Despacho Economico de Energia - Unidade 1 PDF
Despacho Economico de Energia - Unidade 1 PDF
Despacho Economico de Energia - Unidade 1 PDF
Econômico
de energia
EdiçÃo nº 1 – 2017
Lista de figuras
igura 1.1: Representação de N unidades térmicas
F
conectadas a uma única barra............................................ 23
Figura 1.2: Condição de mínimo custo de operação
quando nenhum limite de geração é atingido................... 26
Figura 1.3: Valores relativos dos custos incrementais
quando o gerador 1 atinge seu limite superior.................. 27
Figura 1.4: Valores relativos dos custos incrementais
quando o gerador 2 atinge seu limite inferior.................... 27
Figura 1.5: Condições de otimalidade para várias
unidades geradoras................................................................ 29
Figura 1.7: Aproximação linear por partes de
função-custo (acima) e da função de custo incremental
correspondente (abaixo)........................................................ 32
Figura 1.8: Projeção de um novo λ a partir dos dois
últimos valores calculados................................................... 35
Figura 1.9: Interpretação gráfica da condição de folga
complementar e sua relaxação
através do parâmetro μ.......................................................... 40
Figura 1.10: Duas maneiras distintas de se considerar as
perdas de transmissão: a) Representação da rede
elétrica em detalhes, b) Extensão do despacho
econômico clássico................................................................ 46
Figura 1.11: Despachos obtidos na ausência e na presen-
ça de perdas de transmissão para uma situação com
penalidade................................................................................ 49
Figura 1.12: Características de custos incrementais
constantes por partes de duas unidades térmicas.......... 63
Figura 1.13: Sistema de 2 barras com perdas de
transmissão............................................................................. 67
Figura 2.1: Exemplo e grafo correspondente à
matriz A (6 x 6)......................................................................... 77
igura 2.2: Matriz esparsa diagonal e grafo
F
correspondente à matriz esparsa bloco-diagonal........... 78
Figura 2.3: Ilustração do enchimento na fatoração LU..90
Figura 2.4: Acesso às colunas de l durante
substituição direta.................................................................. 92
Figura 2.5: Sistema de potência para exemplificar
a ordenação............................................................................. 94
Figura 2.6: Estrutura da matriz a e grafo associado para:
(a1, b1) ordenação natural e (a2, b2)
ordenação {4, 1, 3, 5, 6, 2}...................................................... 94
Figura 2.7: Interpretação do enchimento usando
sequência de grafos reduzidos............................................ 96
Figura 2.8: Enchimento total e grafo correspondente
para o exemplo 2.11................................................................ 96
Figura 2.9: Ilustração do método de Tinney-II................. 98
Figura 3.1: Estados de operação de um sistema
de potência.............................................................................. 139
Figura 3.2: Aplicando o teorema de compensação
para a saída de um ramo...................................................... 145
Figura 3.3: Modelagem de saída de um ramo
usando injeções fictícias...................................................... 146
Figura 3.4: Análise de contingências baseada no
índice de ordenamento......................................................... 148
Figura 3.5: Contingência de barreira usando o
fluxo de carga desacoplado rápido.................................... 150
Figura 3.6: Rede de três barras do exemplo 3.1.............. 192
Figura 3.7: Análise N – 1 para o exemplo 3.2.................. 194
Figura 3.8: Análise N – 2 para o exemplo 3.2.................. 194
Figura 3.9: Rede de cinco barras para o exemplo 3.3.... 195
Figura 3.10: Sistema de cinco barra do exemplo 3.7...... 204
Figura 3.11: Estado ótimo em relação aos custos
de geração da rede de cinco barras................................... 207
Figura 3.12: Sistema de cinco barras para o
exemplo 3.8.............................................................................208
Figura 3.13: Sistema de cinco barras do exemplo 3.9... 212
Figura 3.14: Rede de cinco barras do exemplo 3.10
após corrigir os limites de tensão violados...................... 215
Figura 3.15: Rede de cinco barras do exemplo 3.11.
Estado após a correção de problemas de tensão........... 220
Figura 3.16: Rede de cinco barras após a saída
da linha L3............................................................................... 226
igura 3.17: Perfil ótimo de tensão para o sistema
F
de cinco barras e dois geradores....................................... 228
Figura 3.18: Sistema elétrico de duas barras: a) Não existe
limite sobre o fluxo de potência, b) Existe um limite de flu-
xo de potência de 40 MW..................................................... 229
Figura 3.19: Sistema de potência de três barras do
exemplo 3.16........................................................................... 230
Figura 4.1: Diagrama de transição de estados de operação
de um sistema de potência.................................................. 245
Figura 4.2: Principais aplicativos da operação em tempo
real............................................................................................ 250
Figura 4.3: Configuração típica de um sistema central..252
Figura 4.4: Sistema não-redundante................................. 253
Figura 4.5: Sistema não-redundante com front-end e
computador para IHM........................................................... 254
Figura 4.6: Configuração dual............................................. 255
Figura 4.7: Sistema distribuído para Centros de
Operação (EMS)..................................................................... 258
Figura 4.8: Sistema exemplo para construção do modelo
de medição linear................................................................... 281
Figura 5.1: Curva-limite para programação hidrotérmica
de médio prazo....................................................................... 311
Figura 5.2: Variação do valor marginal da água com a ten-
dência hidrológica e o nível de armazenamento dos reser-
vatórios.................................................................................... 313
Figura 5.3: Sistema hidrotérmico formado por hidrogera-
dor e turbogerador equivalentes......................................... 314
Figura 5.4: Curva de carga e participação térmica e hi-
dráulica em problema de programação com restrição de
energia...................................................................................... 318
Figura 5.5: Variáveis hidráulicas associadas a uma usina
hidrelétrica...............................................................................334
Figura 5.6: Usinas em cascata em uma mesma bacia hi-
drográfica................................................................................339
Figura 5.7: Funções de custo imediato e futuro..............343
Figura 5.8: Custo futuro como uma função linear por par-
tes..............................................................................................344
Figura 6.1: Exemplo de função de custo: a) quadrática
convexa e b) linear por partes............................................. 357
Figura 6.2: Três exemplos de despacho econômico com
limites de geração.................................................................. 365
Figura 6.3: Rede de três barras para o exemplo 6.5...... 401
Figura 6.4: Leilão monoperíodo (exemplo 6.11): a) Com li-
mites de rampa e sem mínimo de potência gerada; b) Com
mínimo de potência gerada mas sem limites de rampa..413
Figura 6.5: Leilão monoperíodo sem incluir restrições
(exemplo 6.11): a) Um bloco de geração no extremo,
b) Um bloco de demanda no extremo............................... 415
Figura 6.6: Leilão multiperíodo (exemplo 6.12). Com limites
de potência mínima e limites de rampa: a) Hora 1 e b)
Hora 2....................................................................................... 420
Figura 6.7: Rede para o leilão multiperíodo com
restrições de rede (exemplo 6.13)....................................... 421
Figura 6.8: Leilão multiperíodo com restrições de
rede (exemplo 6.13): a) Hora 1 e b) Hora 2........................ 425
Figura 6.9: Programação própria ótima do produtor sem
poder de mercado: a) Produção e preços e
b) Rendimentos, custos, lucros e preços.......................... 427
Lista de Tabelas
Tabela 1.1: Dados das unidades para o exemplo 1.1....... 58
Tabela 1.2: Funções-custo em $/h para o exemplo 1.1..58
Tabela 1.3: Custos Incrementais para despacho de
duas unidades térmicas........................................................ 63
Tabela 3.1: Dados dos geradores do exemplo 3.1........... 192
Tabela 3.2: Dados do sistema do exemplo 3.1................ 193
Tabela 3.3: Dados de geração para o exemplo 3.3........ 196
Tabela 3.5: Fluxo de potência para o exemplo 3.3......... 198
Tabela 3.6: Fluxos de potência no exemplo 3.4.............. 199
Tabela 3.7: Índices de ordenamento
para o exemplo 6.5................................................................ 200
Tabela 3.8: Análise detalhada dos estados
pós-contingência................................................................... 201
Tabela 3.9: Estado pós-contingência após a primeira
iteração e após a convergência.......................................... 202
Tabela 3.10: Informação fornecida pela análise de
contingências do exemplo 3.6............................................. 203
Tabela 3.11: Características de geração do sistema do
exemplo 3.7..............................................................................204
Tabela 3.12: Dados de rede para o sistema
do exemplo 3.7........................................................................ 205
abela 3.13: Dados de geração do sistema
T
do exemplo 3.8....................................................................... 209
Tabela 3.14: Dados de geração do sistema
do exemplo 3.9....................................................................... 213
Tabela 3.15: Dados do fluxo de potência para
o exercício 3.12....................................................................... 223
Tabela 3.16: Tabela de fluxos de potência para
o exemplo 3.13........................................................................ 226
Tabela 4.1: Valores percentis para a distribuição
qui-quadrada.......................................................................... 292
Tabela 5.2: Dados das unidades geradoras..................... 349
Tabela 5.3: Variação da demanda por horário................. 349
Tabela 6.1: Parâmetros das funções de custo
quadráticas.............................................................................. 397
Tabela 6.2: Níveis de geração, custos incrementais
e os custos para o exemplo 6.1........................................... 398
Tabela 6.3: Demandas elásticas para o exemplo 6.2..... 399
Tabela 6.4: Níveis de geração, custos incrementais
e os custos para o exemplo 6.2.......................................... 399
Tabela 6.5: Níveis de geração, custos incrementais
e os custos para o exemplo 6.3..........................................400
Tabela 6.6: Sistema de três barras.....................................400
Tabela 6.7: Sistema de três barras.....................................402
Tabela 6.8: Casos sem perdas............................................402
Tabela 6.9: Casos com perdas............................................402
Tabela 6.10: Resultados sem perdas e sem limites
de transmissão na linha 1 – 3.............................................403
Tabela 6.11: Resultados sem perdas e com limites
de transmissão na linha 1 – 3.............................................403
Tabela 6.12: Resultados sem perdas e sem
limite de capacidade de transmissão, mas com limites
de geração...............................................................................404
Tabela 6.13: Resultados sem perdas, mas com limites
de capacidade de transmissão e geração........................404
Tabela 6.14: Resultados com perdas e limites de
capacidade de transmissão e geração.............................. 405
Tabela 6.15: Resultados com contratos bilaterais..........406
Tabela 6.16: Resultados para o exemplo 6.9.................... 407
Tabela 6.17: Dados adicionais das unidades
geradoras para o exemplo 6.10...........................................408
Tabela 6.18: Dados adicionais das unidades geradoras
para o exemplo 6.10...............................................................409
abela 6.19: Caso A, exemplo 6.10. UC sem incluir os
T
custos de partida e os limites de rampa...........................409
Tabela 6.20: Caso B, exemplo 6.10. UC incluindo os
custos de partida mas sem os limites de rampa............409
Tabela 6.21: Caso C, exemplo 6.10. UC incluindo os
custos de partida e os limites de rampa........................... 410
Tabela 6.22: Caso D, exemplo 6.10. UC incluindo os
custos de partida, os limites de rampa e as
restrições de reserva............................................................. 410
Tabela 6.23: Características técnicas das unidades
geradoras................................................................................. 411
Tabela 6.24: Ofertas dos geradores.................................. 411
Tabela 6.25: Lances das demandas.................................. 412
Tabela 6.26: Caso A, exemplo 6.11. Sem limites de
rampa e sem mínimo de potência gerada........................ 412
Tabela 6.27: Caso B, exemplo 6.11. Com limites de
rampa e sem mínimo de potência gerada........................ 412
Tabela 6.28: Caso C, exemplo 6.11. Sem limites de
rampa e com mínimo de potência gerada........................ 413
Tabela 6.29: Lances de demandas.................................... 414
Tabela 6.30: Lances de demandas.................................... 415
Tabela 6.31: Ofertas aceitas................................................ 416
Tabela 6.32: Lances aceitos................................................ 416
Tabela 6.33: Preços, receitas, pagamentos e
benefício comum................................................................... 417
Tabela 6.34: Ofertas aceitas............................................... 417
Tabela 6.35: Lances aceitos................................................ 417
Tabela 6.36: Preços, receitas, pagamentos e
benefício comum................................................................... 418
Tabela 6.37: Ofertas aceitas............................................... 418
Tabela 6.38: Lances aceitos................................................ 418
Tabela 6.39: Preços, receitas, pagamentos e
benefício comum................................................................... 419
Tabela 6.40: Dados da rede da figura 6.7.......................... 421
Tabela 6.41: Ofertas e lances aceitos................................ 422
Tabela 6.42: Preços, receitas, pagamentos e
benefício comum................................................................... 423
Tabela 6.43: Ofertas e lances aceitos............................... 423
Tabela 6.44: Preços, receitas, pagamentos e
benefício comum................................................................... 424
Tabela 6.45: Dados da unidade geradora do
exemplo 6.14........................................................................... 426
abela 6.46: Horizonte de programação e previsão de
T
preço do exemplo 6.14.......................................................... 426
Tabela 6.47: Produção, custos e lucros............................ 426
Tabela 6.48: Horizonte de programação e previsão de
preço do exemplo 6.15.......................................................... 427
Tabela 6.49: Dados do sistema hidrelétrico..................... 428
Tabela 6.50: Produção ótima para o exemplo 6.15........ 428
Tabela 6.51: Níveis dos reservatórios do exemplo 6.15..428
Tabela 6.52: Receitas do exemplo 6.15............................. 429
Tabela 6.53: Dados das unidades de geração.................430
Tabela 6.54: Produção, preços, receitas, custos e
lucros do exemplo 6.16.........................................................430
Tabela 6.55: Previsões de preços e demandas para o
exemplo 6.17............................................................................ 431
Tabela 6.56: Cogeração, compras, receitas, custos e
lucros para o exemplo 6.17...................................................432
UNIDADE • 01
O despacho econômico
UNIDADE 01
O despacho econômico
22
Despacho econômico de unidades
térmicas
23
1 Despacho econômico de unidades térmicas
∑P = P i L
i =1 (1.3)
Além disso, cada unidade geradora está sujeita a seus limi-
tes mínimo e máximo de geração, ou seja:
Pi < Pi < Pi , i = 1, ..., N (1.4)
onde Pi e Pi são respectivamente os limites mínimo e má-
ximo de geração para a unidade i.
24
Despacho econômico de energia
P1 – P1 ≤ 0
- P1 + P1 ≤ 0
P2 – P2 ≤ 0
- P2 + P2 ≤ 0 (1.8)
A função Lagrangeana correspondente a este problema de
otimização é:
(P1 , P2 , λ , π 1 , π 1 , π 2 , π 2 ) = F1 (P1 ) + F2 (P2 ) + λ (PL – P1 – P2 )
+ π 1 (P1 – P1 ) + π 1 (-P– P1 ) + π 2 (P2 – P2 ) + π 2 (-P2 – P2 ) (1.9)
onde λ , π i , π i são multiplicadores de Lagrange. As con-
dições de otimalidade de Karush-Fuhn-Tucker na solução ótima
são:
a) Condições de factibilidade dual:
F1 ' ( P1 ) – λ + π 1 – π 1 = 0
F2 ' ( P2 ) – λ + π 2 – π 2 = 0 (1.10)
b) Condições de factibilidade primal:
PL – P1 – P2 = 0
P1 - P1 ≤ 0
- P1 + P1 ≤ 0 (1.11)
P2 - P2 ≤ 0
- P2 + P2 ≤ 0
c) Condições de folga complementar:
π 1 ( P1 − P1 ) = 0, π 1 (- P1 − P1 ) = 0, π 1 ≥ 0, π 1 ≥ 0
π 2 ( P2 − P2 ) = 0, π 2 (- P2 − P2 ) = 0, π 2 ≥ 0, π 2 ≥ 0 (1.12)
Tem-se os seguintes casos particulares do problema
25
1 Despacho econômico de unidades térmicas
F1 ' ( P1 ) = F2 ' ( P2 ) = λ
(1.13)
Isto é, os custos incrementais dos geradores são iguais en-
tre si e iguais a λ . A figura 1.2 ilustra esta condição para se
obter o mínimo custo de geração.
Figura 1.2: Condição de mínimo custo de operação quando nenhum limite de geração é
atingido.
26
Despacho econômico de energia
Figura 1.3: Valores relativos dos custos incrementais quando o gerador 1 atinge seu limite
superior.
Figura 1.4: Valores relativos dos custos incrementais quando o gerador 2 atinge seu limite
inferior.
27
1 Despacho econômico de unidades térmicas
F2 ' ( P2 ) = λ − π 2 (1.16)
Neste caso, os valores para λ , π 1 e π 2 são indeterminados.
Se Pi < Pi
*
Fi ' ( Pi ) < λ (1.18)
Se Pi < Pi
*
Fi ' ( Pi ) > λ
A figura ilustra as condições de otimalidade para o caso de
três unidades geradoras.
28
Despacho econômico de energia
L =0 FT ( P * ) = λ * e
∂P (1.21)
ou, equivalentemente:
∂ Fi ( Pi * )
= λ * , i = 1, ..., N
∂ Pi (1.22)
2 - Condição de factibilidade primal
29
1 Despacho econômico de unidades térmicas
L =0 eT P * = PL
∂λ (1.23)
isto é,
∑ N
P = PL (1.24)
i =1 i
*
Fatores de Participação
A carga de um sistema de potência varia ao longo do tem-
po, mas o DE só é resolvido para certos instantes de tempo. Nos
intervalos entre os instantes em que as soluções do problema
de DE são determinadas, os fatores de participação permitem
30
Despacho econômico de energia
31
1 Despacho econômico de unidades térmicas
f part = i =
PL 1
∑ iN=1 F " (P 0 )
i i (1.35)
Figura 1.7: Aproximação linear por partes de função-custo (acima) e da função de custo
incremental correspondente (abaixo).
32
Despacho econômico de energia
33
1 Despacho econômico de unidades térmicas
Método da secante
Trata-se do método clássico para a solução do despacho
econômico. A partir de duas sugestões iniciais para o custo mar-
ginal λ, projeta um novo valor de λ. O procedimento se repe-
te iterativamente, sempre projetando um novo valor de custo
marginal a partir dos dois últimos valores calculados para esta
variável. O critério de convergência baseia-se no cumprimento
da equação de balanço de potência e o algoritmo não permite
a violação dos limites de geração. As etapas do algoritmo são
descritas abaixo.
34
Despacho econômico de energia
Figura 1.8: Projeção de um novo λ a partir dos dois últimos valores calculados.
35
1 Despacho econômico de unidades térmicas
36
Despacho econômico de energia
L = i −λ i≠i
∂ dF
∂ Pi dPi (1.40)
dFj
formam o gradiente reduzido (por não incluir ). Este
dPj
define a direção de máxima variação de L quando referido às
variáveis de controle Pi. Usando o gradiente reduzido, calcular:
dF
Pi ( novo ) = Pi ( velho ) − α j − λ , i ≠ j
dPj (1.41)
onde α > 0 controla a magnitude do passo;
5 - Os Pi(novo) não são permitidos de exceder seus limites, de
forma a manter os π i e π i nulos;
37
1 Despacho econômico de unidades térmicas
38
Despacho econômico de energia
L = FT − λ e + FPT π = 0
L = PL − eT P = 0
P
39
1 Despacho econômico de unidades térmicas
Figura 1.9: Interpretação gráfica da condição de folga complementar e sua relaxação através
do parâmetro μ.
40
Despacho econômico de energia
41
1 Despacho econômico de unidades térmicas
L l k = − L l k (1.57)
são obtidas de
2
GK P − e λ + FPT π = bP( k )
– e ΔP = b λ( k )
FP ΔP + Δs = bπ( k ) (1.58)
S Δπ + Π ΔS = bs( k )
onde
GK 2
FT (Pk )
e
bu( k ) − L lk
L lk
P
bλ( k ) −
L lk
λ
bπ( k ) −
L l k (1.60)
π
bs( k ) − s
42
Despacho econômico de energia
43
1 Despacho econômico de unidades térmicas
Atualização do parâmetro μ
A regra para atualização do parâmetro μ baseia-se no con-
ceito de folga de dualidade (duality gap) da programação linear, e
é usualmente expressa como:
( s k )T x π k
μ= (1.64)
2xNxβ
onde β é um número positivo maior do que 1;0 (tipicamen-
te, μ = 10). O valor inicial para μ pode ser obtido dos valores
iniciais s0 e π0; ou como um outro valor maior que zero (por
exemplo, μ = 5).
Teste de convergência
A convergência do processo iterativo ao longo do qual o
parâmetro μ é reduzido deve ser determinada pelo cumprimen-
to das condições de KKT do problema DE original. Se δ é a
tolerância para convergência (tipicamente, 1 x 10 -8 a 1 x 10 -6),
então a convergência é obtida quando as condições abaixo são
simultaneamente cumpridas:
FT k − λ k + FPT π k ≤ δ
PL − eT p k ≤ δ (1.65)
FP p k + s k − Plim ≤ δ
sikπ ik ≤ δ, i = 1, ..., 2N
44
Despacho econômico de energia
45
1 Despacho econômico de unidades térmicas
46
Despacho econômico de energia
L = i − λ 1 −
∂ ∂F ∂ Pperdas
= 0 (1.71)
∂ Pi ∂ Pi ∂ Pi
Isolando λ no lado direito, tem-se:
1 ∂ Fi ( Pi )
x = λ (1.72)
∂P ∂ Pi
1 − perdas
∂ Pi
Definindo as perdas incrementais relativas ao gerador i e o
Fator de Penalidade associado ao gerador i como, respectivamente:
47
1 Despacho econômico de unidades térmicas
∂ Pperdas
Perdas incrementais para gerador i
(1.73)
∂ Pi
1
Fator de Penalidade para gerador i (1.74)
∂ Pperdas
1−
∂ Pi
Pode-se reescrever a equação (1.72) na forma mais compacta:
dF ( P )
F Pi x i i = λ (1.75)
dPi
Comparando-se a equação (1.75) com a equação corres-
pondente do caso sem perdas supondo geradores livres, dada
pela primeira das equações (1.18). Sem a consideração das per-
das, lembrando que a condição de otimalidade preconiza que
os custos incrementais devem ser todos iguais a λ: na presen-
te situação, entretanto, os custos incrementais devem ser agora
compensados através da ponderação pelos respectivos fatores
de penalidade antes de serem igualados a λ. Esta ponderação
tem o objetivo de fazer refletir no despacho ótimo a influência
da geração de cada gerador individual sobre as perdas.
Suponha, por exemplo, que o aumento da geração do ge-
rador i implique em um aumento das perdas de transmissão do
sistema. Isto significa que as perdas incrementais associadas são
maiores que zero. Considerando que o valor numérico das per-
das incrementais é sempre pequeno, verifica-se que, nesta situa-
ção, F Pi > 1, e, portanto:
dF ( P ) dF ( P )
F Pi i i > i i (1.76)
dPi dPi
Em termos de interpretação gráfica, tudo se passa como se
a curva de custo incremental fosse ligeiramente deslocada para
cima (já que F Pi ; neste caso, é apenas ligeiramente maior que 1;0).
48
Despacho econômico de energia
Figura 1.11: Despachos obtidos na ausência e na presença de perdas de transmissão para uma
situação com penalidade.
49
1 Despacho econômico de unidades térmicas
50
Despacho econômico de energia
2 - k = 0;
3 - Calcular p perdas
k
usando a FGP;
4 - Calcular os fatores de penalidade:
1
F pik = , i = 1, ..., N
1 − 2 ∑ Bij p kj – bi
5 - k ← k + 1;
6 - Resolver o sistema de equações lineares de coordena-
ção e obter pi , i = 1, ..., N e λ k +1 :
k +1
51
1 Despacho econômico de unidades térmicas
dFi ( pik +1 )
F pik = = λ k +1 , i = 1, , N ,i = 1, ..., N
dPi
∑ i =1 pik +1 = PL + p perdas
N k
7 - Calcular
p = max pi( k −1) − pi( k ) , i = 1, ..., N
52
Despacho econômico de energia
Levantamento experimental da
fórmula geral das perdas
53
1 Despacho econômico de unidades térmicas
δ Pperdas 1 δ 2 Pperdas
p perdas
k
≈ p 0perdas + ∑ iN=1 (iN=1 ( ) P i k + ∑ iN=1 ∑ Nj =1 ( )
δ Pi 0 2 δ Piδ Pj 0
P k P k (1.85)
i j
54
Despacho econômico de energia
55
1 Despacho econômico de unidades térmicas
2
Comparando as equações (1.83) com (1.100), verifica-se que
os parâmetros da FGP podem agora ser facilmente determina-
dos como:
56
Despacho econômico de energia
1 0T
b0 = ( Pperdas
0
− gT P 0 + P H P 0)
2
bT = g T − ( P 0 )T H (1.101)
1
B= H
2
57
1 Despacho econômico de unidades térmicas
Exemplos
Exemplo 1.1
Considerando-se que o sistema de potência é alimentado
por três unidades geradoras térmicas, cujas funções de taxa de
calor H e limites de geração são dados na tabela 1.1. O combus-
tível para a unidade 1 é o carvão, enquanto que as unidades 2 e
3 são a óleo. Sabendo-se que os preços destes combustíveis são
estimados em:
fcarvão = 1,10 $/MBtu e fóleo = 1,00 $/MBtu
e que a carga a ser alimentada é PL = 850 MW, determine
o despacho econômico das três unidades.
Solução:
Em primeiro lugar, é importante enfatizar que, em proble-
ma desta natureza, parte-se da premissa que as três unidades de-
58
Despacho econômico de energia
59
1 Despacho econômico de unidades térmicas
e
λ = 9,148 $/MWh
Verifica-se, portanto, que os despachos individuais da má-
quina não desrespeitam os respectivos limites, sendo a solução
encontrada viável. Finalmente,
F T = F1 (P1) + F2 (P2) + F3 (P3) = 8.194,4 $/h
é o custo total de operação correspondente ao despacho
ótimo.
Exemplo 1.2
Reconsiderando o exemplo 1.1, supondo agora que o preço
do carvão foi reduzido para
fcarvão = 0,90 $/MBtu
Como isto afetará o despacho ótimo das três unidades?
Solução:
A alteração no preço do carvão afetará a função-custo da
unidade 1, que será dada por:
F1 (P1) = 459 + 6,48 P1 + 0,00128 P12
Seguindo o mesmo método de solução, se obteria λ =
8,284 $/MWh e
P1 = 704,6 MW ⇒ P1 > P1
P2 = 118,6 MW ⇒ ok.
P3 = 32,6 MW ⇒ P3 < P3
Logo, este despacho não é factível. Como segunda tentati-
va de solução, fixa-se P1 e P3 nos seus valores máximo e mínimo,
respectivamente, deixando P2 livre. Usando a restrição de balan-
ço de carga, obtém-se:
P1 = 600 MW
P2 = 200 MW
P3 = 50 MW
60
Despacho econômico de energia
61
1 Despacho econômico de unidades térmicas
Exemplo 1.3
Reconsiderando o despacho econômico determinado no
exemplo 1.1 e supondo-se que a carga do sistema evolui para
PL = 900 MW. Use os fatores de participação para atualizar o
despacho ótimo das três unidades.
Solução:
Usando a equação (1.35) e os dados do exemplo 1, tem-se:
1
0, 003124
ƒ part 1 = = 0, 47
1 1 1
+ +
0, 003124 0, 003388 0, 00964
1
0, 00388
ƒ part 2 = = 0, 38
1 1 1
0, 003124 + 0, 003388 + 0, 00964
1
0, 00964
ƒ part 3 = = 0,15
1 1 1
0, 003124 + 0, 003388 + 0, 00964
62
Despacho econômico de energia
Exemplo 1.4
Considera-se o caso de duas unidades geradoras, cujos cus-
tos incrementais em $/MWh são dados nos gráficos da figu-
ra 1.10. Supondo carregamentos variáveis desde 70 a 380 MW,
construa uma tabela que forneça, para cada carregamento, o
despacho mais econômico.
Figura 1.12: Características de custos incrementais constantes por partes de duas unidades
térmicas.
63
1 Despacho econômico de unidades térmicas
Solução:
A partir das características de custo incremental da figura
1.9, pode-se construir a tabela 1.3.
Usando a tabela, pode-se determinar o despacho ótimo
para uma dada carga. Por exemplo, para um carregamento PL =
300 MW, a tabela indica que a unidade 2 deverá gerar 125 MW,
enquanto a unidade 1, que é a unidade que acompanha o cresci-
mento da carga na faixa de 275 a 325 MW, deve gerar 175 MW.
O custo marginal do sistema para este carregamento é igual ao
custo incremental da unidade 1, ou seja, λ = 10 $/MWh.
É interessante notar que o método de despacho por em-
pilhamento, que, conforme foi visto, é oriundo de uma apro-
ximação linear por partes nas curvas de geração, passou a ser
objeto de interesse renovado com o advento da reestruturação
dos setores elétricos. Especificamente, este método é particu-
larmente útil nos casos em que a operação do sistema é baseada
em ofertas de energia feitas pelos agentes geradores, as quais
devem ser selecionadas pelo Operador do Sistema de forma a
se obter a operação mais econômica possível. Neste caso, cada
agente gerador oferta blocos de energia com preços crescentes
com o nível de potência, em uma configuração similar à descrita
pelas curvas de custo incremental de geração da figura 1.9. O
procedimento adotado pelo Operador é essencialmente o em-
pilhamento das ofertas em função dos respectivos preços, de
forma similar à ilustrada neste exemplo.
Exemplo 1.5
Considera-se três unidades geradoras cujas funções custo
F1, F2 e F3 são dadas. A carga do sistema é PL = 100 MW e a tole-
rância para convergência é δ = 1,0 MW. Determine o despacho
econômico através do método da secante.
64
Despacho econômico de energia
Solução:
Os custos incrementais das três unidades são:
F1' = 0,10 + 0, 02 P1
F2' = 0,15 + 0, 03 P2
F3' = 0, 20 + 0, 02 P3
Partindo de λ(1) = 1,0 $/MWh e seguindo os passos do
algoritmo, tem-se:
1. λ1 = 1,0
2. k = 1
1, 0 − 0,1
3. P1(1) = = 45, 0 MW ok
0, 02
1, 0 − 0,15
P2(1) = = 28, 3 MW ok
0, 03
1, 0 − 0, 2
P3(1) = = 40, 0 MW > P3 P3 = 30 MW
0, 02
4. PL(1) = 45 + 28, 3 + 30 = 103, 3 MW
65
1 Despacho econômico de unidades térmicas
8. PL(2 ) = 40 + 25 + 30 = 95 MW
13. PL − PL = 0, 0 MW < δ
(2 )
convergência
Portanto, o despacho econômico resultante para PL = 100
MW é:
P1 = 43,0 MW; P2 = 27,0 MW; P3 = 30,0 MW
Além disso,
λ = 0,96 $/MWh
é o custo marginal para o carregamento considerado.
Exemplo 1.6
Seja o sistema de duas barras da figura 1.12. Os geradores
G1 e G2 tem limites e funções-custo iguais, isto é:
F1 (P1) = F2 (P2) = F(P)
P1 = P2 = P
P1 = P2 = P
66
Despacho econômico de energia
Onde,
F(P) = 400 + 2,0 P + 0,02 P2 $/h, P = 70 MW, P = 400 MW
Solução:
a) Ignorando as perdas: como os geradores são iguais, esta
solução fornece:
P1 = P2 = 250 MW
Porém este valor de P1 na verdade provoca perdas iguais a
Pperdas = (2 x 10 -4 ) x 2502 = 12,5 MW
e por conseguinte a potência que chega à carga é
Pd = 487,5 < 500 MW.
Conclui-se, portanto, que a carga não é atendida.
b) Ignorando a influência econômica das perdas: para aten-
der a carga e as perdas, pode-se pensar em carregar a
67
1 Despacho econômico de unidades térmicas
L = F1' (P1 ) − λ 1 –
∂ ∂ Pperdas
=0
∂ P1 ∂ P1
L = F2' (P2 ) − λ 1 –
∂ ∂ Pperdas
=0
∂ P2 ∂ P2
P1 + P2 − PL − Pperdas = 0
Substituindo os valores numéricos:
2,0 + 0,004 P1 - λ (1 – 0,0004 P1 ) = 0
2,0 + 0,004 P2 - λ = 0
P1 + P2 -500 – 0,0002 P12 = 0
Nota-se que este sistema de equações é não-linear (produ-
tos λ x Pi e termos não-lineares em P1 devido às perdas). Resol-
68
Despacho econômico de energia
69
1 Despacho econômico de unidades térmicas
Exemplo 1.7
Retornando-se ao exemplo 1.1, mas agora incluindo uma
expressão simplificada para as perdas de transmissão, que são
dadas por:
Pperdas = 3 x 10 -5 P12 + 9 x 10 -5 P22 + 12 x 10 -5 P32
Nota-se que esta expressão corresponde a um caso particu-
lar da FGP, em que:
b0 = 0, b = 0, B = diag {3, 9, 12} x 10 -5
Solução:
∂ Fi ∂ Pperdas
= λ 1 −
∂ Pi ∂ Pi
i = 1 ⇒ FP1 x (7,92 x 0,003124 P1 ) = λ; FP1 = (1 – 6 x 10-5 P1 )-1
i = 2 ⇒ FP2 x (7,85 x 0,00388 P2 ) = λ; FP2 = (1 – 18 x 10-6 P2 )-1
i = 3 ⇒ FP3 x (7,97 x 0,00964 P3 ) = λ; FP3 = (1 – 24 x 10-6 P3 )-1
e
P1 + P2 + P3 – 850 – Pperdas = 0
Trata-se, portanto, de um conjunto de 4 equações não-line-
ares e 4 incógnitas. A aplicação do algoritmo para DE conside-
rando as perdas é:
1 - P1 = 400; P2 = 300; P3 = 150; k = 0
∂ Pperdas
2 - = 2 × 9 × 10 −5 × 400 = 0, 024
∂ Pi
∂ Pperdas
= 2 × 9 × 10 −5 × 300 = 0, 054
∂ P2
∂ Pperdas
= 2 × 12 × 10 −5 × 150 = 0, 036
∂ P3
3 - k = 1
4 - FP1 x (7,92 x 0,003124 P1 ) = λ; FP1 = (1 – 0,024)-1 =
1,0246
70
Despacho econômico de energia
9,5252
5 - P (1) − P (0 ) é grande → retornar ao passo 2 do
algoritmo.
Na convergência, os resultados obtidos são dados abaixo e
comparados com o caso sem perdas obtido no exemplo 1.1.
71