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ÁLGEBRA LINEAR
AULA 3- SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

ÁLGEBRA LINEAR
Conteúdo Programático desta aula:

. Equações Lineares: Definição.
. Sistemas Lineares: Definição
. Forma Matricial de um Sistema Linear
. Matriz Ampliada de um Sistema Linear
. Classificação de um Sistema Linear
. Teorema de Rouché-Capelli
. Sistema Linear Homogêneo
. Sistemas Escalonados
. Exercícios
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES– AULA 3

ÁLGEBRA LINEAR
EQUAÇÕES LINEARES
DEFINIÇÃO:
Chama-se EQUAÇÃO LINEAR, nas variáveis x1,x2,x3,...,xn
a toda equação da forma a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn=b onde b e
os coeficientes a1,a2,a3,...,an são números reais ou
complexos.
No plano cartesiano R² toda equação linear nas
variáveis ou incógnitas x e y é da forma ax + by = c que
representa uma RETA.
No espaço cartesiano R³ toda equação linear nas
variáveis ou incógnitas x , y e z é da forma ax + by + cz = d ,
onde a , b , c e d são números reais e, geometricamente esta
equação é representada no espaço, por um PLANO.

ÁLGEBRA LINEAR
SISTEMAS LINEARES
DEFINIÇÃO
Um conjunto finito de equações lineares nas variáveis
x1,x2,x3,...,xn é chamado um SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
ou um SISTEMA LINEAR.
De modo geral representamos:
a11x1+a12x2+a13x3+...+a1nxn = b1
a21x1+a22x2+a23x3+...+a2nxn = b2
a31x1+a32x2+a33x3+...+a3nxn = b3
. . .
. . .
. . .
am1x1+am2x2+am3x3+...+amnxn = bm
ÁLGEBRA LINEAR
Se o conjunto ordenado de números {α1,α2, α3, ... ,αn}

satisfizer todas as equações do sistema, será denominado
SOLUÇÃO do sistema linear.
FORMA MATRICIAL DE UM SISTEMA LINEAR
a11 a12 a13 ... a1n x1 b1

a21 a22 a23 ... a2n x2 b2
a31 a32 a33 ... a3n x3 b3
. . . =
. .
. .
am1 am2 am3 ...amn xn bm
ÁLGEBRA LINEAR
MATRIZ AMPLIADA DE UM SISTEMA
É a matriz obtida acrescentando-se à matriz dos

coeficientes uma coluna com os termos independentes.
EXEMPLO:
 x − 2 y + 3z = 6

Considerando o sistema : − 3 x + y − 5 z = 9
4 x + 3 y − 7 z = −10

Temos:
1 -2 3 6
-3 1 -5 9
4 3 -7 -10

ÁLGEBRA LINEAR
CLASSIFICAÇÃO
Os sistemas lineares podem ser classificados quanto ao
número de soluções, da seguinte forma:
DETERMINADO
POSSÍVEL OU COMPATÍVEL
INDETERMINADO
SISTEMA LINEAR
IMPOSSÍVEM OU INCOMPATÍVEL

ÁLGEBRA LINEAR
O sistema linear é dito possível ou compatível quando

admite solução. Ele pode ser determinado (SPD) se admite
solução única ou indeterminado (SPI) se admite infinitas
soluções.
O sistema linear é impossível ou incompatível (SI) quando
não admite solução.
TEOREMA DE ROUCHÉ-CAPELLI
“ Um sistema linear com m equações e n incógnitas possui

solução se e somente se o posto da matriz ampliada post(A)
for igual ao posto da matriz dos coeficientes post(C)”.

ÁLGEBRA LINEAR
SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO
Um sistema de equações lineares é dito HOMOGÊNEO

se os termos constantes são todos iguais a zero.
Todo sistema linear homogêneo admite a SOLUÇÃO
NULA ou TRIVIAL que é aquela em que todas as variáveis são
nulas.Se admitir outras soluções elas serão chamadas de NÃO
NULAS ou NÃO TRIVIAIS.

ÁLGEBRA LINEAR
SISTEMAS ESCALONADOS
Considere um sistema linear

a11x1+a12x2+a13x3+...+a1nxn = b1
a21x1+a22x2+a23x3+...+a2nxn = b2
a31x1+a32x2+a33x3+...+a3nxn = b3
. . .
. . .
. . .
am1x1+am2x2+am3x3+...+amnxn = bm.
Vamos admitir que em cada equação exista pelo

menos um coeficiente não nulo.
ÁLGEBRA LINEAR
Dizemos que o sistema está na forma escalonada, se o

número de coeficientes nulos, antes do primeiro coeficiente
não nulo, aumenta de equação para equação.
EXEMPLOS.:
x + 2 y − 4z = 7
 a − 5b = c = 10
1.  y − 2 z = 6 2. 
3z = 12 b − 3c = 2

3 x − y + 2 z − t + 4 w = 1

3.  z − 5t + w = 0
3t − w = 1


ÁLGEBRA LINEAR
Note que há dois tipos de sistemas escalonados:

1º) Número de equações igual ao número de incógnitas
2º) Número de equações menor que o número de incógnitas
EXEMPLOS:
Resolva cada um dos sistemas dados:
2 x − 3 y = 0

a)  x + 3 z = 0
2 y + z = 1

2 x − y + z − t = 1
b) 
5 z − 2t = 3
ÁLGEBRA LINEAR
Na aula de hoje estudamos:
. Equações Lineares: Definição

. Sistemas Lineares: Definição
. Forma Matricial de um Sistema Linear
. Matriz Ampliada de um Sistema Linear
. Classificação de um Sistema Linear
. Teorema de Rouché-Capelli
. Sistema Linear Homogêneo
. Sistemas Escalonados
. Exercícios

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AULA 3- SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

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SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES– AULA 3

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES– AULA 3

Se o conjunto ordenado de números {α1,α2, α3, ... ,αn}

FORMA MATRICIAL DE UM SISTEMA LINEAR

a11 a12 a13 ... a1n x1 b1

MATRIZ AMPLIADA DE UM SISTEMA

É a matriz obtida acrescentando-se à matriz dos

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES– AULA 3

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES– AULA 3

O sistema linear é dito possível ou compatível quando

“ Um sistema linear com m equações e n incógnitas possui

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES– AULA 3

SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO

Um sistema de equações lineares é dito HOMOGÊNEO

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES– AULA 3

Considere um sistema linear

Vamos admitir que em cada equação exista pelo

Dizemos que o sistema está na forma escalonada, se o

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES– AULA 3

Note que há dois tipos de sistemas escalonados:

Na aula de hoje estudamos:

. Equações Lineares: Definição

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES– AULA 3

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