Exemplo - Isomorfismo e Automorfismo PDF
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é um isomorfismo (automorfismo do R3 ).
Se usarmos o teorema que diz que dois espaços vetoriais são isomorfos se, e somente se, eles
tem a mesma dimensão, então o resultado seria imediato.
Logo, temos: T −1 (x, y, z) = (x + 3y + 14z, y + 4z, z), e esta é a expressão do isomorfismo inverso
de T .
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Exemplo 4: A transformação linear T : R3 −→ R4 dada por T (x, y, z) = (x, x − y, y − z, z)
NÃO é um isomorfismo.
Assim, N (T ) = {(0, 0, 0)} e portando T é injetora. Porém, pelo teorema do núcleo e da ima-
gem teremos: dim(R3 ) = dim(N (T )) + dim(Im(T )) ⇒ dim(Im(T )) = 3. O que implica que
Im(T ) 6= R4 e portanto, T NÃO é sobrejetora, logo T não é bijetora e não é um isomorfismo.
T (x, y, z) = x + y + z = 0 ⇒ x = −y − z
é um isomorfismo de R3 em P2 (R).
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Deste sistema linear obtemos c = α1 +α2 +α3
2 , b = − (α2 +α21 −α3 ) e a = α1 −α2 +α3
.
Logo, temos:
2
α1 − α2 + α3 (α2 + α1 − α3 ) α1 + α2 + α3
T −1 (α1 + α2 x + α3 x2 ) = ,− ,
2 2 2
T −1 é uma transformação linear que leva um polinômio de grau menor ou igual que 2 em um
vetor do R3 .
Para mostrar que T é inversível, basta mostrar que é um isomorfismo, para isso mostramos
que T é injetora e sobrejetora.
Assim, N (T ) = {(0, 0, 0)} e portanto, T é injetora. Pelo teorema do núcleo e da imagem temos
que dim(Im(T )) = dim(R3 ) e portanto, T é sobrejetora.
do R3 .
Podemos ver que dim(U ) = dim(R2 ) e assim, já sabemos que eles são isomorfos. Vamos deter-
minar um isomorfismo entre esses espaços vetoriais.
Por exemplo, a aplicação T : R2 −→ R3 dada por T (x, y) = (x, y, 0) é linear e sua imagem é o
subespaço U , pois nesse caso z = 0 na imagem por T . É fácil ver que T é injetora.
Concluímos então que existe um isomorfismo T de R2 em U e então, esses espaços são iso-
morfos.
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Assim, B1 = {(1, 1, 0), (−2, 0, 1)} é um conjunto de geradores para S e como são L.I., formam
uma base para S.
Consideramos uma base qualquer para R2 , por exemplo a base canônica B2 = {(1, 0), (0, 1)}
e agora basta definir a transformação T levando a base canônica do R2 na base B1 de S, da
seguinte forma, por exemplo:
Dessa forma impomos que os elementos (1, 1, 0) e (−2, 0, 1) são geradores da imagem de T , mas
eles formam uma base para S e assim temos que Im(T ) = S. Como nenhum elemento da base de
R2 é levado no elemento neutro do R3 temos que dim(N (T )) = 0 e assim T é injetora. Logo, T
é um isomorfismo de R em S. De outro modo, pelo corolário do teorema do núcleo e da imagem,
como impomos que T levasse base de R2 em base de S, obtemos que T é bijetora e portanto é
um isomorfismo.
T é um dos isomorfismos entre R2 e S. Note que a resposta não é única e dependeu da escolha das
bases para os dois espaços vetoriais e da escolha de quem seria levado em quem pela transformação
T.