Arranjo Combinação e Permutação

Uma bandeira é formada por 7 listras que devem ser coloridas usando apenas as cores, verde,
azul e cinza. Se cada listra deve ter apenas uma cor e não pode usar cores iguais em listras
adjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira?
RESOLUÇÃO Para a escolha da 1ª listra temos 3 opções, para as demais escolhas 2

opções.3.2.2.2.2.2.2 = 192
(FUVEST-2010) Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha,
somente os algarismos 1,2,3,4,5 podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de
uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número 13, isto é, o
algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3. De quantas maneiras distintas Maria pode
escolher sua senha?
a) 551 b) 552 c) 553 d) 554 e) 555
Total de senhas
5 * 5 * 5 * 5 = 625
Senhas que aparecem o número 13
3 * 5 * 5 = 75
13
13
13
A senha 1313 foi verificada em
13
13
Deste modo, aparece duas vezes, quando deveria aparecer só uma, logo, serão 74 possibilidades de
aparecer os algarismos 1 e 3 seguidos.
O número possível de senhas que atende à situação proposta e à superstição de Maria é:
625 – 74 = 551 combinações possíveis.
(PUC-SP 2017) - QUESTÃO

Uma pessoa dispõe das seguintes cores de tinta: amarela, azul, verde, vermelha e branca, e irá
utilizá-las para pintar um pote. Nesse pote serão pintadas a tampa, a lateral e uma lista na lateral, de
modo que a tampa e a lateral poderão ter a mesma cor ou cores diferentes. O número de maneiras
distintas de pintar esse pote é
a) 100
b) 80
c) 60
d) 40
➥ Resposta comentada: (b)
Considere-se que a cor da lista e a da lateral precisam ser diferentes para que haja a
lista. Nesta condição, tem-se que a lista só precisa ser de uma cor distinta da cor da
lateral, assim, tem-se:
Pelo princípio fundamental da contagem, tem-se: 5.4.5 = 100 maneiras.
FMZ) Quantos anagramas começando com vogal a palavra "CAIXA" possui?
(A) 120
(B) 60.
(C) 36.
(D) 30.
(E) 6.
UFJF–MG)Newton possui 9 livros distintos, sendo 4 de Geometria, 2 de Álgebra e 3 de Análise. O

número de maneiras pelas quais Newton pode arrumar esses livros em uma estante, de forma que os
livros de mesmo assunto permaneçam juntos, é:
a) 288
b) 296
c) 864
d) 1728
e) 2130
4 livros de Geometria = P4
2 livros de Álgebra = P2
3 livros de Análise = P3
P4 * P2 * P3 * P3 = 4! * 2! * 3!
4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
2! = 2
3! = 3 * 2 * 1 = 6
P4 * P2 * P3 * P3 = 24 * 2 * 6 * 6
P4 * P2 * P3 * P3 = 1728 maneiras
Resposta correta item d.
Um casal e seus quatro filhos vão ser colocados lado a lado para tirar uma foto. Se todos
os filhos devem ficar entre os pais, de quantos modos distintos os seis podem posar para
tirar a foto?
a) 24
b) 48
c) 96
d) 120
e) 720
Solução:
Os pais deverão ocupar os extremos:

P ____ ____ ____ ____ M ou M ____ ____ ____ ____ P
2 * P4 = 2 * 4! = 2 * 4 * 3 * 2 * 1 = 48 maneiras
Resposta correta item b.
Considere a palavra VESTIBULAR. Nenhuma das 10 letras da palavra se repete:
1.1 Quantos anagramas podem ser formados? 10!
1.2 Quantos anagramas iniciam pela letra E? 1 x 9!
1.2 Quantos anagramas iniciam por T e terminam por B? 1 x 8! x 1
1.3 Quantos anagramas terminam pelas letras BAR, em qualquer ordem? 3! x 8!
1.4 Quantos anagramas apresentam as letras LAR, juntas nessa ordem? 8!
1.5 Quantos anagramas apresentam as letras VEST juntas e em qualquer ordem? 4! x 7!
Em época de eleição para o grêmio estudantil do colégio, tiveram 12 candidatos aos cargos de
presidente, vice-presidente e secretário. De quantos modos diferentes estes candidatos poderão
ocupar as vagas deste grêmio?
Cada combinação é diferente da outra neste caso, existe diferenciação entre o Candidato A ser
presidente e o Candidato B ser vice-presidente, com a possibilidade de B ser presidente e A ser vice.
Por isso usaremos Arranjo.
Júlia deseja viajar e levar 5 pares de sapatos, sabendo que ela possui em seu guarda-roupa 12
pares, de quantas maneiras diferentes Júlia poderá escolher 5 pares de sapatos para a sua
viagem?
Se Júlia leva o sapato preto e o sapato rosa, é a mesma coisa que ela levar o sapato rosa e o sapato
preto, logo, a sequência dos elementos não importa, com isso usaremos Combinação, para
eliminarmos os arranjos repetidos.
ADVISE 2009) Uma farmácia dispõe de sete vagas de estacionamento para clientes em
atendimento, representadas pelas letras de A a G, conforme figura abaixo.
Se pelo menos duas dessas vagas sempre estão ocupadas, o número de maneiras que esse
estacionamento poderá ser ocupado é:
A)128 B) 7 C) 21 D) 127 E) 120
resposta E
Uma prova consta de 6 questões, das quais o aluno deve resolver 3. De quantas
formas ele poderá escolher as 3 questões?
Resolução:
Perceba que a ordem em que os elementos aparecerão não será importante, uma vez
que, ao resolver a 1ª , a 2ª e a 3ª questão é o mesmo que resolver a 2ª , a 3º e a 1ª,
portanto é um problema de combinação.
Logo, um aluno pode escolher suas 3 questões de 20 maneiras diferentes.
31. Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10

primeiras letras do alfabeto?
Conceito: Combinação
Resposta: C=10!/(4!6!)=(10×9×8×7)/(1×2×3×4)=210
17. Quantos são os anagramas possíveis para a palavra: ULYSSES?
23. Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra
ARARUNA?
Dos 12 jogadores levados para uma partida de vôlei, apenas 6 entrarão em quadra
no início do jogo. Sabendo que 2 são levantadores e 10 são atacantes, como
escolher 1 levantador e 5 atacantes?
Dos 2 levantadores escolheremos 1, e dos 10 atacantes apenas 5 serão escolhidos.

Como a ordem não faz diferença, temos:
escolhas do levantador.
escolhas dos 5 atacantes.
Logo, teremos 2 · 252 = 504 formas de escolher o time.
Temos 14 pilotos para 3 posições e a ordem importa (o piloto 14 ficar na primeira

posição, o 13 na segunda e o 12 na terceira, é diferente do 14 ficar na terceira, o 12
na segunda e o 13 na primeira). Logo, utilizamos arranjo:
Em um refeitório há doces e salgados. Cada pessoa receberá um recipiente com 3 doces,

dos 8 tipos disponíveis e apenas 2 salgados, dos 7 tipos fabricados. Quantas são as
diferentes possibilidades de preenchimento do recipiente?
Estamos trabalhando com combinação simples, pois não importa a ordem de preenchimento dos
recipientes. No caso dos doces vamos calcular C8, 3:
Já no caso dos salgados vamos calcular C7, 2:
O número total de combinações será então o produto de 56 por 21:
Logo:
São 1176 as diferentes possibilidades de preenchimento do recipiente.
Quantos são os anagramas da palavra BANANADA?
Cesgranrio) Quantos são os anagramas da palavra PETROBRAS que começam com as letras PE,
nesta ordem?
(A) 720
(B) 2.520
(C) 5.040
(D) 362.880
(E) 3.628.800
respsota letra B
Os resultados do último sorteio da Mega-Sena foram os números 04, 10, 26, 37, 47 e 57. De quantas
maneiras distintas pode ter ocorrido essa sequência de resultados?
6!
Utilizando o nome COPACABANA, calcule o número de anagramas formados desconsiderando

aqueles em que ocorrem repetições consecutivas de letras.
Na palavra COPACABANA, temos quatro letras A e duas letras C. O número de anagramas formados
será dado pela expressão:
Poderão ser formados 75.600 anagramas.
(Ufrs 98) No desenho a seguir, as linhas horizontais e verticais representam

ruas, e os quadrados representam quarteirões. A quantidade de trajetos de
comprimento mínimo ligando A e B que passam por C é
a) 12
b) 13
c) 15
d) 24
e) 30
RESPOSTA LETRA E
(Unitau-SP) O número de anagramas da palavra BIOCIÊNCIAS que terminam com as letras

AS, nessa ordem, é:
a) 9!
b) 11!
c) 9!/(3! 2!)
d) 11!/2!
e) 11!/3!
RESPOSTA LETRA C
Dois meninos e três meninas formarão uma roda dando-se as mãos. De quantos modos
diferentes poderão formar a roda de modo que os dois meninos não fiquem juntos?
No total temos 5 elementos para dispor em círculo, ou seja, novamente utilizaremos

Permutação Circular. Mas agora a restrição é diferente, os dois meninos NÃO podem ficar
juntos. Para esta situação, iremos calcular o número total de disposições (sem restrição) e
diminuir deste resultado o número de disposições em que os meninos estão juntos (para
calcular o número de disposições deles juntos, fazemos como no exercício 1).
O número total de disposições é Pc5 = (5 - 1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24.
Em um torneio de futebol um time obteve 8 vitórias, 5 empates e 2 derrotas, nas 15 partidas

disputadas. De quantas maneiras distintas esses resultados podem ter ocorrido?
Os resultados podem ser dispostos de 135.135 maneiras distintas.

(FATEC-SP) Uma pessoa dispõe de 4 discos diferentes de MPB, 4 discos diferentes de rock e 2
discos diferentes de música clássica. O número de modos distintos como essa pessoa pode
organizá-los em uma estante, de tal forma que discos do mesmo gênero estejam sempre
juntos e os de rock sempre na mesma ordem, é:
a) 144 b) 1.152 c) 48 d) 50 e) 288
Permutaçao de:
4! =4*3*2*1 = 24
2!=2*1 = 2
1!=1
24*2*1=48
3!=3*2*1=6
48*6=288
(Quadrix 2014) Na Sala de espera de sua nutricionista, Mara estava brincando com cartões
educativo para criança, os quais se devem colocar em ordem, para forma palavras. Sua mãe
pegou três cartões com a letra A, um com a letra L, um com a letra D e um com a letra S, os
embaralhou, os empilhou com as letras para baixo e os entregou a Mara. A probabilidade de
que os cartões embaralhados, tomados um a um, na ordem dada na pilha, formem a palavra
salada é de um em:
a)720b)120
C)60
d)24
e)1
(Ueg 2005) A UEG realiza seu Processo Seletivo em dois dias. As oito disciplinas, Língua
Portuguesa- Literatura Brasileira, Língua Estrangeira Moderna, Biologia, Matemática, História,
Geografia, Química e Física, são distribuídas em duas provas objetivas, com quatro disciplinas por
dia. No Processo Seletivo 2005/2, a distribuição é a seguinte:
- primeiro dia: Língua Portuguesa-Literatura Brasileira, Língua Estrangeira Moderna, Biologia e
Matemática;
- segundo dia: História, Geografia, Química e Física.
A UEG poderia distribuir as disciplinas para as duas provas objetivas, com quatro por dia, de
a) 1.680 modos diferentes.
b) 256 modos diferentes.
c) 140 modos diferentes.
d) 128 modos diferentes.
e) 70 modos diferentes.
Esse é um problema simples de Combinação sem repetição, pois você quer formar grupos pequenos
e a ordem não importa. A ordem não importa por que fazer no mesmo dia MATEMÁTICA,
LÍNGUA PORTUGUÊSA-LITERATURA BRASILEIRA, QUÍMICA E BIOLOGIA é a mesma
coisa de ter LÍNGUA PORTUGUÊSA-LITERATURA BRASILEIRA,
MATEMÁTICA,BIOLOGIA e QUÍMICA, certo?
Vamos lá.
C_{8,4}= \frac{8.7.6.5.4!}{4!.4!} \\
C_{8,4} = \frac{8.7.6.5.}{4.3.2.1} \\
C_{8,4} = 2.7.5 \\
C_{8,4} = 70
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Uma bandeira é formada por 7 listras que devem ser coloridas usando apenas as cores, verde,

RESOLUÇÃO Para a escolha da 1ª listra temos 3 opções, para as demais escolhas 2

(PUC-SP 2017) - QUESTÃO

Pelo princípio fundamental da contagem, tem-se: 5.4.5 = 100 maneiras.

FMZ) Quantos anagramas começando com vogal a palavra "CAIXA" possui?

UFJF–MG)Newton possui 9 livros distintos, sendo 4 de Geometria, 2 de Álgebra e 3 de Análise. O

Os pais deverão ocupar os extremos:

Considere a palavra VESTIBULAR. Nenhuma das 10 letras da palavra se repete:

1.1 Quantos anagramas podem ser formados? 10!

1.2 Quantos anagramas iniciam pela letra E? 1 x 9!

1.2 Quantos anagramas iniciam por T e terminam por B? 1 x 8! x 1

1.3 Quantos anagramas terminam pelas letras BAR, em qualquer ordem? 3! x 8!

1.4 Quantos anagramas apresentam as letras LAR, juntas nessa ordem? 8!

1.5 Quantos anagramas apresentam as letras VEST juntas e em qualquer ordem? 4! x 7!

Logo, um aluno pode escolher suas 3 questões de 20 maneiras diferentes.

31. Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10

17. Quantos são os anagramas possíveis para a palavra: ULYSSES?

Dos 2 levantadores escolheremos 1, e dos 10 atacantes apenas 5 serão escolhidos.

escolhas dos 5 atacantes.

Logo, teremos 2 · 252 = 504 formas de escolher o time.

Temos 14 pilotos para 3 posições e a ordem importa (o piloto 14 ficar na primeira

Em um refeitório há doces e salgados. Cada pessoa receberá um recipiente com 3 doces,

O número total de combinações será então o produto de 56 por 21:

Quantos são os anagramas da palavra BANANADA?

Utilizando o nome COPACABANA, calcule o número de anagramas formados desconsiderando

Poderão ser formados 75.600 anagramas.

(Ufrs 98) No desenho a seguir, as linhas horizontais e verticais representam

(Unitau-SP) O número de anagramas da palavra BIOCIÊNCIAS que terminam com as letras

No total temos 5 elementos para dispor em círculo, ou seja, novamente utilizaremos

O número total de disposições é Pc5 = (5 - 1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24.

Em um torneio de futebol um time obteve 8 vitórias, 5 empates e 2 derrotas, nas 15 partidas

Os resultados podem ser dispostos de 135.135 maneiras distintas.

a) 144 b) 1.152 c) 48 d) 50 e) 288

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