Apostila de E. Experimental No SISVAR
Apostila de E. Experimental No SISVAR
Apostila de E. Experimental No SISVAR
Patos de Minas, MG
Agosto de 2007
ÍNDICE
Página
1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................................... 01
2. CONCEITOS BÁSICOS...................................................................................................................... 01
2.1 PRINCÍPIOS BÁSICOS DA EXPERIMENTAÇÃO......................................................................02
2.1.1 REPETIÇÃO.................................................................................................................................02
2.1.2 CASUALIZAÇÃO........................................................................................................................03
2.1.3 CONTROLE LOCAL...................................................................................................................03
3. PRESSUPOSIÇÕES DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA.......................................................................03
3.1ADITIVIDADE.................................................................................................................................03
3.2 INDEPENDÊNCIA..........................................................................................................................03
3.3 NORMALIDADE............................................................................................................................03
3.4 HOMOGENEIDADE DE VARIÂNCIAS.......................................................................................03
4. ARQUIVO DE DADOS ...................................................................................................................... 04
5. DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO .................................................................. 04
6. ALGUMAS CONSIDERAÇÕES SOBRE A ESCOLHA DO TESTE ADEQUADO........................13
6.1 PRINCIPAIS TESTES DE COMPARAÇÃO DE MÉDIAS...........................................................14
7. DELINEAMENTO EM BLOCOS CASUALIZADOS ..................................... ..................................16
8. DELINEAMENTO EM QUADRADO LATINO.................................................................................24
9. REGRESSÃO NA ANÁLISE DE VARIÂNCIA.................................................................................29
10. EXPERIMENTOS FATORIAIS........................................................................................................ 36
11. EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS.................................................................... 45
12. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................................... 58
13. CONTATOS....................................................................................................................................... 59
1. INTRODUÇÃO
Nas últimas décadas, os cálculos estatísticos foram muito facilitados pelo uso de
aplicativos computacionais. Isso permitiu que métodos complexos e demorados fossem
rotineiramente aplicados. Entretanto, muitos pesquisadores substituíram esses aplicativos por
uma consulta a um profissional da área de estatística. O que se observa hoje são análises de
experimentos mal realizadas e resultados erroneamente interpretados. Tal fato justifica a
participação de um técnico com conhecimento em técnicas experimentais e métodos
quantitativos em todas as fases do experimento, desde o planejamento, condução, coleta de
dados, até a fase de análise dos dados e interpretação dos resultados.
Diversos pacotes estatísticos para análise de experimentos estão disponíveis,
podendo-se citar programas como o SAS – Statistical Analysis System – (Sas Institute Inc.,
2000), que é, em geral, um dos programas mais utilizados em todo o mundo para análise de
dados da área agronômica, biológica e social, o STATGRAPHICS – Statistical Graphics
System – (Statgraphics, 1999), o STATISTICA for Windows (Statistica, 2002), dentre outros.
Podem-se encontrar programas nacionais em que o leitor poderá ter acesso com maior
facilidade, dentre eles: o SANEST – Sistema de Análise Estatística para Microcomputadores
– da Universidade Federal de Pelotas (Zonta & Machado, 1991); o SISVAR – Sistema de
Análise de Variância – da Universidade Federal de Lavras (Ferreira, 2000a); o SAEG –
Sistema para Análises Estatísticas (Ribeiro Júnior, 2001) e o GENES – Aplicativo
computacional em Genética e Estatística (Cruz, 2001), ambos da Universidade Federal de
Viçosa.
Este curso tem por objetivo apresentar alguns sistemas computacionais com aplicações
diversas na análise estatística de experimentos com destaque ao SISVAR, pela facilidade de
acesso e utilização.
2. CONCEITOS BÁSICOS
Esse item tem por objetivo apresentar alguns conceitos básicos necessários a uma
eficiente utilização dos programas estatísticos a serem vistos no curso. Maiores detalhes poder
ser vistos em Banzatto & Kronka (1995), Ferreira (2000b), Pimentel Gomes (2000) e
Pimentel Gomes e Garcia (2002).
a) Experimentação: é uma atividade que tem por objetivo estudar os experimentos, ou seja,
seu planejamento, condução, coleta e análise dos dados e interpretação dos resultados.
1
b) Experimentador: é o indivíduo responsável pela condução dos experimentos com a
maior precisão possível.
c) Estatística: Conjunto de técnicas que se ocupam com a coleta, organização, análise e
interpretação de dados, tendo um modelo por referência.
d) Estatístico: é o indivíduo especialista em estatística experimental. Contribui com os
pesquisadores na tomada de decisão nas diversas fases dos experimentos.
e) Experimento: é um trabalho planejado, que segue determinados princípios básicos, com
o objetivo de se fazer comparações dos efeitos dos tratamentos.
f) Tratamento: é a condição imposta à parcela experimental, cujo efeito deseja-se medir ou
comparar em um experimento.
g) Parcela experimental: é a menor unidade de um experimento em que se aplica o
tratamento ou a combinação deste. Denomina-se de parcela útil a unidade na qual os
tratamento são avaliados e onde são coletadas as variáveis respostas.
h) Bordadura: é uma área de proteção utilizada para evitar que uma parcela seja afetada
pelo tratamento da parcela vizinha.
i) Delineamento experimental: é a forma de distribuição dos tratamentos na área
experimental. Os principais delineamentos experimentais utilizados são: inteiramente
casualizado, blocos casualizados e quadrado latino.
j) Esquemas experimentais: são formas de arranjos dos tratamentos nos experimentos em
que são estudados, ao mesmo tempo, os efeitos de dois ou mais tipos de tratamentos ou
fatores. Os principais esquemas experimentais são fatorial, parcela subdividida e
experimentos em faixa.
k) Análise de variância: é uma técnica que permite decompor a variação total observada
nos dados experimentais em causas conhecidas e não conhecidas.
l) Erro experimental: variação devida ao efeito dos fatores não controlados ou que ocorre
ao acaso, de forma aleatória. Ramalho et al. (2000) definem o erro experimental como as
variações aleatórias entre parcelas que receberam o mesmo tratamento.
2
experimental, aumentar a precisão das estimativas e aumentar o poder dos
testes estatísticos.
2.1.2 Casualização: consiste em propiciar aos tratamentos a mesma
probabilidade de serem designados a qualquer uma das parcelas
experimentais. Têm por finalidade dar validade às estimativas calculadas
com os dados observados e aos testes de hipóteses realizados.
2.1.3 Controle local: sua função é diminuir o erro experimental. É usado quando
uma área experimental é heterogênea. Tem por finalidade dividir uma área
heterogênea em áreas menores e homogêneas, chamadas de blocos.
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4. ARQUIVO DE DADOS
O Microsoft Excel, além de ser uma planilha eletrônica que possui poderosos recursos,
apresenta alta compatibilidade com os principais programas estatísticos. Além disso, tem a
grande vantagem de facilidade de acesso e de interação com o usuário. Independente de se
utilizar o SAS ou o SISVAR, as planilhas com os dados dos experimentos a serem analisados,
serão feitas utilizando-se o Excel.
Na Tabela 3 está apresentado um exemplo de planilha criada utilizando-se o Excel.
Observe que nas colunas são especificados os tratamentos, blocos e variáveis a serem
analisadas, e nas linhas estão às observações referentes às parcelas experimentais. Devemos
utilizar sempre o ponto (.) ao invés da vírgula (,) como separador decimal. Se o tratamento for
qualitativo devemos codificá-los por meio das letras (A, B, C,...), caso seja quantitativo,
devemos informar as quantidades estudadas.
VANTAGENS
• Possui grande flexibilidade quanto ao número de tratamentos e repetições, sendo
dependente, entretanto, da quantidade de material e área experimental disponíveis;
• Pode-se ter DIC não balanceado, ou seja, com números de repetições diferentes entre
tratamentos, o que leva a grandes alterações na análise de variância; mas os testes de
comparações múltiplas passam a ser aproximados e não mais exatos. O ideal é que os
tratamentos sejam igualmente repetidos;
• Considerando o mesmo número de parcelas e tratamentos avaliados, é o delineamento
que possibilita o maior grau de liberdade do erro.
4
DESVANTAGEM
• Exige homogeneidade das condições experimentais. Se as condições não forem
uniformes, como se esperava antes da instalação do experimento, toda variação
(exceto a devida a tratamentos) irá para o erro, aumentando sua estimativa e
reduzindo, portanto, a precisão do experimento.
O modelo estatístico para o delineamento inteiramente casualizado é dado por:
yij = µ + α i + eij
em que:
T4 R3 T1 R2 T2 R3 T4 R1 T3 R2
T1 R3 T2 R4 T5 R1 T5 R3 T2 R1
T4 R2 T3 R1 T3 R4 T3 R3 T4 R4
T5 R4 T1 R4 T2 R2 T5 R2 T1 R1
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Observa-se que não há qualquer restrição à casualização, podendo um determinado
tratamento ocupar qualquer posição na área experimental.
Para exemplificar, será utilizado parte dos dados obtidos por uma empresa que avalia
famílias de Eucaliptos camaldulensis. Os dados são referentes ao volume de madeira por
árvore, em m3x104. São apresentados os dados de 5 famílias avaliadas em um delineamento
inteiramente casualizado (DIC) com 6 repetições.
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• Primeira linha com o cabeçalho das variáveis;
• Demais linhas com os valores de cada parcela – cada coluna deve ser uma
variável;
• Não deixe células vazias.
Formatar cada coluna do seguinte tipo: se por exemplo, a primeira coluna for do tipo
qualitativa (texto), então marque a coluna “A” e escolha formatar células e escolher a opção
texto; se a segunda for numérica, marcar a segunda coluna e escolher formatar células
número. Escolher o número de casas decimais correspondente ao maior número de casas
decimais observado para essa coluna e marcar obrigatoriamente a caixa escrita usar separador
de 1000 (.). Isso é importantíssimo, pois o Excel possui problemas de eliminar o separador de
decimais no arquivo exportado, formando números onde a parte inteira e a decimal não foram
separadas uma da outra. Repetir para as demais colunas esse procedimento. É possível marcar
várias colunas do mesmo tipo ao mesmo tempo para serem formatadas conjuntamente. No
caso numérico deve-se escolher o número de casas decimais do valor observado que apresente
um maior número de casas decimais para que o arquivo final não seja truncado em uma
precisão não pretendida.
Após é necessário marcar toda a área de dados, inclusive a primeira linha com os
nomes das variáveis. É importante não marcar células vazias após o final da digitação dos
dados no meio do arquivo, pois o Sisvar não suporta esse tipo de dados. Foi feito pra trabalhar
com dados balanceados.
Escolher a opção arquivo salvar como e a sub-opção “salvar como tipo dbase 3 ou
dbase 4, digitar o nome para o arquivo e confirmar. O Excel dá uma mensagem que o arquivo
não suporta múltiplas planilhas e que pode ser perdidos os dados. Confirmar essa mensagem e
pronto, o arquivo já é <nome.dbf>, pronto pra ser utilizado pelo Sisvar (não precisa importar).
Existem alguns cuidados que devem ser tomados para esse processo:
• Salve antes de qualquer coisa o arquivo Excel para poder recorrer ao mesmo,
caso dê problemas na exportação para dbase;
• Abra o arquivo no editor de dados do Sisvar para checar se tudo está certo,
principalmente se as casas decimais não foram coladas a parte inteira dos
dados (problema do Excel e não do Sisvar);
• Lembre-se de sair do Excel antes de abrir o arquivo no Sisvar para não gerar
conflitos de compartilhamento.
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Após todo esse procedimento você terá o seu arquivo na extensão dbf pronto para ser
utilizado pelo Sisvar. O Sisvar está com algum problema para identificar um caminho ou
nome de arquivos em que sinais de acentuação de português foram utilizados. Assim
recomenda-se nomes de pastas e arquivos sem acentos, principalmente se o usuário estiver
utilizando o Windows XP em inglês.
Tabela 3. Os dados são referentes ao volume de madeira por árvore, em m3x104. São
apresentados os dados de 5 famílias de Eucaliptos camaldulensis avaliadas em um
delineamento inteiramente casualizado (DIC) com 6 repetições.
Família Repetição Volume (m3x104)
A 1 212
A 2 206
A 3 224
A 4 289
A 5 324
A 6 219
B 1 108
B 2 194
B 3 163
B 4 111
B 5 236
B 6 146
C 1 63
C 2 77
C 3 100
C 4 99
C 5 68
C 6 76
D 1 175
D 2 239
D 3 100
D 4 104
D 5 256
D 6 267
E 1 133
E 2 106
E 3 185
E 4 136
E 5 147
E 6 210
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• Informar as Fontes de Variação. (no DIC, ver Tabela 1 → TRAT, Erro e Total. Não é
necessário informar Erro e Total);Clicar em FAMILIA, adicionar e Fim;
• Clicar em Yes para encerrar o quadro de análise de variância;
• Clicar em FAMILIA no Quadro “Opções do quadro da análise de variância”;
• Escolher a opção Teste de Tukey e/ou de Scott-Knott (Deve-se pedir cada teste
individualmente, clicar em FAMILIA, teste escolhido, OK);
• No quadro, “Variáveis a serem analisadas”, selecionar variável para analisar, no nosso
exemplo “volume”;
• Clicar em Finalizar\Finalizar.
d) Saída dos resultados
• Salvar relatório como exemplo1 DIC.doc
RESULTADOS
Arquivo analisado:
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
FV GL SQ QM Fc Pr>Fc
--------------------------------------------------------------------------------
FAMILIA 4 86725.533333 21681.383333 8.890 0.0001
erro 25 60973.833333 2438.953333
--------------------------------------------------------------------------------
Total corrigido 29 147699.366667
--------------------------------------------------------------------------------
CV (%) = 29.79
Média geral: 165.7666667 Número de observações: 30
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
Teste Tukey para a FV FAMILIA
--------------------------------------------------------------------------------
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--------------------------------------------------------------------------------
Teste Scott-Knott (1974) para a FV FAMILIA
--------------------------------------------------------------------------------
NMS: 0.05
--------------------------------------------------------------------------------
Os resultados experimentais nos permitem concluir que houve efeito significativo das
famílias de Eucaliptos camaldulensis (p=0,0001) sobre o volume de madeira, em m3x104. O
volume de madeira produzido pela família A foi estatisticamente superior ao volume de
madeira produzido pelas demais famílias, sendo que as famílias B, D e E foram
estatisticamente iguais quanto ao volume produzido. A família C foi estatisticamente inferior
a todas as demais quanto ao volume produzido pelo teste de Scott-Knott ao nível nominal de
5% de significância.
Exemplo 2 de DIC
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Em um estudo da influência do recipiente no desenvolvimento de mudas de Eucaliptos
camaldulensis spp, empregou-se os seguintes tratamentos: A – Laminado de madeira; B –
Torrão paulista, C – Saco plástico; D – Tubo de papel e E – Fértil pote. Cada tratamento foi
repetido 6 vezes. No final do primeiro ano foram medidas as alturas das mudas, em metros,
encontrando-se os seguintes resultados.
RESULTADOS
Arquivo analisado:
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
FV GL SQ QM Fc Pr>Fc
--------------------------------------------------------------------------------
Recipientes 4 1.303333 0.325833 17.581 0.0000
erro 25 0.463333 0.018533
--------------------------------------------------------------------------------
Total corrigido 29 1.766667
--------------------------------------------------------------------------------
CV (%) = 10.75
Média geral: 1.2666667 Número de observações: 30
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
Teste Tukey para a FV Recipientes
--------------------------------------------------------------------------------
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--------------------------------------------------------------------------------
NMS: 0.05
--------------------------------------------------------------------------------
Média harmonica do número de repetições (r): 6
Erro padrão: 0.0555777733351102
--------------------------------------------------------------------------------
Tabela 6. Altura média (erro padrão) de mudas de Eucaliptos ssp, em metros, em função dos
tipos de recipientes estudados.
1
Tipos de recipientes Médias (erro padrão)
A 1,65 a (0,05)
B 1,30 b (0,05)
C 1,05 c (0,05)
D 1,13 c (0,05)
E 1,23 b (0,05)
1 – Médias seguidas da mesma letra, na coluna, não diferem entre si pelo teste de Scott-Knott, considerando o valor nominal
de 5% de significância.
Os resultados experimentais nos permitem concluir que houve efeito significativo dos
tipos de recipientes (p<0,0001) sobre a altura das mudas de Eucaliptos ssp. As mudas
desenvolvidas no recipiente de laminado de madeira (recipiente A) foram estatisticamente
superiores em altura do que as mudas desenvolvidas nos demais tipos de recipientes. Os
recipientes, torrão paulista e fértil pote (recipientes B e E respectivamente) produziram mudas
de alturas estatisticamente semelhantes. Os recipientes do tipo saco plástico e tubo de papel
(recipientes C e D respectivamente) produziram mudas com alturas estatisticamente
semelhante entre si e inferiores as alturas das mudas desenvolvidas nos demais recipientes,
pelo teste de Scott-Knott ao nível de 5% de probabilidade.
12
6. ALGUMAS CONSIDERAÇÕES SOBRE A ESCOLHA DO TESTE ADEQUADO
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Duas médias A e B, obtidas de rA e rB repetições respectivamente, podem ser
comparadas pela relação:
A− B
t=
QME QME
+
rA rB
em que: QME é o quadrado médio do erro, estimado pela análise de variância.
As médias comparadas por esse teste serão diferentes estatisticamente se o valor
calculado de t for maior que aquele tabelado segundo os graus de liberdade do erro.
O valor da diferença mínima significativa (DMS) é dada por:
QME QME
DMS (Student) = tgl do erro +
rA rB
OBS: t > ttabelado , o teste é significativo e rejeitamos a hipótese H0 (H0: média populacional do
tratamento A=média populacional do tratamento B)
QME
DMS(SNK) = qi
r
TESTE DE TUKEY
A opção proposta por Tukey, em 1953, de apenas um valor de diferença mínima
significativa, a despeito da existência de várias médias, caracterizou-se o teste como
extremamente rigoroso, que embora controlasse muito bem o erro tipo I, permitia o
aparecimento do erro tipo II.
14
A diferença mínima significativa proposta por Tukey é dada por:
QME
DMS(Tukey) = q
r
em que: q é o valor tabelado por Tukey em função do número de tratamentos e dos graus de
liberdade do erro.
TESTE DE SCHEFFÉ
A flexibilidade proposta por Scheffé (1953), para comparar qualquer contraste entre
médias e permitindo números de observações por tratamento definiu um teste um pouco mais
rigoroso que aquele de Tukey, merecendo, portanto, os mesmos comentários com relação ao
perigoso aumento do erro tipo II.
A diferença mínima significativa para qualquer contraste é dada por:
DMS (Scheffé) = (t − 1) Fν1 ,ν 2 var(contraste)
var(contraste)=QME
∑c 2
i
ri
TESTE DE DUNCAN
O teste de Duncan utiliza a mesma argumentação do teste SNK porém as DMS para
comparação de médias mais afastadas foi reduzida reduzindo então as chances de cometer o
erro tipo II.
QME
DMS (Duncan) = qi
r
em que: QME é o quadrado médio do erro, estimado pela análise de variância e qi é o valor
tabelado por Duncan obtido da distância entre as médias e dos graus de liberdade do erro. Os
valores de qi não sobem tão rapidamente quanto aqueles do teste SNK.
TESTE DE DUNNETT
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Para as comparações múltiplas onde apenas um tratamento serve de referência
(testemunha) para os demais, ou seja, deseja-se comparar todos com apenas um, Dunnett
sugeriu a seguinte diferença mínima significativa (DMS):
QME t 2
DMS(Dunnett) = D ∑ ci
r i =1
16
I
c1 + c2 + ... + cI = 0 ∑ ci = 0
i =1
Y2 = m1 + m2 − 2m3
Y3 = m1 + m2 − m3 − m4
Y2 → 1 + 1 + ( −2 ) = 0
Y3 → 1 + 1 + ( −1) + ( −1) = 0
Yˆ 2 Yˆ 2
S .Q.Y = × r ou S .Q. = ×r
(c12 + c22 + ... + cI2
Y I
∑ ci
i =1
2
17
e
I
Y2 = b1m1 + b2 m2 + ... + bI mI ∑ bi = 0
i =1
são contrastes ortogonais se:
I
c1b1 + c2b2 + ... + cI bI ∑ ci bi = 0
i =1
Então, S .Q.Y2 é uma parte extraída da diferença entre:
S .Q.Trat − S .Q.Y1
Da mesma forma, para uma comparação Y3 (ortogonal a Y2 e Y1, S .Q.Y3 é uma parte extraída
da diferença entre:
S .Q.Trat − S .Q.Y1 − S .Q.Y2
Dessa maneira, se: Y1, Y2,...,Y(I-1) são mutuamente ortogonais, isto é, cada par é ortogonal,
então:
S .Q.Trat = S .Q.Y1 + S .Q.Y2 + ... + S .Q.Y( I −1)
ou
Esta expressão identifica a partição da S.Q.Trat (que tem (I-1) g.l.), em (I-1)
componentes, cada um representando um único grau de liberdade.
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5. Solo de cerrado + vermiculita + NPK (SC + V + NPK)
Os resultados obtidos para as alturas médias de Pinus oocarpa sob aqueles
tratamentos, em cm, aos 60 dias após a semeadura são apresentados na Tabela 7.
Tabela 7. Alturas médias de Pinus oocarpa, aos 60 dias após a semeadura, em cm.
Repetições
Tratamentos 1 2 3 4
1 – SC 4,6 5,1 5,8 5,5
2 – SC + E 6,0 7,1 7,2 6,8
3 – SC + E + SPK 5,8 7,2 6,9 6,7
4 – SC + V 5,6 4,9 5,9 5,7
5 – SC + V + SPK 5,8 6,4 6,6 6,8
Y1 = 4m1 − m2 − m3 − m4 − m5
Y2 = m2 + m3 − m4 − m5
Y3 = m2 − m3
Y3 = m4 − m5
Estes contrastes são ortogonais entre si, já que são ortogonais dois a dois (ver Banzatto
e Kronka, 1995).
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Algumas observações sobre a estrutura dos tratamentos:
RESULTADOS
Arquivo analisado:
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
FV GL SQ QM Fc Pr>Fc
--------------------------------------------------------------------------------
Tratamentos 4 7.597000 1.899250 7.277 0.0018
erro 15 3.915000 0.261000
--------------------------------------------------------------------------------
Total corrigido 19 11.512000
--------------------------------------------------------------------------------
CV (%) = 8.35
Média geral: 6.1200000 Número de observações: 20
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
Contraste para a FV Tratamentos
--------------------------------------------------------------------------------
Média harmonica do número de repetições (r): 4
Erro padrão de cada média dessa FV: 0.255440795488896
CONTRASTE NÚMERO 1
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
O contraste testado está apresentado a seguir:
--------------------------------------------------------------------------------
Nível dessa Fonte de Variação Coeficientes
--------------------------------------------------------------------------------
1 4.0000
2 -1.0000
3 -1.0000
4 -1.0000
5 -1.0000
--------------------------------------------------------------------------------
Obs. Valores dos coeficientes positivos foram divididos por
20
4 e os negativos por 4
--------------------------------------------------------------------------------
Estimativa : -1.08750000
DMS Scheffé : 0.99843489
NMS: : 0.05
Variância : 0.08156250
Erro padrão : 0.28559149
t para H0: Y = 0 : -3.808
Pr>|t| : 0.002
F para H0: Y = 0 : 14.500
Pr>F : 0.002
Pr exata Scheffé : 0.029
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
Contraste para a FV Tratamentos
--------------------------------------------------------------------------------
Média harmonica do número de repetições (r): 4
Erro padrão de cada média dessa FV: 0.255440795488896
CONTRASTE NÚMERO 2
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
O contraste testado está apresentado a seguir:
--------------------------------------------------------------------------------
Nível dessa Fonte de Variação Coeficientes
--------------------------------------------------------------------------------
1 0.0000
2 1.0000
3 1.0000
4 -1.0000
5 -1.0000
--------------------------------------------------------------------------------
Obs. Valores dos coeficientes positivos foram divididos por
2 e os negativos por 2
--------------------------------------------------------------------------------
Estimativa : 0.75000000
DMS Scheffé : 0.89302732
NMS: : 0.05
Variância : 0.06525000
Erro padrão : 0.25544080
t para H0: Y = 0 : 2.936
Pr>|t| : 0.010
F para H0: Y = 0 : 8.621
Pr>F : 0.010
Pr exata Scheffé : 0.124
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
Contraste para a FV Tratamentos
--------------------------------------------------------------------------------
Média harmonica do número de repetições (r): 4
Erro padrão de cada média dessa FV: 0.255440795488896
CONTRASTE NÚMERO 3
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
O contraste testado está apresentado a seguir:
--------------------------------------------------------------------------------
Nível dessa Fonte de Variação Coeficientes
--------------------------------------------------------------------------------
1 0.0000
2 1.0000
3 -1.0000
--------------------------------------------------------------------------------
Obs. Valores dos coeficientes positivos foram divididos por
1 e os negativos por 1
--------------------------------------------------------------------------------
Estimativa : 0.12500000
DMS Scheffé : 1.26293134
NMS: : 0.05
Variância : 0.13050000
Erro padrão : 0.36124784
t para H0: Y = 0 : 0.346
Pr>|t| : 0.734
F para H0: Y = 0 : 0.120
Pr>F : 0.734
21
Pr exata Scheffé : 0.998
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
Contraste para a FV Tratamentos
--------------------------------------------------------------------------------
Média harmonica do número de repetições (r): 4
Erro padrão de cada média dessa FV: 0.255440795488896
CONTRASTE NÚMERO 4
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
O contraste testado está apresentado a seguir:
--------------------------------------------------------------------------------
Nível dessa Fonte de Variação Coeficientes
--------------------------------------------------------------------------------
1 0.0000
2 0.0000
3 0.0000
4 1.0000
5 -1.0000
--------------------------------------------------------------------------------
Obs. Valores dos coeficientes positivos foram divididos por
1 e os negativos por 1
--------------------------------------------------------------------------------
Estimativa : -0.87500000
DMS Scheffé : 1.26293134
NMS: : 0.05
Variância : 0.13050000
Erro padrão : 0.36124784
t para H0: Y = 0 : -2.422
Pr>|t| : 0.029
F para H0: Y = 0 : 5.867
Pr>F : 0.029
Pr exata Scheffé : 0.261
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
FV GL SQ QM Fc Pr>Fc
--------------------------------------------------------------------------------
Contraste 1 1 3.784500 3.784500 14.500 0.0017
Contraste 2 1 2.250000 2.250000 8.621 0.0102
Contraste 3 1 0.031250 0.031250 0.120 0.7341
Contraste 4 1 1.531250 1.531250 5.867 0.0286
Resíduo 15 3.915000 0.261000
--------------------------------------------------------------------------------
22
APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS
23
7. DELINEAMENTO EM BLOCOS CASUALIZADOS
O delineamento em blocos casualizados é utilizado quando as condições experimentais
não são homogêneas.
A área heterogênea é subdividida em blocos, de forma que, cada bloco seja o mais
homogêneo possível. A exigência de homogeneidade dentro de cada bloco pode limitar o
número de tratamentos a serem testados.
Considerando um experimento em que serão avaliados 5 tratamentos (T1, T2, T3, T4 e
T5) em uma área heterogênea, instalado no delineamento em blocos casualizados com 4
blocos, um possível plano experimental a ser utilizado consta de:
bloco 1 T3 T1 T2 T5 T4
bloco 2 T1 T4 T3 T5 T2
bloco 3 T5 T3 T1 T2 T4
bloco 4 T4 T5 T3 T2 T1
VANTAGENS
• Controla diferenças nas condições ambientais de um bloco para outro;
• Leva a uma estimativa mais exata da variância residual, uma vez que a variação
ambiental entre blocos é isolada.
24
DESVANTAGENS
• Há uma redução no número de graus de liberdade do erro pois o DBC utiliza o
princípio do controle local;
• O número de tratamentos a ser utilizado é limitado pela exigência de homogeneidade
dentro dos blocos, não podendo ser muito elevado.
O modelo estatístico do delineamento em blocos casualizados é dado por:
yij = µ + α i + β j + eij
em que:
Exemplo 1 de DBC
25
Tabela 10. Altura média, em metros, por clones e por bosques das plantas cultivadas.
Clones
Bosques A B C D
1 5,47 4,26 3,65 4,86
2 4,56 4,56 4,87 3,95
3 4,87 4,56 2,43 4,56
4 4,26 3,65 3,04 3,65
5 3,65 4,26 2,74 4,26
26
Tabela 11. Dados de um experimento instalado no delineamento em blocos casualizados para
avaliar a altura, em metros, de quatro espécies de Álamo Americano plantados em
cinco bosques distintos.
Clones Blocos Altura
A 1 5,47
A 2 4,56
A 3 4,87
A 4 4,26
A 5 3,65
B 1 4,26
B 2 4,56
B 3 4,56
B 4 3,65
B 5 4,26
C 1 3,65
C 2 4,87
C 3 2,43
C 4 3,04
C 5 2,74
D 1 4,56
D 2 3,95
D 3 4,56
D 4 3,65
D 5 4,26
RESULTADOS
Arquivo analisado:
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
TABELA DE ANÁLISE DE VARIÂNCIA
--------------------------------------------------------------------------------
FV GL SQ QM Fc Pr>Fc
--------------------------------------------------------------------------------
Clones 3 4.155695 1.385232 3.936 0.0362
Blocos 4 2.803820 0.700955 1.992 0.1600
erro 12 4.223580 0.351965
--------------------------------------------------------------------------------
Total corrigido 19 11.183095
--------------------------------------------------------------------------------
CV (%) = 14.45
Média geral: 4.1055000 Número de observações: 20
Teste Tukey para a FV Clones
--------------------------------------------------------------------------------
27
Média harmonica do número de repetições (r): 5
Erro padrão: 0.265316791779186
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
Teste SNK para a FV Clones
Médias DMS
NMS: 0.05
--------------------------------------------------------------------------------
4 1.11437416745546
3 1.00152091822158
2 0.817522501282244
--------------------------------------------------------------------------------
Média harmonica do número de repetições (r): 5
Erro padrão: 0.265316791779186
--------------------------------------------------------------------------------
NMS: 0.05
--------------------------------------------------------------------------------
Tabela 12. Altura média (erro padrão) de clones de Álamo Americano, em metros.
1
Clones Médias (erro padrão)
A 4,56 a (0,26)
B 4,26 a (0,26)
C 3,35 b (0,26)
D 4,26 a (0,26)
1 – Médias seguidas da mesma letra, na coluna, não diferem entre si pelo teste de Scott-Knott, para o valor nominal de 5% de
significância.
28
Interpretação dos resultados
Os resultados experimentais nos permitem concluir que houve efeito significativo dos
diferentes dos diferentes clones de Álamo Americano (p=0,0362) sobre a altura das plantas.
Não houve efeito significativo do controle local exercido pelos diferentes bosques (p=0,1600)
sobre a altura das árvores. As árvores dos clones A, B e D apresentaram alturas
estatisticamente iguais e superiores quando comparadas a árvore do clone C pelo teste de
Scott-Knott considerando o valor nominal de 5% de significância.
Exemplo 2 de DBC
Os dados da tabela 13, que se referem a um experimento de adubação de milho feito
pelos engenheiros Agrônomos Glauco Pinto Viegas e Erik Smith, em blocos ao acaso, permite
exemplificar a aplicação da teoria. Os tratamentos constaram de adubação com 0, 25, 50, 75, e
100 kg/ha de P2O5.
RESULTADOS
Arquivo analisado:
C:\Arquivos de programas\Sisvar\Exemplos\Pimen230.DB
--------------------------------------------------------------------------------
Variável analisada: Produção de milho
--------------------------------------------------------------------------------
TABELA DE ANÁLISE DE VARIÂNCIA
--------------------------------------------------------------------------------
FV GL SQ QM Fc Pr>Fc
--------------------------------------------------------------------------------
Blocos 3 2.734855 0.911618 1.002 0.4252
Adubação kg/parcela 4 72.219880 18.054970 19.853 0.0000
29
erro 12 10.913320 0.909443
--------------------------------------------------------------------------------
Total corrigido 19 85.868055
--------------------------------------------------------------------------------
CV (%) = 11.30
Média geral: 8.4385000 Número de observações: 20
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
Regressão para a FV Adubação kg/parcela
--------------------------------------------------------------------------------
Média harmonica do número de repetições (r): 4
Erro padrão de cada média dessa FV: 0.476823692084751
--------------------------------------------------------------------------------
b1 : X
b2 : X^2
b3 : X^3
Modelos reduzidos sequenciais
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
t para
Parâmetro Estimativa SE H0: Par=0 Pr>|t|
--------------------------------------------------------------------------------
b0 6.422500 0.36934604 17.389 0.0000
b1 0.040320 0.00603140 6.685 0.0000
--------------------------------------------------------------------------------
R^2 = 56.28%
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
Valores da variável
independente Médias observadas Médias estimadas
--------------------------------------------------------------------------------
0.000000 4.647500 6.422500
25.000000 9.255000 7.430500
50.000000 9.300000 8.438500
75.000000 9.350000 9.446500
100.000000 9.640000 10.454500
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
t para
Parâmetro Estimativa SE H0: Par=0 Pr>|t|
--------------------------------------------------------------------------------
b0 5.189643 0.44875020 11.565 0.0000
b1 0.138949 0.02126319 6.535 0.0000
b2 -0.000986 0.00020390 -4.837 0.0004
--------------------------------------------------------------------------------
R^2 = 85.74%
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
Valores da variável
independente Médias observadas Médias estimadas
--------------------------------------------------------------------------------
0.000000 4.647500 5.189643
25.000000 9.255000 8.046929
50.000000 9.300000 9.671357
75.000000 9.350000 10.062929
100.000000 9.640000 9.221643
--------------------------------------------------------------------------------
t para
Parâmetro Estimativa SE H0: Par=0 Pr>|t|
--------------------------------------------------------------------------------
b0 4.709393 0.47340556 9.948 0.0000
b1 0.276620 0.04817182 5.742 0.0001
b2 -0.004828 0.00122339 -3.947 0.0019
b3 0.000026 0.00000804 3.185 0.0078
--------------------------------------------------------------------------------
R^2 = 98.51%
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
Valores da variável
independente Médias observadas Médias estimadas
--------------------------------------------------------------------------------
30
0.000000 4.647500 4.709393
25.000000 9.255000 9.007429
50.000000 9.300000 9.671357
75.000000 9.350000 9.102429
100.000000 9.640000 9.701893
--------------------------------------------------------------------------------
31
controle local, diferindo do delineamento em blocos casualizados por apresentar controle
local em duas direções.
O DQL é um delineamento bastante utilizado em condições de campo onde 2 fontes
principais de variação estão presentes e que precisam ser controladas. Cada tratamento
aparece uma única vez em cada linha (ou bloco horizontal) e em cada coluna (bloco vertical).
A exigência principal do quadrado latino é que o número de repetições seja igual ao número
de tratamentos.
Os delineamentos em quadrado latino recebem este nome porque o número de parcelas
totais do experimento corresponde ao quadrado do número de tratamentos ( n = t 2 ) e por
VANTAGENS
• Controla diferenças nas condições ambientais de um bloco para outro em duas
direções;
• Leva a uma estimativa mais exata da variância residual, uma vez que a variação
ambiental entre blocos, em duas direções, é isolada.
DESVANTAGENS
• Há uma redução no número dos graus de liberdade do erro, pois o DQL, utiliza o
princípio do controle local em duas direções;
• O número de tratamentos a ser utilizado é limitado pela exigência de homogeneidade
dentro dos blocos, não podendo ser muito elevado, geralmente o tamanho máximo de
quadrados latinos é 8x8.
O modelo estatístico do delineamento em quadrado latino é dado a seguir:
yijk = µ + α i + β j + τ k + eijk
em que:
yijk representa a observação do i -ésimo tratamento na j -ésima coluna e na k -ésima
linha;
32
ε ijk representa o erro experimental associado a observação yijk , suposto ter
distribuição normal com média zero e variância comum.
CASUALIZAÇÃO
A casualização para delineamentos em quadrados latinos com 2, 3 ou 4 tratamentos é
processada como segue:
• tome o quadrado padrão (sistematizado);
• casualize todas as linhas, exceto a primeira;
• casualize todas as colunas.
Como exemplo, suponha que você deseja casualizar um quadrado latino com 4
tratamentos: A, B, C e D. Procedemos como segue:
O quadrado sistematizado é o seguinte:
Coluna 1 Coluna 2 Coluna 3 Coluna 4
Linha 1 A B C D
Linha 2 D A B C
Linha 3 C D A B
Linha 4 B C D A
33
Coluna 2 Coluna 3 Coluna 4 Coluna 1
Linha 1 B C D A
Linha 4 C D A B
Linha 2 A B C D
Linha 3 D A B C
A casualização para quadrados latinos com 5 ou mais tratamentos é semelhante ao
procedimento apresentado anteriormente. Para este sorteio não é necessário, no momento de
sortear as linhas, fixar a primeira.
34
• Abrir arquivo exemplo DQL.dbf (no quadro variáveis do arquivo deve aparecer as
variáveis do arquivo a ser analisado);
• Informar as Fontes de Variação. (No DQL, ver Tabela 12 → Tratamentos, Linhas,
Colunas, Erro e Total. Não é necessário informar Erro e Total);Clicar em Tratamentos,
adicionar, Linhas, adicionar, Colunas e Fim;
• Clicar em Yes para encerrar o quadro de análise de variância;
• Clicar em tratamentos no quadro “Opções do quadro da análise de variância”;
• Escolher a opção Teste de Tukey e/ou de Scott-Knott (Deve-se pedir cada teste
individualmente, clicar em tratamentos, teste escolhido, Ok);
• No quadro, “Variáveis a serem analisadas”, selecionar variável para analisar, no nosso
exemplo “PRODUÇÃO”;
• Clicar em Finalizar\Finalizar.
a.4) Saída dos resultados
• Salvar relatório como exemplo DQL.doc
RESULTADOS
Arquivo analisado:
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
FV GL SQ QM Fc Pr>Fc
--------------------------------------------------------------------------------
Tratamentos 4 137488.240000 34372.060000 12.091 0.0004
Linhas 4 30480.640000 7620.160000 2.680 0.0831
Colunas 4 55640.640000 13910.160000 4.893 0.0142
erro 12 34114.720000 2842.893333
--------------------------------------------------------------------------------
Total corrigido 24 257724.240000
--------------------------------------------------------------------------------
CV (%) = 11.33
Média geral: 470.5200000 Número de observações: 25
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
Teste Tukey para a FV Tratamentos
--------------------------------------------------------------------------------
35
Erro padrão: 23.8448876421481
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
Teste SNK para a FV Tratamentos
Médias DMS
NMS: 0.05
--------------------------------------------------------------------------------
5 107.521299732566
4 100.152450344729
3 90.0099598148694
2 73.4734204242411
--------------------------------------------------------------------------------
Média harmonica do número de repetições (r): 5
Erro padrão: 23.8448876421481
--------------------------------------------------------------------------------
Tabela 16. Produção média (erro padrão) de variedades de cana forrageira, em kg por parcela.
1
Variedades Médias (erro padrão)
A 493 b (23,8)
B 441 b (23,8)
C 605 a (23,8)
D 413 b (23,8)
E 401 b (23,8)
1 – Médias seguidas da mesma letra, na coluna, não diferem entre si pelo teste de SNK, para o valor nominal de 5% de
significância.
Os resultados experimentais nos permitem concluir que houve efeito significativo das
diferentes variedades de cana forrageira (p=0,0004) sobre a produção em kg por parcela das
plantas. Não houve efeito significativo do controle local exercido por linhas (p=0,0831) e
houve efeito significativo do controle exercido pelas colunas (p=0,0142), sobre a produção de
cana forrageira. O melhor desempenho das variedades nesta competição foi alcançado pela
36
variedade de cana forrageira Co 297 que superou todas as demais. Não se constatou
diferenças significativas entre Co 290, Co 294, Co 299 e Co 295 pelo teste de SNK
considerando um valor nominal de 5% de probabilidade.
A equação de regressão
Considere uma amostra de n pares ( xi , yi ) de duas variáveis e suponha que exista
uma relação funcional linear entre elas, que pode ser descrita pelo modelo:
yi = β 0 + β1 xi + ε i , ( i = 1,..., n )
em que:
yi : é a variável dependente;
β0 é o coeficiente linear;
β1 é o coeficiente de regressão;
xi é a variável independente;
εi é o erro do modelo de regressão.
37
em que: X é o teor de Al+ + + no solo em me/100cc de solo; Y a produtividade de cultura em
t/ha.
RESULTADOS
---------------------------------------------------------------------------
Análise de variância
---------------------------------------------------------------------------
FV GL SQ QM Fc Pr>Fc
---------------------------------------------------------------------------
Modelo 1 0.209277003 0.20927700 21.8608 0.0055
Erro 5 0.047865854 0.00957317
---------------------------------------------------------------------------
Total cor 6 0.257142857
Média 0.74285714 Raiz do QME 0.09784258
R^2 0.81385501 R^2 ajustado 0.77662602
C.V.(%) 13.17111672
---------------------------------------------------------------------------
FV GL SQ QM Fc Pr>Fc
---------------------------------------------------------------------------
b ( 1) 1 0.209277003 0.20927700 21.8608 0.0055
---------------------------------------------------------------------------
Análise de variância parcial (Tipo II)
---------------------------------------------------------------------------
FV GL SQ QM Fc Pr>Fc
---------------------------------------------------------------------------
b ( 1) 1 0.209277003 0.20927700 21.8608 0.0055
--------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------
Estimativas dos parâmetros
---------------------------------------------------------------------------
Estimativa dos t para H0:
Variável GL parâmetros EP parâmetro = 0 Pr>|t|
---------------------------------------------------------------------------
b ( 0) 1 1.42469512195 0.150446428 9.469783625 0.0002
b ( 1) 1 -0.47256097561 0.101070637 -4.675551575 0.0055
---------------------------------------------------------------------------
Obs Valor observado Valor predito valor predito Resíduos
---------------------------------------------------------------------------
38
6 0.50000 0.57409 0.05168 -0.07409
7 0.50000 0.47957 0.06737 0.02043
LI 95% para LS 95% para Erro padrão Resíduos
Obs o valor predito o valor predito dos resíduos estudentizados
---------------------------------------------------------------------------
1 0.8292904 1.16949 0.07208 0.00846
2 0.7745915 1.03516 0.08369 -0.05828
3 0.7435155 0.97173 0.08720 -0.66084
4 0.6196306 0.81208 0.09040 2.03701
5 0.5651298 0.77207 0.08918 -0.76919
6 0.4412331 0.70694 0.08308 -0.89171
7 0.3063829 0.65276 0.07096 0.28788
--------------------------------------------------------------------------
1.2
Produtividade (t/ha)
0.8
0.6
0.4 Y=1,4247-0,472x
R2=0,7766
0.2
0
0.9 1.1 1.2 1.5 1.6 1.8 2
Teores de Alumínio (mE/100cc de solo)
39
Um exemplo de regressão por Polinômios Ortogonais
RESULTADOS
Arquivo analisado:
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
FV GL SQ QM Fc Pr>Fc
--------------------------------------------------------------------------------
Idade de Corte 4 2135.448000 533.862000 5.138 0.0120
blocos 3 162.538000 54.179333 0.521 0.6756
erro 12 1246.872000 103.906000
--------------------------------------------------------------------------------
Total corrigido 19 3544.858000
--------------------------------------------------------------------------------
CV (%) = 36.01
Média geral: 28.3100000 Número de observações: 20
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
Regressão para a FV Idade de Corte
--------------------------------------------------------------------------------
Média harmonica do número de repetições (r): 4
Erro padrão de cada média dessa FV: 5.0967146280717
--------------------------------------------------------------------------------
b1 : X
b2 : X^2
b3 : X^3
--------------------------------------------------------------------------------
Modelos reduzidos sequenciais
--------------------------------------------------------------------------------
40
t para
Parâmetro Estimativa SE H0: Par=0 Pr>|t|
--------------------------------------------------------------------------------
b0 22.535000 5.34547940 4.216 0.0012
b1 0.064167 0.05372409 1.194 0.2554
--------------------------------------------------------------------------------
R^2 = 6.94%
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
Valores da variável
independente Médias observadas Médias estimadas
--------------------------------------------------------------------------------
30.000000 11.600000 24.460000
60.000000 34.750000 26.385000
90.000000 39.100000 28.310000
120.000000 35.000000 30.235000
150.000000 21.100000 32.160000
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
t para
Parâmetro Estimativa SE H0: Par=0 Pr>|t|
--------------------------------------------------------------------------------
b0 -18.740000 10.93123506 -1.714 0.1122
b1 1.243452 0.27767760 4.478 0.0008
b2 -0.006552 0.00151350 -4.329 0.0010
--------------------------------------------------------------------------------
R^2 = 98.12%
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
Valores da variável
independente Médias observadas Médias estimadas
--------------------------------------------------------------------------------
30.000000 11.600000 12.667143
60.000000 34.750000 32.281429
90.000000 39.100000 40.102857
120.000000 35.000000 36.131429
150.000000 21.100000 20.367143
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
t para
Parâmetro Estimativa SE H0: Par=0 Pr>|t|
--------------------------------------------------------------------------------
b0 -31.340000 25.07252081 -1.250 0.2351
b1 1.833452 1.09245272 1.678 0.1191
b2 -0.014052 0.01351603 -1.040 0.3190
b3 0.000028 0.00004974 0.558 0.5868
--------------------------------------------------------------------------------
R^2 = 99.63%
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
Valores da variável
independente Médias observadas Médias estimadas
--------------------------------------------------------------------------------
30.000000 11.600000 11.767143
60.000000 34.750000 34.081429
90.000000 39.100000 40.102857
120.000000 35.000000 34.331429
150.000000 21.100000 21.267143
--------------------------------------------------------------------------------
Somas de quadrados seqüenciais - Tipo I (Type I)
--------------------------------------------------------------------------------
Causas de Variação G.L. S.Q. Q.M. Fc Prob.<F
--------------------------------------------------------------------------------
b1 1 148.225000 148.225000 1.427 0.255
b2 1 1947.000714 1947.000714 18.738 0.001
b3 1 32.400000 32.400000 0.312 0.587
Desvio 1 7.822286 7.822286 0.075 0.788
Resíduo 12 1246.872000 103.906000
------------------------------------------------------------------------------------------------------
41
APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS
Os resultados experimentais nos mostram que existe um efeito significativo das idades
de corte do capim (p=0,0120) sobre a sua produtividade. Verificamos também que uma
regressão quadrática (p=0,0010) é a que melhor se ajusta aos dados de produtividade.
45
40
Produtividade (t/ha)
35
30
25
20
15
10
5
0
30 60 90 120 150
Idades de Corte
42
O coeficiente de determinação (R2) mostra a qualidade do ajustamento do modelo de
regressão aos valores médios dos tratamentos. Quanto mais próximos os valores observados
estiverem da curva de ajustamento, mais alto será o coeficiente de determinação (R2).
T1 C1 T2 C1 T3 C1 T4 C1
T1 C2 T2 C2 T3 C2 T4 C2
T1 C3 T2 C3 T3 C3 T4 C3
Vale lembrar que os experimentos fatoriais não são delineamentos e sim um esquema
de desdobramento dos graus de liberdade de tratamentos e, podem ser instalados em
quaisquer dos delineamentos experimentais, delineamento inteiramente casualizado ou no
delineamento em blocos casualizados.
VANTAGEM
Permite estudar os efeitos principais dos fatores e os efeitos das interações entre eles.
DESVANTAGEM
Como os tratamentos correspondem a todas as combinações possíveis entre os níveis
dos fatores, o número de tratamentos a serem avaliados pode aumentar muito, não podendo
ser distribuídos em blocos completos casualizados devido a exigência de homogeneidade das
parcelas dentro de cada bloco. Isso pode levar a complicações na análise, sendo preciso lançar
mão de algumas técnicas alternativas (como por exemplo, o uso de blocos incompletos).
A análise estatística e a interpretação dos resultados podem tornar-se um pouco mais
complicadas que nos experimentos simples.
43
Nos experimentos fatoriais o modelo estatístico varia de um experimento para outro
por causa do número de fatores testados.
Para um experimento fatorial no delineamento inteiramente casualizado com dois
fatores α i e τ i , o modelo estatístico é dado por:
yijk = µ + α i + τ j + ατ ij + ε ijk
em que:
em que:
yijk é o valor observado na parcela experimental que recebeu o nível i do fator
α e o nível j do fator τ no bloco k ;
µ representa uma constante geral;
βk É o efeito do bloco k ( k = 1, 2,..., b ) ;
αi É o efeito do nível i do fator α ( i = 1, 2,..., a ) ;
τj É o efeito do nível j do fator τ ( j = 1, 2,..., g ) ;
ατ ij É o efeito da interação entre o nível i do fator α e o nível j do fator τ ;
ε ijk É o erro experimental.
44
O esquema da análise de variância para um experimento fatorial instalado no
delineamento em blocos casualizados é apresentado na Tabela 19.
Tabela 20. Alturas médias das mudas, em cm, aos 80 dias de idade.
Repetições
Tratamentos 1 2 3 4 Totais
1 – R1E1 26,2 26,0 25,0 25,4 102,6
2 – R1E2 24,8 24,6 26,7 25,2 101,3
3 – R2E1 25,7 26,3 25,1 26,4 103,5
4 – R2E2 19,6 21,1 19,0 18,6 78,3
5 – R3E1 22,8 19,4 18,8 19,2 80,2
6 – R3E2 19,8 21,4 22,8 21,3 85,3
45
Experimentos Fatoriais no SISVAR
Sejam os dados da Tabela 20 referentes a um delineamento inteiramente casualizado
num esquema fatorial 3 x 2, para avaliar as alturas médias, em cm, de mudas.
46
Quando os tratamentos são estruturados o ideal é que sejam comparados grupos de
médias ao invés de comparações duas a duas. Este procedimento pode ser realizado pelo teste
de Scheffé.
RESULTADOS
Arquivo analisado:
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
FV GL SQ QM Fc Pr>Fc
--------------------------------------------------------------------------------
RECIPIENTE 2 92.860833 46.430417 36.195 0.0000
ESPECIES 1 19.081667 19.081667 14.875 0.0012
RECIPIENTE*ESPECIES 2 63.760833 31.880417 24.853 0.0000
erro 18 23.090000 1.282778
--------------------------------------------------------------------------------
Total corrigido 23 198.793333
--------------------------------------------------------------------------------
CV (%) = 4.93
Média geral: 22.9666667 Número de observações: 24
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
Análise do desdobramento de RECIPIENTE dentro de cada nível de:
ESPECIES
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
FV GL SQ QM Fc Pr>Fc
--------------------------------------------------------------------------------
RECIPIENTE /1 2 87.121667 43.560833 33.958 0.0000
RECIPIENTE /2 2 69.500000 34.750000 27.090 0.0000
Resíduo 18 23.090000 1.282778
--------------------------------------------------------------------------------
47
Nível dessa Fonte de Variação Coeficientes
--------------------------------------------------------------------------------
1 1.0000
2 1.0000
3 -2.0000
--------------------------------------------------------------------------------
Obs. Valores dos coeficientes positivos foram divididos por
2 e os negativos por 2
--------------------------------------------------------------------------------
Estimativa : 5.71250000
DMS Scheffé : 1.84926477
NMS Scheffé : 0.05
Variância : 0.48104167
Erro padrão : 0.69357167
t para H0: Y = 0 : 8.236
Pr>|t| : 0.000
F para H0: Y = 0 : 67.837
Pr>F : 0.000
Pr exata Scheffé : 0.000
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
Contraste para a FV RECIPIENTE
--------------------------------------------------------------------------------
Média harmonica do número de repetições (r): 4
Erro padrão de cada média dessa FV: 0.566298900267734
CONTRASTE NÚMERO 2
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
O contraste testado está apresentado a seguir:
--------------------------------------------------------------------------------
Nível dessa Fonte de Variação Coeficientes
--------------------------------------------------------------------------------
1 1.0000
2 -1.0000
--------------------------------------------------------------------------------
Obs. Valores dos coeficientes positivos foram divididos por
1 e os negativos por 1
--------------------------------------------------------------------------------
Estimativa : -0.22500000
DMS Scheffé : 2.13534702
NMS Scheffé : 0.05
Variância : 0.64138889
Erro padrão : 0.80086759
t para H0: Y = 0 : -0.281
Pr>|t| : 0.782
F para H0: Y = 0 : 0.079
Pr>F : 0.782
Pr exata Scheffé : 0.962
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
FV GL SQ QM Fc Pr>Fc
--------------------------------------------------------------------------------
Contraste 1 1 87.020417 87.020417 67.837 0.0000
Contraste 2 1 0.101250 0.101250 0.079 0.7820
Resíduo 18 23.090000 1.282778
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
O contraste testado está apresentado a seguir:
--------------------------------------------------------------------------------
48
Nível dessa Fonte de Variação Coeficientes
--------------------------------------------------------------------------------
1 1.0000
2 1.0000
3 -2.0000
--------------------------------------------------------------------------------
Obs. Valores dos coeficientes positivos foram divididos por
2 e os negativos por 2
--------------------------------------------------------------------------------
Estimativa : 1.12500000
DMS Scheffé : 1.84926477
NMS Scheffé : 0.05
Variância : 0.48104167
Erro padrão : 0.69357167
t para H0: Y = 0 : 1.622
Pr>|t| : 0.122
F para H0: Y = 0 : 2.631
Pr>F : 0.122
Pr exata Scheffé : 0.293
--------------------------------------------------------------------------------
Contraste para a FV RECIPIENTE
--------------------------------------------------------------------------------
Média harmonica do número de repetições (r): 4
Erro padrão de cada média dessa FV: 0.566298900267734
CONTRASTE NÚMERO 2
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
O contraste testado está apresentado a seguir:
--------------------------------------------------------------------------------
Nível dessa Fonte de Variação Coeficientes
--------------------------------------------------------------------------------
1 1.0000
2 -1.0000
--------------------------------------------------------------------------------
Obs. Valores dos coeficientes positivos foram divididos por
1 e os negativos por 1
--------------------------------------------------------------------------------
Estimativa : 5.75000000
DMS Scheffé : 2.13534702
NMS Scheffé : 0.05
Variância : 0.64138889
Erro padrão : 0.80086759
t para H0: Y = 0 : 7.180
Pr>|t| : 0.000
F para H0: Y = 0 : 51.548
Pr>F : 0.000
Pr exata Scheffé : 0.000
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
FV GL SQ QM Fc Pr>Fc
--------------------------------------------------------------------------------
Contraste 1 1 3.375000 3.375000 2.631 0.1222
Contraste 2 1 66.125000 66.125000 51.548 0.0000
Resíduo 18 23.090000 1.282778
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
Análise do desdobramento de ESPECIES dentro de cada nível de:
RECIPIENTE
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
FV GL SQ QM Fc Pr>Fc
--------------------------------------------------------------------------------
ESPECIES /1 1 0.211250 0.211250 0.165 0.6897
ESPECIES /2 1 79.380000 79.380000 61.881 0.0000
ESPECIES /3 1 3.251250 3.251250 2.535 0.1288
Resíduo 18 23.090000 1.282778
--------------------------------------------------------------------------------
49
Codificação usada para o desdobramento
cod. RECIPIENTE
1 = 1
2 = 2
3 = 3
50
APRESENTAÇÃO DE RESULTADOS
Tabela 21. Coeficientes e estimativa dos contrastes com suas respectivas significativas.
Tratamentos (médias) Estimativa do Contraste
R1 R2 R3
Contrastes (25,49) (22,72) (20,69)
Coeficientes dos contrastes
Sacos plásticos ou laminado (E1) 1 1 -2 11,4
Saco plástico grande ou pequeno (E1) 1 -1 0 5,7
Sacos plásticos ou laminado (E2) 1 1 -2 2,2
Saco plástico grande ou pequeno (E2) 1 -1 0 11,5
51
espécie. O contraste Y2 para essa mesma espécie foi significativo considerando o valor
nominal de 1% de significância, ou seja, o recipiente de saco plástico pequeno proporciona,
em média, 11,5 cm de altura a mais do que plantada no saco plástico grande.
Desdobramento de espécies dentro de cada recipiente: (teste de t Student)
a) quando se utiliza o recipiente: saco plástico pequeno (R1), não há diferença
significativa (P>0,05) para o desenvolvimento das mudas das 2 espécies;
b) quando se utiliza o recipiente: saco plástico grande (R2), há diferença
significativa (P<0,01) no desenvolvimento das mudas das 2 espécies, sendo a
melhor para Eucaliptos citriodora (E1).
c) quando se utiliza o recipiente: laminado (R3) não há diferença significativa
(P>0,05) para o desenvolvimento das mudas das 2 espécies;
T1 C3 T2 C3 T2 C1 T1 C2 T2 C2 T1 C1
52
Nesse caso, uma determinada parcela deve receber o tratamento químico T1 e uma
parcela vizinha o tratamento químico T2, situação, às vezes, inviável em termos práticos.
Dessa forma, ao se utilizar o esquema de parcela subdividida, deve-se dividir o bloco em duas
parcelas, onde serão sorteados os tratamentos químicos, sendo que dentro de cada parcela, há
uma subdivisão em subparcelas, com sorteio das cultivares. Um provável sorteio pode ser
visualizado a seguir:
C3 C1 C2 C2 C3 C1
T2 T1
Observa-se que, nesse estudo, em função do tipo de tratamento, o esquema de parcela
subdividida é mais adequado que o esquema fatorial, por propiciar uma maior facilidade
prática na instalação do experimento na área experimental.
VANTAGENS
Os experimentos em parcelas subdivididas apresentam uma grande utilidade na
pesquisa agropecuária, além de outras diversas áreas. Tais experimentos são úteis em
situações como:
a) Quando os níveis dos fatores exigem grandes quantidades de material
experimental (por exemplo, níveis de irrigação), devendo ser casualizados nas
parcelas;
b) Quando informações prévias asseguram que as diferenças entre os níveis de
um dos fatores são maiores que as do outro fator;
c) Quando se deseja maior precisão para comparações entre os níveis de um dos
fatores;
d) Quando existe um fator de maior importância (que deverá se casualizado na
subparcela) e outro de importância secundária, sendo este incluído para
aumentar a extensão dos resultados;
e) Nas situações práticas, onde é difícil a instalação do experimento no esquema
fatorial.
53
DESVANTAGEM
Há uma redução do número de graus de liberdade do erro, comparativamente ao
esquema fatorial, redução esta decorrente da existência de dois erros, o erro (a) referente às
parcelas e o erro (b), correspondente às subparcelas dentro das parcelas
O modelo estatístico para o experimento em parcela subdividida, com dois fatores
α e τ , no delineamento inteiramente casualizado é o seguinte:
yijk = µ + α i + ε (i ) j + τ j + (ατ )ij + ε ijk
em que:
yijk é o valor observado na parcela experimental que recebeu o nível i do fator
a e o nível j do fator g na repetição k ;
µ representa uma constante geral associada a variável aleatória;
αi é o efeito do nível i do fator α ( i = 1, 2,.., a ) ;
ε (i) j é o efeito do nível i do fator α na repetição k (erro a);
τj é o efeito do nível j do fator τ ( j = 1, 2,..., g ) ;
(ατ )ij é o efeito da interação entre o nível i do fator a e o nível j do fator g ;
em que:
54
αi é o efeito do nível i do fator α ( i = 1, 2,..., a ) ;
(αβ )ik é o efeito da interação entre o nível i do fator α e o bloco k (erro a);
τj é o efeito do nível j do fator τ ( j = 1, 2,..., g ) ;
(ατ )ij é o efeito da interação entre o nível i do fator α e o nível j do fator τ ;
ε ijk é o erro experimental (erro b).
Fator G g −1 SQ G QM G QM G / QM Erro b
A×G ( a − 1) × ( g − 1) SQ A × G QM A × G QM A×G / QM Erro b
10 caso: Comparação das médias de tratamentos das parcelas. A DMS pelo teste de Tukey é:
QME ( a )
DMS(Tukey) = q( a ,n1 )
br
em que: a é o número de tratamentos da parcela; n1 é o número de graus de liberdade do erro (a)
55
20 caso: Comparação de médias de tratamentos das subparcelas. A DMS pelo teste de Tukey
é:
QME ( b )
DMS(Tukey) = q(b ,n2 )
ar
2) Interações significativas
30 caso: Comparação das médias de tratamentos das subparcelas em cada nível dos
tratamentos da parcela. A DMS pelo teste de Tukey é:
QME ( b )
DMS(Tukey) = q(b ,n2 )
r
em que: b é o número de tratamentos da subparcela; n2 é o número de graus de liberdade do erro
(b) da análise de variância; r é o número de repetições.
40 caso: Comparação das médias de tratamentos das parcelas em cada nível dos tratamentos
das subparcelas. Será necessária a composição de um novo quadrado médio do erro, composto dos
erros a e b da análise de variância da seguinte maneira:
QME ( a ) + ( b − 1) QME ( b )
QME * =
b
Os graus de liberdade correspondente são dados por:
2
QME ( a ) + ( b − 1) QME ( b )
n =
*
2 2
QME ( a ) ( b − 1) QME ( b )
+
n1 n2
A DMS pelo teste de Tukey é:
QME *
DMS(Tukey) = q a ,n*
( ) r
56
Um exemplo de Parcela Subdividida
Espaçamentos
Espécies Blocos 2x2 2,5 x 2,5 3x3
A 1 80 75 68
2 66 70 68
3 65 80 78
B 1 110 100 120
2 115 110 120
3 98 100 99
C 1 76 78 110
2 66 90 110
3 70 98 110
D 1 82 86 100
2 70 98 110
3 76 90 105
E 1 80 84 103
2 73 94 108
3 69 88 103
57
a.3) Efetuar a análise de variância
• Ir para Análise\Anava
• Abrir arquivo
• Digitar as Fonte de Variação (ver Tabela 23)
• Clicar em BLOCO e adicionar
• Clicar em ESPAÇAMENTO e adicionar
• Clicar em Erro = BLOCO * ESPAÇAMENTO e adicionar (No caso do delineamento
inteiramente casualizado clicar em REP (ESPAÇAMENTO) – ver Tabela 22)
• Clicar em ESPÉCIES e adicionar
• Clicar em ESPÉCIES * ESPAÇAMENTOS e adicionar
• Clicar em Fim.
a.4) Testes de comparações de médias
58
Tabela 24. Dados de um experimento instalado no delineamento em blocos casualizados em
esquema de parcela subdividida para avaliar o efeito de 5 espécies de Eucaliptos
ssp (subparcelas) plantadas cada uma em três espaçamentos (parcela) em 3 blocos,
em que se avaliou as produções pluviométricas, em m3.
ESPECIES ESPAÇAMENTOS BLOCO PRODUÇÕES
A 1 1 80
A 1 2 66
A 1 3 65
A 2 1 75
A 2 2 70
A 2 3 80
A 3 1 68
A 3 2 68
A 3 3 78
B 1 1 110
B 1 2 115
B 1 3 98
B 2 1 100
B 2 2 110
B 2 3 100
B 3 1 120
B 3 2 120
B 3 3 99
C 1 1 76
C 1 2 66
C 1 3 70
C 2 1 78
C 2 2 90
C 2 3 98
C 3 1 110
C 3 2 110
C 3 3 110
D 1 1 82
D 1 2 70
D 1 3 76
D 2 1 86
D 2 2 98
D 2 3 90
D 3 1 100
D 3 2 110
D 3 3 105
E 1 1 80
E 1 2 73
E 1 3 69
E 2 1 84
E 2 2 94
E 2 3 88
E 3 1 103
E 3 2 108
E 3 3 103
RESULTADOS
Arquivo analisado:
59
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
FV GL SQ QM Fc Pr>Fc
--------------------------------------------------------------------------------
BLOCO 2 51.244444 25.622222 0.231 0.8039
ESPAÇAMENTO 2 3336.044444 1668.022222 15.011 0.0138
erro 1 4 444.488889 111.122222
ESPECIES 4 5773.422222 1443.355556 40.550 0.0000
ESPECIES*ESPAÇAMENTO 8 1841.511111 230.188889 6.467 0.0002
erro 2 24 854.266667 35.594444
--------------------------------------------------------------------------------
Total corrigido 44 12300.977778
--------------------------------------------------------------------------------
CV 1 (%) = 11.72
CV 2 (%) = 6.63
Média geral: 89.9777778 Número de observações: 45
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
Análise do desdobramento de ESPECIES dentro de cada nível de: ESPAÇAMENTO
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
FV GL SQ QM Fc Pr>Fc
--------------------------------------------------------------------------------
ESPECIES /1 4 2992.933333 748.233333 21.021 0.0000
ESPECIES /2 4 1218.933333 304.733333 8.561 0.0002
ESPECIES /3 4 3403.066667 850.766667 23.902 0.0000
Resíduo 24 854.266667 35.594444
--------------------------------------------------------------------------------
60
DMS: 14.355597926012 NMS: 0.05
--------------------------------------------------------------------------------
NMS: 0.05
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
ESPECIES
--------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
FV GL SQ QM Fc Pr>Fc
--------------------------------------------------------------------------------
ESPAÇAMENTO /1 2 36.222222 18.111111 0.357 0.7029
ESPAÇAMENTO /2 2 140.666667 70.333333 1.387 0.2736
61
ESPAÇAMENTO /3 2 2326.222222 1163.111111 22.941 0.0000
ESPAÇAMENTO /4 2 1262.888889 631.444444 12.455 0.0005
ESPAÇAMENTO /5 2 1411.555556 705.777778 13.921 0.0003
Resíduo 16 811.200000 50.700000
--------------------------------------------------------------------------------
62
Teste de Tukey para o desdobramento de ESPAÇAMENTO dentro da codificação: 4 (D)
30 caso: Comparação das médias de tratamentos das subparcelas (espécies) em cada nível dos
tratamentos da parcela (espaçamentos) – usou o erro (b) da análise de variância na
comparação.
Análise do desdobramento de ESPECIES dentro de cada nível de: ESPAÇAMENTOS
--------------------------------------------------------------------------------
FV GL SQ QM Fc Pr>Fc
--------------------------------------------------------------------------------
ESPECIES /1 4 2992.933333 748.233333 21.021 0.0000
ESPECIES /2 4 1218.933333 304.733333 8.561 0.0002
ESPECIES /3 4 3403.066667 850.766667 23.902 0.0000
Resíduo 24 854.266667 35.594444
--------------------------------------------------------------------------------
63
40 caso: Comparação das médias de tratamentos das parcelas (espaçamentos) em cada nível
dos tratamentos da subparcela (espécies) – usou o erro * e gl *.
--------------------------------------------------------------------------------
FV GL SQ QM Fc Pr>Fc
--------------------------------------------------------------------------------
ESPAÇAMENTO /1 2 36.222222 18.111111 0.357 0.7029
ESPAÇAMENTO /2 2 140.666667 70.333333 1.387 0.2736
ESPAÇAMENTO /3 2 2326.222222 1163.111111 22.941 0.0000
ESPAÇAMENTO /4 2 1262.888889 631.444444 12.455 0.0005
ESPAÇAMENTO /5 2 1411.555556 705.777778 13.921 0.0003
Resíduo 16 811.200000 50.700000
--------------------------------------------------------------------------------
Codificação usada para o desdobramento
cod. ESPECIES
1 = A
2 = B
3 = C
4 = D
5 = E
Tabela 25. Valores médios (erro padrão) de produção de madeira, em m3, de 5 espécies de
Eucaliptos ssp.
Espaçamentos1
Espécies2 2m x 2m 2,5m x 2,5m 3m x 3m Médias
A 70 (3,4) b A 75 (3,4) c A 71 (3,4) b A 72 (2,0) c
B 108 (3,4) a A 103 (3,4) a A 113 (3,4) a A 108 (2,0) a
C 71 (3,4) b C 89 (3,4) bc B 110 (3,4) b A 90 (2,0) b
D 76 (3,4) b B 91 (3,4) ab A 105 (3,4) b A 91 (2,0) b
E 74 (3,4) b B 89 (3,4) bc B 105 (3,4) b A 89 (2,0) b
Médias 80 (2,7) B 89 (2,7) AB 101 (2,7) A
1
Médias seguidas de mesma letra maiúscula, na linha não diferem entre si pelo teste de Tukey considerando o valor nominal
de significância de 5%; 2 – Médias seguidas de mesma letra minúscula, na coluna, não diferem entre si pelo teste de Tukey
com o valor nominal de 5% de probabilidade.
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iguais entre si pelo teste de Tukey com o valor nominal de 5% de significância. Para o
espaçamento 2,5m x 2,5m as espécies B e D foram estatisticamente semelhantes quanto à
produção de madeira, em m3, e superiores as demais espécies em estudo, sendo que a espécie
D não diferiu estatisticamente das espécies C e E pelo teste de Tukey considerando o valor
nominal de 5% de significância.
FERREIRA, D. F. Análises estatísticas por meio do Sisvar para Windows versão 4.0. In:
Reunião Anual da Região Brasileira da Sociedade internacional de Biometria, 45., 2000a, São
Carlos, Programa e resumos... São Carlos: UFSCar, 2000a, p. 255-258.
STATISTICA. Statistica for Windows v. 6.0: Computer program manual. Tulsa, OK:
StatSoft Inc., 2002.
65
13. CONTATOS
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