Geometria espacial

Pontos, retas e planos

Na geometria espacial, são conceitos primitivos (e, portanto, aceitos sem
definição) os conceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente, usamos a
seguinte notação:

 pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto

 retas: letras minúsculas do nosso alfabeto

 planos: letras minúsculas do alfabeto grego

Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos.

Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever:

Axiomas
Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem
demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria.
Temos como axioma fundamental: existem infinitos pontos, retas e planos.

Postulados sobre pontos e retas

P1) A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos.

P2) Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas.

P3) Por dois pontos distintos passa uma única reta.

P4) Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas semirretas.

Postulados sobre o plano e o espaço
P5) Por três pontos não-colineares passa um único plano.

P6) O plano é infinito, isto é, ilimitado.

P7) Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos.

P8) Toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regiões

chamadas semiplanos.

P9) Qualquer plano divide o espaço em duas regiões chamadas semiespaços.

Posições relativas de duas retas

No espaço, duas retas distintas podem ser concorrentes, paralelas ou reversas:
Temos que considerar dois casos particulares:

 retas perpendiculares:
  retas ortogonais:

Postulado de Euclides ou das retas paralelas

P10) Dados uma reta r e um ponto P r, existe uma única reta s, traçada
por P, tal que r // s:

Determinação de um plano
Lembrando que, pelo postulado 5, um único plano passa por três pontos não-
colineares. Um plano também pode ser determinado por:

 uma reta e um ponto não-pertencente a essa reta:

 duas retas distintas concorrentes:

  duas retas paralelas distintas:

Posições relativas de reta e plano

Vamos considerar as seguintes situações:

a) reta contida no plano: se uma reta r tem dois pontos distintos num plano
, então r está contida nesse plano:

b) reta concorrente ou incidente ao plano: dizemos que a reta r "fura" o

plano ou que r e são concorrentes em P quando .
Observação: a reta r é reversa a todas as retas do plano que não passam pelo
ponto P.

c) reta paralela ao plano: se uma reta r e um plano não têm ponto em

comum, então a reta r é paralela a uma reta t contida no plano ; portanto, r
// .

Em existem infinitas retas paralelas, reversas ou ortogonais a r.

P11) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua intersecção
é dada por uma única reta que passa por esse ponto.

Perpendicularismo entre reta e plano

Uma reta r é perpendicular a um plano se, e somente se, r é perpendicular a
todas as retas de que passam pelo ponto de intersecção de r e .

Note que:

 se uma reta r é perpendicular a um plano , então ela é perpendicular

ou ortogonal a toda reta de :
  para que uma reta r seja perpendicular a um plano , basta ser
perpendicular a duas retas concorrentes, contidas em :

Observe, na figura abaixo, por que não basta que r seja perpendicular a uma
única reta t de para que seja perpendicular ao plano:

Posições relativas de dois planos

Consideramos as seguintes situações:

a) planos coincidentes ou iguais

b) planos concorrentes ou secantes

Dois planos, , são concorrentes quando sua intersecção é uma única

reta:

c) planos paralelos

Dois planos, , são paralelos quando sua intersecção é vazia:

Perpendicularismo entre planos

Dois planos, , são perpendiculares se, e somente se, existe uma reta de
um deles que é perpendicular ao outro:
Observação: Existem infinitos planos perpendiculares a um plano dado; esses
planos podem ser paralelos entre si ou secantes.

Projeção ortogonal
A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano é a intersecção do
plano com a reta perpendicular a ele, conduzida pelo ponto P:

A projeção ortogonal de uma figura geométrica F ( qualquer conjunto de

pontos) sobre um plano é o conjunto das projeções ortogonais de todos os
pontos de F sobre :

Distâncias entre ponto, reta e planos

A distância entre um ponto e um plano é a medida do segmento cujos extremos são o
ponto e sua projeção ortogonal sobre o plano:
A distância entre uma reta e um plano paralelo é a distância entre um ponto
qualquer da reta e o plano:

A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um ponto qualquer

de um deles e o outro plano:

A distância entre duas retas reversas, r e s, é a distância entre um ponto

qualquer de uma delas e o plano que passa pela outra e é paralelo à primeira
reta:
Ângulos entre retas e planos
O ângulo entre duas retas reversas é o ângulo agudo que uma delas forma
com uma reta paralela à outra:

O ângulo entre uma reta e um plano é o ângulo que a reta forma com sua
projeção ortogonal sobre o plano:
Observações:

Diedros, triedros, poliedros

Diedros
Dois semiplanos não-coplanares, com origem numa mesma reta, determinam
uma figura geométrica chamada ângulo diédrico, ou simplesmente diedro:

Triedros
Três semi-retas não-coplanares, com origem num mesmo ponto, determinam
três ângulos que formam uma figura geométrica chamada ângulo triédrico, ou
simplesmente triedro:
Ângulo poliédrico

Sejam n ( ) semirretas de mesma origem tais que nunca fiquem três num
mesmo semiplano. Essas semirretas determinam n ângulos em que o plano de
cada um deixa as outras semirretas em um mesmo semiespaço. A figura
formada por esses ângulos é o ângulo poliédrico.

Poliedros
Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos,
pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em
comum. Veja alguns exemplos:
Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos
são as arestas e os vértices do poliedro.

Poliedros convexos e côncavos

Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer
uma de suas faces, os poliedros encontram-se inteiramente no mesmo
semiespaço que essa face determina. Assim, esses poliedros são
denominados convexos.

Isso não acontece no último poliedro, pois, em relação a duas de suas faces,
ele não está contido apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado
côncavo.

Classificação
Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de
faces, como por exemplo:

 tetraedro: quatro faces

 pentaedro: cinco faces
 hexaedro: seis faces
 heptaedro: sete faces
 octaedro: oito faces
 icosaedro: vinte faces
Poliedros regulares
Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos
regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice,
converge um mesmo número de arestas.

Existem cinco poliedros regulares, que são apresentados a seguir:

Poliedro Planificação Elementos

4 faces triangulares

4 vértices

6 arestas
Tetraedro

6 faces quadrangulares

8 vértices

12 arestas
Hexaedro

8 faces triangulares

6 vértices

12 arestas
Octaedro

12 faces pentagonais

20 vértices

30 arestas
Dodecaedro

20 faces triangulares

12 vértices

30 arestas
Icosaedro
Relação de Euler
Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:

V-A+F=2

em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de

faces. Observe os exemplos:

V=8 A=12 F=6

V = 12 A = 18 F = 8
8 - 12 + 6 = 2
12 - 18 + 8 = 2

Poliedros platônicos
Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:

a) for convexo;

b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas;

c) toda face tiver o mesmo número de arestas;

d) for válida a relação de Euler.

Assim, nas figuras acima, o primeiro poliedro é platônico e o segundo, não-

platônico.

Prismas
Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, , um polígono
convexo R contido em e uma reta r que intercepta , mas não R:
Para cada ponto P da região R, vamos considerar o segmento , paralelo à
reta r :

Assim, temos:
Chamamos de prisma ou prisma limitado o conjunto de todos os segmentos
congruentes paralelos a r.

Elementos do prisma
Dado o prisma a seguir, consideramos os seguintes elementos:

 bases: as regiões poligonais R e S

 altura: a distância h entre os planos
 arestas das bases: os
lados ( dos polígonos)
 arestas laterais: os segmentos
 faces laterais: os paralelogramos AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E,
EE'A'A.

Classificação dos prismas

Um prisma pode ser:

 reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das

bases;
 oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.

Veja:
 prisma reto

prisma oblíquo

Chamamos de prisma regular todo prisma reto cujas bases são polígonos
regulares:

prisma regular triangular

prisma regular hexagonal

Observação: As faces de um prisma regular são retângulos congruentes.

Secção e áreas do prisma
Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele uma
região chamada secção do prisma.

Secção transversal é uma região determinada pela intersecção do prisma com

um plano paralelo aos planos das bases (figura 1). Todas as secções
transversais são congruentes (figura 2).

Áreas
Em um prisma, distinguimos dois tipos de superfície: as faces e as bases.
Assim, temos de considerar as seguintes áreas:

a) área de uma face (AF ): área de um dos paralelogramos que constituem as

faces;

b) área lateral (AL): soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces
do prisma.

No prisma regular, temos:

AL = n . AF (n = número de lados do polígono da base)

c) área da base (AB): área de um dos polígonos das bases;

d) área total (AT): soma da área lateral com a área das bases.

AT = AL + 2AB

Vejamos um exemplo. Dado um prisma hexagonal regular de aresta da

base a e aresta lateral h, temos:
Paralelepípedo
Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de
paralelepípedo. Assim, podemos ter:

a) paralelepípedo oblíquo

b) paralelepípedo reto
Se o paralelepípedo reto tem bases retangulares, ele é chamado de
paralelepípedo reto-retângulo, ortoedro ou paralelepípedo retângulo.

Paralelepípedo retângulo
Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura:

Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro

arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas.

Diagonais da base e do paralelepípedo

Considere a figura a seguir:

db = diagonal da base

dp = diagonal do paralelepípedo

Na base ABFE, temos:

No triângulo AFD, temos:

Área lateral
Sendo AL a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos:

AL= ac + bc + ac + bc
AL= 2ac + 2bc
AL = 2(ac + bc)

Área total
Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas
de cada par de faces opostas:
AT= 2( ab + ac + bc)

Volume
Por definição, unidade de volume é um cubo de aresta 1. Assim, considerando
um paralelepípedo de dimensões 4, 2 e 2, podemos decompô-lo em 4 . 2 . 2
cubos de aresta 1:

Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado

por:

V = abc

Como o produto de duas dimensões resulta sempre na área de uma face e

como qualquer face pode ser considerada como base, podemos dizer que o
volume do paralelepípedo retângulo é o produto da área da base AB pela
medida da altura h:

Cubo
Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes (a=b=c)
recebe o nome de cubo. Dessa forma, as seis faces são quadrados.
Diagonais da base e do cubo
Considere a figura a seguir:

dc=diagonal do cubo

db = diagonal da base

Na base ABCD, temos:

No triângulo ACE, temos:

Área lateral
A área lateral AL é dada pela área dos quadrados de lado a:

AL=4a2

Área total
A área total AT é dada pela área dos seis quadrados de lado a:

AT=6a2

Volume
De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de
aresta a é dado por:

V= a . a . a = a3
Generalização do volume de um prisma
Para obter o volume de um prisma, vamos usar o princípio de Cavalieri
(matemático italiano, 1598 - 1697), que generaliza o conceito de volume para
sólidos diversos.

Dados dois sólidos com mesma altura e um plano , se todo plano , paralelo
a , intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm
volumes iguais:

Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V2 = ABh. Assim, o volume de todo

prisma e de todo paralelepípedo é o produto da área da base pela medida da
altura:

Vprisma = ABh

Cilindro
Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, , um
círculo R contido em e uma reta r que intercepta , mas não R:
Para cada ponto C da região R, vamos considerar o segmento , paralelo à
reta r :

Assim, temos:

Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de todos os

segmentos congruentes e paralelos a r.

Elementos do cilindro
Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos:
  bases: os círculos de centro O e O'e raios r
 altura: a distância h entre os planos
 geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos das
circunferências das bases ( por exemplo, ) e paralelo à reta r

Classificação do Cilindro
Um cilindro pode ser:

 circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases;

 circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases.

Veja:

O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução, por ser

gerado pela rotação completa de um retângulo por um de seus lados. Assim, a
rotação do retângulo ABCD pelo lado gera o cilindro a seguir:
A reta contém os centros das bases e é o eixo do cilindro.

Secção
Secção transversal é a região determinada pela intersecção do cilindro com
um plano paralelo às bases. Todas as secções transversais são congruentes.

Secção meridiana é a região determinada pela intersecção do cilindro com um

plano que contém o eixo.
Área do cilindro
Em um cilindro, consideramos as seguintes áreas:

a) área lateral (AL)

Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação:

Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujos raios dos círculos
das bases são r é um retângulo de dimensões :

b) área da base (AB): área do círculo de raio r.

c) área total (AT): soma da área lateral com as áreas das bases.
Volume do cilindro
Para obter o volume do cilindro, vamos usar novamente o princípio de
Cavalieri. Dados dois sólidos com mesma altura e um plano , se todo
plano , paralelo ao plano , intercepta os sólidos e determina secções de
mesma área, os sólidos têm volumes iguais:

Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V2 = ABh. Assim, o volume de todo

paralelepípedo retângulo e de todo cilindro é o produto da área da base pela
medida de sua altura:

Vcilindro = ABh

No caso do cilindro circular reto, a área da base é a área do círculo de

raio r: . Portanto, seu volume é:
Cilindro equilátero
Todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado (altura igual ao diâmetro da
base) é chamado cilindro equilátero.

Cone circular
Dado um círculo C, contido num plano , e um ponto V (vértice) fora de ,
chamamos de cone circular o conjunto de todos os segmentos .

Elementos do cone circular

Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos:
  altura: distância h do vértice V ao plano .
 geratriz (g): segmento com uma extremidade no ponto V e outra num
ponto da circunferência.
 raio da base: raio R do círculo.
 eixo de rotação: reta determinada pelo centro do círculo e pelo
vértice do cone.

Cone reto
Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto,
também denominado cone de revolução. Ele pode ser gerado pela rotação
completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.

Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação:

g2 = h2 + R2

Secção meridiana
A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que contém o
eixo de rotação é chamada secção meridiana.
Se o triângulo AVB for equilátero, o cone também será equilátero:

Área e volume do cone

Área
Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos um setor
circular de raio g e comprimento :

Assim, temos de considerar as seguintes áreas:

a) área lateral (AL): área do setor circular.

b) área da base (AB): área do circulo do raio R.

c) área total (AT): soma da área lateral com a área da base.

Volume
Para determinar o volume do cone, vamos ver como calcular volumes de
sólidos de revolução. Observe a figura:

d = distância do centro de gravidade (CG) da sua superfície ao eixo e

S=área da superfície

Sabemos, pelo Teorema de Pappus-Guldin, que, quando uma superfície gira

em torno de um eixo e, gera um volume tal que:

Vamos então determinar o volume do cone de revolução gerado pela rotação

de um triângulo retângulo em torno do cateto h:
O CG do triângulo está a uma distância do eixo de rotação. Logo:

Pirâmide
Dados um polígono convexo R, contido em um plano , e um ponto V (vértice)
fora de , chamamos de pirâmide o conjunto de todos os segmentos
.

Elementos da pirâmide
Dada a pirâmide a seguir, temos os seguintes elementos:
  base: o polígono convexo R.
 arestas da base: os lados do polígono.
 arestas laterais: os segmentos .
 faces laterais: os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE, VEA.
 altura: distância h do ponto V ao plano.

Classificação
Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o
centro do polígono da base. Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é
regular, recebe o nome de pirâmide regular. Ela pode ser triangular,
quadrangular, pentagonal etc., conforme sua base seja, respectivamente, um
triângulo, um quadrilátero, um pentágono etc. Veja:

Observações:

1ª) Toda pirâmide triangular recebe o nome do tetraedro. Quando o tetraedro

possui como faces triângulos equiláteros, ele é denominado regular (todas as
faces e todas as arestas são congruentes).
2ª) A reunião, base com base, de duas pirâmides regulares de bases
quadradas resulta num octaedro. Quando as faces das pirâmides são
triângulos equiláteros, o octaedro é regular.

Secção paralela à base de uma pirâmide

Um plano paralelo à base que intercepte todas as arestas laterais determina
uma secção poligonal de modo que:

 as arestas laterais e a altura sejam divididas na mesma razão;

 a secção obtida e a base sejam polígonos semelhantes;
 as áreas desses polígonos estejam entre si assim como os quadrados de suas
distâncias ao vértice.
Relações entre os elementos de uma pirâmide regular
Vamos considerar uma pirâmide regular hexagonal, de aresta lateral l e aresta
da base a:

Assim, temos:
  A base da pirâmide é um polígono regular inscritível em um círculo de
raio OB = R.

 A face lateral da pirâmide é um triângulo isósceles.

 Os triângulos VOB e VOM são retângulos.

Área e volume da pirâmide

Área
Numa pirâmide, temos as seguintes áreas:

a) área lateral (AL): reunião das áreas das faces laterais.

b) área da base (AB): área do polígono convexo (base da pirâmide).

c) área total (AT): união da área lateral com a área da base.

AT = AL +AB

Para uma pirâmide regular, temos:

em que:

Volume
O princípio de Cavalieri assegura que um cone e uma pirâmide equivalentes
possuem volumes iguais:

Tronco de pirâmide
Se um plano interceptar todas as arestas de uma pirâmide, paralelamente às
suas bases, dividirá o sólido em dois outros: uma nova pirâmide e um tronco de
pirâmide. Dado o tronco de pirâmide regular a seguir, temos:

 as bases são polígonos regulares paralelos e semelhantes;

 as faces laterais são trapézios isósceles congruentes.
Áreas
Temos as seguintes áreas:

a) área lateral (AL): soma das áreas dos trapézios isósceles congruentes que
formam as faces laterais.

b) área total (AT): soma da área lateral com a soma das áreas da base
menor (Ab) e maior (AB).

AT =AL+AB+Ab

Volume
O volume de um tronco de pirâmide regular é dado por:

Sendo V o volume da pirâmide e V' o volume da pirâmide obtido pela secção, é

válida a relação:

Tronco de cone
Se um plano interceptar todas as arestas de um cone, paralelamente às suas
bases, dividirá o sólido em dois outros: um novo cone e um tronco de cone.
Sendo o tronco do cone circular regular a seguir, temos:
  as bases maior e menor são paralelas;
 a altura do tronco é dada pela distância entre os planos que contém as bases.

Áreas
Temos:

a) área lateral

b) área total

Volume

Sendo V o volume do cone e V' o volume do cone obtido pela secção, são
válidas as relações:
Esfera
Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja
distância ao centro é menor ou igual ao raio R.

Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a

esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma
superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa
superfície e ao seu interior.

Volume
O volume da esfera de raio R é dado por:

Superfície esférica
A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do espaço
cuja distância ao ponto O é igual ao raio R.

Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência em torno de

seu diâmetro, a superfície esférica é o resultado dessa rotação.
A área da superfície esférica é dada por:

Outras partes da esfera

Zona esférica
É a parte da esfera gerada do seguinte modo:

A área da zona esférica é dada por:

Calota esférica
É a parte da esfera gerada do seguinte modo:
A área da calota esférica é dada por:

Fuso esférico
O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma
semicircunferência de um ângulo em torno de seu eixo:

A área do fuso esférico pode ser obtida por uma regra de três simples:

Cunha esférica
Parte da esfera que se obtém ao girar um semicírculo em torno de seu eixo de
um ângulo :
O volume da cunha pode ser obtido por uma regra de três simples:

SÃO LUÍS – MA, 02/03/2020.

PROFESSORES: EUGÊNIO & MAYFRAN.