01 Matemática Financeira PDF

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SUMÁRIO
1. PROGRAMA DA DISCIPLINA ........................................................................... 1

1.1 EMENTA .......................................................................................................... 1
1.2 CARGA HORÁRIA TOTAL ................................................................................... 1
1.3 OBJETIVOS ..................................................................................................... 1
1.4 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO ............................................................................. 1
1.5 METODOLOGIA ................................................................................................ 1
1.6 CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO ............................................................................... 1
1.7 BIBLIOGRAFIA ................................................................................................. 1
CURRICULUM VITAE DO PROFESSOR ....................................................................... 2
2. CONCEITOS BÁSICOS ..................................................................................... 3

2.1 OBJETIVO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA ............................................................ 3
2.2 FLUXO DE CAIXA (CASH FLOW) ......................................................................... 3
2.3 RISCO E RETORNO ........................................................................................... 5
2.4 FATORES DE PRODUÇÃO .................................................................................. 6
2.5 JUROS ............................................................................................................ 6
2.5.1 EVOLUÇÃO HISTÓRICA DOS JUROS ................................................................. 7
2.5.2 CLASSIFICAÇÃO DAS TAXAS DE JUROS ........................................................... 8
2.6 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO ........................................................................... 11
2.7 UTILIZANDO A HP-12C .................................................................................... 13
2.8 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO A JUROS SIMPLES .................................................. 54
2.9 OPERAÇÕES DE DESCONTO ............................................................................. 65
2.9.1 DESCONTO SIMPLES “POR FORA” (OU BANCÁRIO OU COMERCIAL) .................... 66
2.9.2 DESCONTO “POR DENTRO” (RACIONAL) ......................................................... 67
2.10 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO A JUROS COMPOSTOS ........................................... 68
2.11.1 CÁLCULOS FINANCEIROS ............................................................................ 74
2.11.2 JUROS COMPOSTOS NO EXCEL .................................................................... 84
2.12 SÉRIE UNIFORME - PRESTAÇÕES IGUAIS ......................................................... 88
2.12.1 SÉRIES UNIFORMES NO EXCEL .................................................................... 96
2.13 TAXAS DE JUROS EQUIVALENTES ................................................................... 97
3. REGIMES DE AMORTIZAÇÃO ....................................................................... 105

3.1 SISTEMA HAMBURGUÊS OU SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) ....... 105
3.2 SISTEMA FRANCÊS (TABELA PRICE) ................................................................ 105
3.3 SISTEMA AMERICANO ................................................................................... 107
3.4 OUTROS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO ............................................................ 107
3.4.1 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE (SACRE) ......................................... 107
3.4.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) .................................................... 108
4. INDICADORES DE ANÁLISE DE PROJETOS E INVESTIMENTOS .................... 113

4.1 TEMPO DE RETORNO DO CAPITAL INVESTIDO (PAYBACK SIMPLES) .................... 113
4.2 PAYBACK DESCONTADO ................................................................................ 115
4.3 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL OU NPV) ....................................................... 117
4.3.1 VALOR PRESENTE LÍQUIDO NO EXCEL .......................................................... 122
4.4 TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR OU IRR) ...................................................... 123
4.4.1 TAXA INTERNA DE RETORNO NO EXCEL ........................................................ 127
4.5 ÍNDICE DE LUCRATIVIDADE (IL) ..................................................................... 128
5. EXERCÍCIOS PROPOSTOS ........................................................................... 132

1
1. PROGRAMA DA DISCIPLINA
1.1 Ementa
Relação fundamental e taxas de juros. Regime de juros simples. Regime de juros
compostos. Séries uniformes de pagamentos. Sistemas de amortização. Métodos de
análise de fluxos de caixa. Desconto.
1.2 Carga horária total

24 horas de aula
1.3 Objetivos
Apresentar os conceitos fundamentais e notações utilizadas em Matemática Financeira.
Destacar os principais métodos de cálculo e de análise financeira.
Aplicação dos conceitos e métodos apresentados.
1.4 Conteúdo programático

Risco e Retorno Conceitos Gerais
Regimes de Conceitos gerais
Capitalização Representação de um fluxo de caixa
Regime de juros simples
Regime de juros compostos
Séries uniformes de pagamentos
Sistemas de Conceitos gerais
amortização Sistema de amortização francês
Sistema de amortização constante (SAC)
Sistema Americano
Métodos de análise de Conceituação
Empresas e Projetos Método Payback simples e corrigido
Método do valor presente líquido
Método da taxa interna de retorno
Método do índice de lucratividade
1.5 Metodologia
Aulas teóricas expositivas intercaladas com sessões de exercícios de aplicação.
1.6 Critérios de avaliação

Prova individual sem consulta 70%
Trabalho 30%
1.7 Bibliografia
Bibliografia Básica
MENDONÇA, Luís Geraldo. MATEMÁTICA FINANCEIRA, 9ª Ed, Rio de Janeiro; FGV , 2007.
Matemática Financeira
2
Curriculum Vitae do professor

Luis Cláudio Meirelles de Medeiros é mestre em Administração pela Fundação Getúlio
Vargas, pós-graduado em Engenharia Econômica pela UERJ e em Docência Superior pela
UNESA, e bacharel em Economia e Administração pela PUC/RJ. É professor convidado da
FGV e professor Assistente da UFRRJ. Sua experiência profissional inclui o exercício do
cargo de coordenador do Curso de Administração de Empresas da Universidade Católica
de Petrópolis, Universidade Estácio de Sá, e Vice-Coordenador do Curso de Gestão
Ambiental no ITR da UFRRJ, além de ministrar aulas nos cursos de pós-graduação em
Instituições como UCP, UERJ, UFRRJ e UNESA e graduação em cursos de Administração,
Contabilidade, Economia e Engenharia. Atuou como consultor para empresas públicas e
privadas. Foi gerente financeiro de uma empresa de telecomunicações e sócio de uma
empresa de engenharia.
3
2. CONCEITOS BÁSICOS
2.1 Objetivo da Matemática Financeira

Segundo Gitman (2004) é a arte e a ciência da gestão do dinheiro ao longo do tempo. O
dinheiro tem um valor diferente ao longo do tempo. Uma cédula de R$100,00,
independentemente da inflação, não tem o mesmo valor ao longo do tempo. Sempre será
mais desejada, e assim mais valorizada, em datas presentes do que em datas futuras.
2.2 Fluxo de caixa (cash flow)

O fluxo de caixa é um esquema que representa as entradas de caixa (recebimentos) e as
saídas de caixa (pagamentos) ao longo do tempo. Por convenção, quando representamos
graficamente um fluxo de caixa, a flecha no sentido para baixo representa um pagamento
e a flecha no sentido para cima um recebimento. Desta forma, um fluxo de caixa pode ser
representado pelo diagrama abaixo:
Entrada de FC (+)
Tempo
0 1 2 ... 6
Saída de FC (-)
O Fluxo de Caixa é um instrumento de representação gráfico que sintetiza todas as

entradas e saídas de recursos ao longo do tempo.
Os Fluxos de Caixas podem ser classificados como Fluxo de Caixa Convencional ou não
Convencional. Os fluxos de caixa convencionais são aqueles que apresentam uma saída
de caixa, por exemplo, um investimento inicial, e nos demais instantes entradas de
caixa, geradas pelas receitas obtidas com o ativo instalado.
Já os Fluxos de Caixa não convencionais, apresentam, por exemplo, mais de uma saída
de caixa. Como mera ilustração, podemos imaginar um investimento inicial, a qual gera
recebimentos por diversos meses, mas em determinado momento, requer uma nova
saída de caixa, que pode ser um reparo, e assim representar outras saídas de caixa
além do investimento inicial. As figuras a seguir, representam, respectivamente, um
Fluxo de Caixa Convencional e um Fluxo de Caixa não Convencional.
4
Entradas de FC (+)
Tempo
0 1 2 3 4 5
Saída de FC (-)
Entradas de FC (+)
3 n
Tempo
0 1 2 4 5
Saída de FC (-)
A Calculadora Financeira HP-12C sempre trabalha com entradas e saídas de caixa.

Assim, se o Valor Presente for positivo (representando uma entrada) o cálculo do Valor
Futuro exibirá um sinal negativo (representando uma saída), e vice versa. É
fundamental estar atento para este detalhe, pois se inserirmos os dados na calculadora
e não atentarmos para o sinal, ela exibira uma mensagem de erro.
Existem denominações específicas para cada tipo de fluxos de caixas gerados por
diferentes ativos. As ações, por exemplo, geram fluxos de caixas denominados dividendos,
os imóveis geram os alugueres como fluxos de caixas, as debêntures geram os juros e as
patentes os royalties.
5
Exercício Resolvido:
Considere que Laura investiu R$100mil na compra de um imóvel comercial que pode
ser alugado por R$1mil mensais. Suponha que ele quer manter esse imóvel por um ano e,
no mês seguinte, vendê-lo por R$120mil. Represente graficamente o fluxo de caixa.
Solução:
120.000
1.000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
100.000
2.3 Risco e Retorno

O Risco pode ser definido como a probabilidade de se ter um resultado diferente do
esperado. Quanto maior o risco de um projeto maior o seu retorno esperado.
Graficamente:
retorno
risco
6
A matemática financeira fornece ao gestor financeiro subsídios para o processo de

tomada de decisão sobre como obter recursos e como distribuí-los. Assim:
Fluxo de Caixa dos

Ativos
Análise / Decisão
Avaliação
Relação Risco X
Retorno
2.4 Fatores de produção

Em relação à economia, os fatores de produção são constituídos de trabalho (L),
capital (K) e recursos naturais (T)1. A cada fator de produção está associada uma
remuneração que são: salário, juro e aluguel.
2.5 Juros
De forma sintetizada, podemos definir os Juros como sendo a remuneração
atribuída ao fator de capital (K), isto é, se 100 unidades monetárias são trocadas hoje por
110 a serem recebidas daqui a um período, o prêmio sobre a quantidade de moeda em
termos de moeda futura são 10 unidades.
Porém este conceito vem sendo discutido ao longo de séculos. Tal discussão
envereda por um viés multidisciplinar, que aborda questões éticas, econômicas, jurídicas
e religiosas, que será apresentado no item seguinte.
1Há uma ruptura na Academia, pois alguns autores consideram, também como fatores de produção
a Tecnologia e os Insumos.
7
2.5.1 Evolução histórica dos Juros

Os juros constituem um preço pelo uso da moeda. Porém os Juros podem ser
analisados sob uma outra ótica: como sendo o preço pelo não pagamento de uma
obrigação. Assim, os juros pode assumir um aspecto compensatório e, no segundo caso,
há uma natureza moratória.
Seja por qualquer um destes aspectos, a cobrança de juros sempre gerou
muita polemica e deu origem à discussões que se estenderam pelas áreas econômicas,
jurídicas e religiosas.
Na antiguidade o conceito de juros e o de usura ainda não estavam bem
definidos, muitas vezes eram utilizados como sinônimos. Nesta época a cobrança de juros
era denominada de usura.
Tal tema foi regulamentado nos primeiros códigos legais, como o código de
Hamurabi, e a Lei das XII Tábuas, ambas legislações combatiam a prática da usura. Os
filósofos gregos observavam que este era um fenômeno social espontâneo. Nesta época a
usura era definida como sendo toda a moeda que utilizada para gerar mais moeda.
Na Idade Média, o Direito Canônico, referia-se à usura como um pecado. Tal

prática era combatida pois o usuráio era visto como um alguém que vendia algo que não
lhe pertence: emprestar dinheiro e cobrar juros era uma forma de vender a diferença
temporal entre o empréstimo e o reembolso, e o tempo, para a Igreja Católica, pertence
à Deus. Outras religiões combateram também esta prática. A Torá, escrita sagrada do
judaísmo, refere-se a juros como “neshech”, que significa mordida de animal peçonhento.
O Alcorão, livro sagrado do Islamismo, fala que aquele que empresta a juros é almadiçoado
por Deus.
No século XV começam a surgir definições para diferenciar a usura da cobrança

de juros. Juro era a taxa cobrada dentro dos valores legais, já a usura seria a cobrança de
taxas superiores ao limite estipulado pela lei. Desta forma, os juros seriam válidos e
amparados pela lei.
A Reforma Protestante, e principalmente o Calvinismo, foram a tentativa de

derrubar alguns dogmas da Igreja Católica e justificar as práticas exercidas pela burguesia.
Sob esta nova ótica, a prática da usura não era mais considerada um pecado.
A Revolução Francesa, no século XVII, consolidou as novas práticas da

burguesia, seu lema principal era o princípio do liberalismo econômico (laissez faire, laissez
passer) onde a fixação de limites das taxas de juros ficava relacionada ao desenvolvimento
econômico.
Atualmente a cobrança de juros é uma prática corriqueira nas sociedades

modernas. E a popularização dos juros deu origem a diversos termos, como juros nominais,
juros reais e juros efetivos, juros simples e juros compostos. Resta-nos definir e classificar
as diferentes taxas de juros encontradas em nosso cotidiano.
8
2.5.2 Classificação das Taxas de Juros

A taxa de juros pode ser classificada quanto ao regime de capitalização e quanto à
incorporação, ou não, dos efeitos inflacionários em um determinado período.
Quando classificamos quanto ao regime de capitalização, os juros podem ser
classificados como Juros Simples ou Juros Compostos2.
Quando classificamos quanto à incorporação do efeito inflacionário, as taxas de juros
podem ser classificados como taxas de juros Reais (também chamadas de Efetivas) ou
taxas de juros Nominais.
A relação entre as taxas de juros reais e nominais é descrita pela equação de Fisher:
1 1 1
Onde:

çã
Tais classificações não são mutuamente excludentes3.
Em uma operação financeira, com taxas pré-fixadas, um banco empresta R$120.000,00
para ser pago, em um ano, por meio de um único pagamento de R$132.000,00. Sabendo-
se que a inflação, durante o período do empréstimo, foi de 5% ao ano. Calcule a taxa de
juros real e nominal deste empréstimo.
132.000/120.000 = 1,10
1,10 – 1,00 = 0,10
Assim, a taxa de juros nominal foi de 10% a.a.
2
Tais conceitos serão apresentados no item seguinte.
3
Assim, podemos ter taxa de juros nominais simples ou composta, assim como taxas
de juros reais simples ou composta.
9
Porém tal taxa, não contabiliza os efeitos da inflação, assim utilizando a equação de Fisher,
temos que:
1 1 1
1 0,10 1 1 0,05
Assim:
1 1 / 1
1 1,048
1,048 " 1
Assim, a taxa de juros real é de 4,76%a.a.
Exercício Adicional
Foi feito um empréstimo de R$100.000,00 a uma taxa de juros efetiva de 20% a.a.
Sabe-se que a inflação acumulada no período foi de 5%a.a.. Calcule a taxa de juros
nominais deste empréstimo.
Mesmo se tratando de um fenômeno corriqueiro das Economias modernas, as taxas

cobradas nem sempre são claras. Algumas vezes há uma indução ao erro.
10
Suponha que Eduarda tenha duas alternativas para comprar um terreno: 1ª

Alternativa – Pagar R$100.000,00 pelo terreno no ato da compra. 2a Alternativa – Pagar
R$ 60.000,00 no ato da compra e mais R$60.000,00 no ano seguinte. Calcule a taxa de
juros envolvida nesta operação.
Solução:
40.000
60.000
I = 50%
11
2.6 Regimes de capitalização

É o processo de formação de juros e a maneira com que são incorporados ao capital.
Existem dois regimes de capitalização distintos: o Regime de Juros Simples e o Regime
de Juros Compostos.
- Regime de Capitalização a Juros Simples: Neste regime os juros incidem sempre

sobre o capital inicial empregado. O valor dos juros em todos os períodos é constante.
Desta forma o Montante tem uma taxa de crescimento linear.
A partir do Investimento incial P, queremos obter o Saldo acumulado S.

Sabendo que tal Saldo é a adição de Juros ao Investimento inicial, temos que: S = P + J,
sendo J o total de juros, isto é, o principal P submetido a taxa de juros i, durante o prazo
de n períodos.
Assim, teremos:
S=P+J
Onde: J = P.i.n
Logo:S = P + P.i.n
S = P(1+n.i)
Suponha que Karina entregou R$100,00 a um banco que paga juros simples a taxa de
20% ao período. Calcule o saldo credor no final de cada um dos quatro períodos.
Período Saldo no início Juros acumulados Saldo no final

de cada período no período de cada período
- - - 100,00
1o 100,00 0,2 x 100 = 20,00 120,00
2o 120,00 0,2 x 100 = 20,00 140,00
3o 140,00 0,2 x 100 = 20,00 160,00
4o 160,00 0,2 x 100 = 20,00 180,00
- Regime de Capitalização a Juros Compostos: Neste regime, os juros são calculados

sempre em função do saldo existente no início do período correspondente. A remuneração
é efetuada sobre bases variáveis, por acumulação da remuneração sobre as bases
imediatamente anteriores. Agora, o valor dos juros cresce exponencialmente com o passar
dos períodos.
A partir do Investimento incial P, queremos obter o Saldo acumulado S. Sabendo que tal
Saldo é a adição de Juros ao Investimento inicial, temos que: S = P + J, sendo J o total de
juros, isto é, o principal P submetido a taxa de juros i, durante o prazo de n períodos. No
primeiro período esta formula é idêntica à formula empregada no regime de capitalização
a juros simples, assim: S1 = P + iP = P (1+i). Porém no período seguinte, o computo dos
12
juros leva em consideração o valor acumulado no término do período anterior, ou seja, S2

= S1 + i S1 = S1 (1+i) = S1 (1+i)2. E assim sucessivamente.
Assim, teremos:
S1 = P + iP
S1 = P (1+i)
S2 = S 1 + i S1
S2 = S1 (1+i)
S2 = S1 (1+i)2
Logo: Sn = P (1+i)n
Suponha que para o problema anterior, os juros pagos sejam compostos. Calcule o saldo
credor no final de cada um dos quatro períodos.
Período Saldo no início de Juros acumulados no Saldo no final

cada período período de cada
período
- - - 100,00
1o 100,00 0,2 x 100 = 20,00 120,00
2o 120,00 0,2 x 120 = 24,00 144,00
3o 144,00 0,2 x 144 = 28,8 172,8
4o 172,80 0,2 x 172,8 = 34,56 207,36
Análise Comparativa
Período Juros Simples Juros Compostos

- 100,00 100,00
1o 120,00 120,00
2o 140,00 144,00
3o 160,00 172,80
4o 180,00 207,36
- Nomenclaturas
Todos os problemas de Matemática Financeira envolvem o cálculo do valor monetário ao

longo do tempo. Há, basicamente, quatro tipos de variáveis, que recebem algumas vezes
nomenclaturas distintas, mas que efetivamente representam o mesmo fenômeno.
• Principal, Valor Presente ou Capital Inicial pode ser representado por P, VP ou

PV.
• Montante ou Valor Futuro pode ser representado por S, M, VF ou FV.
• Número de períodos normalmente é representado por n.
• Taxa de juros pode ser representada por i.
13
2.7 Utilizando a HP-12C

A calculadora HP-12C foi lançada em 1981. Como foi uma das primeiras calculadoras a
trabalhar com o conceito de fluxo de caixa, notação polonesa reversa e pilha operacional
e em poucos anos se tornou a calculadora financeira mais popular do mundo.
Inicialmente foi lançada apenas na versão Gold. Posteriormente foram lançadas novas
versões, como a Platinum e a Prestige. Mas, mesmo com desenvolvimento de novas
tecnologias, o layout e as funções da HP-12C continuam as mesmas da época de seu
lançamento.
Além de trabalhar com o conceito de fluxo de caixa, onde as entradas de recursos são
contrabalanceadas por saídas de recursos, a HP-12C é uma calculadora que opera com o
sistema inserção de dados na chamada Notação Polonesa Reversa (RPN)4. Onde são
introduzidos, primeiro, os dados separados pela tecla ENTER e em seguida a operação
entre os dados. Na HP-12C Platinum e Prestige há, além da notação RPN, o sistema
algébrico (ALG). Nestas duas versões o usuário pode, a qualquer momento, escolher entre
o método RPN e o método algébrico. Os quatro últimos registros exibidos no visor da
calculadora são empilhados, uns sobre os outros, dentro da máquina, formando a chamada
pilha operacional.
A HP-12C foi desenvolvida para realizar cálculos financeiros, estatísticos, de depreciação e

de amortização, além das operações algébricas básicas.
A calculadora tem a possibilidade de programação. Esta é uma forma ágil e prática de

realizar cálculos que envolveriam o uso de diversas operações, que ocorram com maior
frequencia. A capacidade de programação em número de linhas é diferente entre os
modelos da HP-12C. Na versão Gold, tem uma capacidade de até 99 linhas. Já nas versões
Platinum e Prestige,comportam até 410 linhas de programação.
Parte do teclado da HP-12C é composto por teclas multifuncionais. Estas teclas possuem
até três funções distintas: brancas, douradas e azuis. Para utilizar as funções brancas, ou
função primária, é necessário apenas pressionar a tecla. Para utilizar as funções
secundárias douradas é necessário pressionar a tecla f e em seguida a tecla desejada.
Aparecerá no visor um f. Para utilizar as funções secundárias azuis é necessário pressionar
a tecla g e em seguida a tecla desejada. Aparecerá no visor um g.
As seções a seguir apresentarão as áreas da calculadora, algumas teclas e funções

utilizadas para operações básicas, de cálculos matemáticos e soluções de problemas
financeiros.
4 A Notação Polonesa Reversa (Reverse Polish Notation -RPN), foi criada por Charles Hamblin, na
década de 1950. A RPN garante uma linha de raciocínio mais direta durante a formulação e
dispensando o uso de parênteses colchetes e chaves mas mesmo preservando a ordem de
resolução.
14
a) Setores da HP-12C
A HP-12C é uma calculadora financeira cujo teclado pode ser dividido em setores. Cada
setor apresenta uma função distinta. Apresentaremos os principais setores da calculadora.
Inserção de dados
Este setor do teclado insere os dados na calculadora HP-12C.
Operações algébricas
Este setor do teclado realiza as operações algébricas.
15
Limpeza de dados
Este setor do teclado realiza a limpeza dos dados inseridos na calculadora.
Cálculos percentuais
Este setor do teclado realiza cálculos percentuais.
16
Cálculos financeiros
Este setor do teclado realiza cálculos financeiros.
Funções de Calendário
Este setor do teclado realiza cálculos com as funções de calendário.
17
Módulo programação
Este setor inicia o módulo de programação5.
Armazena e resgata dados
Este setor armazena e resgata os dados.
5
Os programas da HP 12C realizam de forma ágil e prática cálculos que envolveriam o uso
de diversas operações, que ocorrem com maior frequencia.
18
Cálculos estatísticos
Este setor do teclado realiza estatísticos na calculadora HP-12C.
Funções secundárias
Este setor do teclado ativa as funções secundárias da calculadora HP-12C.
A seguir, faremos uma apresentação mais detalhada das principais funções da HP-12C.
19
b) Teclas Iniciais
Aperte ON Para ligar ou desligar a calculadora
Liga e desliga
Se a calculadora ficar ligada sem ser utilizada por um período de 8 a 17 minutos, ela
desligará automaticamente.
Caso apareça na parte inferior esquerda do visor um asterístico (*) piscando é sinal de que
a bateria esta próxima de seu esgotamento.
Quando a calculadora HP-12C for ligada, ela estará trabalhando com toda a formatação
anterior ao seu desligamento. Assim, o separador de unidade (. ou ,), o número de casas
decimais, o formato da data (D.MY ou M.DY) e o padrão de pagamentos em uma série
uniforme (antecipado ou postecidado) estará salvo6.
A HP-12C é uma calculadora financeira cujas teclas possuem até três funções por tecla:
brancas, douradas e azuis. Para utilizar as funções brancas é necessário apenas pressionar
na tecla, para utilizar as funções douradas é necessário pressionar a tecla f antes e em
seguida a tecla desejada. Aparecerá no visor um f. Para utilizar as funções azuis é
necessário pressionar a tecla g antes e em seguida a tecla desejada. Aparecerá no visor
um g.
Aperte f Para ativar as funções douradas
Aperte g Para ativar as funções azuis
6
Todas estas configurações serão apresentadas a seguir.
20
Ativa as Ativa as
funções funções
douradas azuis
21
c) Testes de funcionamento
Para verificar o funcionamento da calculadora HP-12C, os principais testes são: os testes

de teclado e visor e o teste de circuitos.
O teste de teclado e de visor busca verificar o bom funcionamento da calculadora.
Com a calculadora desligada Aperte ÷ Para verificar o funcionamento das teclas

Simultaneamente a tecla ON e o visor.
Aperte sucessivamente todas as teclas,
da esquerda para a direita e de cima para
baixo, começando pela tecla n. (A tecla
enter será pressionada duas vezes, a
primeira quando estiver na terceira linha Quando não há nenhum problema no
e depois na quarta linha.) teclado nem no visor aparecerá a
mensagem 12.
O teste do circuito eletrônico da calculadora HP-12C é semelhante
Com a calculadora desligada Aperte X Aparecerá a mensagem running.

Simultaneamente a tecla ON
Quando não há nenhum problema no
teclado nem no visor aparecerá a
mensagem 8,8,8,8,8,8,8,8 além de
outras mensagens.
22
d) Configurando a HP-12C
A HP-12C faz o arredondamento, com o número de casas decimais desejado, para exibir o
número no visor. Mas as operações realizadas com este número considerarão o seu valor
real, com todas as suas casas decimais, e não o valor arredondado exibido no visor.
Para determinar o número de casas decimais.

Aperte o número de casas decimais Para determinar o número de casas
decimais (0 a 9).
Pressione a Tecla Dourada e o Número

de casas decimais (de 0 a 9 casas)
23
A HP-12C pode trabalhar com datas compreendidas entre 15 de outubro de 1582 à 14 de

novembro de 4046. A calculadora opera com dois formatos distintos de data: o formato
anglo-saxão, ou seja, mês/dia/ ano (que é o padrão da calculadora) ou o formato
dia/mês/ano (que é o mais utilizado no Brasil).
Para determinar o formato de data utilizado.

Aperte o número 4 Para determinar formato dia/mês/ano.
(Aparecerá no visor D.MY)
Aperte o número 5 Para determinar formato mês/dia/ano.
Pressione a Tecla Azul e o

Número 4 ou 5 para a
escolha do formato da data
24
Em uma série de pagamentos, os desembolsos ou recebimentos tem um mesmo módulo e

um mesmo intervalo de tempo entre eles. Tais acontecimentos podem ocorrer no início de
cada período ou em seu término (que é o padrão), o que denominamos séries antecipadas
ou postecipadas.7
Para determinar séries antecipadas ou postecipadas.

Aperte o número 7 Para determinar formato antecipado.
(Aparecerá no visor BEGIN)
Aperte o número 8 Para determinar formato postecipado.
Pressione a Tecla Azul e o

Número 7 ou 8 para a
escolha do tipo de série
7O Conceito de séries antecipadas e postecipadas será visto adiante, no item Série Uniforme de
Pagamentos
25
A HP-12C pode utilizar dois sistemas distintos de separadores de unidades e de milhares,

no padrão norte-americano a vírgula (,) é utilizada para separar os milhares e o ponto (.)
as unidades decimais. Desta forma a quantia de quinze mil dólares e vinte centavos seria
escrita US$ 15,000.20. Já no padrão nacional a utilização do ponto e da vírgula é inverso,
assim a quantia seria escrita como US$15.000,20.
Para utilizar ponto ou vírgula como separador de unidades.
Deslique a HP-12C (aperte ON)

Aperte . Para utilizar o ponto (.) como separador
Aperte ON de unidade.
Deslique a HP-12C (aperte ON)
Aperte . Para utilizar a vírgula (,) como
Aperte ON separadora de unidade.
Com a calculadora desligada

pressione.e a tecla ON.
26
e) A memória da HP-12C
A Calculadora pode armazenar números em sua memória. Estes números são denominados
registros. A HP-12C tem a capacidade de armazenar até 20 registros em sua memória, nas
posições de .0 a .9 e de 0 a 9.
Para armazenar um número na memória, introduza o número, aperte a tecla STO, seguida
da respectiva posição de armazenamento. Para resgatar este número aperte a tecla RCL
seguida da respectiva posição de armazenamento. A tecla RCL resgata o número
armazenado na memória da calculadora, assim como resgata os valoresarmazenados na
memória financeira (n, i, PV, PMT ou FV).
Insira um número
Aperte STO
Aperte um digito (0 a 9) ou de (.0 a .9) Para armazenar um número
Aperte RCL
Aperte um digito (0 a 9) ou de (.0 a .9) Para resgatar um número armazenado
Insira um número
Aperte PV
Para armazenar um número
Aperte RCL
Aperte PV Para resgatar um número armazenado
Armazena um número na Resgata o

memória (até 20 registros número
de .0 a .9 e de 0 a 9)
27
f) Inserindo dados na HP-12C
A tecla ENTER é utilizada para a introdução dos números. Imagine que você esta
introduzindo uma sequência de números, 12, 5 e 20, por exemplo. É necessário que após
a digitação do primeiro número, a tecla Enter seja pressionada, para que a HP-12C possa
identificar que o dígito a ser introduzido em seguida, o 5, compõe o próximo número.
Note que após realizar uma operação algébrica o resultado da operação será exibido no
visor. Após resolver a operação não é necessário apertar a tecla ENTER, uma vez que
inserindo o novo número, automaticamente haverá o empilhamento do resultado da
operação algébrica realizada.
Insira um número
Aperte ENTER Para informar o próximo número
Para Informar
o próximo
número
Os números podem ser armazenados na pilha operacional (X, Y, Z e T), na memória de

armazenamento (nas vinte posições, de .0 a .9 e de 0 a 9) e na memória financeira (n,i ,
PV, PMT e FV).
28
Para modificar o sinal do número inserido aperte a tecla CHS.
Insira um número Para alterar o sinal de um número

Aperte CHS exibido no visor
Altera o
sinal do
número
29
g) Apagando os dados
A calculadora HP-12C armazena registros como números e programações. Mesmo quando

o uso da calculadora for interrompido, os registros estarão preservados, ou seja, se você
armazenar um número na memória, ou realizar uma programação com a calculadora, pode
desligar e ligar a calculadora, quantas vezes desejar, que os registros estarão preservados.
Os números podem ser armazenados na pilha operacional (X, Y, Z e T), na memória de

armazenamento (nas vinte posições, de .0 a .9 e de 0 a 9) e na memória financeira (n,i ,
PV, PMT e FV).
Para apagar os registros da HP-12C:
Aperte CLX Para apagar o que esta no visor

(o registro X)
Usada isoladamente
apaga o que tem no
visor
Neste caso os registros que estavam armazenados no restante da pilha operacional, na

memória de armazenamento e na memória financeira estarão preservados.
30
Quando formos realizar qualquer cálculo financeiro com a calculadora HP-12C, envolvendo
as variáveis n, i, PV, PMT e FV, é necessário que estas variáveis estejam desocupadas. A
calculadora sempre armazena em sua memória financeira os valores inseridos. Caso inicie
um novo problema, é necessário que apague todos os registros financeiros.
Para apagar todos os registros financeiros da HP-12C:

Aperte x><y Para apagar todos os registros da
memória financeira
(os dados do visor não serão apagados)
Usada com a tecla dourada

apaga apenas a memória
financeira
Neste caso os registros que estavam armazenados no visor, na pilha operacional e na

memória de armazenamento estarão preservados.
31
Para apagar todos os registros de armazenamento de dados (registros financeiros, da pilha

operacional, memória e do visor) da HP-12C:

Aperte CLX Para apagar todos os registros de
armazenamento de dados (registros
financeiros, da pilha operacional,
memória e do visor)
Usada com a tecla dourada

apaga todos os dados da
memória
Neste caso, todos os registros foram descartados, eliminando os dados que estavam no
visor, na pilha operacional, na memória financeira e na memória de armazenamento da
HP-12C.
32
Para apagar todos os registros estatísticos da HP-12C:

Aperte SST Para apagar todos os registros da pilha
operacional e as memórias estatísticas
Usada com a tecla dourada apaga todos os

registros da pilha operacional e as memórias
estatísticas
Para apagar as linhas de programação da HP-12C

Aperte R↓ Para apagar as linhas de programação
33
Usada com a tecla dourada apaga as linhas de

programação
h) Cálculos Aritméticos
A HP-12C é uma calculadora financeira que opera com o sistema de entrada de dados na
chamada Notação Polonesa Reversa (RPN). No sistema RPN são introduzidos, primeiro, os
dados separados pela tecla ENTER e em seguida a operação entre os dados. O sistema
RPN torna os cálculos extensos muito mais simples, permitindo uma linha de raciocínio
mais direta e dispensando o uso de parênteses no processo de formulação.
Para realizar uma soma. Por exemplo, a adição de 20 a 32. (20+32).
Digite 20 Para inserir o primeiro valor

Aperte Enter Para separar os valores
Digite 32 Para inserir o segundo valor
Aperte + Para realizar a adição
Para realizar uma subtração. Por exemplo, a subtração de 40 de 32. (32-40).

Aperte - Para realizar a subtração
34
Para realizar uma multiplicação. Por exemplo, o produto de 12 e 15.

Aperte X Para realizar a multiplicação
Para realizar uma divisão. Por exemplo, a divisão de 200 a 25.

Aperte ÷ Para realizar a divisão
Realiza operações Aritméticas

(+,-, x e ÷)
35
i) Cálculos Percentuais
A calculadora financeira HP-12C usa teclas para resolver problemas de porcentagem. Esta
é uma forma ágil e prática de realizar cálculos, que envolveriam as operações aritiméticas
básicas. São três teclas para resolução dos problemas de cálculo de porcentagem.
Para calcular percentuais. Por exemplo, 15% de 300.

Digite 15 Para determinar o percentual
Aperte % Para calcular o percentual
Calcula o Percentual
Para calcular uma diferença percentual. Por exemplo, a diferença percentual entre 45 e
120.

Aperte ∆% Para verificar a diferença percentual
36
Calcula a variação percentual
Para calcular o percentual do total percentual. Por exemplo, a soma de fatores de produção,
como 500+400+200+100+50

Aperte + Para adicionar este valor
Digite 200 Para inserir o terceiro valor
Digite 100 Para inserir o quarto valor
Digite 50 Para inserir o quinto valor
Digite 500 Para inserir o primeiro valor percentual do
total
Aperte %T Para calcular o percentual do total
Aperte CLX Para manter o somatório como Total
Digite 400 Para inserir o segundo valor percentual do
total
Digite 200 Para inserir o terceiro valor percentual do total
Digite 100 Para inserir o quarto valor percentual do total
Digite 50 Para inserir o quinto valor percentual do total
37
Calcula o percentual do total
38
j) A Pilha Operacional
A calculadora HP-12C possui um sistema de memória contínua que mantém os dados

guardados, mesmo após o seu desligamento. Além dos números armazenados na
memória, a HP-12C possui um sistema de memória operacional onde são armazenados,
de forma empilhada, quatro registros na chamada pilha operacional. Esta pilha operacional
é zerada quando apertamos a tecla dourada seguida de CLX.
T Ante antepenúltimo número exibido no visor

Z Antepenúltimo número exibido no visor
Y Penúltimo número exibido no visor
X Número exibido no visor
Podemos sintetizar a pilha operacional da seguinte forma:
visor X
A Pilha Operacional permite os cálculos em cadeia.
Para realizar cálculos em cadeia. Por exemplo, (25-15)x(18-15).

Aperte x Para realizar a multiplicação dos
resultados
39
Outro exemplo de utilização da Pilha Operacional: 100 (1+ 0,20 x 6)

Digite 0.20 Para inserir o terceiro valor
Aperte x Para realizar a multiplicação
Neste caso, se recorrêssemos à figura anterior, vemos que a pilha operacional esta
preenchida da seguinte forma:
T 100
Z 1
Y 0,20
X visor 6
40
Para Rolar os valores armazenados na memória operacional.
Nesta operação há um deslocamento das posições dos registros na pilha operacional, onde
cada número dos registros é rolado para o registro inferior e o registro X (que esta no
visor) será rolado para o registro T.
Aperte R↓ Para rolar os valores na pilha operacional
Rola os valores armazenados nas casas da

pilha (memória) operacional
Neste caso, se recorrêssemos à figura anterior, vemos que a pilha operacional esta
preenchida da seguinte forma:
X 6
T 100
Z 1
Y visor 0,2
41
Se repetirmos a operação, e apertarmos novamente a tecla R↓, teremos um novo

rolamento da pilha operacional, com todos os registros ocupando as posições inferiores,
ou seja:
0,20
Y
X 6
T 100
Z visor 1
Para alterar a ordem dos dois últimos valores armazenados na memória operacional.
Nesta operação há um deslocamento das duas últimas posições dos registros na pilha
operacional (X e Y), onde o registro X (que esta no visor) passará para o registro Y e vice
versa.
AperteX><Y Para alterar a ordem dos dois últimos

valores na pilha operacional
Inverte a ordem dos dois últimos valores

armazenados nas casas da pilha (memória)
operacional
42
Neste caso, se recorrêssemos à figura anterior, vemos que a pilha operacional originária
esta preenchida da seguinte forma:
T 100
Z 1
X 6
Y visor 0,2
Se repetirmos a operação, e apertarmos novamente a tecla X><Y, teremos um novo

deslocamento dos dois últimos registros, retornando a posição inicial, ou seja:
T 100
Z 1
Y 0,20
X visor 6
43
k) Cálculos Estatísticos
A calculadora financeira HP-12C possui teclas para resolver problemas estatísticos. Esta é
uma forma ágil e prática de realizar cálculos, para se fazer inferências estatísticas de
comportamento de uma população.
Para calcular as médias. Por exemplo: A receita de vendas diárias das 6 filiais de uma
determinada loja de departamento foram: $198.000; $185.000; $205.200; 225.300;
$206.700; $201.850. Qual foi a média de venda da amostra?

Aperte SST Para limpar a memória estatistica
Digite 198000 Para inserir a variável
Aperte ∑+ Para associar a variável a um dado
estatístico
estatístico
estatístico
estatístico
estatístico
estatístico
Aperte 0 Para calcular a média
44
Calcula a média
Para calcular o desvio-padrão. Por exemplo: A receita de vendas diárias das 10 filiais de
uma determinada loja de departamento foram: $198.000; $185.000; $205.200;
225.300; $206.700; $201.850. Qual foi o desvio padrão da amostra?

estatístico
estatístico
estatístico
estatístico
estatístico
Aperte . Para calcular o desvio padrão
45
Calcula o desvio-padrão
Para calcular as médias ponderadas. Por exemplo: O salário médio dos funcionário de uma
fábrica:
Salário (R$) Nº funcionários
1.570,00 54
2.585,00 12
6.000,00 4
12.000,00 1

Aperte ENTER Para separar a variável da sua frequencia
Digite 54 Para inserir a frequencia
Aperte ∑+ Para associar a variável a um dado estatístico
Aperte 6 Para calcular a média ponderada
46
Calcula a média ponderada
l) Outras Operações
Para realizar uma potenciação. Por exemplo, a 364.

Aperte yx Para realizar a potenciação
47
Eleva o penúltimo número exibido no visor (Y) a uma

potencia do último número exibido no visor (X)
Para calcular uma raiz quadrada. Por exemplo, a √54.

Aperte yx Para calcular a raiz quadrada
Usada com a tecla azul calcula a raiz quadrada do

último número exibido no visor (X)
48
Para calcular uma inversão. Por exemplo, a o inverso de 4.

Aperte 1/x Inverter os valores
Realiza a inversão do número inserido
Para calcular uma raiz enésima. Por exemplo, a √36.

&

Aperte 1/x Para obter a raiz enésima
Aperte yx Para realizar a operação.
Em muitos problemas, o número x é conhecido e o objetivo é calcular o valor de uma

variável y tal que x=ey. Onde e tem um valor aproximado de 2,718281828459045. O
número y é chamado de logaritmo natural de x e é representado por LN X.
49
Para calcular o logaritmo natural.8 Por exemplo, a LN 100

Aperte %T Para calcular o Logaritmo neperiano
Calcula o logaritmo natural do

último número exibido no visor (X)
8 O Logaritmo natural ou Neperiano é o logaritmo de base e, onde e é um número irracional,
denominado de número de Euler ou número de Napier, cujo valor é de aproximadamente

2,718281828459045. A função logarítmica é a inversa da função exponencial, e permite o estudo de
fenômeno que seguem uma exponencial.
50
Em alguns problemas, o número x é composto por mais de 10 dígitos. Nestes casos, assim
como para simplificar operações com números muito grandes, deve-se utilizar o princípio
da notação científica.
Por exemplo 2.400.000.000 = 2,4 x 109.
Para isso, usa-se a função EEX
Para digitar 2.400.000.000
Digite 2.4 Para inserir o primeiro valor

Aperte EEX Para indicar a notação científica
Digite 9 Para indicar o número do expoente ao
qual foi elevada a base 10
Indica a utilização da
Notação Científica
51
l) Funções Calendário
A HP-12C pode manipular datas compreendidas entre 15 de outubro de 1582 a 14 de

novembro de 4046. Inicialmente devemos indicar o formato de datas utilizadas. Existem
duas opções: o formato mês/dia/ano (que é o padrão da HP-12C) e o formato dia/mês/ano
(o formato mais usual do Brasil).
Para calcular a diferença de dias corridos entre duas datas. Por exemplo, a diferença entre
o dia 09 de janeiro de 1973 e 06 de outubro de 2012.
Insira 06.102012 Para inserir a primeira data

Insira 09.011973 Para inserir a segunda data
Aperte EEX Para calcular a diferença entre datas
Verifica a diferença entre datas
Para determinar a data e o dia da semana. Por exemplo, 100 dias após 06 de outubro de
2012.
Insira 06.102012 Para inserir a primeira data
Insira 100 Para inserir a diferença de dias
Aperte CHS Para determinar a data
Nesta operação aparecerá a data seguida de um dígito de 1 a 7, que representa o dia da

semana, onde 1 representa a segunda feira, 2 a terça feira e assim por diante.
52
Determina a data de um
evento
m) Funções Financeiras
O primeiro cuidado que se deve ter, quando estiver sendo usada a capitalização composta,
é que esteja ativo o anúncio “c” na parte inferior direita do visor. Esta propriedade faz com
que seja adotada, na parte fracionária do período, o regime de capitalização composta.
Caso contrário, os juros serão calculados de acordo com o regime de capitalização
composta na parte inteira e no regime de capitalização simples na parte fracionária dos
períodos.
Para ativar a propriedade “c”:
Aperte STO
Aperte EEX Para ativar a propriedade c
Aperte STO
Aperte EEX Para desativar a propriedade c
53
Ativa a propriedade c
A calculadora HP-12C possui teclas financeiras que facilitam os cálculos que envolvem juros
compostos. Estas teclas, localizadas na parte superior esquerda da calculadora facilitam a
resolução de funções financeiras.
Insere ou Insere ou Insere ou Insere ou Insere ou

calcula o calcula a calcula o calcula o calcula o
número taxa de valor valor de valor
de juros presente uma futuro
períodos (em%) série
uniforme
54
2.8 Regime de capitalização a juros simples

Neste regime os juros incidem sempre sobre o capital inicial empregado. O valor
dos juros em todos os períodos é constante. Desta forma o Montante tem uma taxa de
crescimento linear.
O regime de juros simples é empregado em certas operações típicas de curto

prazo, como as aplicações no chamado Open Market 9, nas operações de curtíssimo prazo
e na cobrança de cheques especiais.
- Dedução da Fórmula
P = Principal, Valor Presente (PV) ou Capital Inicial

n = número de períodos
i = taxa de juros
S = montante ou Valor Futuro (FV)
A partir do principal P, queremos obter o valor do montante S, sabendo que S

= P + J, sendo J o total de juros, isto é, o principal P submetido a taxa de juros i, durante
o prazo de n períodos. Assim, teremos:
S=P+J,
onde J = P.i.n
assim S = P + P.i.n
S = P(1+n.i)
Exercício Resolvido
Calcular o montante obtido pela aplicação de um capital de R$ 100.000,00 pelo prazo

de 1 ano, à taxa de 10% ao mês10.
P = R$ 100.000,00
n = 1 ano → 12 meses
i = 10% ao mês
Solução
S = P.(1+ n.i)
S = 100.000.(1 + 12 . 0,10)
S = 100.000.(1 + 1,20)
S = R$ 220.000,00
9 Operações de Mercado Aberto,ou de Open Market, são operações de compra e venda de títulos
públicos, utilizadas como um instrumento de política monetária.
10
A Calculadora HP-12C faz cálculos de juros simples através de suas teclas financeiras,
mas neste tipo de operação é necessário converter as taxas de juros para taxas anuais e
o prazo em dias.
55
A partir do enunciado padrão, podemos resolver uma série de exercícios de juros

simples,organizados em grupos. Tal organização tem fins meramente pedagógicos e visa
agupar, de acordo com a incógnita que queremos determinar, as variáveis.
1o Grupo : Dados P, n, i, achar S
Neste grupo utilizaremos a seguinte formula:
' ( ) *+
Aplicações Práticas:
Um investidor aplicou R$200.000,00 a juros simples, pelo período de 5 anos, a uma taxa
de 20% a.a.. Qual o montante obtido após essa aplicação?
, - 1
, 200.000 1 0,20 5
, 400.000,00
Exercícios adicionais:
1) P = R$ 100.000,00
i = 2% ao mês
n = 12 meses
2) P = R$ 300.000,00
i = 7,5% ao mês
n = 1,5 ano
3) P = R$ 700.000,00
i = 24,56% ao trimestre
n = 2 anos
4) P = R$ 800.000,00
i = 84% ao ano
n = 10 meses
5) P = R$ 1.000.000,00
i = 40% ao semestre
n = 2,5 anos
56
Resolvermos estes exercícios utilizando a calculadora HP-12C. A Calculadora HP-12C faz

cálculos de juros simples através de suas teclas financeiras, mas neste tipo de
operação,limita-se a calcular o montante acumulado (S), a partir de um principal (P), com
uma taxa anualizada e o prazo em dias.
Visando familiarizar com a HP-12C, solucionaremos os exercícios por meio de operações

algébricas. Há diversas formas de solucioná-los, escolheremos uma forma e
apresentaremos a sequencia da resolução.
Resolução dos exercícios adicionais:
1) P = R$ 100.000,00
i = 2% ao mês
n = 12 meses

124.000
2) P = R$ 300.000,00
i = 7,5% ao mês
n = 1,5 ano

705.000
57
3) P = R$ 700.000,00
n = 2 anos

2.075.360
4) P = R$ 800.000,00
i = 84% ao ano
n = 10 meses
Neste caso não poderemos utilizar a pilha operacional para resolver o problema, uma vez
que o exercício atual irá exceder os quatro registros da pilha operacional. Sugerimos
resolver da seguinte forma:

Digite 800000 Para inserir o quinto valor
1.360.000
58
5) P = R$ 1.000.000,00
i = 40% ao semestre
n = 2,5 anos

3.000.000
2o Grupo : Dados S, n, i, achar P
1
0
) 23
Suponha que seu filho tenha nascido hoje. Quanto deve aplicar hoje para que seu filho, ao
completar 21 anos, possa comprar um apartamento de R$150.000,00, considerando-se o
regime de juros simples, a uma taxa de 2% a.m.?
, - 1
S
P
1 in
150.000
-
1 0,02 21 12
- 24.834,44
59
1) S = R$ 150.000,00
i = 5% ao mês
n = 12 meses
2) S = R$ 200.000,00
i = 25% ao trimestre
n = 1 ano
3) S = R$ 600.000,00
i = 6,25% ao mês
n = 2 semestres
4) S = R$ 450.000,00
i = 96% ao ano
n = 10 meses
1) S = R$ 150.000,00
i = 5% ao mês
n = 12 meses

Digite 0.05 Para inserir o segundo valor
93.750
2) S = R$ 200.000,00
n = 1 ano

100.000
60
3) S = R$ 600.000,00
i = 6,25% ao mês
n = 2 semestres

342.857,14
4) S = R$ 450.000,00
i = 96% ao ano
n = 10 meses

250.000
3o Grupo: Dados S,P,n, achar i
'
")
8
*
+
61
Para adquirir um terreno para construção de um condomínio uma construtora fez um

empréstimo de R$300.000,00. Após 18 meses de obra, quitou a dívida com um pagamento
de R$ 470.000,00. Determine a taxa de juros simples cobrada nesta operação.
, - 1
,
1
-
,
"1
-
,
"1
470.000
"1
300.000
18
3,15% . .
1) S = R$ 366.000,00
P = R$ 150.000,00
n = 8 trimestres
2) S = R$760.000,00
P = R$ 400.000,00
n = 9 meses
3) S = R$172.000,00
P = R$ 100.000,00
n = 12 meses
4) S = R$ 249.600,00
P = R$ 120.000,00
n = 20 meses
62
1) S = R$ 366.000,00
P = R$ 150.000,00
n = 8 trimestres

0,18
2) S = R$760.000,00
P = R$ 400.000,00
n = 9 meses

0,10
3) S = R$172.000,00
P = R$ 100.000,00
n = 12 meses

0,06
63
4) S = R$ 249.600,00
P = R$ 120.000,00
n = 20 meses

0,054
4o Grupo: Dados S,P,i, achar n
'
")
8
+
*
Para construir um condomínio de casas uma construtora fez um empréstimo de

R$1.500.000,00, junto a uma instituição financeira, no regime de juros simples, a uma
taxa de 1,8% a.m. Após a obra, quitou a dívida com um pagamento de R$ 2.350.000,00.
Determine o prazo do empréstimo.
, - 1
,
1
-
,
"1
-
,
"1
2.350.000
"1
1.500.000
0,018
31,48
64
1) S = R$ 1.070.000
P = R$ 500.000
i = 12% ao mês
2) S = R$ 400.000
P = R$ 250.000
i = 80% ao ano
3) S = R$ 368.000
P = R$ 200.000
i = 7% ao mês
4) S = R$ 896.000
P = R$ 700.000
i = 8% ao ano
1) S = R$ 1.070.000
P = R$ 500.000
i = 12% ao mês

Digite 0,12 Para inserir o quarto valor
9,5
2) S = R$ 400.000
P = R$ 250.000
i = 80% ao ano

0,75
65
3) S = R$ 368.000
P = R$ 200.000
i = 7% ao mês

12
4) S = R$ 896.000
P = R$ 700.000
i = 8% ao ano

3,5
2.9 Operações de desconto

Um título possui um valor chamado Nominal, Valor de Resgate ou Valor de Face,
que vem declarado nele. O valor Nominal é o que ele vale no dia do seu vencimento. Porém
muitas vezes os títulos são comercializados antes do seu vencimento. Entretanto, antes do
vencimento, o título tem um valor menor do que o Nominal. O valor do título em data que
precede seu vencimento é chamado Valor Atual ou Valor Presente.
Tendo em vista os conceitos de Valor Nominal e de Valor Atual, concluímos que

o desconto D é a diferença entre o valor nominal do compromisso e o seu valor atual na
data do desconto. Desta forma, o desconto deve ser entendido como a diferença entre o
valor futuro (valor na data de resgate) e o valor atual do título (valor na data de operação).
D = S – P;
sendo:
D = Valor monetário do desconto;
S = Valor futuro (na data de vencimento) e
P = Valor atual ( na data de operação)
São conhecidos dois tipos de descontos: desconto simples “por fora” e o

desconto racional, que serão vistos a seguir:
66
2.9.1 Desconto simples “por fora” (ou bancário ou comercial)

O desconto simples é obtido multiplicando-se o valor do resgate do título pela
taxa de desconto. Essa modalidade é amplamente usada nas operações bancárias. A
fórmula do desconto simples “por fora” (D = S.id.n) é similar a dos juros, no sistema de
capitalização simples ( J = P.i.n). A diferença fundamental é que, no desconto, a taxa de
juros incide sobre o montante ou valor de resgate. Portanto, teremos:
D= S-P
D = S.n.i
Sendo:
D → desconto
n → prazo a decorrer até o vencimento
id→ taxa de desconto
É preciso lembrar que n e id devem ser expressos em unidades de tempo

compatíveis. A incógnita na operação de desconto é o principal.
Assim, podemos obter:

P=S-D
Substituindo D pela segunda expressão:

P = S - S.n.id = S (1 - n. id)
Exemplos:
1) Qual o valor do desconto bancário simples de um título de R$2.000,00, com vencimento

para 93 dias, a taxa de 10% a.m.? (Considere o mês com 30 dias).
2) Qual a taxa mensal de desconto bancário simples utilizada numa operação de 112 dias,
cujo valor de resgate é de R$ 1.000,00 e cujo valor atual é de R$ 550,00. (Considere o
mês com 30 dias).
3) Uma duplicata no valor de R$6.800,00 no vencimento é descontada por um banco,

gerando um crédito de R$5.100,00 na conta do cliente. Sabendo que a taxa cobrada pelo
banco é de 6,50% a.m., determinar o prazo de vencimento da duplicata.
4) Uma duplicata de R$100.000,00 foi resgatada 3 meses antes do vencimento, a taxa de

9,90% ao mês. Qual o valor atual da operação?
67
2.9.2 Desconto “por dentro” (racional)

O desconto comercial é sempre maior que o racional. Na prática, apenas o desconto
comercial é empregado. Entretanto, seu uso limita-se às operações de curto prazo, pois
para prazos longos, seu cálculo se torna impraticável, podendo o valor do desconto
ultrapassar o próprio valor nominal do título.
É obtido multiplicando-se o valor atual do título pela taxa de desconto e pelo prazo a
decorrer até o vencimento do título. Diferentemente do desconto por fora (bancário ou
comercial), o desconto “por dentro” não tem aplicação prática.
O desconto “por dentro” corresponde ao juros simples, calculado sobre o valor atual do
título. Será designado por DR. Então:
DR = P.r.n
Como P = S - DR
P = S - P.r.n ∴ P + P.r.n = S ∴ P = S/(1+r.n) (observe a semelhança cálculo do principal
no regime de juros simples)
Exemplo:
Um título de R$100.000,00 sofre desconto racional de 9,90% a.m., 3 meses antes do seu
vencimento. Calcule o valor atual e o desconto.
68
2.10 Regime de capitalização a juros compostos

Neste regime, os juros de cada período são calculados sempre em função do saldo
existente no início do período correspondente. A remuneração é efetuada sobre bases
variáveis, por acumulação da remuneração sobre as bases imediatamente anteriores. O
valor dos juros cresce exponencialmente com o passar dos períodos.
- Dedução da Fórmula
P = Principal, Valor Presente (PV) ou Capital Inicial

n = número de períodos
i = taxa de juros
S = montante ou Valor Futuro (FV)
S1 = P + iP
S1 = P (1+i)
S2 = S 1 + i S1
S2= S1 (1+i)
S2= S1 (1+i)2
.
Sn = P (1+i)n
O prazo n e a taxa i devem estar sempre na mesma unidade de tempo.
Relação entre Regime de Capitalização a juros simples e compostos
i) Para n<1, o montante cresce mais rapidamente a juros simples do que a juros
compostos, dada a mesma taxa de juros por período de capitalização;
ii) Para n = 1, o montante do ponto de vista do regime de juros simples é idêntico ao de

juros compostos, de vez que P(1+ni) = P(1+i)n para n = 1, dada a mesma taxa de juros
por período de capitalização;
iii) Para n>1, o montante cresce mais rapidamente ao longo do tempo no regime de juros
compostos que no simples, dada a mesma taxa de juros por período de capitalização;
iv) A curva no regime de juros compostos é exponencial (progressão geométrica) enquanto

no de juros simples é linear (progressão aritmética).
69
Juros Compostos
Juros Simples
Juros Compostos
Juros Simples
n=1 n
Determinar o montante relativo a empréstimo de R$100.000,00 pelo prazo de 1 ano na

taxa de 5% ao mês.
Solução:
Em juros compostos a compatibilização dos dados é obrigatoriamente feita em função da

taxa de juros pois é ela que define o período de capitalização. Desta forma, a
compatibilização será passar o prazo de 1 ano para 12 meses11.
S = P(1+i)n = 100.000(1+0,05)12 = R$179.585,63
A partir do enunciado padrão, podemos resolver uma série de exercícios de juros

compostos, organizados em grupos, de acordo com a incógnita que queremos determinar.
1o Grupo: Dados P, n e i achar S
' ( ) * +
11
Mais adiante, no item Taxas de Juros Equivalentes, trataremos da compatibilização entre
diferentes taxas.
70
Um investidor aplicou R$200.000,00 a juros compostos, pelo período de 5 anos, a uma

taxa de 20% a.a.. Qual o montante obtido após essa aplicação?
, - 1
, 200.000 1 0,20 ;
, 497.664,00
Exercícios adicionais
1) P = R$100.000,00
i = 2% ao mês
n = 12 meses
2) P = R$300.000,00
i = 14,5% ao mês
n = 4 semestres
3) P = R$600.000,00
i = 10,38% ao mês
n = 5 trimestres
4) P = R$800.000,00
i = 84% ao ano
n = 10 meses
5) P = R$700.000,00
n = 2 anos
2o Grupo: Dados S, n,i achar P
'
(
) * +
71
Quanto devo aplicar hoje para que meu filho, ao completar 21 anos, possa comprar um
apartamento de R$150.000,00, considerando-se o regime de juros compostos, a uma taxa
de 2% a.m.?
, - 1
,
-
1
150.000
-
1 0,02 =>?>=
- 1.020,58
1) S = R$10.000,00
i = 10% a.a
n = 5 anos
2) S = R$1.000,00
i = 12% a.m.
n = 12 meses
3) S = R$10.000,00
i = 6% a.s.
n = 3 anos
4) S = R$14.000,00
i = 15% a.a.
n = 6 anos
3o Grupo: Dados S, P, n achar i
+ '
* @ " )
(
72
Para adquirir um terreno para construção de um condomínio uma construtora fez um

empréstimo de R$300.000,00. Após 18 meses de obra, quitou a dívida com um pagamento
de R$ 470.000,00. Determine o custo do capital para a construtora.
, - 1
,
1
-
A ,
1 @
-
A ,
@ " 1
-
BC 470.000
@ " 1
300.000
2,53% . .
Exercícios Adicionais
1) S = R$ 172.000,00
P = R$ 100.000,00
n = 12 meses
2) S = R$366.000,00
P = R$ 150.000,00
n = 8 trimestres
3) S = R$360.000,00
P = R$ 180.000,00
n = 4 anos
4) S = R$885.000,00
P = R$ 300.000,00
n = 5 semestres
5) S = R$760.000,00
P = R$400.000,00
n = 9 meses
73
4o Grupo: Dados S, P, i achar n12
=
( ln S − ln P)
n ln(1 + i)
Para construir um condomínio de casas uma construtora fez um empréstimo de

R$1.500.000,00, junto a uma instituição financeira, no regime de juros compostos, a uma
taxa de 1,8% a.m. Após a obra, quitou a dívida com um pagamento de R$ 2.350.000,00.
Determine o prazo do empréstimo.
, - 1
,

1 -
=
(ln S − ln P)
n ln(1 + i )
=
(ln 2.350.000 − ln1.500.000)
n ln(1 + 0,018)
n =25,17 meses
1) S = R$368.000,00
P = R$200.000,00
i = 7% ao mês
2) S = R$400.000,00
P = R$250.000,00
i = 80% ao ano
3) S = R$660.000,00
P = R$300.000,00
i = 6% ao trimestre
12
O cuidado que se deve ter ao usar a rotina financeira para calcular o período é lembrar
que a HP-12C arredonda para o inteiro seguinte, se número é fracionário, o que pode
=
( ln S − ln P)
distorcer os resultados. Neste caso: n ln(1 + i)
74
4) S = R$1.070.000,00
P = R$500.000,00
i = 12% ao mês
5) S = R$154.000,00
P = R$100.000,00
i = 4,5% ao mês
2.11.1 Cálculos Financeiros

Antes de iniciar qualquer cálculo é recomendável apagar todos os registros contidos na
memória financeira.
Para calcular o montante acumulado, conhecendo-se o principal, a taxa de juros e o

período, por exemplo, com um principal de R$200.000,00 (PV), a juros compostos a uma
taxa de 20% a.a (i) e prazo de pelo período de 5 anos, (n), qual o montante (FV) obtido
após essa aplicação?
Insira 200000 Para inserir a primeira variável

Aperte PV Para associar o valor ao principal
Insira 20 Para inserir a segunda variável
Aperte i Para associar o valor a taxa de juros
Insira 5 Para inserir a terceira variável
Aperte n Para associar o valor ao período
Aperte FV Para obter o valor do montante
Observe que o valor obtido foi de -497.664,00.

Observe que o valor obtido apresentou um sinal negativo, isso ocorre devido ao fato de
que o fluxo de caixa deve apresentar pelo menos um recebimento e um pagamento.
A ordem de inserção de dados não interfere no resultado.
Determinar o montante relativo a empréstimo de R$100.000,00 pelo prazo de 2,5 anos na

taxa de 10% ao mês.
Solução

Insira 2,5 Para inserir a terceira variável
75
Caso tenha obtido um valor de 127.050,00, saiba que houve um erro, pois não houve a
capitalização composta em todo o período, isto é o anúncio “c” não estava ativado na parte
inferior direita do visor. Desta forma, parte da capitalização foi composta e parte foi
simples. A parte composta da capitalização corresponde ao período inteiro, no nosso
exemplo n=2, que fez com que o montante fosse de 121.000,00. Na parte seguinte, ou
seja na metade do ano, com n= 0,5, a capitalização simples sobre os 121.000,00
acumulados, indicando uma resposta final de 127.050,00.
Resolução dos exercícios adicionais do grupo 1
1) P = R$100.000,00
i = 2% ao mês
n = 12 meses

Aperte PV Para indicar o principal
Aperte i Para indicar a taxa
Aperte n Para indicar o prazo
Aperte FV Para obter o montante
-126.824,18
2) P = R$300.000,00
i = 14,5% ao mês
n = 4 semestres

Digite 14,5 Para inserir o segundo valor
-7.734.868,50
3) P = R$600.000,00
i = 10,38% ao mês
n = 5 trimestres

-2.639.411,45
76
4) P = R$800.000,00
i = 84% ao ano
n = 10 meses

Aperte enter Para separar os valores
Aperte ÷ Para realizar uma divisão
-1.329.754,61
5) P = R$700.000,00
n = 2 anos

-4.056.269,82
Para calcular o principal, conhecendo-se o montante, a taxa de juros e o período. Por

exemplo, FV=1.000; i= 5%a.m. e n= 12 meses, por exemplo, desejando-se acumular um
montante de R$150.000,00 (FV), a juros compostos de 2%a.m.(i), por um prazo de 21
anos (21), qual o principal (PV) necessário?

Aperte FV Para associar o valor ao montante
Aperte Enter Para introduzir os dados
Aperte X Para multiplicar os valores
Aperte n Para obter o valor do prazo
Aperte PV Para obter o valor do principal
Observe que, novamente, o valor obtido apresentou um sinal negativo, isso devido ao fato
de que o fluxo de caixa deve apresentar pelo menos um recebimento e um pagamento.
77
1) S = R$10.000,00
i = 10% a.a
n = 5 anos

Aperte FV Para indicar o montante
Aperte PV Para obter o principal
-6.209,21
2) S = R$1.000,00
i = 12% a.m.
n = 12 meses

-256,68
3) S = R$10.000,00
i = 6% a.s.
n = 3 anos

-7.049,61
78
4) S = R$14.000,00
i = 15% a.a.
n = 6 anos

-6.052,59
Para calcular a taxa de juros, conhecendo-se o montante, o principal e o período. Por

exemplo, a partir de um principal (PV) de R$300.000,00, por um prazo de 18 meses (n),
que produzirá um montante de R$470.000,00 (FV), qual a taxa de juros aplicada?
Neste tipo de problema é necessário inserir um valor de principal com um sinal oposto ao
do montante, caso contrário a HP-12C exibira a mensagem ERROR 5.

Aperte CHS Para alterar o sinal
Aperte PV Para associar ao principal
Aperte i Para obter o a taxa de juros
Observe que o valor obtido foi de 2,53.
Resolução dos exercícios adicionais grupo 3
1) S = R$ 172.000,00
P = R$ 100.000,00
n = 12 meses

Aperte CHS Para inverter o sinal
Aperte i Para obter a taxa
4,62
79
2) S = R$366.000,00
P = R$ 150.000,00
n = 8 trimestres

11,80
3) S = R$360.000,00
P = R$ 180.000,00
n = 4 anos

18,92
4) S = R$885.000,00
P = R$ 300.000,00
n = 5 semestres

24,16
80
5) S = R$760.000,00
P = R$400.000,00
n = 9 meses

7,39
Para calcular o número de períodos, conhecendo-se o montante, a taxa de juros e o

principal. Por exemplo, um principal de R$1.500.000,00 (PV), a uma taxa de 1,8%a.m. (i)
e montante de R$2.350.000,00 (FV), qual o período necessário.
Neste tipo de problema a calculadora HP-12C sempre arredonda o resultado. Desta forma
=
( ln S − ln P) .
é necessário trabalhar com a seguinte fórmula n ln(1 + i)

Aperte %T Para calcular o logaritmo natural
Aperte - Para realizar a subtração entre o
logaritmo da primeira e a segunda
variável
Insira 1,018 Para inserir a terceira variável
Aperte ÷ Para realizar a divisão entre a diferença
dos logaritmos e a terceira variável
Observe que o valor obtido foi de 25,17.
Observe que se o aluno utilizou as teclas financeiras obteve como resposta n=26. Esta
resposta esta incorreta pois se refizermos o problema com n=26, PV=1.500.000 e i=
1,8%a.m. não obteremos o montante de 2.500.000,00e sim o de 2.385.247,71.
Só poderemos solucionar um problema com essas variáveis utilizando a formula
=
( ln S − ln P) ,
n ln(1 + i)
que dá um resultado de 25,17 meses. Com este valor de n e
PV=1.500.000 e i= 1,8%a.m. obteremos o montante de 2.350.000.
81
1) S = R$368.000,00
P = R$200.000,00
i = 7% ao mês

Aperte n Para obter o prazo
10
Observe que caso a resposta não seja um número inteiro, a HP-12C arredonda para o
inteiro seguinte. Neste caso, podemos obervar que se tivéssemos um principal de
200.000,00 a uma taxa de 7%a.m., pelo prazo de 10 meses, não obteríamos um montante
=
( ln S − ln P)
de 368.000,00. Neste caso temos que utilizar a seguinte fórmula: n ln(1 + i)

Aperte g Para acionar as funções secundárias
azuis
Aperte %T Para calcular o LN
azuis
Digite 1,07 Para inserir o terceiro valor
azuis
9,01
82
2) S = R$400.000,00
P = R$250.000,00
i = 80% ao ano

azuis
azuis
azuis
0,80
3) S = R$660.000,00
P = R$300.000,00
i = 6% ao trimestre

azuis
azuis
azuis
13,53
83
4) S = R$1.070.000,00
P = R$500.000,00
i = 12% ao mês

azuis
azuis
azuis
6,71
5) S = R$154.000,00
P = R$100.000,00
i = 4,5% ao mês

azuis
azuis
azuis
9,81
84
2.11.2 Juros Compostos no Excel

1) Para calcular o montante acumulado, em planilhas eletrônicas, como o Microsoft Excel,
conhecendo-se o principal, a taxa de juros e o período, por exemplo, com um principal de
R$200.000,00 (PV), a juros compostos a uma taxa de 20% a.a (i) e prazo de pelo período
de 5 anos, (n), siga as seguintes etapas:
Insira o valor das variáveis nas células e posicione o cursor em uma célula em branco:
Acesse, na barra principal do Menu, a opção Fórmulas e escolha a opção Financeira, tal
operação também pode ser feita clicando diretamente em fx.
85
Surgirá uma janela de Inserir a Função exibindo as opções de formulas na função

financeira; Selecione a opção VF;e click em OK.
A Sintaxe desta função será: VF(taxa;Nper;pgto;VP;tipo). Associe os valores das células

aos parâmetros exibidos na janela de Argumentos da função,no nosso exemplo, taxa é a
taxa de juros da operação (20%), Nper é o numero de períodos (5) e VP é o valor presente
(200.000), as demais variáveis não devem ser preenchidas, neste exemplo;click em OK
Será exibida a resposta final: -497.664,00. Note que o Excel, exibe o resultado negativo,
assim como na HP12c.
86
2) Para calcular o principal, conhecendo-se o montante, a taxa de juros e o período. Por

exemplo, desejando-se acumular um montante de R$150.000,00 (FV), a juros compostos
de 2%a.m.(i), por um prazo de 21 anos (21), repita a mesma sequencia do exemplo
anterior, mas agora selecione a opção VP na janela de inserir a função
A Sintaxe desta função será: VP(taxa;Nper;pgto;VF;tipo).Associe os valores das células

aos parâmetros exibidos na janela de Argumentos da função, no nosso exemplo, taxa é a
taxa de juros da operação (2%), Nper é o numero de períodos (252) e VF é o valor presente
(150.000), as demais variáveis não devem ser preenchidas, neste exemplo;click em OK
Será exibida a resposta -1.020,58
87
3) Para calcular a taxa de juros, conhecendo-se o montante, o principal e o período. Por

exemplo, a partir de um principal (PV) de R$300.000,00, por um prazo de 18 meses (n),
que produzirá um montante de R$470.000,00 (FV), ), repita a mesma sequencia anterior,
mas agora selecione a opção Taxa na janela de inserir a função
A Sintaxe desta função será: Taxa(Nper;pgto;VP;VF;tipo;estimativa).Associe os

valores das células aos parâmetros exibidos na janela de Argumentos da função, no nosso
exemplo,VP é o principal (300.000), Nper é o numero de períodos (18) e VF é o valor
presente (-470.000), as demais variáveis não devem ser preenchidas, neste exemplo;click
em OK
Será exibida a resposta 2,53%.
4) Para calcular o número de períodos, conhecendo-se o montante, a taxa de juros e o

principal. Por exemplo, um principal de R$1.500.000,00 (PV), a uma taxa de 1,8%a.m. (i)
e montante de R$2.350.000,00 (FV), repita a mesma sequencia anterior, mas agora
selecione a opção Nper na janela de Inserir a função
88
.
A Sintaxe desta função será: Nper(taxa;pgto;VP;VF;tipo).Associe os valores das células
aos parâmetros exibidos na janela de Argumentos da função,no nosso exemplo,VP é o
principal (1.500.000), taxa é a taxa de juros (1,8) e VF é o valor presente (-2.350.000),
as demais variáveis não devem ser preenchidas, neste exemplo;click em OK
Será exibida a resposta 25,17.
2.12 Série uniforme - prestações iguais

Uma série uniforme é uma sucessão de pagamentos ou recebimentos, exigíveis em
épocas preestabelecidas, destinada a liquidar uma dívida ou formar um capital. Neste
caso todos os pagamentos, ou recebimentos, que compõem uma série, são iguais; e
ocorrem em épocas cujos intervalos de tempo são idênticos.
Podendo ocorrer de forma Postecipada ou Antecipada. A anuidade postecipada é aquela

série periódica cujos pagamentos (ou recebimentos) são efetuados no fim de cada
intervalo de tempo. Já na anuidade antecipada os pagamentos (ou recebimentos) são
efetuados no início de cada intervalo de tempo.
Não é prática comum de mercado aberto operações em séries antecipadas,

consideraremos, a priori, séries postecipada.
89
- Valor Presente e uma Série Uniforme
Este problema pode ser visualizado por meio do diagrama de fluxo de caixa abaixo, onde
no instante zero houve um investimento PV, o qual foi seguido por uma série uniforme de
recebimentos (PMT):
PMT PMT PMT PMT ........PMT
0 1 2 3 4 n Tempo (meses, anos, etc)
PV
= PMT
PMT + PMT + PMT + K + PMT
+
PV
(1+i )
(1+i) (1+i ) (1+i )
2
(1+i ) 3 4 n
PV = PMT [ 1 + 1 + 1 + 1 + K + 1 ]
(1+i ) (1+i ) (1+i ) (1+i ) (1+i )
2 3 4 n
O fator em colchetes corresponde aos termos de uma Progressão Geométrica (PG), cuja
soma é:
=
(a q − a )
n 1
S n
(q − 1 )
onde:
a1 → 1o termo
an → último termo
q → razão
90
=
1 ,q =
1 , =
1
a
(1+i) (1+i) a (1+i)
No nosso caso : 1 n n
 
 1 1 1 
 • − 
(1+ i) (1+ i) (1+ i) (1+ i) − 1
n n
 
 
S = =
 
i (1+ i)
n n
 1 
 −1

 (1+ i) 

= PMT [
(1+ i ) − 1
]
n
i (1+ i )
PV n
Porém é mais usual termos que calcular o valor da prestação, dado o valor presente, o
prazo e a taxa de juros. Assim, teremos a seguinte igualdade:
= PV [
(1+ i ) i ] n
PMT
(1+ i ) − 1 n
Utilizando a HP-12C
As prestações constantes R são representadas na calculadora financeira HP-12C pela tecla

PMT (Periodic Payment).
Para calcular os pagamentos, conhecendo-se o principal, a taxa de juros e o período. Por

exemplo, PV=1.500; i= 4%a.m. e n= 10 meses.
Digite 1500 Para inserir a primeira variável

Digite 4 Para inserir a segunda variável
Digite 10 Para inserir a terceira variável
Aperte PMT Para obter o valor das prestações
91
Caso se trate de uma série antecipada, devemos ativar o módulo Begin

Aperte 7 Para ativar o modulo Begin (série
antecipada)
Caso já tenha calculado o valor, considerando inicialmente uma série postecipada, e deseje
calcular as prestações de uma série antecipada

antecipada)
Para fazer o caminho inverso, ou seja, calcular o valor do pagamento de uma serie
postecipada tendo inserido os dados em uma série antecipada.

Aperte 8 Para ativar o modulo End (série
postecipada)
Para calcular o principal, conhecendo-se o valor dos pagamentos, a taxa de juros e o

período. Por exemplo, PMT=100; i= 2% a.m. e n= 12 meses.

Aperte PMT Para associar o valor aos pagamentos
92
Exercícios:
1) Laura se dispõe a adquirir um financiamento de 12 prestações de R$10.000,00 vencíveis
a cada 30 dias. Considerando uma taxa de 9,0 % a.m., calcule o valor do financiamento.
2) Eduarda pretende fazer um investimento no exterior que lhe renderá US$100.000,00,

por ano, nos próximos 10 anos. Qual valor do investimento, sabendo-se que Eduarda
trabalha com taxas de 6% a.a.?
3) Um empréstimo R$50.000,00 deve ser quitado em 12 prestações iguais, a uma taxa de

3%a.m. Determine o valor das prestações
Resolução dos exercícios
1) Laura se dispõe a adquirir um financiamento de 12 prestações de R$10.000,00 vencíveis

a cada 30 dias. Considerando uma taxa de 9,0 % a.m., calcule o valor do financiamento.

Aperte PMT Para associar o valor ao principal
71.607,25
2) Eduarda pretende fazer um investimento no exterior que lhe renderá US$100.000,00,

por ano, nos próximos 10 anos. Qual valor do investimento, sabendo-se que Eduarda
trabalha com taxas de 6% a.a.?

736.008,71
93
3) Um empréstimo R$50.000,00 deve ser quitado em 12 prestações iguais, a uma taxa de

3%a.m. Determine o valor das prestações

Aperte n Para associar o valor a taxa de juros
Aperte i Para associar o valor ao período
5.023,10
- Valor Futuro e Série Uniforme de Pagamentos
Este problema pode ser visualizado por meio do diagrama de fluxo de caixa seguinte,
que representa um investimento:
PMT PMT PMT...........PMT
0 1 2 3 4 n Tempo
FV?
Verificamos que o primeiro pagamento rende juros durante n-1 períodos; no

instante n seu valor será PMT(1+i)n-1 . O segundo pagamento rende juros durante n-2
períodos; no instante n vale, portanto, PMT(1+i)n-2. Fato semelhante ocorre com os demais
pagamentos, observando-se que o penúltimo período e o último não chegam sequer a
produzir juros. O montante S será composto, portanto, de diversas parcelas, cada uma
decorrente de um dos pagamentos efetuados:
FV = PMT(1+i)n-1+ PMT(1+i)n-2+...+PMT(1+i)+PMT
FV= PMT[(1+i)n-1+(1+i)n-2+...+(1+i)+1]
FV=PMT[1+(1+i)+ +...(1+i)n-2+(1+i)n-1]
 (1+ i )n − 
FV = PMT  1
 i 
 
Logo, se quisermos calcular o PMT, a partir das outras variáveis termos a seguinte formula:
 
 i 
PMT = FV  
 (1 + i) −1
n

 
94
Utilizando a HP-12C
Para calcular os pagamentos, conhecendo-se o montante, a taxa de juros e o período. Por

exemplo, PV=2.500; i= 4%a.m. e n= 10 meses.

Caso se trate de uma série antecipada, devemos ativar o módulo Begin

antecipada)
Aperte PV Para associar o valor ao montante
Para calcular os montante, conhecendo-se o valor dos pagamentos, a taxa de juros e o

período. Por exemplo, PMT=500; i= 2%a.m. e n= 12 meses.

Aperte PMT Para associar o valor aos pagamentos
95
Exercício:
1) Dra. Laura deposita anualmente US$3.000,00 na conta particular que mantém na Suíça.
Qual será o saldo daqui a 5 anos, sabendo-se que o banco paga juros de 8% ao ano para
este tipo de conta?
2) Quanto devemos depositar semestralmente, a uma taxa de juros de 24% a.a.,

capitalizado semestralmente, para termos R$50.000,00 daqui a 7 anos.
1) Dra. Laura deposita anualmente US$3.000,00 na conta particular que mantém na Suíça.
Qual será o saldo daqui a 5 anos, sabendo-se que o banco paga juros de 8% ao ano para
este tipo de conta?

17.599,80

Obs. A solução deste problema requer a equivalência de taxas. Apresentaremos a solução

no final da próxima seção.
96
2.12.1 Séries Uniformes no Excel

1) Para calcular os pagamentos, conhecendo-se o principal, a taxa de juros e o período.
Por exemplo, PV=1.500; i= 4%a.m. e n= 10 meses.
Insira o valor das variáveis nas células e posicione o cursor em uma célula em branco;
operação pode ser feita clicando diretamente em fx;Surgirá uma janela de Inserir a função
exibindo as opções de formulas na função financeira; Selecione a opção PGTO;e click em
OK.
A Sintaxe desta função será: PGTO(taxa;Nper;VP;VF;tipo).Associe os valores das

células aos parâmetros exibidos na janela de Argumentos da função,no nosso
exemplo,Taxa é a taxa de juros (4%), Nper é o numero de períodos (10) e VP é o valor
presente (1.500), as demais variáveis não devem ser preenchidas, neste exemplo;click em
OK
Será exibida a resposta -184,94.
Na variável Tipo, coloque 1, isso associará a uma série antecipada, ativando o módulo
Begin.
2) Para calcular os pagamentos, conhecendo-se o montante, a taxa de juros e o período.

Por exemplo, FV=2.500; i= 4%a.m. e n= 10 meses.
operação pode ser feita clicando em fx;Surgirá uma janela de inserir a função exibindo as
opções de formulas na função financeira; Selecione a opção PGTO;e click em OK.
97
Associe os valores das células aos parâmetros exibidos na janela de Argumentos da função,
no nosso exemplo,Taxa é a taxa de juros (4%), Nper é o numero de períodos (10) e VF é
o valor presente (2.500), as demais variáveis não devem ser preenchidas, neste
exemplo;click em OK
Na variável Tipo, coloque 1, isso associará a uma série antecipada, ativando o módulo
Begin.
2.13 Taxas de juros Equivalentes

- Taxas Equivalentes: São aquelas que, com períodos de capitalização diferentes,
transformam um mesmo capital (P) num mesmo montante (S) durante um mesmo prazo.
Imagine que um capital de 1.000,00 aplicado pelo prazo de um ano na taxa de 36% ao
ano assim:
1a Situação
P = 1000
n = 1 ano
i = 36% a.a
S = 1000(1+0,36) = 1360
Este mesmo capital de 1000 poderia ter sido aplicado pelo prazo de um ano na taxa de
16,62% ao semestre assim:
2a Situação
P = 1000
n = 12 meses
i = 16,62% a.s.
S = 1000(1+0,1662)2 = 1360
98
Ou então, este capital de 1000 poderia ter sido aplicado pelo prazo de um ano na taxa
de 8% ao trimestre assim:
3a Situação
P = 1000
n = 4 trimestres
i = 8% a.t.
S = 1000(1+0,08)4 = 1360
Por fim, este capital de 1000 poderia ter sido aplicado pelo prazo de um ano na taxa de
2,6% ao mês assim:.
4a Situação
P = 1000
n = 12 meses
i = 2,6% a.m.
S = 1000(1+0,026)12 = 1360
Nota-se que apenas mudando a taxa e os períodos de capitalização, dentro do mesmo

prazo de 1 ano, partimos sempre do mesmo principal, P = 1000, e chegamos ao mesmo
montante, S = 1360 isto é, saímos do valor presente 1000 e chegamos ao valor futuro
1360, utilizando taxas equivalentes. Dessa forma podemos afirmar que: 2,6% a.m. é a
taxa mensal que capitalizada 12 vezes no ano é equivalente a 36% a.a.; assim como 8%
a.t. é a taxa trimestral que capitalizada 4 vezes ao ano é equivalente a 36% a.a.; e que
16,62% a.s. é a taxa semestral que capitalizada 2 vezes ao ano é equivalente a 36%a.a.
.
- Expressões relacionadas à taxa anual com as taxas equivalentes semestral, mensal e

diária.
anual (ia): Sa = P (1+ia)

semestral (is) : Ss = P (1+is)2
trimestral (it) : St = P (1+it)4
mensal (im) : Sm = P (1+im)12
diária (id) : Sd = P (1+id)360 ou diária (id) : Sd = P (1+id)365
Da definição, para as taxas serem equivalentes:

Sa = Ss = St = Sum = Sd
Logo,
P (1+ia) = P (1+is)2 = P (1+it)4 = P (1+im)12 = P (1+id)360
ou
(1+ia) = (1+is)2 = (1+it)4 = (1+em)12 = (1+id)360
99
Exercícios:
1) Quais as taxas trimestral e anual equivalente a taxa de 10,50% a.m. ?
2) Qual a taxa mensal equivalente a taxa de 150% a.a. ?
Deduzindo uma fórmula genérica que permite calcular diretamente a taxa equivalente a
partir de uma taxa dada. Sejam:
ic = taxa conhecida
nc = período em dias de taxa conhecida
id = taxa a determinar
nd = período em dias de taxa a determinar
O montante Sc produzido por ic a partir de um principal P, ao final de nd dias, será:

Sc = P (1+ic)nd/nc
Lembrando que taxa e período devem estar expressos em unidades de tempo

compatíveis, temos que nd dias possuem nd/nc períodos de capitalização. Por sua vez, a
taxa a determinar, id, a partir do mesmo principal, P, produzirá um montante Sd ao final
de nd dias.
Sd = P (1+id)nd/nd = P (1+id)
Como as taxas são equivalentes, os montantes obtidos a partir do mesmo principal, P,

serão iguais no final de nd dias.
Sd = Sc
P (1+id) = P (1+ic)nd/nc ∴ id = (1+ic)(nd/nc) -1 ⇒ fórmula genérica para cálculo de taxas

equivalente.
Exercícios:
1) Um banco está oferecendo a Eduarda uma taxa de 60% ao ano para uma aplicação pelo
prazo de 31 dias. Qual a taxa bruta do período?
2) Com os dados do exemplo anterior, determinar a taxa semestral equivalente.
100

Digite 1,24 Para inserir o fator anual

Aperte Enter Para inserir a informação
Digite 2 Para calcular o fator semestral
Aperte 1/x Para calcular a metade do ano
Digite yx Para elevar ao meio
Digite 1 Para associar o valor
11,36
Aperte FV Para associar o valor a montante
Aperte PMT Para obter o valor do montante
1.618,64
Utilizando a HP-12C
Calcule a taxa anual equivalente a 4% a.m.
Solução
Para calcular a equivalência de taxas, utilizando a HP-12C, convertendo uma taxa mensal
para a taxa anual, deve-se arbitrar um valor de PV, sugiro que o valor seja de 100. Com,
i= 4%a.m, e PV=100. Temos que n= 12, pois o período de 1 ano, contem 12 meses.
Assim, obteremos um FV= -160,10. Assim, se descontarmos o valor inicial de 100(PV),
teremos uma variação anual acumulada de 60,10%a.a.
Calcule a taxa mensal equivalente a 120% a.a.
Solução
Para calcular a equivalência de taxas, utilizando a HP-12C, convertendo uma taxa anual
para a taxa mensal, deve-se arbitrar um valor de PV, sugiro que o valor seja de 100. Como
houve uma variação de 120% no prazo de 1 ano, o FV=-220. Temos que n= 12, pois o
período de 1 ano, contem 12 meses. Assim, obteremos um i= -6,79%a.m..
101
Exercícios Extras:
1) Você pode comprar um imóvel por R$180.000,00 à vista, ou por uma entrada e
mais 180 pagamentos mensais de R$1.000,00. Considerando uma taxa de juros de
10%a.a., calcule o valor da entrada.
2) Um imóvel é vendido por R$380.000,00 a vista. A construtora facilita o negócio da

seguinte forma:
- Entrada de 30%;
- Prestações intermediárias de R$18.000,00 vencíveis de hoje a 3 meses,
R$24.000,00 de hoje a 7 meses e R$36.000,00 de hoje a 12 meses;
- 36 prestações mensais iguais e sucessivas, vencíveis no final de cada mês;
Considerando uma taxa de juros de 1,8 %ao mês, determine o valor de cada
prestação mensal.
3) Suponha que você tem um financiamento de casa própria em que deve pagar 84
prestações mensais e sucessivas no valor de R$1.200,00 cada. Além destas, você
deve pagar, a cada 6 meses, uma intermediária de R$4.000,00 a taxa de juros
compostos é de 1,3% ao mês. Qual o valor presente do financiamento?
Resolução dos Exercícios Extras:
1) Você pode comprar um imóvel por R$180.000,00 à vista, ou por uma entrada e
mais 180 pagamentos mensais de R$1.000,00. Considerando uma taxa de juros de
10%a.a., calcule o valor da entrada.

Aperte ENTER Para inserir a informação
Digite 12 Para calcular o fator mensal
Aperte 1/x Para calcular a fração do ano
Digite yx Para elevar à potencia
0,80
Aperte PMT Para associar o valor à prestação
-95.384,32
Aperte + Para calcular a diferença
84.615,68
102
2) Um imóvel é vendido por R$380.000,00 a vista. A construtora facilita o negócio da

seguinte forma:
- Entrada de 30%;
- Prestações intermediárias de R$18.000,00 vencíveis de hoje a 3 meses,
R$24.000,00 de hoje a 7 meses e R$36.000,00 de hoje a 12 meses;
- 36 prestações mensais iguais e sucessivas, vencíveis no final de cada mês;
Considerando uma taxa de juros de 1,8 %ao mês, determine o valor de cada
prestação mensal.

Aperte % Para obter o percentual
Aperte STO Para armazenar o dado
Digite 0 Para associar ao local de armazenamento
Digite 18000 Para inserir o valor
Aperte FV Para associar ao montante
Digite 1,8 Para inserir o valor
Aperte PV Para obter o valor do montante
-17.061,97
Aperte
-21.182,48
-29062,25
103
Aperte RCL Para resgatar o dado

-181.306,69
Aperte + Para calcular a diferença
198.693,31
Aperte n Para calcular os juros
Aperte X≥Y Para verificar o valor amortizado
Digite 1,8 Para inserir a terceira variável
Aperte i Para associar o valor à taxa de juros
Aperte n Para associar o valor período
Aperte PMT Para obter o valor da prestação
-7.547,13
104
3) Suponha que você tem um financiamento de casa própria em que deve pagar 84
prestações mensais e sucessivas no valor de R$1.200,00 cada. Além destas, você
deve pagar, a cada 6 meses, uma intermediária de R$4.000,00 a taxa de juros
compostos é de 1,3% ao mês. Qual o valor presente do financiamento?

Digite 1,3 Para inserir a terceira variável
Aperte i Para associar o valor à taxa de juros
-61.115,60
Digite 1,013 Para inserir o fator mensal
Digite 6 Para calcular o fator semestral
8,06
-32.866,26
93.981,86
105
3. REGIMES DE AMORTIZAÇÃO
Na devolução de um empréstimo, cada prestação (P) é composta de duas parcelas: uma
referente ao pagamento de juros (J) e outra a cota de amortização (A). Assim:
P = J+A
A amortização busca resgatar uma dívida, os principais sistemas de amortização são o
sistema de amortização constante (SAC), o sistema francês (tabela price) e o sistema
americano.
3.1 Sistema Hamburguês ou Sistema de Amortização Constante

(SAC)
As cotas de amortização são constantes e dadas pelo valor do empréstimo dividido pelo
número de prestações. Desta forma, as prestações têm valores diferentes.
Exercícios Resolvidos
1) Um empréstimo de R$10.000 deverá ser amortizado pelo sistema de amortizações
constantes, em cinco prestações mensais a taxa composta de 10% a.m.
Solução:
N A J P Saldo
0 - - - -10.000
1 2000 1000 3000 -8.000
2 2000 800 2800 -6.000
3 2000 600 2600 -4.000
4 2000 400 2400 -2.000
5 2000 200 2200 -
3.2 Sistema Francês (Tabela Price)

O valor do pagamento, isto dos juros acrescidos à amortização, são constantes,
tratando-se, desta forma, de uma série uniforme de pagamentos.
106
Exercícios Resolvidos
1) Um empréstimo de R$10.000 deverá ser amortizado pelo sistema francês, em cinco
prestações mensais a taxa composta de 10% a.m.
Solução:
N A J P Saldo
0 - - - -10.000
1 1637,97 1000 2637,97 -8362,03
2 1801,77 836,20 2637,97 -6560,26
3 1981,94 656,03 2637,97 -4578,32
4 2180,14 457,84 2637,97 -2398,18
5 2398,15 239,82 2637,97 -
Utilizando a HP-12C

Aperte 1 Para indicar o numero do período
Aperte RCL PV Para obter o saldo devedor
107
3.3 Sistema Americano

Nesta forma de amortização, durante todo o período do financiamento são devolvidos
somente os juros e na data do pagamento há a quitação do empréstimo.
Exercícios:
1) Um empréstimo de R$10.000 deverá ser amortizado pelo sistema americano, em cinco
prestações mensais a taxa composta de 10% a.m.
Solução:
N A J P Saldo
0 - - - -10.000
1 - 1000 1000 -10.000
2 - 1000 1000 -10.000
3 - 1000 1000 -10.000
4 - 1000 1000 -10.000
5 10000 1000 11000 -
3.4 Outros Sistemas de Amortização

Há diversas possibilidades de criação de sistemas de amortização. Todas elas serão
baseadas em características dos regimes de amortização francês, constante e
americano. Serão expostos a seguir alguns exemplos de sistemas de amortização
híbridos.
3.4.1 Sistema de Amortização Crescente (SACre)

Este é uma variação direta do Sistema de Amortização Constante, porém no caso do
SACre a parcela amortizada esta sujeita a uma taxa de crescimento constante. O valor
da primeira amortização é obtido da mesma forma que no SAC, ou seja, o valor do
empréstimo dividido pelo número de prestações.
Exercícios:

crescentes, a uma taxa de crescimento de 5%, em cinco prestações mensais a taxa
composta de 10% a.m.
Solução:
N A J P Saldo
0 - - - -10.000
1 2000 1000 3000 -8.000
2 2100 800 2900 -5900
3 2205 590 2795 -3695
4 2315,25 369,5 2684,75 -1379,75
5 1379,75 137,98 1517,73 0
108
3.4.2 Sistema de Amortização Misto (SAM)

O Sistema de Amortização Misto surgiu em 1979 principalmente para amortizar
financiamentos do BNH. Este é uma fusão do Sistema de Amortização Constante e o
Sistema Francês (tabela price), no caso do SAM o valor das prestações pagas é a média
aritmética entre a prestação do SAC e da Price.
Exercícios:

misto, em cinco prestações mensais a taxa composta de 10% a.m.
Solução:
N A J P Saldo
0 - - - -10.000
1 1818,99 1000 2818,99 -8.181,01
2 1900,89 818,10 2718,99 -6280,13
3 1990,97 628,01 2618,99 -4289,15
4 2090,07 428,92 2518,99 -2199,08
5 2199,08 219,91 2418,99 0
Análise comparativa
N P SAC P PRICE P AMERICANO P MISTO P SACRE
0 - - - - -
1 3000 2637,97 1000 2818,99 3000
2 2800 2637,97 1000 2718,99 2900
3 2600 2637,97 1000 2618,99 2795
4 2400 2637,97 1000 2518,99 2684,75
5 2200 2637,97 11000 2418,99 1517,73
TOTAL APORTES 13.000,00 13.189,95 15.000,00 13.094,93 12.897,48
109
Exercícios Adicionais:
1) Uma empresa captou um financiamento de $150.000,00 a ser pago em 48 prestações

mensais pela Tabela Price a taxa de juros de 15% aa. Após o pagamento da 26ª prestação,
passando por dificuldades financeiras, solicitou ao banco que refinanciasse o seu saldo
devedor para 40 prestações mensais, iguais e sucessivas. O refinanciamento foi processado
cobrando juros de 18%a.a.. Determinar o valor de cada prestação do refinanciamento.
2) Considere um financiamento de 200.000,00 a uma taxa de juros de 10%a.a, que deve

ser quitado em 24 meses. Determine:
a) O valor da diferença da primeira prestação paga no Sistema Francês (Price) para o
Sistema Hamburgues (SAC).
b) O valor da diferença da última prestação paga no Sistema Francês (Price) para o Sistema
Hamburgues (SAC).
110
Resolução dos Exercícios Adicionais:
1) Uma empresa captou um financiamento de $150.000,00 a ser pago em 48 prestações

mensais pela Tabela Price a taxa de juros de 15% aa. Após o pagamento da 26ª prestação,
passando por dificuldades financeiras, solicitou ao banco que refinanciasse o seu saldo
devedor para 40 prestações mensais, iguais e sucessivas. O refinanciamento foi processado
cobrando juros de 18%a.a.. Determinar o valor de cada prestação do refinanciamento.

1,17
Aperte PMT Para obter o valor do principal
-4.103,33
Aperte 26 Para indicar o número do período
79.172,64
Aperte X≥Y Para apagar a memória financeira
Aperte PV Para associar ao principal
1,39
Aperte PMT Para obter o valor da prestação
-2.593,12
111
2) Considere um financiamento de 200.000,00 a uma taxa de juros de 10%a.a, que deve

ser quitado em 24 meses. Determine:
a) O valor da diferença da primeira prestação paga no Sistema Francês (Price) para o
Sistema Hamburgues (SAC).
b) O valor da diferença da última prestação paga no Sistema Francês (Price) para o Sistema
Hamburgues (SAC).
a)


Digite i Para associar ao local de armazenamento
Aperte D Para realizar a divisão
Aperte + Para realizar a soma
Aperte RCL Para resgatar o valor
112
b)


Digite i Para associar ao local de armazenamento
Aperte + Para realizar a soma
Aperte RCL Para resgatar o valor
113
4. INDICADORES DE ANÁLISE DE PROJETOS E

INVESTIMENTOS
O cálculo de Indicadores de projetos e investimentos pode ser feito por diversas formas.
Cada forma apresenta uma metodologia e leva em consideração um parâmetro distinto,
desta maneira, teremos indicadores de prazo, taxas, índices ou unidades
comercializadas, que fornecerão subsídios para o processo de tomada de decisão.
Tais indicadores são alimentados por dados distintos. Alguns indicadores necessitam
que sejam fornecidas informações como o custo de capital, outros levam em
consideração o fluxo de caixa dos períodos seguintes e outros indicadores analisam
informações oriundas de informes contábeis.
Nesta seção serão apresentados indicadores de projetos e investimentos. Conforme dito

anteriormente, tais indicadores adotam metodologias distintas. Cada um considera
dados diferentes e, desta forma, gera informações em unidades diferentes. Podem
existir indicadores que fornecem informações em unidades como; prazo temporal; valor
monetário, índices ou taxa percentual.
Apresentaremos, a seguir, indicadores de Prazo, indicadores de Valores, indicadores de

Taxas e indicadores de Índices.
Para o cálculo te todos estes indicadores é necessário que se tenha informações dos
fluxos de caixas futuros (valor esperado) e do custo de capital.
4.1 Tempo de Retorno do Capital Investido (Payback Simples)

Mede o tempo necessário para que o somatório das receitas líquidas futuras se iguale
ao valor do investimento inicial para um projeto de investimento do tipo convencional.
114
Exercícios:
1) Calcular o período payback simples do projeto representado pela tabela abaixo:
Investimento Inicial $ 40.000

Ano Receita Líquida
1 $10.000
2 $10.000
3 $10.000
4 $10.000
5 $10.000
2) Uma empresa está tentando avaliar a viabilidade de investir $95.000,00 num

equipamento cuja vida útil é de cinco anos abaixo. A empresa estimou as receitas líquidas
conforme a tabela abaixo:
Ano Receita
Líquida
1 $20.000
2 $25.000
3 $30.000
4 $35.000
5 $40.000
Calcular o período Payback para o investimento proposto.
Solução
Ano Receita Líquida Receita Liquida
Acumulada
1 $20.000 $20.000
2 $25.000 $45.000
3 $30.000 $75.000
4 $35.000 $110.000
5 $40.000 $150.000
Obervamos, neste caso, que o investimento de $95.000 será pago no decorrer do quarto
ano. Para identificarmos o momento exato em que este investimento é pago, faremos uma
regra de três com a receita obtida ao longo deste ano. Nos doze meses foram obtidos
35.000, assim em x meses serão obtidos os 20.000 que faltam para totalizar 95.0000.
Será obtido o valor de 6,86, assim o payback simples deste projeto será de 3 anos, 6
meses e 26 dias (86% do mês).
115
As vantagens do payback simples:
1. Cálculo é bastante simples e de fácil interpretação;
2. No caso do payback fornece medidas de risco e de liquidez, uma vez que quanto menor
é o prazo de recuperação mais segurança e maior liquidez o projeto terá.
As desvantagens do payback simples:
1. Não leva em consideração o valor do dinheiro no tempo, isto é, trabalha com um custo
de capital igual a zero;
2. Prazo máximo tolerado é definido de forma subjetiva;
3. No caso do Payback, este não reconhece as receitas líquidas após o tempo de

recuperação do investimento, possibilitando assim a escolha de projetos de curta
maturação e baixa rentabilidade, em detrimento daqueles que tenham longa maturação
e alta rentabilidade.
4.2 Payback Descontado

Neste caso, as receitas líquidas não possuem o mesmo peso, isto é, dependem da taxa de
desconto e do instante que ocorre no tempo.
Exercício:
Uma empresa está tentando avaliar a viabilidade de investir $95.000,00 num equipamento
cuja vida útil é de cinco anos abaixo. A empresa estimou as receitas líquidas conforme a
tabela abaixo:
Ano Receita
Líquida
1 $20.000
2 $25.000
3 $30.000
4 $35.000
5 $40.000
Supondo uma taxa de juros de 10% ao ano.Calcule o Payback descontado.
116
Solução
Ano Receita Líquida Valor Presente da Valor Presente da

Receita Liquida Receita Liquida
Acumulada
1 $20.000 18.181,82 18.181,82
2 $25.000 20.661,16 38.842,98
3 $30.000 22.539,44 61.382,42
4 $35.000 23.905,47 85.287,89
5 $40.000 24.836,85 110.124,75
Obervamos, neste caso, quando passamos a incorporar o custo do capital, o prazo

necessário para cobrir o investimento é mais longo. No payback simples, este prazo era de
cerca de 4,57 anos. Já no payback descontado o investimento só é coberto no decorrer do
quinto ano.Para sermos mais exatos, e descobrir o momento em que o investimento foi
pago, faremos uma regra de três com o valor presente da receita obtida ao longo deste
ano. Nos doze meses foram obtidos 24.836,85, assim em x meses serão obtidos os
9.712,11 que faltam para totalizar 95.0000. Será obtido o valor de 4,69, assim o payback
simples deste projeto será de 4 anos, 4 meses e 21 dias (69% do mês).
As vantagens do payback descontado:
1. A grande vantagem em relação ao critério anterior é que o payback descontado

passa a considerar o valor do dinheiro ao longo do tempo.
As desvantagens do payback simples:
1. Assim como no payback simples o payback descontado não reconhece as receitas

líquidas após o tempo de recuperação do investimento, possibilitando assim a
escolha de projetos de curta maturação e baixa rentabilidade, em detrimento
daqueles que tenham longa maturação e alta rentabilidade.
117
4.3 Valor Presente Líquido (VPL ou NPV)

O critério do valor presente líquido desconta o fluxo de um investimento a um instante
prefixado, convencionando-se adotar a data presente. Assim, o valor presente de um
projeto, a taxa de juros i, é denotado por:
n
VPL (i) = ∑ c j (1+ i )− j ,
j =1
-j
onde n é a duração do projeto e (1+i) é o fator do valor presente.
Caso cj, j=1,2,...,n seja constante e positivo, teremos uma série uniforme.
Em qualquer dos casos, se VPL > 0, o projeto deverá ser aceito; caso contrário, deverá
ser recusado. Caso dê igual a zero, é indiferente. Em outras palavras, o valor que se
atribui, hoje, aos recebimentos futuros supera o valor do investimento inicial necessário
à implantação do projeto.
O critério de decisão desse método determina que enquanto VPL > 0, o projeto deve
ser aceito.
Utilizando a HP-12C
A calculadora HP-12C dispõe das seguintes funções especiais para tratar de fluxos de caixa
variáveis: CFo, CFj e Nj.
Insere o valor Insere o valor Repete o aporte

do aporte na do aporte na n vezes
data o data j
118
Calcula o VPL de um
Fluxo de caixa inserido
Exercício:
Para calcular o Valor Presente Líquido de um investimento de $95.000,00 que gerou a

seguinte receita bruta anual
Ano Receita
Líquida
1 $20.000
2 $25.000
3 $30.000
4 $35.000
5 $40.000
E cujo custo de capital é de 10% a.a.
Solução:
Ano Receita Líquida Valor Presente da Valor Presente da

Receita Liquida Receita Liquida
Acumulada
1 $20.000 18.181,82 18.181,82
2 $25.000 20.661,16 38.842,98
3 $30.000 22.539,44 61.382,42
4 $35.000 23.905,47 85.287,89
5 $40.000 24.836,85 110.124,74
Dado O Valor Presente da Receita Líquida Acumulada, subtrai-se o valor do investimento,

e desta forma, se obtém o Valor Presente Líquido (VPL). Assim:
110.124,74 " 95.000 15.124,74
119
Solução com a HP-12C:

Aperte CFo Para associar o valor ao aporte no
momento 0
Insira 20000 Para inserir a variável
Aperte CFj Para associar o valor ao aporte no
momento j =1
momento j=2
momento j= 3
Insira 35.000 Para inserir a variável
momento j=4
momento j=5
Insira 10 Para inserir o valor
Aperte PV Para calcular o Valor Presente Líquido
15.124,74
Vantagens do VPL:
i. Sinaliza se o valor da empresa está aumentando ou diminuindo com a entrada do

projeto;
ii. Inclui todos os benefícios e custos decorrentes tanto da implantação quanto da

operação do projeto ao longo da sua vida útil;
iii. Considera o fator tempo no valor do dinheiro ao estabelecer uma taxa de desconto;
Desvantagens do VPL:
i. Obrigatoriedade de definir a taxa que descontará o fluxo de caixa;
Os analistas de investimentos normalmente preferem trabalhar com medidas que sejam

expressas em percentagem do que em valores monetários.
120
Exercícios resolvidos:
1- Considere o seguinte fluxo de caixa: no instante zero, um depósito de R$2.000,00.

Daqui a 2 meses um depósito de R$2.500,00 e daqui a 4 meses um saque de R$1.300.
Qual deverá ser o VPL deste fluxo de caixa, considerando a taxa de juros composta de
15% a.m.?
Solução:

momento 0
momento j =1
momento j =2
momento j =3
momento j=4
3.147,08
121
2- Suponha que um investimento de R$6.000.000,00 produza o seguinte fluxo de caixa:

Do 10 ao 100 mês, 10 recebimentos de R$426.143,00
Do 110 ao 130 mês, 3 recebimentos de R$3.621.378,00
Considerando uma taxa de 10%a.m., qual o VPL do projeto?
Solução:

momento 0
momento j =1
Aperte 10 Para inserir o número de repetições
Aperte Nj Para associar o valor CFj nos 10
primeiros momentos
momento j =11
Aperte Nj Para associar o CFj nos 3 momentos
seguintes
90.602,00
Exercício Adicional:
1) Analisar a viabilidade do projeto do exercício anterior, utilizando o método do VPL, com

custo de capital de 5%a.a., 15%a.a e 20%a.a..
122
4.3.1 Valor Presente Líquido no Excel

1) Para calcular o VPL, conhecendo-se o fluxo de caixa e a taxa de juros e o período. Por
exemplo, Um investimento inicial de R$95.000,00 que vai gerar a bruta anual seguinte:
Ano Receita
Líquida
1 $20.000
2 $25.000
3 $30.000
4 $35.000
5 $40.000
operação pode ser feita clicando diretamente em fx;Surgirá uma janela de Inseira função
exibindo as opções de formulas na função financeira; Selecione a opção VPL;e click em
OK.
A Sintaxe desta função será: VPL(taxa;Valor1; valor2;...).Associe os valores das células

aos parâmetros exibidos na janela de Argumentos da função,no nosso exemplo,Taxa é a
taxa de juros (10%), ValorN esta associado aos fluxos de Caixa (20.000;25.000; 30.000;
35.000 e 40.000, respectivamente), as demais variáveis não devem ser preenchidas, neste
exemplo;click em OK
Será exibida a resposta -110.124,74
Para se obter o VPL, devemos subtrair deste valor o investimento inicial (95.000)
123
4.4 Taxa Interna de Retorno (TIR ou IRR)

A taxa interna de retorno é a taxa de desconto que iguala o valor presente das receitas
ao valor presente do investimento. A TIR é a taxa de desconto máxima que garante a
viabilidade do projeto. A TIR é a taxa que permite igualar a zero a expressão VPL(i):
n
VPL(i) = ∑ c j (1+i)− j = 0
j =1
Normalmente adota-se uma taxa de desconto mínima, chamada de taxa de

atratividade, para julgar a viabilidade do projeto, da seguinte maneira: se a TIR for superior
à taxa de atratividade, o projeto é viável. Caso contrário, é inviável. Se igual, é indiferente.
A resolução manual deste problema seria através de um método iterativo e muito

trabalhoso que foge a finalidade do curso. Apresentaremos a resolução pela HP12-C,
através da resolução do exemplo a seguir:
Utilizando a HP-12C
Calcula o TIR de um
Fluxo de caixa inserido
124
Para calcular a Taxa Interna de Retorno de um investimento de $95.000,00 que gerou a

Ano Receita
Líquida
1 $20.000
2 $25.000
3 $30.000
4 $35.000
5 $40.000

momento 0
momento j =1
momento j=2
momento j= 3
momento j=4
momento j=5
Aperte FV Para calcular a Taxa interna de Retorno
15,36
Assim como no cálculo do VPL, para obtermos a TIR devemos respeitar a seqüência dos
valores inseridos no fluxo de caixa.
125
Exercícios resolvidos:
1- Suponha que um investimento de R$6.000.000,00 produza o seguinte fluxo de caixa:

Do 10 ao 100 mês, 10 recebimentos de R$426.143,00
Do 110 ao 130 mês, 3 recebimentos de R$3.621.378,00
Qual a TIR do projeto?
Solução:

momento 0
momento j =1
Aperte 10 Para inserir o número de repetições
Aperte Nj Para associar o valor CFj nos 10
primeiros momentos
momento j =11
Aperte Nj Para associar o CFj nos 3 momentos
seguintes
Aperte FV Para calcular a Taxa Interna de Retorno
10,19
Exercício Adicional:
1) Determinada Montadora oferece uma “promoção especial”. Anuncia Taxa Zero, e início
de pagamento só daqui a 90 dias (3 meses), mas exige entrada de 60%, pagamento em
12 parcelas iguais, cobra uma taxa de relacionamento de R$400,00 e Taxa de Abertura
de Credito de R$550,00. Lembrando que o cliente ainda tera que arcar com o IOF (de
0,38%), e supondo que o valor, à vista, do veículo seja de R$45.000,00, determine o Custo
Efetivo Total (taxa Efetiva total).
126
Relação entre VPL e TIR
Graficamente, a relação entre os valores presentes obtidos para os diferentes níveis de

custo de capital (taxa de juros) poderia ser construída conforme o gráfico abaixo:
VPL
Área de Aceitação de
projetos
Taxa de juros (i)
TIR
Área de Rejeição de
projetos
A medida que o custo do capital aumenta, o valor presente líquido diminui. A Taxa Interna
de Retorno representa o valor do custo de capital que torna o VPL nulo.
Vantagens da TIR:
i. Permite verificar a rentabilidade intrínseca de um projeto;
ii. É muito utilizada no Mercado Financeiro.
Desvantagens da TIR:
i. Há casos em que a Tir não pode ser aplicada, os mais frequentes são os que
apresentam mais de uma inversão de sinal;
ii. A TIR pode levar a equívocos, quando utilizada para comparar projetos diferentes;
iii. A TIR não diferencia projetos lucrativos de projetos que causam prejuízos.
127
4.4.1 Taxa Interna de Retorno no Excel

1) Para calcular o VPL, conhecendo-se o fluxo de caixa e a taxa de juros e o período. Por
exemplo, Um investimento inicial de R$95.000,00 que vai gerar a bruta anual seguinte:
Ano Receita
Líquida
1 $20.000
2 $25.000
3 $30.000
4 $35.000
5 $40.000
operação pode ser feita clicando em fx;Surgirá uma janela de inserir a função exibindo as
opções de formulas na função financeira; Selecione a opção TIR;e click em OK.
A Sintaxe desta função será: TIR(valor1; valor2;...).Associe os valores das células aos
parâmetros exibidos na janela de Argumentos da função,no nosso exemplo, ValorN esta
associado aos fluxos de Caixa (20.000;25.000; 30.000; 35.000 e 40.000,
respectivamente), as demais variáveis não devem ser preenchidas, neste exemplo;click
em OK
Será exibida a resposta 15,36%
128
4.5 Índice de Lucratividade (IL)

O índice de Lucratividade a (IL) mede a relação entre o valor recebido (VP) e o custo do
investimento, desta forma, trata-se de uma medida relativa de benefício/custo. Assim:
EF
GHIJK LMNO.
K LMNO.
Ou,
VP
IL
Invest.
Exercícios:
1) Para calcular o índice de Lucratividade de um investimento de $95.000,00 que gerou a
Ano Receita
Líquida
1 $20.000
2 $25.000
3 $30.000
4 $35.000
5 $40.000
Solução:
Calcular o Valor Presente Líquido 15.124,74

Calcular o Valor Presente Acumulado 110.124,74
EF
>;.>=W,XWJY;.ZZZ
Y;.ZZZ
= 1,16
Ou,
IL
>>Z.>=W,XW
Y;.ZZZ
= 1,16
129
2) Calcule o VPL, a TIR e o IL dos projetos apresentados a seguir, considerando que o

custo do capital é de 12% a.a.
Ano Projeto X Projeto Y Projeto Z
0 (25.000) (1200) (65.000)
1 8.000 200 32000
2 9500 350 28000
3 10000 400 23000
4 5500 600 20000
Solução:
Ano Projeto X Projeto Y Projeto Z
VPL 329,35 -76,39 14.974,16
TIR 12,65%a.a 9,39%a.a 23,57%a.a
IL 1,01 0,94 1,23
130
2) Uma incorporadora esta avaliando a possibilidade de investir, através de um

loteamento de casas, em uma área para depois comercializa-la na forma de condomínio
fechado. Para isso teria que adquirir uma grande gleba, construir ruas, equipamentos
comunitários. Para depois comercializar os lotes individuais. O terreno pode ser
adquirido por R$1.000.000,00. Há a possibilidade de construção:
a) Opção mais simples, com um padrão mais barato de construção e de

equipamentos comunitários. Serão oferecidas áreas como quadras de poliesportivas,
reserva florestal, clube, piscina, restaurante e churrasqueira. Estima-se um
investimento de R$3.000.000,00;(considerados em valores presentes).
b) Opção intermediária, com um padrão um pouco mais sofisticado e um número
maior de equipamentos comunitários. Serão oferecidas áreas como quadras de futebol,
basquete, vôlei e futevôlei,,, reserva florestal com trilhas e áreas para trecking e
mountain-bike, clube, piscina e sauna, restaurante, espaço gourmet e churrasqueira.
Estima-se um investimento de R$5.000.000,00; (considerados em valores presentes).
c) Opção mais luxuosa, com um alto padrão de sofisticação e uma ampla gama de
equipamentos comunitários. Serão oferecidas áreas como quadras de futebol,
basquete, vôlei e futevôlei, campo golf, clube, piscina e sauna e hidromassagem,
restaurante, espaço gourmet e heliporto.Estima-se um investimento de
R$8.500.000,00; (considerados em valores presentes).
Para cada projeto há uma estimativa distinta do fluxo de caixa obtido com a venda dos
lotes:
Ano Opção Simples Opção Opção Luxuosa

Intermediária
1 3.000.000 4.000.000 7.500.000
2 2.000.000 3.000.000 3.500.000
3 1.500.000 2.500.000 2.500.000
4 1.500.000 2.000.000 2.000.000
5 1.200.000 2.000.000 2.000.000
Se o custo de capital da incorporadora é estimado em 15%a.a. Calcule o VPL, a TIR e o IL

de cada opção.
Solução:
Opção Simples Opção Opção Luxuosa
Intermediária
VPL 2.561.499,29 3.528.342,41 3.449.892,51
TIR 45,73%a.a 42,19%a.a 35,32%a.a
IL 1,64 1,59 1,41
131
3) Uma empresa que apresenta o custo de capital de 15% a.a., pensa em investir na
aquisição de uma nova máquina. Duas são as alternativas possíveis:
Alternativa A: Adquirir uma máquina de porte médio, com investimento de 400 mil
reais , com um fluxo de caixa anual de 180 mil reais por ano, durante 6 anos.
Alternativa B: Adquirir uma máquina de porte grande, com investimento de 600 mil
reais, com fluxo de caixa previsto de 280 mil reais por ano, durante 5 anos.
Calcule o Payback descontado, o VPL, a TIR e o IL das alternativas.

Solução:
Alternativa A: Alternativa B:
VPL = R$281.206,88 VPL=

R$338.603,43
TIR= 38,67%a.a TIR= 37% a.a.
IL= 1,70 IL= 1,56
2 anos e 10,89 meses 2 anos e 9,44

meses
132
5. EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Nos exercícios de 1 a 13 considere o regime de capitalização a juros compostos.
1- P = R$ 600.000,00
i = 10,38% ao mês
n = 5 trimestres
2- P = R$ 900.000,00
i = 20% ao ano
n = 5 anos
3- S = R$ 400.000,00
i = 10% ao mês
n = 30 meses
4- S = R$ 150.000,00
i = 9,36% ao mês
n = 6 meses
5- S = R$ 1.546.000,00
i = 14,4% ao mês
n = 3 anos
6- S = R$900.000,00
n = 2,5 anos
7- S = R$ 1.000.000
i = 40% ao semestre = 40/100 = 0,40
n = 2,5 anos → 5 semestres
8- S = R$ 885.000,00; P = R$ 300.000,00; n = 5 semestres.
9- S = R$ 930.000,00; P = R$ 170.000,00; n = 16 trimestres.
10- S = R$ 170.000,00; P = R$ 98.000,00; n = 3 anos.
11- S = R$ 386.000,00; P = R$ 136.000,00; n = 36 meses.
12- S = R$ 154.000
P = R$ 100.000
i = 4,5% ao mês
13- S = R$ 660.000
P = R$ 300.000
133
14- Eduarda deseja descontar duplicatas num banco comercial que lhe oferece uma taxa
de desconto de 2% a.m., juros simples. Sabe-se que a 1a duplicata é de R$10.000,00 e
tem vencimento dentro de 90 dias, e que a 2a duplicata é também de R$10.000,00, mas
de vencimento em 180 dias. Considerando que o mês tem 30 dias, determinar o valor a
ser creditado pelo banco na conta de Eduarda.
15- Uma duplicata de R$150.000,00 foi resgatada 3 meses antes do vencimento, a taxa
de 2,5% ao mês. Qual o valor atual da operação?
16- Qual o montante produzido por R$10.000,00, a taxa de juros compostos de 6% a.m.,
durante cinco meses?
17- Qual o montante acumulado em 6 anos, a uma taxa de 10% ao ano, no regime de
juros compostos, a partir de um principal igual a R$100,00?
18- Quanto se deveria pagar hoje para se ter direito de receber R$10.000,00 daqui a 5
anos, a juros de 10% ao ano?
19- Em que prazo um empréstimo de R$55.000,00 pode ser quitado por meio de um único
pagamento de R$110.624,80 se a taxa de juros compostos cobrada for de 15% a.m.?
20- Qual o valor da taxa de juros compostos aplicada a um capital de R$13.200,00, para
que o mesmo se transforme em R$35.112,26, se o período de aplicação for de 7 meses?
21- Laura abre uma poupança depositando R$2.000,00. Daqui a 2 meses Laura deve fazer
um depósito de R$2.500,00 e daqui a 4 meses pretende sacar a poupança R$1.300. Qual
deverá ser o saldo da poupança ao final do 5o mês se a taxa de juros composta ganha for
de 15% a.m.?
22- Eduarda possui três opções de taxa para tomar um empréstimo: a,b ou ,c.
a – 2,4% para 35 dias
b – 22,9% para 178 dias
c – 88,4% para 345 dias
Calcule a taxa equivalente diária de cada uma das alternativas e determine qual a melhor
opção.
23- Determinar o valor dos depósitos trimestrais, durante um ano de um fluxo de caixa
capaz de produzir o montante de R$10.000,00, com uma taxa de 6% ao mês.
24- A empresa de Dona Eduarda financia a venda de suas máquinas e equipamentos por
um prazo de 24 meses a uma taxa efetiva de 3,0% a.m. Qual o valor da prestação mensal
para uma máquina que custa à vista R$50.000,00.
134
25- Uma loja de eletrodomésticos, a Laura Elétricos, financia compras cobrando uma taxa
efetiva de 10% a.m. Para um valor financiado de R$ 250.000,00, determine o valor da
prestação para as seguintes alternativas de pagamento de pagamento:
i) pagamento em 12 prestações mensais iguais;

ii) pagamento em 4 prestações quadrimestrais iguais.
26- Um produto que custa R$200,00 pode ser adquirido das seguintes formas:
a) À vista com 20% de desconto;
b) Parcelado em 1+3 prestações de R$50,00.
Calcule a taxa de juros embutida na segunda alternativa.
27- Laura deposita anualmente a quantia de R$1.000,00 no final de cada ano, num banco
que paga juros compostos de 10% a.a. Qual será o saldo credor deste investidor,
imediatamente antes da efetivação do seu quarto depósito anual?
28- Um empréstimo de R$15.000,00 será pago em 1+11prestações mensais fixas, com

taxa de juros de 10%a.m.. Calcule o valor das prestações
29- Você pode comprar um galpão industrial novo pronto por $800.000,00.
Alternativamente você pode mandar fazer um galpão idêntico pagando $200.000,00 pelo
terreno e construindo por $220.000,00, a valores de hoje. Fica pronto em 10 meses. Sua
expectativa de lucros operacionais é de $48.000,00 por mês. A taxa de seu custo de capital
é 3% ao mês. Qual é a melhor alternativa? Qual é o preço do galpão que faz você ficar
indiferente entre as alternativas descritas?
30- Sua empresa usualmente fornece automóveis para seus todos os seus representantes.
O combustível é sempre por conta dos representantes. As locadoras podem alugar veículos
populares simples por um pacote mensal incluindo seguro total que custa em media
$900,00 por mês para cada veiculo locado. Você poderia comprar estes veículos por
$12.000,00 (cada veiculo) financiados com uma taxa de juros de 3% ao mês, sem entrada
e por um prazo de 3 anos pagando em prestações fixas. Os custos com seguro,
manutenção e IPVA são de $500,00 mensais por veiculo. Considere que automóveis
populares usados podem ser vendidos com 3 anos de uso com uma desvalorização de 36%
em relação ao preço do carro novo. Afinal, dadas estas premissas você deve comprar ou
alugar os veículos? Calcule qual seria o aluguel da indiferença (considere a taxa de juros
compostos de 3%a.m.).

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01 Matemática Financeira PDF

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A cópia do material didático utilizado ao longo do curso é de propriedade do(s) autor(es),

não podendo a contratante vir a utilizá-la em qualquer época, de forma integral ou

1. PROGRAMA DA DISCIPLINA ........................................................................... 1

2. CONCEITOS BÁSICOS ..................................................................................... 3

3. REGIMES DE AMORTIZAÇÃO ....................................................................... 105

4. INDICADORES DE ANÁLISE DE PROJETOS E INVESTIMENTOS .................... 113

5. EXERCÍCIOS PROPOSTOS ........................................................................... 132

1.2 Carga horária total

1.4 Conteúdo programático

1.6 Critérios de avaliação

Curriculum Vitae do professor

2.1 Objetivo da Matemática Financeira

2.2 Fluxo de caixa (cash flow)

O Fluxo de Caixa é um instrumento de representação gráfico que sintetiza todas as

A Calculadora Financeira HP-12C sempre trabalha com entradas e saídas de caixa.

2.3 Risco e Retorno

A matemática financeira fornece ao gestor financeiro subsídios para o processo de

Fluxo de Caixa dos

2.4 Fatores de produção

2.5.1 Evolução histórica dos Juros

Na Idade Média, o Direito Canônico, referia-se à usura como um pecado. Tal

No século XV começam a surgir definições para diferenciar a usura da cobrança

A Reforma Protestante, e principalmente o Calvinismo, foram a tentativa de

A Revolução Francesa, no século XVII, consolidou as novas práticas da

Atualmente a cobrança de juros é uma prática corriqueira nas sociedades

2.5.2 Classificação das Taxas de Juros

Tais classificações não são mutuamente excludentes3.

Assim, a taxa de juros nominal foi de 10% a.a.

de juros reais simples ou composta.

Assim, a taxa de juros real é de 4,76%a.a.

Mesmo se tratando de um fenômeno corriqueiro das Economias modernas, as taxas

Suponha que Eduarda tenha duas alternativas para comprar um terreno: 1ª

2.6 Regimes de capitalização

- Regime de Capitalização a Juros Simples: Neste regime os juros incidem sempre

A partir do Investimento incial P, queremos obter o Saldo acumulado S.

Período Saldo no início Juros acumulados Saldo no final

- Regime de Capitalização a Juros Compostos: Neste regime, os juros são calculados

juros leva em consideração o valor acumulado no término do período anterior, ou seja, S2

Período Saldo no início de Juros acumulados no Saldo no final

Período Juros Simples Juros Compostos

Todos os problemas de Matemática Financeira envolvem o cálculo do valor monetário ao

• Principal, Valor Presente ou Capital Inicial pode ser representado por P, VP ou

2.7 Utilizando a HP-12C

A HP-12C foi desenvolvida para realizar cálculos financeiros, estatísticos, de depreciação e

A calculadora tem a possibilidade de programação. Esta é uma forma ágil e prática de

As seções a seguir apresentarão as áreas da calculadora, algumas teclas e funções

Este setor do teclado insere os dados na calculadora HP-12C.

Este setor do teclado realiza as operações algébricas.

Este setor do teclado realiza a limpeza dos dados inseridos na calculadora.

Este setor do teclado realiza cálculos percentuais.

Este setor do teclado realiza cálculos financeiros.

Este setor do teclado realiza cálculos com as funções de calendário.

Este setor inicia o módulo de programação5.

Armazena e resgata dados

Este setor armazena e resgata os dados.

Este setor do teclado realiza estatísticos na calculadora HP-12C.

Este setor do teclado ativa as funções secundárias da calculadora HP-12C.

Aperte f Para ativar as funções douradas