideal de A se para todo a ∈ A
e todo x ∈ I, xa ∈ I e ax ∈ I .
Teorema 3.1.2 (Teste para saber se é ideal). Um subconjunto não vazio de um anel I é um ideal
de A se:
1. a − b ∈ I, para todo a, b ∈ I
2. xa e ax estão em I quando a ∈ A e x ∈ I .
Exemplo 3.1.3. Para todo anel A, {0} e A são ideais de A. O ideal {0} é chamado de trivial.
Exemplo 3.1.5. Seja A um anel comutativo com unidade e x ∈ A. O conjunto < x >= {ax|a ∈ A}
é um ideal de A chamado de ideal gerado por x
Exemplo 3.1.6. Sejam R[x] = { f(x)| f(x) é um polinômio com coeficientes em R} e I = { f(x)
∈ R[x]|f (0) = 0}. É fácil provar que I é um ideal de R[x]
19
20 CAPÍTULO 3. IDEAIS E ANÉIS QUOCIENTES
x∼y ⇔ x−y ∈I
onde
[x] = {y ∈ A | y ∼ x} = {y ∈ A | y − x ∈ I} = {y ∈ A | y ∈ x + I}
Usaremos as notações
x + I = [x]
e
A/I = {x + I | x ∈ A}.
Queremos transformar A/I em um anel. Para isto vamos definir em A/I duas operações e de-
pois provar que elas estão bem definidas, pois como estamos trabalhando com classes, e portanto
conjuntos , elas não poderão depender do representante da classe. As operações vão ser:
Exercı́cio 3.2.2. Prove que se A é um anel comutativo com unidade então A/I também é um anel
comutativo com unidade.
Exemplo 3.2.3. Z/4Z = {0 + 4Z, 1 + 4Z, 2 + 4Z, 3 + 4Z}. Com efeito, todo n em Z é da forma
n = 4q + r onde q ∈ Z e 0 ≤ r ≤ 3 pelo Algorı́tmo de Euclides.Pela definição da classe de
equivalência temos que n + 4Z = r + 4Z com r = 0, 1, 2, 3
Exemplo 3.2.4. 2Z/6Z = {0 + 6Z, 2 + 6Z, 4 + 6Z}. Observe que 6Z é um ideal de 2Z e que todo
elemento da forma 2n é da forma 2(3q + r) quando aplicamos o Algorı́tmo de Euclides para n e 3.
Assim os elementos de 2Z/6Z vão ser 0 + 6Z, 2 + 6Z e 4 + 6Z.
Observe que A/I é um anel não comutativo com unidade com 16 elementos.
Exemplo 3.2.6. Sejam R[x] = { f(x)| f(x) é um polinômio com coeficientes em R} e < x2 + 1 > o
ideal gerado por x2 + 1. Então
R[x]
2
= {ax + b+ < x2 + 1 > |a e b ∈ R}
<x +1>
Para provar isto, tome f (x) ∈ R[x] e divida f (x) por x2 + 1 obtendo um quociente q(x) e um resto
da forma ax + b em R[x]. Podemos escrever f (x) = q(x)(x2 + 1) + ax + b e então a classe de f (x)
módulo < x2 + 1 > vai ser ax + b+ < x2 + 1 >. Observe que
R[x]
= {ai + b | a, b ∈ R e i2 = −1} = C
< x2 + 1 >
.
Vemos assim que anéis quocientes nos permite a criação de certos tipos especiais de anéis.
22 CAPÍTULO 3. IDEAIS E ANÉIS QUOCIENTES
Exemplo 3.3.2 (ideais primos de Z). Os ideais primos não nulos de Z são os pZ onde p é um
primo de Z. Para ver isto seja nZ um ideal de Z e suponha que nZ é um ideal primo. Se n não for
primo existem a e b em Z tais que n = ab e 1 < a, b < n. Como por hipótese estamos supondo que
nZ é primo temos que a ou b pertencem a nZ. Suponha que a = kn com k ∈ Z. Temos então que
n = knb ou n(1 − kb) = 0, e como estamos no domı́nio Z isto implica que n = 0 ou 1 − kb = 0, isto
é, n = 0 ou b = 1. Como n 6= 0 e b 6= 1 concluimos que n tem que ser primo.
Por outro lado suponha que p é primo e xy ∈ pZ. Logo p divide xy e pelo Algorı́tmo de Euclides
p divide x ou p divide y, isto é, x ∈ pZ ou y ∈ pZ e então pZ é um ideal primo.
Definição 3.3.3 (ideal maximal). Um ideal próprio I de um anel A é maximal se quando existir
um ideal B de A tal que I ⊆ B ⊆ A então I = B ou B = A
Teorema 3.3.5 (A/I é domı́nio ⇔ I é primo). Seja A um anel comutativo com unidade e I um
ideal próprio de A. Então A/I é domı́nio ⇔ I é primo.
Demonstração
Como A é comutativo com unidade temos que A/I é um anel comutativo com unidade. Sejam
a, b ∈ A tal que ab ∈ I. Passando para classes teremos
ab + I = (a + I)(b + I) = 0 + I
Teorema 3.3.6 (A/I é corpo ⇔ I é maximal). Seja A um anel comutativo com unidade e I um
ideal de A. Então A/I é corpo ⇔ I é maximal.
3.3. IDEAIS PRIMOS E IDEAIS MAXIMAIS 23
Demonstração
Como A é comutativo com unidade temos que A/I é um anel comutativo com unidade.
Suponha que exista um ideal B de A tal que I ⊆ B ⊆ A e que I 6= B. Então existe um x ∈ B e
x 6∈ I. Em termos de classe temos que x + I 6= 0 + I e como A/I é um corpo existe y + I ∈ A/I tal
que xy + I = 1 + I, isto é, xy − 1 ∈ I. Como x ∈ B temos que xy ∈ B e portanto, 1 ∈ B e B = A.
Reciprocamente suponha que I é maximal e vamos mostrar que A/I é um corpo. Para isto tome
x + I 6= 0 + I em A/I . Isto significa que x 6∈ I e temos então a cadeia de ideais I ⊂ I+ < x >⊂ A.
Como I é maximal temos que I+ < x >= A. Assim existe y ∈ I e a ∈ A tal que 1 = y + ax ou
1 − ax ∈ I. Em termos de classe significa que
(a + I)(x + I) = 1 + I
2. Se I e J são dois ideais de um anel A, mostre que a soma de ideais definida por I + J =
{x + y|x ∈ I e y ∈ J} é um ideal de A.
4. Se I e J são dois ideais de um anel A, mostre que o produto de ideais definido por
I.J = {a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn |ai ∈ I e bi ∈ J e n é um inteiro positivo } é um ideal de A.
9. Prove que o ideal < x2 + 1 > é primo em Z[x], mas não é maximal. Sug.: use um fato que
veremos no capı́tulo 5 que Z[x] possui algoritmo da divisão para polinômios cujo coeficiente
lı́der é 1 ou −1. Ver exercı́cio 15 do Cap.5 .
10. Se A é um anel comutativo com unidade e I é um ideal de A, mostre que A/I é um anel
comutativo com unidade.
12. Seja A um anel comutativo com unidade. Mostre que todo ideal maximal é primo.
14. Seja A o anel das funções contı́nuas de R em R. Mostre que I = {f ∈ A|f (0) = 0} é um ideal
maximal de A.
3.4. EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 3 25
15. Quantos elementos tem Z[i]/ < 3 + i > ? Dê razões para sua resposta.
16. Em Z[x], o anel dos polinômios com coeficientes inteiros, seja I = {f ∈ Z[x]|f (0) = 0}. Prove
que I não é um ideal maximal de Z[x]
17. Prove que I =< 2 + 2i > não é um ideal primo de Z[i]. Quantos elementos tem Z[i]/I ? Qual
é a caracterı́stica de Z[i]/I.
22. Se D é um domı́nio de ideais principais, isto é, domı́nio onde todo ideal é da forma < a >
para algum a em D, prove que D/I é um anel de ideais principais onde I é um ideal de D.
23. Mostre que todo ideal não nulo de Zn é da forma < d¯ > onde d é um divisor de n.
(a) Z8
(b) Z10
(c) Z12
(d) Zn
Capı́tulo 4
Homomorfismos de anéis
φ(ab) = φ(a).φ(b)
para todo a e b em R.
Um homomorfismo de anéis o qual é injetivo e sobrejetivo é chamado um isomorfismo de anéis.
Neste caso dizemos que R e S são isomorfos.
Observe que na definição acima as operações à esquerda do sinal de igual são as de R, enquanto
as da direita são de S.
Quando temos um isomorfismo φ : R → S isto significa que R e S são algebricamente idênticos .
Exemplo 4.1.3. Em geral se I ém ideal de um anel R a aplicação que associa a cada elemento r
de R a sua classe r + I é um homomorfismo de anéis chamado homomorfismo canônico .
26
4.1. DEFINIÇÃO E EXEMPLOS 27
Exemplo 4.1.4. Seja φ : R[x] → R que associa f (x) 7−→ f (1). Então φ é um homomorfismo
sobrejetivo pois
φ(f + g) = (f + g)(1) = f (1) + g(1) = φ(f ) + φ(g)
φ(f.g) = (f.g)(1) = f (1).g(1) = φ(f ).φ(g)
Para todo a ∈ R, a = f (1) onde f (x) = a ∈ R[x].Isto mostra que φ é sobrejetivo.
Exemplo 4.1.5. A aplicação a + bi 7−→ a − bi é um isomorfismo de C em C.
Prove isto.
Exemplo 4.1.6. A aplicação φ : x 7−→ 4x de Z3 → Z12 é um homomorfismo . Temos primeiro
que verificar que esta aplicação está bem definida pois estamos trabalhando com classes e portanto
tem que independer do representante da classe. Suponha então que em Z3 as classes ā = b̄. Assim
a − b = 3k para algum k em Z. Multiplicando esta expressão por 4 temos 4a − 4b = 12k. Isto
mostra que as classes 4a = 4b em Z12 e assim temos que φ(ā) = φ(b̄) e φ está bem definida.
Vamos agora provar que φ é um homomorfismo. Pela definição de φ ,
Exemplo 4.1.7. A aplicação φ : Z5 → Z10 que leva x̄ 7−→ 5x não está bem definida pois 1̄ = 6̄ em
Z5 mas φ(1̄) = 5 6= 30 = φ(6̄) em Z10 .
Exemplo 4.1.8. Podemos usar homomorfismos para concluir fatos sôbre teoria de números. Por
exemplo, para provar que a sequencia 2, 10, 18, 26, ... não contém nenhum cubo , suponha que um
elemento da forma 8k + 2 com k ∈ Z seja um cubo a3 . Aplicando o homomorfismo canônico
φ : Z 7−→ Z8 teremos que 2̄ = φ(8k + 2) = φ(a)3 . Mas é fácil verificar que em Z8 não existe nenhum
elemento cujo cubo dê 2̄. Assim, a sequencia acima não tem nenhum cubo.
Exemplo 4.1.9 (Teste de divisibilidade por 9). Um inteiro n cuja representação decimal é ak ak−1 ...a0
é divisı́vel por 9 se e somente se ak + ak−1 + ... + a0 for divisı́vel por 9.
Para provar isto, observe que
φ(n) = φ(ak 10k + ak−1 10k−1 + ... + a0 100 ) = ak 1̄k + ak−1 1̄k−1 + ... + a0 1̄0
1. φ(0) = 0
Demonstração
1. Aplicando φ à expressão 0 + 0 = 0 teremos φ(0 + 0) = φ(0) e assim φ(0) + φ(0) = φ(0), isto
é, 2φ(0) − φ(0) = 0 e finalmente φ(0) = 0.
4. Sejam x, y ∈ φ(A). Então x = φ(a1 ) e y = φ(a2 ) onde a1 e a2 estão em A. Pelo teste, basta
provar que x − y ∈ φ(A) e xy ∈ φ(A). Mas x − y = φ(a1 ) − φ(a2 ) = φ(a1 − a2 ) ∈ φ(A) pois
A é um subanel. Pelo mesmo motivo xy = φ(a1 )φ(a2 ) = φ(a1 a2 ) ∈ φ(A).
5. Como I é um subanel pelo item anterior φ(I) já é um subanel de S. Só falta provar que
S.φ(I) ⊂ φ(I). Como φ é sobre, todo s em S é da forma s = φ(r) para algum r em R. Assim,
sφ(a) = φ(r).φ(a) = φ(ra) ∈ φ(I) para todo a ∈ I.
6. Aplicando o teste para saber se é um ideal, sejam x, y ∈ φ−1 (J). Existem então j1 e j2 em
J tais que φ(x) = j1 e φ(y) = j2 . Como φ(x − y) = φ(x) − φ(y) = j1 − j2 ∈ J temos que
x − y ∈ φ−1 (J). Também, para todo r ∈ R e x ∈ φ−1 (J) temos φ(rx) = φ(r)φ(x) ∈ J o que
mostra que rx ∈ φ−1 (J)
7. Basta observar que φ(r1 )φ(r2 ) = φ(r1 r2 ) = φ(r2 r1 ) = φ(r2 )φ(r1 ) para todo r1 e r2 em R.
4.3. O TEOREMA FUNDAMENTAL DOS HOMOMORFISMOS 29
8. Para todo s ∈ S, s = φ(r) para algum r em R porque φ é sobre. Assim sφ(1) = φ(r)φ(1) =
φ(r1) = φ(r) = s. Analogamente φ(1)s = s.
9. Se φ é isomorfismo então φ é sobre e injetiva, isto é, se φ(r1 ) = φ(r2 ) então r1 = r2 . Se
r ∈ kerφ então φ(r) = φ(0) = 0 e portanto r = 0. Assim ker φ = {0}.
Reciprocamente suponha que φ é sobre e ker φ = {0}. Vamos provar que φ é injetiva. Para
isto suponha que φ(r1 ) = φ(r2 ). Então φ(r1 − r2 ) = 0 o que mostra que r1 − r2 = 0 porque
ker φ = {0}. Assim φ é injetivo e sobre e portanto um isomorfismo.
10. Temos de provar que φ−1 (s1 + s2 ) = φ−1 (s1 ) + φ−1 (s2 ) e φ−1 (s1 .s2 ) = φ−1 (s1 ).φ−1 s2 .
Suponha que φ−1 (s1 ) = r1 e φ−1 (s2 ) = r2 . Logo φ(r1 ) = s1 , φ(r2 ) = s2 e φ(r1 + r2 ) =
φ(r1 ) + φ(r2 ) = s1 + s2 . Isto mostra que φ−1 (s1 + s2 ) = r1 + r2 = φ−1 (s1 ) + φ−1 (s2 ).
Analogamente φ−1 (s1 .s2 ) = φ−1 (s1 ).φ−1 s2 .
Teorema 4.2.2. Seja φ um homomorfismo de um anel R no anel S. Então o conjunto kerφ =
{r ∈ R | φ(r) = 0} é um ideal de R.
Demonstração Exercı́cio.
ψ(r1 +kerφ+r2 +kerφ) = ψ(r1 +r2 +kerφ) = φ(r1 +r2 ) = φ(r1 )+φ(r2 ) = ψ(r1 +kerφ)+ψ(r2 +kerφ)
ψ((r1 + kerφ).(r2 + kerφ)) = ψ(r1 .r2 + kerφ) = φ(r1 .r2 ) = φ(r1 ).φ(r2 ) = ψ(r1 + kerφ).ψ(r2 + kerφ)
R
ψ é injetiva pois kerψ = {r + kerφ ∈ kerφ
|φ(r) = 0} = {0 + kerφ}.
É fácil ver que ψ é sobre.
dos homomorfismos basta criar um homo φ sobre entre R[x] e C tal que kerφ seja igual a
< x2 + 1 >.
Defina
φ : R[x] → C
f (x) 7−→ f (i)
30 CAPÍTULO 4. HOMOMORFISMOS DE ANÉIS
Seja agora f (x) ∈ kerφ. Dividindo f (x) por x2 + 1 temos que existem q(x) ∈ R[x] e a, b ∈ R
tais que f (x) = (x2 + 1)q(x) + ax + b. Queremos provar que a e b são nulos. Como f (x) ∈ kerφ ,
aplicando φ na expressão acima temos que ai + b = 0. Logo a = b = 0 e f (x) ∈< x2 + 1 >. Assim
kerφ =< x2 + 1 > e pelo TFH, C ≈ <xR[x] 2 +1> .
Todo anel com unidade de caracterı́stica 0 possui uma cópia de Z e todo anel com unidade de
caracterı́stica n tem uma cópia de Zn . É o que veremos a seguir.
Teorema 4.3.3 (Homomorfismo de Z em anéis com unidade). Seja R um anel com unidade 1. A
aplicação
φ: Z → R
n 7−→ n.1
é um homomorfismo de anéis.
Demonstração
φ(n + m) = (n + m).1 = n.1 + m.1 = φ(n) + φ(m) e φ(nm) = (nm).1 = (n.1)(m.1) = φ(n)φ(m)
como já provamos no Cap.2.
Corolário 4.3.4 (Um anel com unidade contém Z ou Zn ). Se R é um anel com unidade de carac-
terı́stica n então R contém um subanel isomorfo a Zn .Se R é um anel com unidade de caracterı́stica
0 então R contém um subanel isomorfo a Z.
Demonstração
φ: Z → R
m 7−→ m.1
é um homomorfismo de anéis.
Se a caracterı́stica de R for n então kerφ = {m ∈ Z|m.1 = 0} = nZ. (Prove isto!). Então pelo
TFH, φ(Z) ≈ Z/nZ = Zn e φ(Z) é o subanel de R procurado.
Demonstração Como todo corpo é um domı́nio , ele tem unidade e sua caracterı́stica ou é
0 ou um número primo p. Se caracterı́stica de F for p então pelo corolário anterior F vai ter um
subanel isomorfo a Zp , o qual vai ser um subcorpo de F . Se caracterı́stica de F for 0 então F vai ter
um subanel S isomorfo a Z. Como F é um corpo F vai conter todos os inversos de S. Considerando
o conjunto T = {ab−1 |a, b ∈ S e b 6= 0} temos que T ⊂ F e T é isomorfo a Q(prove isto !).
4.4. O CORPO DE FRAÇÕES DE UM DOMÍNIO 31
Teorema 4.4.1. Seja D um domı́nio. Então existe um corpo F (chamado corpo das frações ou
corpo quociente de D) que contem um subanel isomorfo a D.
Demonstração
(a, b) ∼
= (c, d) ⇔ ad = bc
2. Mostre que a correspondencia x 7−→ 3x de Z4 para Z12 está bem definida e preserva a adição
mas não a multiplicação .
6. Seja
a b
S={ |a, b ∈ R}.
−b a
a b
Mostre que φ : C → S dada por φ(a + bi) = é um isomorfismo de anéis.
−b a
√ √
a 2b
7. Seja Z[ 2] = {a + b 2k a, b ∈ Z} e H = { |a, b ∈ Z}.
b a
√
Mostre que Z[ 2] e H são isomorfos como anéis.
a b
8. Considere a aplicação de M2 (Z) em Z dada por 7−→ a. Esta aplicação é um homo-
c d
morfismo de anéis?
11. Ache o kernel do homomorfismo φ : R[x] → R dado por φ(f (x)) = f (1).
14. Prove que a sequencia 3, 7, 11, 15, ... não tem nenhuma soma de dois quadrados.
15. Prove que a soma dos quadrados de tres inteiros consecutivos não pode ser um quadrado.
16. Seja n um inteiro positivo obtido rearranjando os dı́gitos de m de algum jeito (por exemplo,
4567 é um rearranjamento de 6754). Mostre que m − n é divisı́vel por 9.
20. Prove que a imagem por homomorfismo de um anel de ideais principais é um anel de ideais
principais. Prove que Zn é um anel de ideais principais e que todo anel quociente de um anel
de ideais principais é um anel de ideais principais.
21. Prove que se m e n são inteiros positivos distintos então os anéis nZ e mZ não são isomorfos.
27. Seja D um domı́nio e F seu corpo quociente. Mostre que se E é um corpo que contém D
então E contém um subcorpo isomorfo a F (assim o corpo quociente de um domı́nio D é o
menor corpo que contém D).
28. Seja A um anel e I um ideal de A. Mostre que existe uma correspondência biunı́voca entre
os ideais de A que contêm I e os ideais do anel quociente A/I.
Anéis de Polinômios
Trabalharemos com anéis de polinômios do mesmo jeito que vocês aprenderam no segundo grau.
Só tem que agora estamos preocupados com a sua estrutura de anel .Veremos que mudando o anel
onde os coeficientes pertencem teremos anéis de estruturas diferentes.
Dois polinômios
Nesta definição , os sı́mbolos x1 , x2 , ..., xn não representam variáveis do anel R. Sua finalidade é
servir como lugares convenientes para separar os elementos do anel R ; a1 , a2 , ..., an . Nós poderı́amos
ter evitado os x, s definindo um polinômio como uma sequencia infinita a0 , a1 , a2 , ..., an , 0, 0, ... mas
nosso método tem a vantagem da experiencia de x como variável. A desvantagem do nosso método
é a confusão que se pode fazer entre polinômio e a função que ele pode representar. Por exemplo,
em Z3 [x] os polinômios f (x) = x4 + x e g(x) = x2 + x representam a mesma função de Z3 em Z3
pois f (a) = g(a) para todo a ∈ Z3 , mas f (x) e g(x) são elementos diferentes de Z3 [x].
34
5.1. DEFINIÇÃO E EXEMPLOS 35
Então
f (x) + g(x) = (as + bs )xs + (as−1 + bs−1 )xs−1 + ... + (a0 + b0 )
onde ai = 0 para todo i > s e bi = 0 se i > m. Também
A definição da multiplicação parece confusa mas não é. Ela é a formalização do processo familiar
da distributividade e colecionando termos iguais.
Exemplo 5.1.3. Sejam f (x) = x3 + 2x + 1 e g(x) = 2x2 + 2 ∈ Z3 [x].
Nossa definição de soma e produto de polinõmios foram formuladas de tal forma que R[x] é um
anel comutativo . Prove isto!
Vamos agora introduzir alguma terminologia para polinômios. Se
f (x) = an xn + ... + an−1 xn−1 + ... + a1 x1 + a0
onde an 6= 0, nós dizemos que f(x) tem grau n ; o termo an é chamado de coeficiente lı́der
de f(x); se o coeficiente lı́der de f(x) for a unidade do anel dizemos que f é mônico. Não definimos
grau para o polinômio nulo f (x) = 0 . Polinômios do tipo f (x) = a0 são chamados de polinômios
constantes. Nós geralmente escrevemos grf = n para indicar que grau de f é n.
Muitas propriedades de R são levadas para R[x]. Nosso primeiro teorema mostra um exemplo:
Teorema 5.1.4. Se D é um domı́nio então D[x] é um domı́nio.
Demonstração
Como nós já sabemos que D[x] é um anel, o que precisamos provar é que D[x] é comutativo
com unidade sem divisores de zero. Claramente D[x] é comutativo porque D o é. Se 1 for a
unidade de D então é fácil ver que f (x) = 1 é a unidade de D[x]. Finalmente suponha que
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a0 e g(x) = bm xm + bm−1 xm−1 + ... + b0 onde an 6= 0 e bm 6= 0
. Então pela definição do produto, f (x)g(x) tem coeficiente lı́der an bm 6= 0 porque D é domı́nio.
Logo f (x)g(x) 6= 0 e D[x] é um domı́nio.
36 CAPÍTULO 5. ANÉIS DE POLINÔMIOS
Exemplo 5.1.5. Como todo corpo K é um domı́nio então K[x] é um domı́nio . Também K[x, y] :=
K[x][y] ém domı́nio.
Existencia de q(x) e r(x): Se f (x) = 0 ou gr f < gr g nós colocamos q(x) = 0 e r(x) = f (x).
Vamos supor agora que grf > 0 e colocamos f1 = f (x) − an bm −1 xn−m g(x).
Então f1 = 0 ou grf1 < grf . Pela nossa hipótese de indução existem q1 (x) e r1 (x) em F [x] tais
que f1 = g(x)q1 (x) + r1 (x) onde r1 = 0 ou gr r1 < gr g. Assim
Unicidade:
Suponhamos f (x) = q0 (x)g(x) + r0 (x) = g(x)q1 (x) + r1 (x) onde ri = 0 ou gr ri < gr g, i = 1, 2.
Subtraindo as duas equações temos que
ou
r0 (x) − r1 (x) = g(x)(−q0 (x) + q1 (x))
. Como o grau de r0 (x) − r1 (x) é menor que o grau de g(x) e g(x) divide r0 (x) − r1 (x), isto só é
possı́vel se r0 (x) − r1 (x) = 0. Assim r1 = r0 e q1 = q0 .
5.2. O ALGORITMO DA DIVISÃO E CONSEQÜÊNCIAS 37
Seja agora D um domı́nio. Se f e g ∈ D[x] dizemos que g|f isto é, g divide f se existe um
polinômio h ∈ D[x] tal que f = gh. Neste caso nós chamamos g de fator de f . Um elemento
a ∈ D é um zero de f se f (a) = 0. Quando F é um corpo, a ∈ F e f (x) ∈ F [x], nós dizemos que
a é um zero de multiplicidade k se (x − a)k divide f mas (x − a)k+1 não divide f . Com estas
definições , podemos dar várias conseqüências do algorı́tmo da divisão .
Corolário 5.2.2 (o teorema do resto). Se F é um corpo, a ∈ F e f (x) ∈ F [x] então f (a) é o resto
da divisão de f por x − a.
Corolário 5.2.4 (polinomios de grau n têm no máximo n zeros). Um polinômio de grau n sobre
um corpo tem no máximo n zeros contando multiplicidades.
Demonstração
Usamos indução em n. Claramente um polinômio de grau 1 tem exatamente 1 zero . Agora suponha
que a afirmativa é válida para todo polinômio de grau menor que n e n é maior que 1. Seja f um
polinômio de grau n sobre um corpo e seja a um zero de multiplicidade k. Então f (x) = (x−a)k g(x)
onde g(a) 6= 0 e n = k + grg o que mostra que grg < n. Se f não tem nenhum zero diferente de a
então não temos nada mais a demonstrar. Se f tiver outro zero b 6= a então 0 = f (b) = (b − a)k g(b)
e então g(b) = 0 .Como grg < n segue pela nossa hipótese de indução que o número de zeros de g
é menor ou igual ao grau de g e assim número de zeros contando multiplicidades de f é menor ou
igual a k + grg = k + n − k = n e o nosso corolário está demonstrado.
Nós observamos que o último corolário não é verdade para anéis de poliômios arbitrários. Por
exemplo x2 + 3x + 2 tem 4 zeros em Z6 .
Nós terminamos esse capı́tulo apresentando uma aplicação teórica do algoritmo da divisão mos-
trando que F [x] e Z são bem parecidos. Para isto vamos definir domı́nios de ideais principais.
Demonstração
Pelo teorema sabemos que F [x] é um domı́nio. Seja agora I um ideal de F [x]. Se I = 0 nada
a demonstrar. Suponha então que I 6= 0 e seja g o polinômio de menor grau que pertence a I .
38 CAPÍTULO 5. ANÉIS DE POLINÔMIOS
Vamos provar que I =< g >. Como g ∈ I, gF [x] ⊂ I e então < g >⊂ I. Tome h ∈ I. Pelo
algorı́tmo da divisão temos que existem q e r em F [x] tais que h = qg + r com r = 0 ou grr < grg.
Temos que r = h − qg ∈ I e então pela escolha de g, r só pode ser 0. Logo g|h o que prova que
I ⊂< g > e portanto I =< g >.
O teorema acima mostra também como achar um gerador dos ideais de F [x]:
Teorema 5.2.8. Seja I um ideal de F [x] , F um corpo e g um elemento de F [x]. Então g gera I,
isto é, I =< g > se e sómente se g é um elemento não nulo de grau mı́nimo em I.
Exemplo 5.2.9. Considere o homo φ de R[x] em C dado por f (x) 7−→ f (i). Então x2 + 1 ∈ kerφ
e é claramente o polinômio de menor grau em kerφ. Assim kerφ =< x2 + 1 > e <xR[x]
2 +1> ≈ C pelo
TFH.
Observe que não temos unicidade no gerador de um ideal I de F [x], mas podemos determinar
as relações entre geradores de um ideal não nulo de um domı́nio D. Com efeito, suponha que
I =< g >=< g1 >. Assim g|g1 e g1 |g. Logo g = g1 .h1 e g1 = g.h onde h1 e h estão em D..
Substituindo as duas expressões temos g = g.h.h1 , g(1 − hh1 ) = 0 e como estamos num domı́nio,
g = 0 ou h1 .h = 1, isto é, g e g1 diferem por unidades. Dizemos neste caso que g e g1 são associados.
4. Mostre que o polinômio 2x + 1 em Z4 [x] tem inverso multiplicativo. Em Z[x] existem po-
linômios não constantes com inverso multiplicativo?
7. Seja F um corpo infinito e f (x) ∈ F [x] Se f (a) = 0 para um número infinito de elementos a
de F , então f (x) = 0
8. Seja F um corpo infinito e f (x), g(x) ∈ F [x]. Se f (a) = g(a) para um número infinito de
elementos a de F , então f (x) = g(x).
9. Seja F um corpo e p(x) ∈ F [x]. Se f (x), g(x) ∈ F [x], gr f < gr p e gr g < gr p, mostre que
f (x)+ < p(x) >= g(x)+ < p(x) > implica que f (x) = g(x).
10. Se I é um ideal de um anel R, prove que o conjunto I[x] dos polinômios de R[x] cujos
coeficientes estão em I é um ideal de R[x]. Dê um exemplo de um anel comutativo R com
unidade e um ideal maximal I de R de modo que I[x] não é um ideal maximal de R[x].
11. Seja R um anel comutativo com unidade. Se I é um ideal primo de R, prove que I[x] é um
ideal primo de R[x]
√ √
12. Prove que <xQ[x]
2 −2> é isomorfo a Q[ 2] = {a + b 2|a, b ∈ Q}.
Z3 [x]
13. Prove que <x2 +1>
é isomorfo a Z3 [i] = {a + bi | a, b ∈ Z3 }.
14. Seja f (x) ∈ R[x]. Suponha que f (a) = 0 e que f ′ (a) 6= 0. Mostre que a é um zero de f (x) de
multiplicidade 1.
15. Seja f (x) ∈ R[x]. Suponha que f (a) = 0 e que f ′ (a) = 0. Mostre que (x − a)2 divide f (x).
16. Seja R um anel comutativo com unidade e f (x) ∈ R[x]. Suponha que g(x) = bm xm + ... + b0 ∈
R[x]
e bm seja inversı́vel em R. Prove que o algorı́tmo de divisão existe para f e g, isto é,
∃q(x), r(x) ∈ R[x] tais que f (x) = g(x)q(x) + r(x) com r(x) = 0 ou gr r(x) < gr g(x) .
Prove que temos também unicidade neste caso.
17. Sejam A um anel comutativo com unidade, f (x) ∈ A[x] e a ∈ A. Então f (a) = 0 ⇔ ∃t(x) ∈
A[x] tal que f (x) = (x − a)t(x).
40 CAPÍTULO 5. ANÉIS DE POLINÔMIOS
18. Seja D um dom. e 0 6= f (x) ∈ D[x]. Então o número de raı́zes de f (x) em D (contando
multiplicidades) é menor ou igual ao grau de f .
Fatoração de polinômios
Sabemos que D[x] é um domı́nio e então vale que gr(f.g) = grf + grg. Seja f uma unidade
de D[x]. Então existe um g ∈ D[x] tal que f.g = 1. Aplicando o grau , temos que grf + grg = 0.
Assim grf = grg = 0, f, g ∈ D e f.g = 1 provando assim que f e g são unidades de D e acabamos
de provar o teorema:
Teorema 6.1.2. Os elementos inversı́veis de D[x], onde D é um domı́nio, são as unidades de D.
Exemplo 6.1.3. Vamos calcular o conjunto das unidades de alguns anéis de polinômios
1. U (Z[x]) = {−1, 1}.
2. U (R[x]) = R − {0}.
3. U (K[x]) = K − {0} se K é um corpo.
Conhecendo agora as unidades de K[x] onde K é um corpo, temos que f é irredutı́vel sobre K
se não for constante e se f não puder ser escrito como produto de dois polinômios em K[x] de grau
menor .
41
42 CAPÍTULO 6. FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS
Exemplo 6.1.4. f (x) = 2x2 + 4 ∈ Q[x] é irredutı́vel sobre Q pois 2x2 + 4 = 2(x2 + 2), 2 é uma
unidade de Q[x] e x2 + 2 não pode ser escrito como um produto de polinômios de grau 1. Prove
esta última afirmação !
Exemplo 6.1.5. f (x) = 2x2 + 4 ∈ Z[x] é redutı́vel sobre Z. Com efeito, 2x2 + 4 = 2(x2 + 2), e 2
não é uma unidade em Z[x]
Exemplo 6.1.6.√ f (x) = √ 2x2 + 4 ∈ Q[x] é irredutı́vel sobre R e redutı́vel sobre C. Com efeito,
2x + 4 = 2(x + 2i)(x − 2i). Tente escrever 2x2 + 4 = (ax + b)(cx + d) em R[x] para provar que
2
Teorema 6.1.9 (teste de redutibilidade para graus 2 e 3). Seja F um corpo. Se f (x) ∈ F [x] e
grf = 2 ou 3 então f é redutı́vel sobre F se e somente se f tem um zero em F
Demonstração
Suponha que f = gh onde g e h posssuem grau menor que o de f e pertençam a F [x]. Como
grf = grg + grh e grf = 2 ou 3 , pelo menos um dos g ou h tem grau 1, digamos g(x) = ax + b.
Então claramente −b/a é um zero de g e então um zero de f .
Este teorema é fácil de ser usado quando estamos com corpos finitos Zp pois basta verificar os
zeros de f . Note que polinômios de grau ≥ 4 podem ser redutı́veis sem ter zeros no corpo. Por
exemplo (x2 + 1)2 é redutı́vel sobre Q e não tem nenhum zero em Q.
Observe que o Teorema 6.1.9 não se aplica em domı́nios em geral. Por exemplo, 2(x2 + 1) é
redutı́vel sobre Z e não tem raı́zes em Z.
Os nossos próximos tres testes lidam com polinômios com coeficientes inteiros. Para simplificar
a prova do primeiro deles nós introduzimos alguma terminologia.
Demonstração
Sejam f e g dois pol. primitivos e suponha que o produto f g não seja primitivo. Seja p um
divisor primo do conteúdo de f g e sejam f¯ e ḡ as imagens dos pol. obtidos de f e g aplicando o
homomorfismo φ : Z[x] 7−→ Zp [x] , o qual leva an xn +an−1 xn−1 +...+a0 em an xn +an−1 xn−1 +...+a0
onde ai significa a classe de ai em Zp . Então f¯ḡ = 0̄. Como Zp [x] é um domı́nio temos que f¯ ou ḡ
é nulo. Isto indica que p divide o conteúdo de f ou p divide o conteúdo de g, o que é absurdo pois
f e g são primitivos .2
Lembre-se que a questão da redutibilidade depende√ do anel onde os polinõmios estão. Assim
2
x − 2 é irredutı́vel sobre Z mas redutı́vel sobre Q[ 2]. Podemos provar que todo polinômio sobre
um domı́nio de grau maior do que um, é redutı́vel sobre algum corpo. O teorema a seguir mostra
que no caso dos inteiros este corpo tem que ser maior que Q.
Teorema 6.1.12 (red. sobre Q ⇒ red. sobre Z). Seja f ∈ Z[x] . Se f for redutı́vel sobre Q então
ele vai ser redutı́vel sobre Z
Demonstração
Suponha que f = gh onde g e h estão em Q[x]. Se f não for primitivo f já é redutı́vel sobre Z e
não temos nada mais a demonstrar. Podemos supor agora que f seja primitivo. Tirando o mmc dos
denominadores dos coeficientes de g e de h temos que existem inteiros a e b e polinômios g1 e h1 em
Z[x] tais que abf = g1 h1 . Se c1 = conteúdo de g1 e c2 = conteúdo de h1 temos que abf = c1 c2 g2 h2
onde g2 e h2 estão em Z[x] e são primitivos . Tomando o conteúdo da última expressão e usando o
Lema de Gauss temos que ab = c1 c2 e f = g2 h2 . Como g2 e h2 estão Z[x] temos que f é redutı́vel
sobre Z.2.
Teorema 6.2.1 (teste de irred. modp). Seja p um número primo e suponha f (x) ∈ Z[x] com
grf ≥ 1. Seja f¯ é o polinômio obtido de f reduzindo todos os coeficientes mod p . Se f¯ é irredutı́vel
mod p, isto é, sobre Zp e grf¯ = grf então f é irredutı́vel sobre Q.
Demonstração
Z[x] −→ Zp [x]
Pn i
Pn i
g= i=0 bi x 7−→ ḡ = i=0 bi x
Como
grḡ ≤ grg < grf¯,
Observaçoẽs
1. Se grf¯ 6= grf não podemos afirmar nada ; por exemplo, f (x) = 3x2 −2x−1 ∈ Z[x] é redutı́vel
sobre Q e f¯ = −2x − 1 = 1x + 2 ∈ Z3 [x] é irredutı́vel sobre Z3 .
2. Seja cuidadoso para não usar a recı́proca do teorema; se f ∈ Z[x] e f¯ é red. sobre Zp para
algum p, f pode ainda ser irred. sobre Q. Por exemplo, considere f (x) = 21x3 − 3x2 + 2x + 8.
Sobre Z2 temos que f¯ = x3 + x2 = x2 (x + 1). Mas sobre Z5 , f¯ = x3 − 3x2 + 2x + 3 não tem
nenhuma raiz em Z5 o que mostra que f¯ é irred. sobre Z5 e então f é irred. sobre Q.
3. O exemplo anterior mostra que f¯ pode não ser irredutı́vel sobre Zp mas ser irredutı́vel sobre
outro primo p. Observe que existem pol. f que são irred. sobre Q mas f¯ é red. sobre Zp
para todo primo p, como é o caso do pol. f (x) = x4 + 1 ∈ Z[x].
sobre Q. Aplicando o teste de irred. mod 2 a h temos h̄ = x4 + x + 1. Claramente h̄ não tem zeros
em Z2 . Também h̄ não tem nenhum fator quadrático em Z2 [x]( este fator seria x2 + x + 1 ou x2 + 1
pois x2 ou x(x + 1) não poderiam ser pois eles têm zeros em Z2 . Fazendo a divisão vemos que os
dois não são fatores de h̄).Assim h̄ é irred. sobre Z2 e então sobre Q.
Exemplo 6.2.4. Seja f (x) = x5 +2x+4. Obviamente o teorema 6.1.9 e o teste de irred. mod 2 não
podem ser usados aqui. Vamos tentar mod 3. Assim f¯ = x5 + 2x + 1 em Z3 [x] e f¯(0) = 1, f¯(1) = 1
e f¯(2) 6= 0. Logo f¯ não tem fatores lineares. Mas f¯ pode ter fatores quadráticos; suponha que ele
seja da forma x2 + ax + b. Temos 9 possibilidades para verificar. Podemos tirar dessas 9, aquelas
que levam f¯ ter zeros em Z3 . Assim temos apenas que verificar se x2 + 1, x2 + x + 2 e x2 + 2x + 2
dividem f¯. Fazendo as contas eles são também eliminados. Temos então que f¯ é irred. sobre Z3 e
f é irred. sobre Q.( Por que não é necessário verificar fatores cúbicos e de grau 4 ?)
6.2. TESTES DE IRREDUTIBILIDADE 45
Se f for red. sobre Q, nós sabemos que f será red. sobre Z e então existirão pol. g e h em
Z[x] tais que f = gh, grg > 1 e grh < n, digamos g = br xr + ... + b0 e h = cs xs + ... + c0 . Então,
como p|a0 = c0 b0 e p2 6 |a0 segue que p|b0 ou p|c0 mas p não divide os dois. Vamos supor que p|b0
e p 6 |c0 . Temos também que p 6 |an = cs br e então p 6 |br . Assim temos um menor inteiro positivo
t tal que p 6 |bt . Agora, considere at = bt c0 + bt−1 c1 + bt−2 c2 + ... + b0 ct . Por hipótese, p|at e pela
escolha de t temos que p|bt−1 , p|bt−2 ,...,p|b0 . Claramente isto implicará que p|bt c0 . Isto é absurdo
pois p 6 |bt e p 6 |c0 e p é primo.2
Corolário 6.2.6 (Irred. do pol. ciclotômico). Para todo primo p, o p-ésimo polinômio ciclotômico
xp − 1
φp (x) = = xp−1 + xp−2 + ... + x + 1
x−1
é irredutı́vel sobre Q.
Demonstração
Seja
(x + 1)p − 1
f (x) = φp (x + 1) = = xp−1 + pxp−2 + ... + p
(x + 1) − 1
Então, pelo critério de Eisenstein, f é irred. sobre Q. Assim, se φp (x) = g(x)h(x) é uma
fatorização não trivial de φp (x) sobre Q então f (x) = φp (x + 1) = g(x + 1)h(x + 1) seria uma
fatorização não trivial de f sobre Q. Isto é impossı́vel pois pelo critério de Eisenstein f (x) =
φp (x + 1) é irredutı́vel sobre Q.2
Exemplo 6.2.7. O pol. 3x5 + 15x4 − 20x3 + 10x + 20 é irredutı́vel sobre Q pois 5 divide
20, 10, −20, 15,5 6 |3 e 52 6 |20, usando o critério de Eisenstein.
A importância dos ideais maximais vem da sua ligação com os pol. irredutı́veis.
Teorema 6.2.8 (p(x) irred.⇔< p(x) > é max.). Seja F um corpo e p(x) ∈ F [x]. Então o ideal
< p(x) > é maximal em F [x] ⇔ p(x) é irredutı́vel sobre F .
Demonstração
(⇒) Suponha < p(x) > é max.. Se p(x) = g(x)h(x) é uma fat. de f (x) sobre F então
< p(x) >⊆< g(x) >⊆ F [x]. Como < p(x) > é max. temos que < p(x) >=< g(x) > ou
< g(x) >= F [x]. No primeiro caso temos que g(x) = p(x)t(x)para algum t(x) ∈ F [x] e como
46 CAPÍTULO 6. FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS
p(x) = g(x)h(x), juntando essas duas equações temos p(x)(1 − t(x)h(x)) = 0. Como F [x] é um
domı́nio e p(x) é não nulo temos que 1 − t(x)h(x) = 0 o que mostra que h(x) é uma unidade de
F [x] e que a fatoração acima de p(x) é trivial. Logo p(x) ı́rredutı́vel. No segundo caso, existe um
polinômio t(x) ∈ F [x] tal que 1 = t(x)g(x) o que também mostra que a fatorização de p(x) é trivial.
(⇐) Suponha que p(x) é irred. sobre F . Seja I um ideal de F [x] tal que < p(x) >⊆ I ⊆ F [x].
Como F [x] é um DIP, existe um g(x) ∈ F [x] tal que I =< g(x) >. Assim p(x) ∈< g(x) >, digamos
p(x) = g(x)h(x) com h(x) ∈ F [x]. Como p(x) é irred. sobre F temos que g ou h são unidades de
F [x], isto é são constantes não nulas. No primeiro caso I = F [x] e no segundo I =< p(x) >, o que
prova que < p(x) > é maximal.2
F [x]
Corolário 6.2.9 ( <p(x)> é um corpo). Seja F um corpo e p(x) um pol. irred. sobre F . Então
F [x]/ < p(x) > é um corpo.
Demonstração
Como p(x) é irred., F [x]/ < p(x) > é um corpo e portanto um domı́nio. Sejam a(x) e b(x)
imagens de a(x) e b(x) com relação ao homo canônico:
F [x]
F [x] −→ <p(x)>
Exemplo 6.2.11. Vamos construir um corpo com 8 elementos. Pelos teoremas anteriores, basta
achar um pol. de grau 3 sobre Z2 sem nenhum zero. Por tentativas, concluimos que x3 + x + 1
2 [x]
serve. Assim <x3Z+x+1> = {ax2 + bx + c+ < x3 + x + 1 > | a, b, c ∈ Z2 } é um corpo com 8 elementos.
Observe que pelo exercı́cio 9 do Cap. 5 temos que todos os 8 elementos são distintos.
Exemplo 6.2.12. Como x2 + 1 não tem zeros em Z3 temos que x2 + 1 é irred. sobre Z3 . Assim
Z3 [x] [x]
<x2 +1>
é um corpo. <xZ23+1> = {ax + b+ < x2 + 1 > | a, b ∈ Z3 } é um corpo com 9 elementos.
Teorema 6.3.1 (Fatoração única). Todo pol. em Z[x] de grau positivo, não nulo e não unidade
pode ser escrito na forma
b1 b2 ...bs p1 (x)p2 (x)...pm (x)
onde os b ś são primos (isto é, pol. irred. de grau 0), e os p(x) ’ s são pol. irred. de grau positivo.
Também, se
b1 b2 ...bs p1 (x)p2 (x)...pm (x) = c1 c2 ...ct q1 (x)...qn (x)
são duas tais fatoraçoẽs então s = t e m = n e após renumeração dos cś e qś nós temos bi = ±ci
para i = 1, ..., s e pi (x) = ±qi (x) para i = 1, ..., m
Demonstração
Existencia: Seja f não nulo e não unidade em Z[x]. Se grf = 0 , f ∈ Z e o resultado segue
do TFA. Se grf > 0, seja b, o conteúdo de f e b1 b2 ...bs sua fatoração em Z. Então f = b1 ...bs f1 (x),
onde f1 ∈ Z[x] é primitivo e tem grau positivo. Assim, para provar a parte de existencia, é suficiente
mostrar que todo pol. primitivo de grau maior que 1 pode ser escrito como um produto de pol.
irred. de grau positivo.
Agora suponha que todo pol. de grau menor que grf e primitivo pode ser escrito como um
produto de pol. irred. de grau positivo.. Se f é irred., nada a demonstrar.
Se f não for irred., f = gh onde g e h são primitivos e grg, grh < grf . Pela hipótese de indução ,
ambos g e h são produtos de irred. de grau positivo, o que mostra que f também será.
Unicidade: Suponha que f = b1 b2 ...bs p1 (x)p2 (x)...pm (x) = c1 c2 ...ct q1 (x)...qn (x) onde os b ś e c
ś são pol. irred de grau 0 e os p(x) ś e q(x) ś são pol. irred. de grau positivo.
Sejam b = b1 ...bs e c = c1 ...ct . Como os polinômios p ś e q ś são primitivos segue do Lema de
Gauss que p1 p2 ...pm e q1 q2 ...qn são primitivos. Portanto tomando o conteúdo de f temos b = c.
Pelo TFA e após renumeração bi = ci onde i = 1, 2, ..., s. Assim, cancelando o conteúdo temos
p1 (x)...pm (x) = q1 (x)...qn (x). Segue pelo corolário 6.2.10 e considerando os p ś e q ś como elemen-
tos de Q[x], que p1 |qj para algum j ∈ {1, 2, ..., n}. Renumerando podemos supor j = 1. Assim
q1 = p1 . rs com r, s em Z. Como p1 e q1 são primitivos segue que r = s e p1 = ±q1 .
Após cancelamento, p2 (x)...pm (x) = ±q2 (x)...qn (x) e repetindo o argumento com p2 (x) teremos
p2 = ±q2 .
Se m < n, após m tais passos teremos que ±1 = qm+1 ...qn . Isto diz que os pol. qi ś com
i = m + 1, ..., n são unidades, o que é um absurdo pois eles são iredutı́veis. Analogamente se m > n
chegaremos num tal absurdo. Assim m = n e pi = qi após renumeração .
48 CAPÍTULO 6. FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS
2. Suponha que f (x) = xn + an−1 xn−1 + ... + a0 ∈ Z[x]. Se r é racional e x − r divide f (x)
mostre que r é um inteiro.
10. Seja f (x) = x3 + x2 + x + 1 ∈ Z2 [x]. Escreva f (x) como produto de pol. irredutı́veis.
12. Mostre que para todo primo p existe um corpo com p2 elementos.
Z3 [x]
13. Mostre que <x2 +1>
é isomorfo a Z3 [i] e que Z3 [i] é um corpo.
16. Seja f (x) = an xn + ... + a0 ∈ Z[x], onde an 6= 0. Prove que se r e s são relativamente primos
e f (r/s) = 0, então r|a0 e s|an .
6.4. LISTA DE EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 6 49
17. Seja F um corpo e p(x) irred. sobre F . Mostre que {a+ < p(x) > | a ∈ F } é um subcorpo
F [x]
de <p(x)> isomorfo a F .
18. Seja F um corpo e p(x) irred. sobre F . Se E é um corpo que contem F e existe um elemento
a em E tal que p(a) = 0, mostre que a aplicação φ : F [x] → E dada por φ(f (x)) = f (a) é
um homomorfismo de anéis com kernel < p(x) >.
(a) x4 − x2 + 1
(b) x4 + ax2 − 1 onde a 6= 0 em Z.
(c) x4 + 45x + 15
(d) 2x4 + 3x + 3
(e) 2x7 + 3r x5 + 3
(f) xp−1 − xp−2 + xp−3 − ... − x + 1 onde p é um primo.
(g) x12 + 14x5 + 21x + 7
(h) x12 + 5x7 + 15x2 + 5
(i) x4 + 3x2 − 1
(j) x3 − 2
(k) x10 + 5x + 5
(l) x13 + 3x5 + 3
(m) 2x4 + 3x3 + 12x2 + 6x + 6
(n) x3 + 2x2 + 3x + 1
(o) x3 − 9
(p) f (x) = x3 − 3n2 x + n3 onde n ∈ Z.
21. Mostre que f (x) = x4 + x3 + x + 1 não é irredutı́vel sobre F para qualquer corpo F .
22. Seja f (x) = 1̄x3 + 1̄x2 + 1̄. Mostre que f (x) é irredutı́vel sobre Z2 . f (x) é irredutı́vel sobre
Z3 ? E sobre Z5 ?
23. (a) Sejam f (x) ∈ Z[x] mônico e f¯(x) a sua classe em Zn [x]. Se f¯(x) é irredutı́vel sobre Zn
então f (x) ı́rredutı́vel sobre Z
50 CAPÍTULO 6. FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS
√
Mostre que m p1 p2 p3 ...pr 6∈ Q.
Capı́tulo 7
Divisibilidade em domı́nios
No capı́tulo anterior nós vimos fatoração de polinômios sobre Z ou sobre um corpo. Vários desses
resultados; fatoração única de Z[x] e algorı́tmo da divisão para F [x] , foram generalizaçoẽs dos
teoremas sobre inteiros. Neste capı́tulo, nós examinamos fatoração num contexto mais geral.
Relacionando as definições acima com as definições nos inteiros , parece uma enorme confusão
pois no Capı́tulo 1 definimos por inteiro primo se satisfaz nossa definição de irred. e nós provamos
que um inteiro primo satisfaz a def. de primo num domı́nio (Lema de Euclides). Esta confusão
surge, porque no caso dos inteiros, os conceitos de irred. e primo são equivalentes, mas em geral
veremos que não serão.
Estes anéis são de fundamental importância na teoria de números. Para analisar esses anéis, nós
necessitamos um método conveniente para achar suas unidades, irred. e primos. Para fazer isto,
nós vamos definir a função norma
√
N : Z[ √ d] → Z+
a + b d 7−→ |a2 − db2 |
51
52 CAPÍTULO 7. DIVISIBILIDADE EM DOMÍNIOS
1. N (x) = 0 se e somente se x = 0
√
2. N(xy)=N(x)N(y) para todo x, y ∈ Z[ d]
Suponha que a é primo num dom. D. Então a 6= 0 e a não é uma unidade e se a = b.c nós
devemos provar que b ou c é uma unidade. Pela definição de primo, nós temos que a|b ou a|c.
Suponha que at = b e substituindo temos b.1 = b = at = (bc)t = b(ct) e pelo cancelamento ct = 1
o que mostra que c é uma unidade. 2
O próximo teorema mostra que num DIP , irredutı́vel e primo são equivalentes.
Teorema 7.1.4 (Num DIP, irred ⇔ primo). Num DIP , um elemento é irredutı́vel se e somente
se ele é primo.
Demonstração
Usando o teorema anterior só falta provar que num DIP , todo irred. é primo. Seja a um
elemento irred. num DIP D e suponha que a|bc. Nós devemos provar que a|b ou a|c. Considere o
ideal I = {ax + by | x, y ∈ D} e como D é um DIP existe d ∈ D tal que I =< d > . Como a ∈ I
nós podemos escrever a = dr para algum r em D, e como a é irred. d ou r é uma unidade. Se d for
uma unidade I =< d >= D e nós podemos escrever 1 = ax + by. Então c = acx + bcy e como a
divide ambos os termos temos que a|c. Por outro lado, se r é uma unidade então < a >=< d >= I,
e como b ∈ I, existe um t ∈ D tal que at = b . Assim a|b. 2
Uma consequencia fácil do algorı́tmo da divisão em Z e F [x] onde F é um corpo é que eles são
DIP . Nosso próximo exemplo mostra, entretanto que um dos nossos anéis mais familiares não é
um DIP .
7.2. DOMÍNIOS DE FATORAÇÃO ÚNICA 53
Exemplo 7.1.5. Mostraremos aqui que Z[x] não é um DIP . Considere em Z[x] o ideal I =
{ax + 2b | a, b ∈ Z} =< x, 2 >. Nós afirmamos que I não é da forma < h(x) >. Com efeito se fôsse,
deveriam existir f, g ∈ Z[x] tal que 2 = hf e x = hg pois x e 2 estão em I.
Pela regra do grau, temos 0 = gr2 = grh + grf e concluı́mos que h é uma constante. Para
determinar qual constante, nós observamos que 2 = h(1)f (1). Assim h(1) = ±1 ou ±2, mas como
1 6∈ I nós devemos ter h(x) = ±2 . Mas então x = ±2g(x) o que não tem sentido.
Já provamos que Z e Z[x] têm importantes propriedades de fatoração : todo inteiro positivo
pode ser fatorado unicamente como produto de irredutı́veis (isto é, primos), e todo pol. não nulo
e não unidade pode ser fatorado como produto de pol. irred.. A questão de fatoração única num
domı́nio surgiu na tentativa de resolver o famoso Teorema de Fermat o qual conjecturava que a
equação xn + y n = z n não tem solução inteira não trivial se n é maior ou igual a 3. Este problema
foi proposto em 1637 e só foi resolvido em 1995 e durante esse tempo ajudou a várias áreas da
Álgebra a se desenvolverem, ou mesmo surgirem. O que mais intrigou aos matemáticos foi que
Fermat quando propôs esse teorema afirmou que já conhecia uma prova mas que não iria escrevê-la
alı́, na margem do livro , porque não caberia. E quase 4 séculos se passaram sem a tal prova. Só
em 1995 os matemáticos Andrew Wiles e Taylor usando teoria de curvas elı́pticas resolveram este
teorema . Por causa disso, acredita-se que Fermat usou uma fatoração única num domı́nio onde não
existia tal fatoração . Estudaremos agora domı́nios que possuem fatoração única em irredutı́veis .
1. Todo elemento de D não nulo e não unidade pode ser escrito como um produto de irredutı́veis
de D
Naturalmente o T F A nos diz que Z é DF U . O teor.6.3.1 diz que Z[x] é DF U . Provaremos que
muitos dos domı́nios que conhecemos são DF U . Provaremos antes a condição da cadeia ascendente.
Teorema 7.2.2 (Condição da cadeia ascendente para DIP ). Num DIP toda cadeia ascendente
de ideais I1 ⊂ I2 ⊂ ... é estacionária (isto é, existe um k tal que Ik = Ik+1 = Ik+2 = ...).
Demonstração
S
Seja I1 ⊂ I2 ⊂ ... uma cadeia ascendente de ideais num dom. D e seja I = Ii . É fácil mostrar
que I é um ideal de D. Como D é um DIP , I =< a > para algum a ∈ D. Como a ∈ I, a ∈ Ik
para algum inteiro k e assim I =< a >⊂ Ik . Mas pela definição de I, temos que Ii ⊂ I ⊂ Ik para
todo Ii da cadeia e assim Ik deve ser o último ideal da cadeia . 2
Demonstração :
Existencia:
54 CAPÍTULO 7. DIVISIBILIDADE EM DOMÍNIOS
Unicidade:
Temos que mostrar que a fatoração é única a menos de associados e a ordem em que os fatores
aparecem. Para fazer isto, suponha que um elemento a de D pode ser escrito como:
a = p1 p2 ...pr = q1 q2 ...qs
onde os p e q são irred. e a repetição é permitida. Faremos indução em r.
Nós assumimos que todo elemento o qual pode ser expresso como um produto de r −1 elementos
irred. é escrito de modo único(a menos de assoc. e ordem). Vamos agora provar que isto também
vale para um produto de r irred. Como p1 |q1 q2 ...qs ele divide algum qi . Então q1 = up1 onde u é
uma unidade de D. Assim
ua = up1 p2 ...pr = q1 (uq2 )...qs
e por cancelamento
p2 p3 ...pr = (uq2 )...qs .
Pela hipótese de indução estas duas fatoraçoẽs são identicas a menos de associados e a ordem em
que aparecem. Assim, o mesmo é verdade para as 2 fatoraçoẽs de a. 2
Observação
Na parte da existencia é que usamos que D é um DIP quando afirmamos que a cadeia tem que
parar. Um domı́nio com esta propriedade é chamado de Domı́nio Noetheriano em homenagem a
Emmy Noether, que introduziu as condiçoẽs de cadeia .
Z K[x]
Forma dos elementos an 10n + ... + a1 10 + a0 an xn + ... + a1 x + a0
Domı́nio Euclidiano d(a) = |a| d(a) = gr a
Unidades a é uma unidade ⇔ |a| = 1 f é uma unidade ⇔ gr a = 0
Alg. da divisão P ara a, b ∈ Z, b 6= 0, ∃q, r ∈ Z P araf, g ∈ K[x], g 6= 0, ∃q, r ∈ K[x]
tal que a = bq + r, 0 ≤ r < |b| tal que f = gq + r, 0 ≤ gr r < gr g ou r = 0.
DIP I =< a >, |a| = min I =< f (x) >, gr f = min
n = pki i f (x) = fiki .
Q Q
DFU
pi primo fi irredut.
Exemplo 7.3.4 (Inteiros de Gauss).
Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z}
é um DE com d(a + bi) = a2 + b2 . Com efeito:
1. Se x = a + bi e y = c + di com a, b, c e d em Z temos que d(xy) = d((ac − bd) + (ad + bc)i) =
(ac − bd)2 + (ad + bc)2 = a2 c2 + a2 d2 + b2 c2 + b2 d2 = (a2 + b2 )(c2 + d2 ) = d(x)d(y).
2. Se x = a + bi e y = c + di com a, b, c e d em Z e y 6= 0 temos que xy −1 ∈ Q[i], o corpo
quociente de Z[i] (ver exerc. 24 do cap.4). Suponha que xy −1 = s + ti onde s e t estão em Q.
Seja agora m o inteiro mais próximo de s e n o inteiro mais próximo de t. Assim |m−s| ≤ 1/2
e |n − t| ≤ 1/2. Então
xy −1 = s + ti = (m − m + s) + (n − n + t)i = (m + ni) + [(s − m) + (t − n)i].
Assim
x = (m + ni)y + [s − m + (t − n)i]y
Nós afirmamos que o alg. da divisão acontece com q = m+ni ∈ Z[i] e r = [(s−m)+(t−n)i]y ∈
Z[i]. Com efeito,
d(r) = d([(s − m) + (t − n)i])d(y) = [(s − m)2 + (t − n)2 ]d(y) ≤ (1/4 + 1/4)d(y) < d(y)
56 CAPÍTULO 7. DIVISIBILIDADE EM DOMÍNIOS
Teorema 7.3.5 (DE ⇒ DIP). Todo domı́nio euclidiano é um domı́nio de ideais principais.
Demonstração
Seja D um DE e I um ideal não nulo de D. Entre os elementos de I escolha a tal que d(a) é
mı́nimo . Então I =< a >. Com efeito, se b ∈ I, ∃q, r ∈ D, tais que b = aq + r onde r = 0 ou
d(r) < d(a). Mas r = b − aq ∈ I e portanto d(r) não pode ser menor que d(a). Assim r = 0 e
b ∈< a >. 2
√
Por curiosidade existe DIP que não é DE. Um exemplo famoso de tal dom. é o Z[ 1+ 2−19 ], mas
não é fácil demonstrar essa afirmação . Uma referencia é: J.C. Wilson,”A Principal Ideal Ring
That Is Not a Euclidean Ring”, Mathematics Magazine 46(1973);74-78.”
Resumindo temos
DE ⇒ DIP ⇒ DF U
DE 6⇐ DIP 6⇐ DF U
No capı́tulo 6 provamos que Z[x] é um DFU. Podemos repetir essa prova e provar o teorema
3. Seja D um dom. e a1 , a2 , ..., an elementos de D tais que < a1 , a2 , ..., an >=< d >para algum
d. Mostre
√ que mdc(a1 , a2 , ..., an ) =√d. Ache um domı́nio que não possui mdc (Mostre que 6 e
2 + 2 −5 não possem mdc em Z[ −5]).
4. Mostre que mdc(2, x) = 1 em Z[x] e que 1 não pode ser escrito como combinação linear de
2 e x com coeficientes em Z[x].
Conclua que Z[x] não é um DIP.
5. Num dom. prove que o produto de um elemento irred. por uma unidade é irred.
S
6. Mostre que Ui onde os Ui pertencem a cadeia U1 ⊂ U2 ⊂ ... de ideais de um anel R é um
ideal.
9. Seja D um DIP. Mostre que todo ideal próprio de D está contido num ideal maximal de D.
√
10. Em Z[ −5] mostre que 21 não se fatora unicamente como um produto de irred.
15. Num domı́nio, mostre que a e b são associados se e somente se < a >=< b >
√
16. Prove que 7 é irred. em Z[ 6] , mesmo que N (7) não seja primo.
√ √
17. Prove que Z[ −3] não é um DIP. Idem para Z[ −5]
√
18. Prove que as únicas unidades de Z[ d] onde d é livre de quadrados e menor que −1, são ±1.
20. Mostre que 3x2 + 4x + 3 ∈ Z5 [x] se fatora como (3x + 2)(x + 4) e (4x + 1)(2x + 3). Por que
isto não contraria que Z5 [x] tem fatoração única?
58 CAPÍTULO 7. DIVISIBILIDADE EM DOMÍNIOS
√
21. Prove que Z[ 5] não é um DFU.
22. Prove que se p 6= 0 num DIP, < p > é um ideal maximal ⇔ p é irredutı́vel.
23. V ou F ? Um subdomı́nio de um DE é um DE.
Z[i]
24. Mostre que para todo ideal não trivial A de Z[i], A
é finito.
25. Prove que as únicas soluções inteiras da equação diofantina y 2 + 1 = 2x3 são y = ±1, x = 1.
Para isto:
(a) p = 2 ou p ≡ 1 mod 4
(b) Existe a ∈ Z tal que a2 ≡ −1 mod p
(c) p não é irredutı́vel em Z[i]
(d) p é soma de dois quadrados.
Sugestões
Para todo elemento a ∈ Z∗p temos xp−1 ≡ 1 mod p; isto é, para todo x ∈ {1, 2, ..., p − 1}, x é
raiz de 1X p−1 − 1 ∈ Zp [X]. E depois use que Zp [X] é um DFU.
Para provar (b) =⇒ (c) observe que Z[i] é um DIP e então todo irredutı́vel é primo.
27. Mostre que os elementos irredutı́veis de Z[i] são exatamente os elementos :
29. Dê exemplo de um domı́nio R no qual existe um√elemento que não√seja produto finito de
√ 2√
22 3 n
elementos irredutı́veis. Sugestão: Use R = K[x, x, x, x, ..., 2 x, ...] e mostre que x
2
Este capı́tulo foi proposto como um trabalho final de curso em dezembro de 2004 aos alunos de
Álgebra I e Estruturas Algébricas I. Apresentei apenas um roteiro para a demonstração do Teorema
de Fermat para o caso n=3 e os alunos deveriam completá-lo. A versão que agora apresento é a
do aluno Éden Amorim do Curso de Matemática Computacional. Fiz apenas algumas comple-
mentações no final da demonstração do teorema.
8.1 Introdução
Um dos problemas mais famosos e que intrigou vários matemáticos foi o de determinar se a equação
X n + Y n = Z n, n≥3
X3 + Y 3 = Z3
60
8.2. O ANEL Z[ω] 61
ω2 + ω + 1 = 0 (∗).
Z[ω] = {a + bω | a, b ∈ Z ; ω 2 + ω + 1 = 0
Dados α = a + bω e β = c + dω em Z[ω], a soma desses elementos é da forma
e o produto é
onde, para eliminar o termo quadrático, somamos e subtraı́mos o termo bd(w + 1) e usamos que
ω satisfaz a igualdade (∗).
Esse anel é um domı́nio pois é um subconjunto do corpo C.
Em Z[ω] definimos a função:
N : Z[ω] − {0} → Z+
a + bω 7→ a2 − ab + b2
a qual chamaremos de norma.
Com essas definições vamos provar as proposições a seguir.
2. Para todo α, β ∈ Z[ω] temos N (αβ) = N (α)N (β). Também, se α | β então N (α) | N (β) em
Z.
Demonstração
Se α | β, existe κ ∈ Z[ω] tal que β = κα. Aplicando a função N temos N (β) = N (κ)N (α) de
onde concluı́mos que N (α) | N (β) em Z.
3. Suponha que υ seja uma unidade de Z[ω]. Então existe υ −1 tal que υυ −1 = 1.
Aplicando a função N temos N (υ)N (υ −1 ) = N (1) = 1. Mas em Z+ , a única fatoração de 1 é
1 = 1 · 1. Portanto, N (υ) = N (υ −1 ) = 1.
Vamos agora obter os elementos que possuem norma 1, isto é, os elementos a+bω que satisfazem
a equação a2 − ab + b2 = 1. Para isso considere o polinômio p(a) = a2 − ab + b2 − 1 ∈ Z[a]. Esse
polinômio tem raı́zes se, e somente se, o discriminante ν é não-negativo, ou seja, se b2 −4(b2 −1) ≥ 0.
Resolvendo essa inequação em R obtemos |b| ≤ √23 implicando que os possı́veis valores inteiros de
b são −1, 0 e 1. Vamos analisar cada caso:
Portanto, o conjunto dos elementos de Z[ω] com norma 1 é {1, −1, ω, −ω, 1 + ω, −1 − ω}. Po-
demos facilmente verificar que 1 · 1 = (−1) · (−1) = ω · (−1 − ω) = (−ω) · (1 + ω) = 1. Logo, um
elemento de Z[ω] é unidade se, e somente se, sua norma é igual a 1.
(a + bω)(x + yω) = a2 − ab + b2 .
Assim temos que, para qualquer α em Z[ω], α = (a − b) − bω. Podemos verificar que esses
elementos, quando escritos na forma u + iv, são realmente conjugados em C.
Agora vamos à demonstração da propriedade 4. O corpo quociente de Z[ω], Z(ω), e o corpo
Q[ω] são descritos por
a + bω 2 2
Z(ω) = | a, b, c, d ∈ Z e c + d 6= 0
c + dω
e
a b 2 2
Q[ω] = + ω | a, b, c, d ∈ Z e c + d 6= 0
c d
a + bω
Considere um elemento de Z(ω), digamos . Multiplicando numerador e denominador
c + dω
pelo conjugado do denominador temos
• N (αβ) ≥ N (α):
Pela proposição 8.2.1.2 temos N (αβ) = N (α)N (β). Como a imagem da função N é o conjunto
dos inteiros positivos, concluı́mos que N (αβ) ≥ N (α) e N (αβ) ≥ N (β).
• Algoritmo da divisão:
Se x, y ∈ Z[ω] com y 6= 0, então, pelo item 4 da proposição 8.2.1, xy −1 ∈ Q[ω]. Assim temos
que xy −1 = s + tω, onde s, t ∈ Q[ω]. Vamos considerar inteiros m e n tais que |m − s| ≤ 1/2 e
|n − t| ≤ 1/2, ou seja, m e n são os inteiros mais próximos dos racionais s e t. Então
64 CAPÍTULO 8. ALGUMAS APLICAÇÕES DA FATORAÇÃO ÚNICA EM DOMÍNIOS
xy −1 = s + tω = (m − n + s) + (n − n + t)ω =
= (m + nω) + [(s − m) + (t − n)ω].
Portanto
O elemento γ = 1 − ω não é nulo nem invertı́vel (proposição 8.2.1-3). Suponha agora que
γ = α · β e vamos mostrar que α ou β é invertı́vel. Aplicando a norma:
−ω 2 γ 2 = −ω 2 (1 − γ)2 = −ω 2 (1 − 2ω + ω 2 ) =
= −ω 2 + 2ω 3 − ω 4 = −ω 2 + 2 − ω =
= −(ω 2 + ω + 1) + 3 = 3
Como Z[ω] é DFU, essa é a única fatoração de 3.
8.2. O ANEL Z[ω] 65
Como a é divisı́vel por γ, existe κ ∈ Z[ω] tal que a = κγ. Aplicando a norma temos a2 = N (κ)3,
implicando que 3 divide a2 em Z. Como 3 é primo em Z, concluı́mos que 3 divide a.
O contrário também vale. De fato, se a é inteiro e 3 | a em Z[ω], então γ | a, uma vez que γ é
fator de 3.
Z[ω] ∼
Proposição 8.2.6. = Z3 .
<γ>
Demonstração
ϕ: Z[ω] → Z3
a + bω 7→ a + b
onde a + b representa a classe de a + b em Z3 .
Por outro lado, seja α = a + bω ∈ Nuc ϕ, isto é, ϕ(a + bω) = 0. Assim, a + b = 0, significando
que, em Z, podemos escrever a + b = 3k. Mas em Z[ω], de acordo com a proposição 8.2.4, isso pode
ser reescrito como a + b = −ω 2 γ 2 k. Pela observação feita no começo desta demonstração, temos
que a + bω = −(b + ω 2 kγ)γ e portanto, α ∈< γ >. Desse modo, concluı́mos a igualdade entre esses
dois conjuntos.
Portanto, pelo THF
Z[ω] Z[ω] ∼
= = Z3 = Im ϕ
Nuc ϕ <γ>
Z[ω]
Com esse isomorfismo demonstrado, podemos representar as classes de <γ>
por −1, 0 e 1.
Z[ω]
Também vamos representar por α 7→ α mod γ o homomorfismo canônico entre Z[ω] e <γ>
.
Proposição 8.2.7. Seja α ∈ Z[ω]. Se α não for divisı́vel por γ então α3 ≡ ± mod γ 4 .
Demonstração
Suponha que α ≡ 1 mod γ. Então existe κ ∈ Z[ω] tal que α = 1 + κγ. Elevando ao cubo ambos
os membros dessa equação:
α3 = 1 + 3κγ + 3κ2 γ 2 + κ3 γ 3 = 1 − ω 2 γ 3 κ − ω 2 γ 4 κ2 + κ3 γ 3
Portanto
Assim, o termo (κ(κ − ω)(κ + ω)) é divisı́vel por γ para todo κ. Logo, podemos escrever
α − 1 = kγ 4 e portanto α3 ≡ 1 mod γ 4 . Analogamente, supondo α ≡ −1 mod γ chegamos a
3
α3 ≡ −1 mod γ 4 .
8.3 A equação X 3 + Y 3 + Z 3 = 0
Considere a equação
X3 + Y 3 + Z3 = 0 (8.1)
Suponhamos que exista uma solução não trivial (α, β, ν) ∈ Z[ω]3 para essa equação. Podemos
considerar que α, β e ν são coprimos dois a dois. Com essa suposição e com a proposição a seguir,
tentaremos chegar em uma contradição, mostrando assim o teorema 8.1.1.
8.3. A EQUAÇÃO X 3 + Y 3 + Z 3 = 0 67
Demonstração
Efetuando o produto:
X 3 + Y 3 + U γ 3n Z 3 = 0 (8.2)
admite solução (x, y, u, z) ∈ Z[ω]4 para algum inteiro n positivo. Seja n0 o menor inteiro n
tal que a equação tenha solução.
3. n0 ≥ 2
5. A equação
6. Podemos escrever y1 = ε1 γ 3n0 −3 t31 , y2 = ε2 t32 e y3 = ε3 t33 , onde εi com i ∈ {1, 2, 3} são unidades
de Z[ω] e ti com i ∈ {1, 2, 3} são elementos de Z[ω], os quais são 2 a 2 relativamente primos
e nenhum é divisı́vel por γ.
Demonstração
1. Como estamos supondo que α, β, e ν são coprimos 2 a 2, de inı́cio já podemos descartar a
possibilidade de haver elemento que divida todos os três ao mesmo tempo ou quaisquer dois deles.
Agora suponha que γ não divida nenhum deles. Isso significa que α ≡ ±1 mod γ, β ≡ ±1 mod γ
e ν ≡ ±1 mod γ. Porém, usando a proposição 8.2.7 e a equação (8.1) esses elementos devem
satisfazer
α3 + β 3 + ν 3 ≡ 0 mod γ 4 .
68 CAPÍTULO 8. ALGUMAS APLICAÇÕES DA FATORAÇÃO ÚNICA EM DOMÍNIOS
Mas os possı́veis valores para a soma da equação acima são {1, −1, 3, −3}, que são todos dife-
rentes de zero (sabemos que 3 = −ω 2 γ 2 ). Portanto chegamos numa contradição e podemos concluir
que γ divide exatamente um elemento dentre α, β e ν.
ν = εγ n t,
onde ε é invertı́vel, t não é divisı́vel por γ e n é pelo menos igual a 1, já que γ divide ν. Assim,
α3 + β 3 + ε3 γ 3n t3 = 0. (8.4)
Logo, (x = α, y = β, u = ε3 , z = t) ∈ Z[ω]4 é solução da equação (8.2).
3. Como γ não divide α nem β temos que α ≡ ±1 mod γ e β ≡ ±1 mod γ. Da equação (8.4)
sabemos que α3 + β 3 ≡ 0 mod γ, e portanto as classes de α e β têm sinais contrários na congruência
módulo γ, ou seja, se α ≡ 1 mod γ então β ≡ −1 mod γ.
Desse modo, pela equação (8.4) e pela proposição (8.2.7) temos a congruência
α3 + β 3 + ε3 γ 3n t3 ≡ 0 mod γ 4 ⇒ ε3 γ 3n t3 ≡ 0 mod γ 4
Mas como γ não divide ε nem t, concluı́mos que γ 4 deve dividir γ 3n , o que só é possı́vel se
tivermos n ≥ 2, como querı́amos demonstrar.
Como γ é primo em Z[ω], ele divide um dos fatores do lado esquerdo da equação. O que vamos
mostrar agora é que se γ dividir um dos fatores, ele também dividirá os outros dois. Para isso
verificaremos as equivalências γ | (x + y) ⇔ γ | (x + ωy) ⇔ γ | (x + ω 2 y):
x + ωy ≡ x + y − y(1 − ω) ≡ 0 mod γ
• Se γ | (x + ωy), então:
• Finalmente, se γ | (x + ω 2 y):
(x + y) = y1 γ, (x + ωy) = y2 γ e (x + ω 2 y) = y3 γ (8.5)
8.3. A EQUAÇÃO X 3 + Y 3 + Z 3 = 0 69
6. Pelo item anterior, temos que os yi ’s (i = 1, 2, 3) são coprimos dois a dois. Assim, por ser
Z[ω] um DFU, apenas um deles possui o fator γ 3n0 −3 ; suponhamos que seja y1 . Portanto, fatorando
os yi ’s temos y1 = ε1 γ 3n0 −3 t31 , y2 = ε2 t32 e y3 = ε3 t33 , onde εi com i ∈ {1, 2, 3} são unidades de Z[ω] e
ti com i ∈ {1, 2, 3} são elementos de Z[ω], os quais são coprimos 2 a 2 e nenhum é divisı́vel por γ.
7. Observe que
ou seja
t33 + ε4 t32 + ε5 γ 3n0 −3 t31 = 0
sendo ε4 e ε5 unidades de Z[ω]. Passando a última equação mod γ 4 temos que ε4 ∈ {1, −1, ω, −ω, ω 2 , −ω 2 }.
Fazendo uma substituição direta temos que ε4 ∈ {1, −1} e assim achamos uma solução da equação
(8.2) e como 3n0 − 3 < 3n0 temos um absurdo pela escolha do n0 .
Logo provamos o
X3 + Y 3 = Z3
8.4 A equação Y 2 + 1 = 2X 3
Queremos demonstrar o seguinte
Y 2 + 1 = 2X 3
são y = ±1, x = 1.
Dem: Primeiro observe que y deve ser ı́mpar porque senão 2 seria invertı́vel em Z. Reescrevendo
a equação em Z[i] temos:
(y + i)(y − i) = 2x3 .
Todo divisor comum de y − i e y + i deverá tambem dividir (y + i) − (y − i) = 2i = (1 + i)2 e
portanto deve ser 1, 1 + i ou (1 + i)2 (a menos de unidades). Como y é ı́mpar então (1 + i)2 = 2i
não pode ser . Assim mdc{y + i, y − i} = 1 + i e podemos escrever
[1] Gallian J., Contemporary Abstract Algebra, third edition, Heath, 1994.
[2] Garcia A. e Lequain Y., Álgebra : um curso de introdução , Projeto Euclides, 1988.
71