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PROVA DE MATEMÁTICA EFOMM 2015-2016 (BRANCA)

(ENUNCIADOS)

1) Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada
lançamento, anota-se o número obtido na face superior do dado, formando-se uma sequência
 a, b, c  . Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de a e que c seja sucessor de b OU que a, b e
c sejam primos?
4
a)
216
27
b)
216
108
c)
216
31
d)
216
10
e)
216

2
2) O valor da integral   2  tg 3  2x   sec  2x   dx , sendo c uma constante, é
a) sec2  2x   tg2  2x   c
sec 2  2x   tg 2  2x   c
b)
tg  2x 
c) arctg  ln x   c
tg 7  2x 
d) c
7
e) tg  2x   sen  2x   c

3) De acordo com conceitos administrativos, o lucro de uma empresa é dado pela expressão
matemática L  R  C , onde L é o lucro, C o custo da produção e R a receita do produto. Uma
indústria produziu x peças e verificou que o custo de produção era dado pela função
C  x   x 2  500x  100 e a receita representada por R  x   2000x  x 2 . Com base nessas
informações, determine o número de peças a serem produzidas para que o lucro seja máximo.
a) 625
b) 781150
c) 1000
d) 250
e) 375

2 4t
4) O valor de lim é:
t 0 t
a) 1
1
b)
4
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1
c)
3
1
d)
2
e) 2

5) A solução do sistema:
x  y  z  w  7
 xy  xz  xw  yz  yw  zw  4


 xyz  xyw  xzw  yzw  6
 xyzw  1
pode ser representada pelas raízes do polinômio:
a) x3  6x 2  4x  7
b) x3  6x 2  4x  7
c) 2x 4 14x3  8x 2 12x  2
d) 7x 4  4x3  6x 2  x
e) x 4  7x3  4x 2  6x

5
6) Sabendo que é uma raiz do polinômio P  x   2x3  3x 2  9x  10 , a soma das outras raízes é
2
igual a:
a) 2
b) 0
c) 10
d) 1
e) 1

7) Seja o número complexo z  1  3 i , onde i é a unidade imaginária. O valor de z8 é:

 4 4 
a) z  256  cos  i sen 
 3 3 
  
b) z  256  cos  i sen 
 3 3
 5 5 
c) z  256  cos  i sen 
 3 3 
 2 2 
d) z  256  cos  i sen 
 3 3 
e) z  256  cos 2  isen 2

8) Determine o perímetro do triângulo ABD, em cm, representado na figura abaixo:

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a) 5 3  5
b) 5  2  2   3  1
c) 20  4 5
d) 45
e) 50

9) Determine o comprimento do menor arco AB na circunferência de centro O, representada na

ˆ  30 e OAB
figura a seguir, sabendo que o segmento OD mede 12 cm, os ângulos COD ˆ  15 e
que a área do triângulo CDO é igual a 18 cm2 .

a) 5 cm
b) 12 cm
c) 5 cm
d) 12 cm
e) 10 cm

10) Dados os pontos A  2,5 , B 1,1 e C  1, 1 , o valor da altura do triângulo ABC em relação à
base AC é igual a:
a) 37
b) 5
c) 8
14 37
d)
37
e) 7

11) Numa progressão geométrica crescente, o 3º termo é igual à soma do triplo do 1º termo com o
dobro do 2º termo. Sabendo que a soma desses três termos é igual a 26, determine o valor do 2º
termo.

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a) 6
b) 2
c) 3
d) 1
26
e)
7

12) Determine a imagem da função f, definida por f  x   x  2  x  2 , para todo x  , onde

é o conjunto dos números reais.
a) Im  f  
b) Im  f   y  | y  0
c) Im  f   y  | 0  y  4
d) Im  f   y  | y  4
e) Im  f   y  | y  0

13) Quanto à posição relativa, podemos classificar as circunferências  x  2    y  3  9 e

2 2

x 2  y2  8x  15  0 como
a) secantes.
b) tangentes internas.
c) tangentes externas.
d) externas.
e) internas.

14) A quantidade de anagramas da palavra MERCANTE que não possui vogais juntas é
a) 40320
b) 38160
c) 37920
d) 7200
e) 3600

  e x e x
15) Um aluno precisa construir o gráfico da função real f, definida por f x   . Ele
2 2
 
e x e  x e x e x
percebeu que a função possui a seguinte característica: f   x       f  x .
2 2 2 2
Assinale a alternativa que representa o gráfico dessa função.

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16) Seja um quadrado de lado 2. Unindo os pontos médio de cada lado, temos um segundo quadrado.
Unindo os pontos médios do segundo quadrado, temos um terceiro quadrado, e assim
sucessivamente. O produto das áreas dos dez primeiros quadrados é
9

a) 2 2
25

b) 2 2
45

c) 2 2

d) 245
e) 225

17) O número complexo, z  z   cos   i  sen  , sendo i a unidade imaginária e 0    2 , que

satisfaz a inequação z  3i  2 e que possui o menor argumento  , é

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5 2 5
a) z    i
3 3
5 2 5
b) z    i
3 3
2 5 5
c) z    i
3 3
2 5 5
d) z    i
3 3
e) z  2 5  5i

18) Seja o polinômio p  x   x6  26x 4  32x3 147x 2  96x 180 . A respeito das raízes da equação
p  x   0 , podemos afirmar que
a) todas as raízes são reais.
b) somente duas raízes são reais, sendo elas distintas.
c) somente duas raízes são reais, sendo elas iguais.
d) somente quatro raízes são reais, sendo todas elas distintas.
e) nenhuma raiz é real.

19) Um garrafão contém 3 litros de vinho. Retira-se um litro de vinho do garrafão e acrescenta-se um
litro de água, obtendo-se uma mistura homogênea. Retira-se, a seguir, um litro da mistura e
acrescenta-se um litro de água, e assim por diante. A quantidade de vinho, em litros, que resta no
garrafão, após 5 dessas operações, é aproximadamente igual a
a) 0,396
b) 0,521
c) 0,676
d) 0,693
e) 0,724

20) Seja uma esfera de raio R e um cubo de aresta A, ambos com a mesma área de superfície. A
razão entre o volume do cubo e o volume da esfera é igual a
1
a)


b)
12
2
c)
3

d)
3

e)
6

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RESPOSTAS E QUADRO RESUMO DOS ASSUNTOS ABORDADOS

1) e (Probabilidade)
2) d (Integral)
3) a (Função quadrática)
4) b (Limite)
5) c (Equações polinomiais)
6) e (Equações polinomiais)
7) d (Números complexos)
8) b (Trigonometria no triângulo retângulo)
9) a (Geometria plana - circunferência)
10) d (Geometria analítica – reta)
11) a (Progressões)
12) c (Função modular)
13) a (Geometria analítica – circunferência)
14) d (Análise combinatória)
15) c (Função exponencial)
16) e (Progressões)
17) c (Números complexos)
18) b (Equações polinomiais)
19) a (Progressões)
20) e (Geometria espacial)

(*) Enunciado adaptado, pois a questão proposta originalmente foi anulada.

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(RESOLUÇÃO)

1) Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada
lançamento, anota-se o número obtido na face superior do dado, formando-se uma sequência
 a, b, c  . Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de a e que c seja sucessor de b OU que a, b e
c sejam primos?
4
a)
216
27
b)
216
108
c)
216
31
d)
216
10
e)
216

RESPOSTA: e

RESOLUÇÃO:
No primeiro caso a sequência de números deve ter a forma  a, a  1, a  2  . Os casos favoráveis são
1, 2,3 ,  2,3, 4  ,  3, 4,5 e  4,5, 6  , ou seja, 4 casos.
No segundo caso, os valores possíveis para a, b e c são 2, 3 e 5. O número de casos favoráveis é
3!  6 .
O número de elementos do espaço amostral é #    63  216 e o total de casos favoráveis é
#  A   4  6  10 (observe que os dois conjuntos de casos favoráveis são disjuntos).
#  A  10
Portanto, a probabilidade pedida é P   .
#    216

2
2) O valor da integral   2  tg 3  2x   sec  2x   dx , sendo c uma constante, é
a) sec2  2x   tg2  2x   c
sec 2  2x   tg 2  2x   c
b)
tg  2x 
c) arctg  ln x   c
tg 7  2x 
d) c
7
e) tg  2x   sen  2x   c

RESPOSTA: d

RESOLUÇÃO:

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tg  2x   u  du  sec2  2x   2dx

 3    
2 6  2  u7 tg 7  2x 
 2  tg 2x  sec 2x  dx   tg 2x  2sec 2x dx   u 6
du   c  c
7 7

3) De acordo com conceitos administrativos, o lucro de uma empresa é dado pela expressão
matemática L  R  C , onde L é o lucro, C o custo da produção e R a receita do produto. Uma
indústria produziu x peças e verificou que o custo de produção era dado pela função
C  x   x 2  500x  100 e a receita representada por R  x   2000x  x 2 . Com base nessas
informações, determine o número de peças a serem produzidas para que o lucro seja máximo.
a) 625
b) 781150
c) 1000
d) 250
e) 375

RESPOSTA: a

RESOLUÇÃO:
O lucro quando são produzidas x peças é dado por
L  x   R  x   C  x    2000x  x 2    x 2  500x  100  2x 2  2500x 100 .
Como essa é uma função quadrática de coeficiente líder negativo, então ela possui ponto de máximo
2500
que ocorre em x V   625 .
2   2 
Portanto, devem ser produzidas 625 peças.

2 4t
4) O valor de lim é:
t 0 t
a) 1
1
b)
4
1
c)
3
1
d)
2
e) 2

RESPOSTA: b

RESOLUÇÃO:
0
O limite é da forma , então, aplicando o teorema de L’Hôpital, temos:
0
1 1 2
  4  t    1
2 4t 1 1 1 1 1
lim  lim 2  lim    .
t 0 t t 0 1 2 t 0 4  t 2 4 4

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5) A solução do sistema:
x  y  z  w  7
 xy  xz  xw  yz  yw  zw  4


 xyz  xyw  xzw  yzw  6
 xyzw  1
pode ser representada pelas raízes do polinômio:
a) x3  6x 2  4x  7
b) x3  6x 2  4x  7
c) 2x 4 14x3  8x 2 12x  2
d) 7x 4  4x3  6x 2  x
e) x 4  7x3  4x 2  6x

RESPOSTA: c

RESOLUÇÃO:
Seja P  x   a 0 x 4  a1x 3  a 2 x 2  a 3x  a 4 o polinômio de 4º grau (que possui 4 raízes), cujas raízes
são x, y, z e w.
Pelas relações de Girard (relações entre coeficientes e raízes), temos:
a
1  1  x  y  z  w  7  a1  7a 0
a0
a
 2  2  xy  xz  xw  yz  yw  zw  4  a 2  4a 0
a0
a
3  3  xyz  xyw  xzw  yzw  6  a 3  6a 0
a0
a
 4  4  xyzw  1  a 4  a 0
a0
Sendo assim, o polinômio é dado por P  x   a 0 x 4  7a 0 x 3  4a 0 x 2  6a 0 x  a 0 .
Fazendo a 0  2 , temos P  x   2x 4 14x3  8x 2 12x  2 .

5
6) Sabendo que é uma raiz do polinômio P  x   2x3  3x 2  9x  10 , a soma das outras raízes é
2
igual a:
a) 2
b) 0
c) 10
d) 1
e) 1

RESPOSTA: e

RESOLUÇÃO:

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5
Sejam r1  , r2 e r3 as três raízes do polinômio P  x   2x3  3x 2  9x  10 , então, pelas relações
2
  3 3
de Girard, a soma dessas raízes é 1  r1  r2  r3   .
2 2
5 5 3
r1    r2  r3   r2  r2  1
2 2 2
Portanto, a soma das outras raízes é 1.

7) Seja o número complexo z  1  3 i , onde i é a unidade imaginária. O valor de z8 é:

 4 4 
a) z  256  cos  i sen 
 3 3 
  
b) z  256  cos  i sen 
 3 3
 5 5 
c) z  256  cos  i sen 
 3 3 
 2 2 
d) z  256  cos  i sen 
 3 3 
e) z  256  cos 2  isen 2

RESPOSTA: d

RESOLUÇÃO:
 1 3   4 4 
z  1  3 i  2    i   2  cos  i sen 
 2 2   3 3 
Pela 1ª fórmula de De Moivre, temos:
  4   4    32 32   2 2 
z8  28  cos  8    i sen  8     256  cos  i sen   256  cos  i sen 
  3   3   3 3   3 3 
32 30  2 2
Note que   5   2   .
3 3 3

8) Determine o perímetro do triângulo ABD, em cm, representado na figura abaixo:

a) 5 3  5
b) 5  2  2   3  1

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c) 20  4 5
d) 45
e) 50

RESPOSTA: b

RESOLUÇÃO:
No triângulo retângulo ACD, temos:
3 1
 x  3  1  10  x   5  3  1 .
x 1 10
tg 30   
x  10 3 3 1 3 1
No triângulo retângulo ABD, temos: y2  x 2  x 2  2x 2  y  x 2 .
Logo, o perímetro do triângulo ABD é 2p  2x  y  2x  x 2  5  2  2   3  1 .

9) Determine o comprimento do menor arco AB na circunferência de centro O, representada na

ˆ  30 e OAB
figura a seguir, sabendo que o segmento OD mede 12 cm, os ângulos COD ˆ  15 e
2
que a área do triângulo CDO é igual a 18 cm .

a) 5 cm
b) 12 cm
c) 5 cm
d) 12 cm
e) 10 cm

RESPOSTA: a

RESOLUÇÃO:

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Como O é o centro da circunferência, então OA  OB  OC (raios).

ˆ  OAB
O triângulo OAB é isósceles, pois OA  OB , então OBA ˆ  15 e AOB
ˆ  180  2 15  150
.
OC  OD OC 12 1
SCOD  sen 30    18  OC  6
2 2 2
Portanto, o menor arco AB é um arco de 150º em uma circunferência de raio 6 cm e seu
150
comprimento é 2  6   5 cm .
360

10) Dados os pontos A  2,5 , B 1,1 e C  1, 1 , o valor da altura do triângulo ABC em relação à
base AC é igual a:
a) 37
b) 5
c) 8
14 37
d)
37
e) 7

RESPOSTA: d

RESOLUÇÃO:
1 1 1
1 1 1
A área do triângulo ABC é dada por S  2 1 1  1  5  2  5  2  1  14  7 .
2 2 2
5 1 1

O lado AC mede AC   1   2     1  5   37 .
2 2

Sendo h a altura relativa ao lado AC e considerando a área do triângulo ABC, temos

AC  h 37  h 14 37
S 7 h .
2 2 37

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11) Numa progressão geométrica crescente, o 3º termo é igual à soma do triplo do 1º termo com o
dobro do 2º termo. Sabendo que a soma desses três termos é igual a 26, determine o valor do 2º
termo.
a) 6
b) 2
c) 3
d) 1
26
e)
7

RESPOSTA: a

RESOLUÇÃO:
Seja a PG : a1 , a 2 , a 3 de razão q. Para que a PG seja crescente, devemos ter a1  0 e q  1 .
a 3  3a1  2a 2  a1q 2  3a1  2a1q  q 2  2q  3  0  q  1  q  3
a1  a 2  a 3  26  a1 1  q  q 2   26  a1  1  3  32   26  a1  2
Logo, o segundo termo da PG é a 2  a1  q  2  3  6 .

12) Determine a imagem da função f, definida por f  x   x  2  x  2 , para todo x  , onde

é o conjunto dos números reais.
a) Im  f  
b) Im  f   y  | y  0
c) Im  f   y  | 0  y  4
d) Im  f   y  | y  4
e) Im  f   y  | y  0

RESPOSTA: c

RESOLUÇÃO:
x  2  f  x    x  2    x  2   4  4  Im1  4
2  x  2  f  x    x  2     x  2   2x  2 x  Im 2  0, 4
x  2  f  x    x  2    x  2   4  4  Im3  4
Im  f   Im1  Im2  Im3  4  0, 4  4  y  | 0  y  4

13) Quanto à posição relativa, podemos classificar as circunferências  x  2    y  3  9 e

2 2

x 2  y2  8x  15  0 como
a) secantes.
b) tangentes internas.
c) tangentes externas.
d) externas.
e) internas.

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RESPOSTA: a

RESOLUÇÃO:
A circunferência  x  2    y  3  9 tem centro O1  2, 3  e raio R1  3 .
2 2

A circunferência x 2  y 2  8x  15  0  x 2  8x  16  y 2  16  15   x  4   y 2  1 tem centro

2

O 2  4, 0  e raio R 2  1 .

A distância entre seus centros é O1O 2   2  4    3  0   13 .

2 2

Como 3  1  13  3  1  R1  R 2  O1O2  R1  R 2 , então as circunferências são secantes.

Note que, quando as circunferências são secantes, R1 , R 2 e O1O 2 formam um triângulo e, portanto,
devem satisfazer a desigualdade triangular.

14) A quantidade de anagramas da palavra MERCANTE que não possui vogais juntas é
a) 40320
b) 38160
c) 37920
d) 7200
e) 3600

RESPOSTA: d

RESOLUÇÃO:
Seja um anagrama da forma V V V , onde x i , i = 1, 2, 3, 4, representa a quantidade de
x1 x2 x3 x4
consoantes em cada um dos intervalos.
A palavra MERCANTE possui 5 consoantes, então x1  x 2  x 3  x 4  5 .
Como o anagrama não pode possuir vogais juntas, então x 2  0 e x 3  0 .
A resolução da equação linear básica garante que cada variável é maior ou igual a zero. Para
satisfazermos a condição x 2  0 e x 3  0 , devemos fazer o seguinte:
x1  x 2  x 3  x 4  5  x1  x 2  1  x 3  1  x 4  3  x1  y2  y3  x 4  3
y2 y3
Nessa última equação, se y2  x 2  1  0  x 2  1 e y3  x 3  1  0  x 3  1 .
O número de soluções da equação linear é igual ao número de maneiras de ordenar 3 tracinhos e 3
6! 6  5  4
bolinhas, ou seja, P63,3    20 .
3!3! 6
Finalmente, para obter o total de anagramas devemos multiplicar o valor obtido acima pela
permutação das 5 consoantes (distintas) e das 3 vogais (2 iguais e 1 diferente). Assim, temos:
3!
20  P5  P32,1  20  5!  20 120  3  7200 .
2!1!

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e x e x
15) Um aluno precisa construir o gráfico da função real f, definida por f  x    . Ele
2 2
 
e x e  x e x e x
percebeu que a função possui a seguinte característica: f   x       f  x .
2 2 2 2
Assinale a alternativa que representa o gráfico dessa função.

RESPOSTA: c

RESOLUÇÃO:
A característica citada no enunciado, f   x   f  x  , x  , indica que a função f é par e que seu
gráfico é simétrico em relação ao eixo Oy. Isso elimina as alternativas a) e b).
Basta agora encontrar o valor de f  0 para descobrirmos a alternativa correta.
e0 e 0 1 1
f 0     1
2 2 2 2

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Logo, o gráfico correto é o da alternativa c).

16) Seja um quadrado de lado 2. Unindo os pontos médio de cada lado, temos um segundo quadrado.
Unindo os pontos médios do segundo quadrado, temos um terceiro quadrado, e assim
sucessivamente. O produto das áreas dos dez primeiros quadrados é
9

a) 2 2
25

b) 2 2
45

c) 2 2
d) 245
e) 225

RESPOSTA: e

RESOLUÇÃO:

2 1
Os quadrados formados como descrito têm razão de semelhança  . Logo, a razão entre as
2 2
2
 1  1
suas áreas é   2.
 2
Sendo assim, as áreas dos dez primeiros quadrados formam uma progressão geométrica de 1º termo
1
a1  22  4 e razão q  .
2
Portanto, o produto das áreas dos dez primeiros quadrados é
5
10   1    4 1   5 5
9 5
P10   
a1  a10 2   4 4     2  9   2  225 .
 2   2 

17) O número complexo, z  z   cos   i  sen  , sendo i a unidade imaginária e 0    2 , que

satisfaz a inequação z  3i  2 e que possui o menor argumento  , é

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5 2 5
a) z    i
3 3
5 2 5
b) z    i
3 3
2 5 5
c) z    i
3 3
2 5 5
d) z    i
3 3
e) z  2 5  5i

RESPOSTA: c

RESOLUÇÃO:
A inequação z  3i  2  z   3i   2 representa os números complexos cuja distância ao
complexo 3i é menor ou igual a 2. Isso equivale ao círculo de centro em  0, 3 e raio 2 no plano
de Argand-Gauss, conforme figura abaixo.

Assim, o complexo de menor argumento é o correspondente ao ponto A e o de maior argumento é o

correspondente ao ponto B.
Vamos identificar então o número complexo que é afixo do ponto A.
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo OAC, temos: AO2  22  33  AO  5.
2 5
Pelas relações métricas no triângulo retângulo, temos: 3  AD  2  5  AD  e
3
 5 5
2
 3  OD  OD  .
3

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 2 5 5
Portanto, as coordenadas do ponto A são   ,   e o número complexo correspondente é
 3 3
2 5 5
z  i.
3 3

18) Seja o polinômio p  x   x6  26x 4  32x3 147x 2  96x 180 . A respeito das raízes da equação
p  x   0 , podemos afirmar que
a) todas as raízes são reais.
b) somente duas raízes são reais, sendo elas distintas.
c) somente duas raízes são reais, sendo elas iguais.
d) somente quatro raízes são reais, sendo todas elas distintas.
e) nenhuma raiz é real.

RESPOSTA: b

RESOLUÇÃO:
Como de polinômio é de grau par, ele pode ter 0, 2, 4 ou 6 raízes reais.
Vamos testar as possíveis raízes racionais que são os divisores de 180, ou seja,
D 180   1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180 .
p  x   x6  26x 4  32x3 147x 2  96x 180
p 1  16  26 14  32 13 147 12  96 1 180  480
p  1   1  26   1  32   1  147   1  96   1  180  224
6 4 3 2

p  2  26  26  24  32  23 147  22  96  2 180  1568

p  2    2   26   2   32   2   147   2   96   2   180  672
6 4 3 2

p 3  36  26  34  32  33 147  32  96  3 180  4032

p  3   3  26   3  32   3  147   3  96   3  180  1728
6 4 3 2

p  4  46  26  44  32  43 147  42  96  4 180  7524

p  4    4   26   4   32   4   147   4   96   4   180  2660
6 4 3 2

p 5  56  26  54  32  53 147  52  96  5 180  8960

p  5    5   26   5   32   5   147   5   96   5   180  0 (raiz)
6 4 3 2

Como p  x  é de grau par, devemos ter outras raízes reais. Vamos testar mais alguns candidatos a
raízes.
p  6  66  26  64  32  63 147  62  96  6 180  0 (raiz)
Vamos aplicar o algoritmo de Briott-Ruffini para essas duas raízes:
1 0 26 32 147 96 180
5 1 5 1 27 12 36 0
6 1 1 5 3 6 0
 p  x    x  5 x  6   x 4  x 3  5x 2  3x  6 
Vamos estudar o polinômio q  x   x 4  x3  5x 2  3x  6 .

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q  x   x 4  x 3  5x 2  3x  6  x 4  x 3  2x 2  3x 2  3x  6 
 x 2  x 2  x  2   3  x 2  x  2    x 2  3  x 2  x  2 
Assim, temos: p  x    x  5 x  6   x 2  3  x 2  x  2 
Os polinômios x 2  3 e x 2  x  2 (   12  4 1 2  7  0 ) não possuem raízes reais, então o
polinômio p  x  possui duas raízes reais, 5 e 6, e mais quatro raízes complexas.
Dessa forma, o polinômio possui somente duas raízes reais, sendo elas distintas.

19) Um garrafão contém 3 litros de vinho. Retira-se um litro de vinho do garrafão e acrescenta-se um
litro de água, obtendo-se uma mistura homogênea. Retira-se, a seguir, um litro da mistura e
acrescenta-se um litro de água, e assim por diante. A quantidade de vinho, em litros, que resta no
garrafão, após 5 dessas operações, é aproximadamente igual a
a) 0,396
b) 0,521
c) 0,676
d) 0,693
e) 0,724

RESPOSTA: a

RESOLUÇÃO:
Após a primeira operação, no garrafão tem-se uma mistura com 2 litros de vinho e 1 litro de água.
1
Na segunda operação, retira-se 1 litro da mistura, o que corresponde a dessa mistura. Assim,
3
1 1
retira-se do vinho e da água.
3 3
1
A análise dos primeiros passos permite concluir que a cada operação retira-se do vinho e a
3
2
quantidade de vinho restante é da etapa anterior. Portanto, a quantidade de vinho é uma
3
2
progressão geométrica de primeiro termo a1  3 e razão q  . A quantidade de vinho, após cinco
3
5
2 32
dessas operações, é a 6  a1  q 5  3     0,396 .
3 81

20) Seja uma esfera de raio R e um cubo de aresta A, ambos com a mesma área de superfície. A
razão entre o volume do cubo e o volume da esfera é igual a
1
a)


b)
12
2
c)
3

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
d)
3

e)
6

RESPOSTA: e

RESOLUÇÃO:
A área de uma esfera de raio R é Sesfera  4R 2 e a área do cubo de aresta A Scubo  6A 2 .
A 2 2
Como ambos têm a mesma área, então 4R 2  6A 2   .
R2 3
A razão entre o volume do cubo e o volume da esfera é
Vcubo A3 3 A 2 A 3 2 2 1 2 
   2       .
R 3 4 R R 4 3
Vesfera 4 3 2 3 6
3

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