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Arthur Lima
Matemática Financeira e Estatística p/ Auditor da SEPLAG DF – 2019 Aula 00
Sumário
APRESENTAÇÃO ................................................................................................................................................. 3
INTRODUÇÃO ................................................................................................................................................................... 8
JUROS SIMPLES ................................................................................................................................................................ 9
JUROS COMPOSTOS ...................................................................................................................................................... 13
COMPARAÇÃO ENTRE OS REGIMES SIMPLES E COMPOSTO ........................................................................................ 19
UMA DICA DE CÁLCULO.................................................................................................................................................. 23
GABARITO .........................................................................................................................................................68
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Apresentação
Olá, tudo bem? Sou o professor Arthur Lima. Seja muito bem-vindo a esse
meu curso! Aqui na DIREÇÃO CONCURSOS sou responsável pelas
disciplinas de Matemática, Raciocínio Lógico, Matemática Financeira e
Estatística. Também sou um dos coordenadores do site.
É com MUITA ALEGRIA que inicio este curso de MATEMÁTICA FINANCEIRA e ESTATÍSTICA. A
programação de aulas, que você verá mais adiante, foi concebida especialmente para a sua preparação focada no
concurso da SECRETARIA de ESTADO de PLANEJAMENTO, ORÇAMENTO e GESTÃO do DISTRITO FEDERAL
(SEPLAG DF). Tomei por base o último edital, e cobriremos TODOS os tópicos exigidos naquela ocasião, ok? Nada
vai ficar de fora, este curso deve ser o seu ÚNICO material de estudo! E você também não perderá tempo
estudando assuntos que não serão cobrados na sua prova. Deste modo, você aproveita o tempo da melhor forma
possível, estuda de modo totalmente focado, e aumenta as suas chances de aprovação.
Você nunca estudou MATEMÁTICA FINANCEIRA e ESTATÍSTICA para concursos? Não tem problema,
este curso também te atende. Nós veremos toda a teoria que você precisa e resolveremos centenas de exercícios
para que você possa praticar bastante cada aspecto estudado. Minha recomendação, nestes casos, é que você
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comece assistindo as videoaulas, para em seguida enfrentar as aulas em PDF. E fique à vontade para me procurar
no fórum de dúvidas sempre que for necessário.
Caso você queira tirar alguma dúvida antes de adquirir o curso, basta me enviar um email ou um direct pelo
Instagram:
Conheça ainda as minhas outras redes sociais para acompanhar de perto o meu trabalho:
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Conteúdo:
1. Juros Simples. Montante e juros. Descontos Simples. Equivalência Simples de Capital. Taxa real e taxa efetiva. Taxas
equivalentes. Capitais equivalen-tes. 2. Juros Compostos. Montante e juros. Desconto Composto. Taxa real e taxa efetiva.
Taxas equivalentes. Capitais equivalentes. Capitalização contínua. Equivalência Composta de Capitais. 3. Descontos: simples,
composto. Desconto racional e desconto comercial. 4. Rendas Certas. Amortização: sistema francês; sistema de amortização
constante. 5. Fluxo de Caixa: fluxo de caixa da empresa e fluxo de caixa do acionista. Valor atual. Taxa Interna de Retorno: TIR
do acionista e TIR do projeto. Payback e Valor Presente Líquido. 6. Metodologia de precificação de títulos públicos e privados:
títulos pré-fixados, títulos pós-fixados, títulos com pagamentos de cupons, debêntures. Mecanismo de trava de taxas de juros
e taxa de câmbio.*
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
Conteúdo:
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Para cobrir este edital, o nosso curso está organizado da seguinte forma:
08 02/06 Probabilidade
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Vamos introduzir os principais conceitos e fórmulas sobre JUROS SIMPLES E COMPOSTOS, que são a base
da matemática financeira. Além de serem aspectos fundamentais para a compreensão de assuntos mais
avançados, existem MUITAS questões de prova que podem ser resolvidas simplesmente com as noções básicas
que veremos nesta aula. Portanto, mãos à obra!
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Afinal de contas, o que significa “juros”? Costumo dizer que juros é o termo utilizado para designar o “preço
do dinheiro no tempo”, ou melhor, é o “preço” que alguém paga por ficar com a posse do dinheiro de outra
pessoa por algum tempo. Quando você pega certa quantia emprestada no banco, ele cobrará uma remuneração
em cima do valor que ele te emprestou, pelo fato de deixar você ficar na posse desse dinheiro (que era dele) por
um certo tempo. Esta remuneração é expressa pela taxa de juros. Existem duas formas principais, ou regimes, de
cobrança de juros: juros simples e juros compostos.
O regime de juros simples tem um caráter mais teórico, sendo utilizado mais para fins didáticos do que para
fins práticos. No dia-a-dia, a maioria das operações realizadas pelas instituições financeiras ocorrem segundo o
regime de juros compostos (ex.: poupança, aplicação em CDB, compra de títulos públicos, empréstimos e
financiamentos para casa própria etc.). São poucas as aplicações práticas de juros simples, sendo elas mais
restritas a operações de curto prazo (como o cálculo da multa por atraso no pagamento da conta de luz, que
geralmente é um valor fixo por dia de atraso). Guarde isso:
UFG – Analista Fiscal – 2012) Os juros simples em função de suas restrições técnicas têm aplicações práticas
bastante limitadas. São raras as operações financeiras e comerciais que formam temporalmente seus montantes
de juros, conforme o regime de capitalização linear. O uso de juros simples se restringe, principalmente, às
operações praticadas no âmbito do
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RESOLUÇÃO:
Como vimos, o regime de juros simples não tem grandes aplicações na prática, tendo principalmente a
função didática e teórica. No dia-a-dia eles acabam sendo utilizados em operações de curto prazo, justamente
porque para prazos curtos não há grande diferença entre os valores resultantes da aplicação de juros simples e
compostos. Soma-se a isso a maior facilidade de realização de cálculos com juros simples. Assim, podemos marcar
a alternativa B. Infelizmente não cabe grandes explicações sobre as demais alternativas. As letras A, C e D
apresentam situações em que comumente se utiliza juros compostos (cálculos com inflação, no mercado
financeiro e na simulação de cenários econômicos, isto é, nas atividades típicas das instituições financeiras).
Resposta: B
JUROS SIMPLES
Vamos trabalhar com o cenário em que você, concurseiro “liso” 😊, foi ao banco e contratou um
empréstimo. Suponha que ficou combinado que será cobrada uma taxa de juros mensal apenas sobre o valor
emprestado inicialmente. Não serão cobrados “juros sobre juros”, isto é, sobre o valor que vai sendo acrescido à
dívida a cada mês. Neste caso, estamos diante da cobrança de juros simples. Para ilustrar, imagine que você pegou
um capital (ou principal) de R$1.000,00 emprestados com o banco a uma taxa de juros simples de 10% ao mês,
para pagar após 4 meses. Quanto você deverá pagar ao banco ao final dos 4 meses?
Como foi contratado um empréstimo a juros simples, ao final do primeiro mês você deve aplicar a taxa de
juros (10%) sobre o capital inicial (R$1000). Como 10% de 1000 é igual a 100, podemos dizer que ao final do primeiro
mês a dívida subiu para R$1100, onde R$1000 correspondem ao montante inicial e R$100 correspondem aos juros
incorridos no período. Ao final do segundo mês, serão devidos mais 10% de 1000, ou seja, mais 100 reais. Note que
os juros foram calculados novamente sobre o capital inicial. Ao final do terceiro e quarto meses, serão devidos
mais 100 reais por mês. Portanto, ao final de 4 meses você deverá devolver ao banco o capital inicial acrescido de
4 parcelas de 100 reais, totalizando R$1400. Temos a seguinte situação:
Mês Dívida
0 (início) R$1.000
1 R$1.000 + R$100
2 R$1.000 + R$200
3 R$1.000 + R$300
Do valor final (R$1.400), note que 400 reais se referem aos juros (“preço” que você paga por ter ficado com
1000 reais do banco durante 4 meses) e 1000 reais referem-se ao Principal da dívida, isto é, o capital inicialmente
obtido. Podemos usar simplesmente a fórmula abaixo:
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M = C (1 + j t )
(leia: o montante final é igual ao capital inicial multiplicado por 1 mais o produto entre a taxa e o prazo)
Nessa fórmula, C é o capital inicial (R$1000), j é a taxa de juros (10% ao mês), t é o período analisado (4
meses), e M é o montante (valor total) devido ao final dos “t” períodos. Observe que a taxa de juros e o período
analisado devem referir-se à mesma unidade temporal (neste caso, ambos se referem a meses). Se elas não
estiverem na mesma unidade temporal, o primeiro passo da resolução deve ser a uniformização destas unidades,
como veremos mais adiante neste curso. Usando a fórmula, temos:
M = C (1 + j t )
M = 1000 x (1 + 10% x 4)
M = 1000 x (1 + 40%)
M = 1000 x (1 + 40/100)
M = 1000 x (1 + 0,40)
M = 1000 x (1,40)
M = 1400 reais
No cálculo 1 + 10% x 4, você SEMPRE deve resolver primeiro a multiplicação (10% x 4 = 40%, ou simplesmente 0,40) para
DEPOIS resolver a soma (1 + 0,40 = 1,40), ok?
FCC – TRE/SP – 2017) Demitido da empresa em que trabalhava, o senhor Felizardo investiu a indenização recebida
no Banco Regional da Fazenda. O valor a ser resgatado, após oito meses de aplicação, é de R$ 210.000.
Considerando-se que a taxa de juros simples é de 5% ao mês, o valor da aplicação, em reais, foi de
(A) 140.000.
(B) 170.000.
(C) 60.000.
(D) 96.000.
(E) 150.000.
RESOLUÇÃO:
Temos um valor resgatado (montante final) de M = 210.000 reais, taxa de juros j = 5% ao mês, prazo de t = 8 meses.
Na fórmula dos juros simples, podemos obter o capital inicial C:
M = C x (1 + jxt)
210.000 = C x (1 + 5%x8)
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210.000 = C x (1 + 40%)
210.000 = C x (1 + 0,40)
210.000 = C x (1,40)
2.100.000 = C x 14
300.000 = C x 2
150.000 = C
Resposta: E
M = C +C j t
Nesta fórmula, C j é o valor dos juros pagos a cada período (R$100), que é sempre igual. Já C j t é o
total pago na forma de juros (neste caso, R$400). Portanto, o valor dos juros totais devidos é simplesmente:
J = C j t
J = 1000 x 10% x 4
J = 1000 x 40%
J = 1000 x 0,40
J = 400 reais
Pratique a fórmula para o cálculo direto do valor dos Juros no exercício a seguir:
VUNESP – PREF. GARÇA – 2018) Considere a seguinte situação problema proposta em um curso de formação de
professores, após discutirem-se conceitos associados a problemas de juros simples: Uma aplicação de um ano e
meio foi feita no sistema de juros simples, a uma taxa de juros de 15% ao ano. Relacione os juros dessa aplicação
ao capital aplicado. Ao resolver corretamente a situação apresentada, chega-se à conclusão de que os juros da
aplicação correspondem, do capital aplicado, a
(A) 0,0225.
(B) 0,225.
(C) 2,25.
(D) 22,5.
(E) 225.
RESOLUÇÃO:
Temos uma aplicação no regime simples com taxa de j = 15% ao ano e prazo de t = 1,5 ano. Os juros
correspondem a:
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J=Cxjxt
J = C x 0,15 x 1,5
J = C x 0,225
A fórmula acima nos diz que os juros correspondem a 0,225 vezes o capital inicial C. Portanto, chega-se à
conclusão de que os juros da aplicação correspondem a 0,225 do capital aplicado. Temos este gabarito na
alternativa B.
Resposta: B
Veja ainda que o valor dos juros totais é igual à diferença entre o Montante e o Capital inicial. Na verdade,
esta é a própria definição de Juros:
J=M–C
J = 1400 – 1000
J = 400 reais
M = C x (1 + j x t)
J=Cxjxt
Veja que as fórmulas apresentadas possuem 4 variáveis (C, M, j e t). A maioria dos exercícios envolvendo
juros simples fornecerão 3 dessas variáveis e perguntarão a quarta. No exemplo que estamos utilizando, o
enunciado poderia ter dito que João pegou R$1000 emprestados à taxa de juros simples de 10% ao mês, e
perguntar quanto tempo levaria para que o valor devido chegasse a R$1400. Assim, você teria C = 1000, j = 10% e
M = 1400, faltando encontrar t:
M = C x (1 + j x t)
1,4 = 1 + 0,10t
1,4 – 1 = 0,10t
0,40 = 0,10t
0,40 / 0,10 = t
40 / 10 = t
4=t
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Qual é a unidade do prazo t = 4? A unidade é MÊS, ou seja, encontramos t = 4 meses. Quem define isso é a
unidade temporal da taxa de juros utilizada. Como a taxa era de 10% ao MÊS, nós encontramos automaticamente
o prazo em MESES.
JUROS COMPOSTOS
Vamos retornar à situação na qual você contratou um empréstimo junto ao banco. Ao invés de combinar que
será cobrada uma taxa de juros mensal apenas sobre o valor emprestado inicialmente, pode ficar decidido que os
juros calculados a cada mês incidirão sempre sobre o total da dívida no mês anterior. Neste caso, estamos diante
da cobrança de juros compostos. Vamos ilustrar melhor usando os mesmos números anteriores: você pegou um
capital de R$1000 emprestado com o banco a uma taxa de juros compostos de 10% ao mês, para pagar após 4
meses. Quanto você deverá pagar ao banco ao final dos 4 meses?
Repare que agora você precisa calcular os juros sobre o total da dívida no mês anterior. Portanto, ao final do
primeiro mês, você deve aplicar a taxa de juros (10%) sobre a dívida que você possuía um mês antes, ou seja, o
capital inicial (R$1000). Como 10% de 1000 é igual a 100, podemos dizer que ao final do primeiro mês a dívida subiu
para R$1100, onde R$1000 corresponde ao capital inicial e R$100 correspondem aos juros incorridos no período.
Até aqui temos os mesmos valores do regime de juros simples. Na hora de calcular os juros do 2º mês, aí sim temos
uma diferença, pois agora você deve calcular 10% sobre o total da dívida no mês anterior, que agora soma R$1100,
e não apenas R$1000. Calculando 10% de 1100, você tem R$110, que são os juros do segundo mês. Portanto, neste
momento a dívida chega a 1100 + 110 = R$1210. Ao final do terceiro mês devemos calcular 10% de 1210 (dívida no
mês anterior), que é 121 reais, de modo que a dívida chega a 1210 + 121 = 1331 reais. No final do 4º mês devemos
obter 10% de 1331, que é R$133,10, de modo que a dívida chega a 1331 + 133,1 = R$1464,10. Temos a seguinte
tabela:
Mês Dívida
0 (início) R$1.000
1 R$1.100
2 R$1.210
3 R$1.331
4 (final) R$1.464,10
Portanto, ao final de 4 meses você deverá devolver ao banco R$1464,10, que é a soma da dívida inicial
(R$1000) e de juros de R$464,10. Repare que este valor é superior aos R$400 reais de juros devidos no regime
simples.
Para calcular diretamente o valor do montante final (M) devido em uma aplicação do capital inicial (C) por
um determinado prazo (t) a uma determinada taxa de juros (j), basta usar a fórmula:
M = C x (1 + j)t
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Neste caso, teríamos C = 1000 reais, t = 4 meses, e j = 10% ao mês. Novamente, observe que a unidade
temporal do prazo (“meses”) é igual à unidade temporal da taxa de juros (“ao mês”), o que nos permite aplicar
diretamente a fórmula:
M = 1000 x (1 + 10%)4
M = 1000 x (1 + 0,10)4
M = 1000 x (1,10)4
M = 1000 x 1,4641
M = 1464,10 reais
Repare que a etapa mais complicada do cálculo é elevar 1,10 à 4ª potência. Você reparou que eu fiz o cálculo
de 1,104 = 1,4641 rapidamente? Isso foi porque eu já DECOREI este valor. Eu sugiro que você também grave as
potências do tipo 1,10n, pois elas são MUITO frequentes nas questões de juros compostos. Veja a seguir:
MEMORIZE
Vamos resolver um exercício introdutório sobre juros compostos? Nele você utilizará mais uma potência da
tabela acima.
CESPE – FUNPRESP – 2016) Acerca de juros simples e compostos, julgue o item seguinte.
Se um capital de R$ 1.000 for aplicado à taxa de juros compostos de 10% ao mês, em três meses será gerado um
montante superior a R$ 1.300.
RESOLUÇÃO:
Observe que o enunciado forneceu o capital inicial C = 1000 reais, a taxa de juros = 10% ao mês, o prazo da aplicação
t = 3 meses, e afirmou se tratar do regime composto. Podemos substituir esses valores na fórmula dos juros
compostos para confirmar se o montante será superior ou não a 1300 reais. Veja:
M = C x (1+j)t
M = 1000 x (1+10%)3
M = 1000 x (1+0,10)3
M = 1000 x (1,10)3
M = 1000 x 1,331
M = 1331 reais
Resposta: C
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Retomando o nosso exemplo em que você pegou 1000 reais emprestado e terá que pagar 1464,10 reais,
temos que:
J=M–C
J = 1464,1 – 1000
J = 464,10 reais
No regime de Juros simples vimos que a fórmula J = C x j x t nos dava diretamente o valor dos Juros obtidos
no período. Note que, no caso do regime composto, você não vai usar uma fórmula direta assim. Você precisará
calcular o montante M, como fizemos acima, e em seguida calcular J = M – C para obter o valor dos juros (J). Veja
isso no próximo exercício:
VUNESP – SPTRANS – 2012) Considerando o regime de capitalização composta, calcule a remuneração total
obtida no período de 3 meses, a uma taxa de 3% de um capital aplicado de R$ 100.000,00 e assinale a alternativa
correta.
(A) R$ 9.000,00
(B) R$ 9.270,00
(C) R$ 9.272,70
(D) R$ 9.352,70
(E) R$ 9.378,53
RESOLUÇÃO:
Temos C = 100.000 reais, j = 3% ao mês, t = 3 meses. A questão pediu a “remuneração total”, ou seja, o total
de JUROS que foram recebidos nessa aplicação, no regime de juros compostos. Neste regime, sabemos que:
J=M–C
Também sabemos que o montante M é obtido por M = C x (1 + j)t. Substituindo M por C x (1+j)t na expressão
anterior, temos:
J = C x (1 + j)t – C
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Aqui temos um cálculo “chato” para fazer. Veja que 1,033 = 1,03 x 1,03 x 1,03. Precisamos fazer essas
multiplicações, obtendo 1,092727. Mais adiante nessa aula eu vou mostrar um jeito rápido para você calcular 1,032
= 1,0609. A partir daí, bastaria multiplicar 1,0609 por 1,03 e, assim, chegar em 1,092727. Continuando o exercício:
J = 109272,70 – 100000
J = 9272,70 reais
Resposta: C
M = C x (1 + j)t
J=M–C
Retornemos agora ao fator 1,104 que foi preciso calcular no nosso exemplo. Este fator se originou do cálculo
de (1 + j)t, ou melhor, (1 + 10%)4. Chamamos o termo (1 + j)t de fator de acumulação de capital. Trata-se de um fator
que costuma ser fornecido em tabelas para facilitar os seus cálculos. Veja, por exemplo, a tabela a seguir:
Com auxílio desta tabela, podemos obter rapidamente o valor de (1 + 10%)4. Basta buscarmos a coluna da
taxa 10% (que é última coluna da direita, pois a taxa também é designada pela letra i) e a linha de 4 períodos (que
é a quarta linha, pois o prazo também é designado pela letra n). Com isso, encontramos o valor 1,4641:
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Note que, com este mesmo procedimento, você consegue encontrar vários outros fatores de acumulação de
capital. A título de exercício, tente encontrar o fator que você usaria em uma questão onde a taxa de juros fosse
de 5% ao ano e o prazo de aplicação fosse de 9 anos. Você deve obter o valor 1,551328. Isso significa que, ao investir
100 reais, ao final do período você terá 100x1,551328 = 155,13 reais aproximadamente.
Vale dizer que muitas vezes as bancas preferem, ao invés de fornecer uma tabela completa, apresentar como
dados do enunciado os valores de alguns fatores de acumulação de capital. Por exemplo, a banca poderia ter
simplesmente dito: considere que 1,551328 é o valor de (1,05)9. Veremos isso nos exercícios.
Antes de prosseguir, acompanhe comigo essa questão. Ela é mais extensa, mas ilustra bem o que acabei de
falar no último parágrafo:
FCC – SEFAZ/GO – 2018) Há dois anos, Marcelo recebeu R$ 100.000,00 como resultado do fechamento de um
negócio e decidiu investir esse dinheiro no mercado financeiro. Após conversar com um consultor, ele aplicou parte
do valor em um fundo de ações A e, o restante, em um investimento estruturado B. Marcelo acaba de resgatar o
valor completo das duas aplicações, totalizando R$137.800,00. De acordo com o relatório elaborado pelo
consultor, no período de 2 anos, o fundo A rendeu o equivalente a 0,8% ao mês, enquanto que o investimento B
rendeu o equivalente a 2,2% ao mês, com ambos os rendimentos calculados no regime de juros compostos. O
valor, em reais, aplicado por Marcelo, há dois anos, no fundo de ações A foi de
(A) 45.000,00.
(B) 50.000,00.
(C) 55.000,00.
(D) 60.000,00.
(E) 65.000,00.
RESOLUÇÃO:
Sendo CB = B o valor aplicado no investimento estruturado, então o valor aplicado no fundo de ações é de CA
= 100.000 – B, afinal a soma dos valores iniciais é cem mil reais.
MA = CA x (1 + jA)tA
MA = (100.000 – B) x (1 + 0,8%)24
MA = (100.000 – B) x (1 + 0,8/100)24
MA = (100.000 – B) x (1 + 0,008)24
MA = (100.000 – B) x (1,008)24
Observe que foi dado o valor de 1,00812, e não de 1,00824. Podemos aplicar aqui uma propriedade das potências:
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Assim:
MA = (100.000 – B) x (1,00812)2
MA = (100.000 – B) x (1,1)2
MA = (100.000 – B) x 1,21
MB = CB x (1 + jB)tB
MB = B x (1 + 2,2%)24
MB = B x (1,022)12x2
MB = B x (1,02212)2
MB = B x (1,3)2
MB = B x 1,69
MA + MB = 137.800
0,48.B = 16.800
B = 35.000 reais
100.000 – B =
100.000 – 35.000 =
65.000 reais
Resposta: E
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0 1000 1000
4 1400 1464,10
- ao final de 1 período (1 mês), os valores devidos em ambos os regimes são iguais. Ou seja, para t = 1, juros simples
e juros compostos geram o mesmo montante.
- ao final do prazo total, veja que juros compostos são mais onerosos, ou seja, levam a um montante superior ao
do regime simples. Isto vale desde t = 2, onde tínhamos uma dívida de 1200 no regime simples e 1210 no regime
composto. Ou seja, para t > 1, juros compostos são mais onerosos que juros simples.
- não demonstraremos aqui, por simplicidade, mas grave que para t<1 (prazos fracionários, como por exemplo 0,5
mês), juros simples são mais onerosos que juros compostos.
- você reparou que na coluna de juros simples eu deixei o principal da dívida (1000) separado dos juros (100, 200,
300)? Isto ocorre porque no regime simples os juros são capitalizados (adicionados ao capital) somente no fim do
prazo.
- na coluna do regime composto, veja que os juros são capitalizados (somados ao capital) no fim de cada período,
e passam a render juros já no período seguinte. Ou seja, aqui temos o fenômeno dos juros sobre juros.
- para prazos relativamente curtos (como t = 2 períodos), veja que a diferença entre juros simples e compostos é
bem pequena. É possível até fazer um cálculo aproximado de juros compostos usando o regime simples.
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- à medida que o prazo aumenta, a diferença vai ficando cada vez maior. Por exemplo, se tivéssemos t = 20 meses,
a dívida no regime simples chegaria a R$3.000, e no regime composto chegaria a R$6.727 (mais que o dobro).
Veja como essa questão pode ser resolvida rapidamente com os conceitos acima:
CESPE – TCE/PE – 2017) Considere que dois capitais, cada um de R$ 10.000, tenham sido aplicados, à taxa de juros
de 44% ao mês — 30 dias —, por um período de 15 dias, sendo um a juros simples e outro a juros compostos. Nessa
situação, o montante auferido com a capitalização no regime de juros compostos será superior ao montante
auferido com a capitalização no regime de juros simples.
RESOLUÇÃO:
Veja que a taxa de juros é mensal, e o prazo da aplicação foi de t = 0,5 mês (quinze dias). Isto é, t < 1.
Quando o prazo é fracionário (inferior a 1 unidade temporal), juros simples rendem MAIS que juros compostos.
Logo, o montante auferido com a capitalização no regime de juros compostos será INFERIOR ao montante
auferido no regime simples. Item ERRADO. Perceba que não era necessário realizar NENHUM cálculo, embora o
examinador, de propósito, tenha fornecido uma série de dados para te confundir.
Resposta: E
Para darmos prosseguimento em nossa comparação entre juros simples e juros compostos, analise por um
momento o gráfico abaixo. Nele eu reproduzi os dois investimentos que estamos trabalhando (1000 reais, taxa de
10%, juros simples ou compostos) por um prazo de 30 meses. Observe como o montante evolui em cada regime:
20000
MONTANTE (em reais)
15000
10000
5000
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
MESES
Juros Simples Juros Compostos
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- o montante no regime de juros simples cresce de forma linear (isto é, seguindo uma linha reta). Isto ocorre
porque, a cada mês, você recebe o mesmo valor a título de juros. Trata-se de um crescimento constante ao longo
do tempo, pois o cálculo dos juros é feito somente com base no capital inicial, que não muda nunca;
- o montante no regime de juros compostos cresce de forma exponencial. Repare que se trata de um crescimento
que vai acelerando com o tempo. Ele começa de forma similar ao regime de juros simples, mas com o tempo vai
crescendo cada vez mais rápido e se afastando da curva dos juros simples. O crescimento vai acelerando porque
temos o efeito dos “juros sobre juros”, isto é, a cada mês você vai recebendo mais e mais juros, pois o cálculo é
feito com base no valor atualizado no mês anterior, e não somente no capital inicial;
A título de curiosidade, após 30 meses o montante no regime composto é mais de 4 vezes superior ao do
regime simples (R$17.449,40 contra R$4.000,00)! Ainda como curiosidade, taxas da ordem de 10% ao mês são
comuns nos cartões de crédito. Como a cobrança de juros é no regime composto, você consegue visualizar bem
com este exemplo o quanto é importante pagar em dia a sua fatura! Uma dívida de R$1.000 pode chegar a
R$17.449,40 em dois anos e meio...
Mesmo valor se t = 1
Você deve estar se perguntando: por que eu preciso saber fazer essas comparações? A resposta é simples:
porque as bancas costumam cobrar questões teóricas sobre matemática financeira, e não apenas questões de
cálculo. E nas questões teóricas, assuntos como o desta comparação são bastante explorados! Resolva comigo
este próximo exercício, que é muito ilustrativo (ele vem de um concurso bancário, que são certames que cobram
matemática financeira em um bom nível):
IDECAN – BANESTES – 2012) Em relação aos conceitos de juros simples e juros compostos, assinale a alternativa
INCORRETA.
c) Para um mesmo capital, uma mesma taxa e um mesmo prazo, o montante obtido a juros compostos sempre
será maior que o montante obtido a juros simples.
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d) Determinado capital aplicado por 10 meses, à taxa mensal de juros simples de i%, apresentará o mesmo valor
de juros para cada um dos 10 meses.
e) Determinado capital aplicado por 10 meses, à taxa mensal de juros compostos de i%, apresentará valor
diferente para os juros de cada um dos 10 meses.
RESOLUÇÃO:
CORRETO. Dizer que a formação do montante é linear significa dizer que o montante cresce de forma
constante, como uma reta crescente. É isso que acontece no regime de juros simples, como vimos em nosso
gráfico.
CORRETO. No regime composto o montante é gerado pela multiplicação do capital inicial C por um fator
que cresce de forma exponencial com o tempo: (1 + j)t
c) Para um mesmo capital, uma mesma taxa e um mesmo prazo, o montante obtido a juros compostos sempre será
maior que o montante obtido a juros simples.
ERRADO. Para t < 1, o montante gerado por juros simples é maior, e para t = 1 os montantes são iguais nos
dois regimes.
d) Determinado capital aplicado por 10 meses, à taxa mensal de juros simples de i%, apresentará o mesmo valor de
juros para cada um dos 10 meses.
CORRETO, no regime de juros simples os juros de cada período são calculados sobre o capital inicial, de
modo que em cada período esses juros são iguais à multiplicação entre o capital C e a taxa de juros i%.
e) Determinado capital aplicado por 10 meses, à taxa mensal de juros compostos de i%, apresentará valor diferente
para os juros de cada um dos 10 meses.
CORRETO, pois no regime composto os juros de cada período são calculados sobre o montante do período
anterior, que vai crescendo com o tempo, gerando juros cada vez maiores nos períodos seguintes. Este é o efeito
dos “juros sobre juros”.
Resposta: C
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Muitas vezes você vai se deparar com uma taxa de juros entre 1% e 9%, e o prazo da aplicação será de t
2 2
= 2 períodos, o que vai te obrigar a calcular (1 + j) . Como calcular, por exemplo, (1 + 5%) de cabeça? Nessas
questões não costuma ser fornecida a tabela do fator de acumulação de capital.
Em primeiro lugar, veja que (1 + 5%)2 é o mesmo que (1,05)2. O resultado desta operação é um número com
4 casas decimais do tipo “1,DDQQ”, onde:
Portanto,
(1,05)2 = 1,1025
Isto vale para qualquer número com 2 casas decimais de 1,00 a 1,09. Exemplificando,
(1,07)2 = 1,1449
Outro exemplo:
(1,03)2 = 1,0609
Como disse, estes números são extremamente comuns em questões sobre Juros Compostos, como veremos
nesta aula mesmo. Você pode gravar:
(1,0X)2 = 1,DDQQ
Chega de teoria! Que tal praticarmos um pouco de tudo o que vimos até aqui?
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João emprestou a quantia de R$23.500,00 a seu filho Roberto. Trataram que Roberto pagaria juros simples de 4%
ao ano. Roberto pagou esse empréstimo para seu pai após 3 anos. O valor total dos juros pagos por Roberto foi
(A) R$ 3.410,00.
(B) R$ 2.820,00.
(C) R$ 2.640,00.
(D) R$ 3.120,00.
(E) R$ 1.880,00.
RESOLUÇÃO:
Temos um empréstimo de C = 23500 reais, juros simples de j = 4% ao ano, prazo de t = 3 anos. Os juros pagos
são de:
J=Cxjxt
J = 23500 x 0,04 x 3
J = 235 x 4 x 3
J = 235 x 12
J = 2820 reais
Resposta: B
− Condições a prazo = entrada de R$ 500,00 e pagamento de uma parcela de R$ 1.484,00 após 60 dias da data da
compra.
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RESOLUÇÃO:
Uma vez paga a entrada de 500 reais, o comprador sai da loja devendo 1.900 – 500 = 1.400 reais. Essa é a
dívida inicial, ou capital inicial C, para o cálculo de juros. Ao invés deste valor, será pago o valor final M = 1.484 reais
após t = 2 meses (sessenta dias). Na fórmula de juros simples:
M = C x (1 + jxt)
1,06 = 1 + 2j
0,06 = 2j
j = 0,03
j = 3%am
Resposta: E
A aplicação de um capital, no valor de R$ 900.000, em determinada instituição financeira, por um período de seis
meses, foi resgatado pelo valor de R$ 1.035.000. Considerando-se que o capital foi aplicado a juros simples, a taxa
de juros ao mês foi de
(A) 2,5%.
(B) 0,15%.
(C) 3,0%.
(D) 2,0%.
(E) 4,0%.
RESOLUÇÃO:
Aplicando o capital inicial C = 900.000 reais pelo prazo de t = 6 meses, tivemos o montante final M = 1.035.000
reais. Como o regime foi o de juros simples, a taxa pode ser obtida pela fórmula:
M = C x (1 + jxt)
1.035.000 = 900.000 x (1 + j x 6)
1.035 = 900 x (1 + j x 6)
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115 = 100 x (1 + j x 6)
1,15 = 1 + j x 6
0,15 = 6j
j = 0,15 / 6
j = 0,025
j = 2,5% ao mês
Resposta: A
Em 17/01/2012, uma pessoa tomou R$ 20.000,00 emprestados do Banco A, por um ano, a juro simples, à taxa de
4% ao mês. Após certo tempo, soube que o Banco B emprestava, a juros simples, à taxa de 3% ao mês. Tomou,
então, R$ 20.000,00 emprestados do Banco B até 17/01/2013 e no mesmo dia liquidou sua dívida com o Banco A.
Em 17/01/2013, os juros pagos aos Bancos A e B totalizaram R$ 8.200,00. O número de meses correspondente ao
prazo de segundo empréstimo é
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8
RESOLUÇÃO:
Entre 17/01/2012 e 17/01/2013 temos 12 meses. Chamando de “t” meses o período de empréstimo no banco
A, o período de empréstimo no banco B será “12 – t” meses, pois juntos esses dois períodos compreendem 12
meses:
Pelo regime simples, os juros de uma operação são dados pela fórmula J = C x j x t, onde C é o capital inicial,
j é a taxa de juros e t é o prazo de aplicação. Assim, os juros pagos a cada banco foram de:
JA = 20000 x 4% x t = 800t
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JB = 20000 x 3% x (12 – t)
JB = 600 x (12 – t)
JB = 7200 – 600t
JA + JB = 8200
200t = 1000
t = 5 meses
12 – t =
12 – 5 =
7 meses
Resposta: D
Renato aplicou uma quantia no regime de capitalização de juros simples de 1,25% ao mês. Ao final de um ano,
sacou todo o dinheiro da aplicação, gastou metade dele para comprar um imóvel e aplicou o restante, por quatro
meses, em outro fundo, que rendia juros simples de 1,5% ao mês. Ao final desse período, ele encerrou a aplicação,
sacando um total de R$ 95.082,00. A quantia inicial, em reais, aplicada por Renato no primeiro investimento foi de
(A) 154.000,00
(B) 156.000,00
(C) 158.000,00
(D) 160.000,00
(E) 162.000,00
RESOLUÇÃO:
Vamos chamar de “C” a quantia inicial aplicada. Primeiramente Renato aplicou C por 12 meses a uma taxa
de juros simples j=1,25% ao mês. Portanto:
M = C x (1 + j x t)
M = C x (1 + 0,0125 x 12)
M = 1,15C
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Depois, ele pega metade dessa quantia (1,15C / 2 = 0,575C) e aplica por 4 meses a uma taxa de juros simples
j = 1,5% ao mês. O montante será 95.082 reais. Portanto:
M = 0,575C x (1 + 0,015 x 4)
0,6095C = 95082
C = 156000 reais
Resposta: B
Uma televisão pode ser comprada em certa loja por R$860,00 à vista ou em duas parcelas de R$460,00, uma no
ato da compra e a outra 30 dias depois. A taxa de juros ao mês que a loja está cobrando é de:
a) 8%;
b) 10%;
c) 12%;
d) 15%;
e) 18%.
RESOLUÇÃO:
Após o pagamento da primeira parcela de quatrocentos e sessenta reais, que ocorre no ato da compra, o
cliente fica com uma dívida de 860 - 460 = 400 reais. Esta é a dívida inicial C, que após t = 1 mês é liquidada pelo
pagamento do valor final M = 460 reais. Desse modo, a taxa de juros aplicada é:
M = C x (1 + j x t)
460 = 400 x (1 + j x 1)
460 / 400 = 1 + j
1,15 = 1 + j
j = 0,15 = 15%
Resposta: D
O número de anos para que um capital quadruplique de valor, a uma taxa de 5% ao mês, juros simples, é de
(A) 7,50.
(B) 3,80.
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(C) 4,50.
(D) 5,00.
(E) 6,00.
RESOLUÇÃO:
Imagine que temos um capital inicial C. Para ele quadruplicar, é preciso que o montante final seja igual a 4C,
ou seja, M = 4C. Sabemos ainda que a taxa de juros simples é j = 5% ao mês, portanto podemos usar a fórmula para
obter o número de períodos necessários:
M = C x (1 + j x t)
4C = C x (1 + 0,05t)
4 = 1 x (1 + 0,05t) = 1 + 0,05t
0,05t = 4 – 1
t = 3 / 0,05 = 60 meses
Como 1 ano tem 12 meses, então 60 meses correspondem a 5 anos. Este é o período necessário para o capital
quadruplicar, se aplicado a juros simples a uma taxa de 5% ao mês.
Resposta: D
Leandro aplicou a quantia de R$ 200,00. Ao final do período, seu montante era de R$ 288,00. Se a aplicação de
Leandro se deu em regime de juros simples, durante 8 meses, a taxa mensal de juros foi
a) 5,0%.
b) 5,5%.
c) 6,5%.
d) 7,0%.
e) 6,0%.
RESOLUÇÃO:
Aqui temos um montante M = 288, capital inicial C = 200, prazo t = 8 meses. Podemos obter a taxa utilizando
a fórmula dos juros simples:
M = C x (1 + j x t)
288 = 200 x (1 + j x 8)
288 / 200 = 1 + 8j
1,44 = 1 + 8j
0,44 = 8j
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j = 0,44 / 8
j = 0,055
j = 5,5% a.m.
Resposta: B
O preço de um eletrodoméstico aumentou, de agosto de 2010 para setembro do mesmo ano, R$ 120,00. Isso
corresponde a um aumento mensal de 8%. O valor desse eletrodoméstico em setembro de 2010 era, em reais, um
número
RESOLUÇÃO:
Veja que essa é uma questão básica sobre Porcentagens (aumento percentual). Como estamos estudando
juros, vamos resolvê-la usando a fórmula de juros simples, ok? Mas não havia necessidade...
Temos um aumento de 120 reais em um período de 1 mês. Este aumento equivale à aplicação da taxa de
juros j = 8% ao mês pelo prazo t = 1 sobre um determinado capital C, gerando juros de J = 120 reais. Isto é:
J=Cxjxt
120 = C x 0,08 x 1
C = 1500 reais
Portanto, o valor inicial do eletrodoméstico era 1500 reais, e com o aumento de 120 reais ele passou a custar
1620 reais, o que nos permite marcar a alternativa A.
Resposta: A
a) 15%
b) 13%
c) 11%
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d) 9%
e) 7%
RESOLUÇÃO:
Pagando 92 reais à vista, sobra um saldo de 172 – 92 = 80 reais. Após t = 1 mês, este saldo inicial C = 80 reais
será pago pelo valor do montante final M = 92 reais. A taxa de juros pode ser obtida assim:
M = C x (1 + j x t)
92 = 80 x (1 + jx1)
92/80 = 1 + j
1,15 = 1 + j
j = 0,15
j = 15%
Resposta: A
RESOLUÇÃO:
M/C = 23/20
M = 23C/20
Os juros dessa aplicação foram de 750 reais. Pela fórmula dos juros, temos:
M=C+J
23C/20 = C + 750
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3C = 15000
C = 5000 reais
J=Cxixt
750 = 7500 x i
i = 750/7500
Resposta: A
(A) R$ 5.500,00.
(B) R$ 6.000,00.
(C) R$ 4.500,00.
(D) R$ 4.000,00.
(E) R$ 5.000,00.
RESOLUÇÃO:
J=Cxjxt
219 = 3000 x j x 10
219 / 30000 = j
J=Cxjxt
496,40 = C x 0,0073 x 17
C = 4000 reais
Resposta: D
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(A) 0,5%.
(B) 10%.
(C) 1%.
(D) 5%.
(E) 0,1%.
RESOLUÇÃO:
Aqui temos:
M = C x (1 + jxt)
1,05 = 1 + jx5
0,05 = jx5
0,01 = j
1%am = j
Resposta: C
(A) R$ 100.500,00.
(B) R$ 112.000,00.
(C) R$ 125.000,00.
(D) R$ 128.000,00.
(E) R$ 130.000,00.
RESOLUÇÃO:
Podemos usar a fórmula de juros simples nessa questão? Ou devemos usar juros compostos? Note que o
prazo de aplicação dessa questão é “um período”. Sempre que o prazo de aplicação for igual a 1, é indiferente usar
a fórmula de juros simples ou compostos. Neste caso, vamos usar juros simples.
Temos juros totais J = 28000 reais, taxa de juros j = 25% e prazo de aplicação t = 1 período. Portanto:
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J=Cxjxt
28000 = C x 25% x 1
28000 = C x 0,25
C = 28000 / 0,25
C = 112000 reais
Resposta: B
(A) 5.
(B) 6.
(C) 7.
(D) 8.
(E) 9
RESOLUÇÃO:
Sabemos que o valor recebido de juros por Bernardo superou em R$ 255,00 o valor recebido de juros por
Anselmo, ou seja,
JB = JA + 255
0,8 0,75
10000. ( ) . (𝑥 + 3) = 10000. ( ) . 𝑥 + 255
100 100
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5x = 15
x = 3 meses
Resposta: B
A taxa mensal de juros embutida nas vendas com pagamento um mês após a compra é, aproximadamente:
a) 18%
b) 19%
c) 20%
d) 21%
e) 22%
RESOLUÇÃO:
Imagine um produto que “custa” 100 reais. Se for comprado à vista, teremos desconto de 10%, pagando 90
reais. Se for comprado à prazo, teremos um acréscimo de 10%, pagando 110 reais. Portanto, o valor inicial do
produto é C = 90 reais, e o valor do pagamento após t = 1 mês é de M = 110 reais. Podemos calcular os juros
embutidos assim:
M = C x (1 + jxt)
110 = 90 x (1 + j x 1)
110 / 90 = 1 + j
1,2222 = 1 + j
j = 0,2222
j = 22,22% ao mês
Resposta: E
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(A) 0,00225%
(B) 0,0025%
(C) 0,225%
(D) 0,2375%
(E) 0,25%
RESOLUÇÃO:
J=Cxjxt
0,225 = j x 100
0,225 / 100 = j
Resposta: C
a) 68.085,10
b) 66.000,00
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c) 65.000,00
d) 64.555,12
e) 63.656,98
RESOLUÇÃO:
Observe que, nessa questão, R$80.000,00 não é o valor que foi investido inicialmente (capital inicial), mas
sim o valor obtido ao final dos 5 meses de investimento. Portanto, trata-se do montante final, isto é, M = 80.000
reais. Além disso, foi dito que a taxa de juros é j = 3,5% a.m., e o tempo de aplicação é t = 5 meses. Utilizando a
fórmula de juros simples, podemos descobrir o valor que foi investido no início (C):
M = C (1 + j t )
80000 = C (1 + 0,035 5)
80000 = C (1 + 0,175)
80000 = C (1,175)
80000
C= = 68085,10
1,175
Resposta: A
(A) 11.800,00
(B) 11.699,99
(C) 11.500,00
(D) 11.333,33
(E) 10.980,00
RESOLUÇÃO:
Nessa questão, temos um capital inicial C = 10.000, aplicado pelo prazo t = 6 meses, rendendo juros de j = 3%
ao mês. Note que a taxa de juros e o prazo estão na mesma unidade temporal: meses. Se não estivessem, o
primeiro passo da resolução seria igualar essas unidades. Para obter o montante final, basta aplicar a fórmula:
M = C (1 + j t )
M = 10000 (1 + 3% 6)
M = 10000 (1 + 0,03 6)
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M = 11800 reais
Ou seja, ao final de 6 meses a empresa vai pagar R$11.800,00 ao banco, isto é, os R$10.000 do capital inicial
e mais R$1.800,00 a título de juros simples da operação de empréstimo.
Resposta: A
a) 30.000,00
b) 28.500,00
c) 27.250,00
d) 25.000,00
e) 24.100,00
RESOLUÇÃO:
Temos a taxa de juros simples j = 2% ao mês, t = 12 meses e rendimento total J = 6000 reais. Logo,
J=Cxjxt
6000 = C x 0,02 x 12
C = 25000 reais
Resposta: D
( ) Se um capital de R$ 10.000 for aplicado, durante três meses, à taxa de juros simples de 2% a.m., gerará um
montante inferior a R$ 10.500.
RESOLUÇÃO:
Temos:
M = C x (1 + j x t)
M = 10.000 x (1 + 2% x 3)
M = 10.000 x 1,06
M = 10.600 reais
Item ERRADO.
Resposta: E
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( ) Se uma empresa investir R$ 100 mil a determinada taxa simples de juros mensais e, após 16 meses de aplicação,
resgatar o montante de R$ 148.200, conclui-se que a taxa de juros é inferior a 3%.
RESOLUÇÃO:
Temos o capital inicial C = 100.000 reais, montante final M = 148.200 reais, e prazo t = 16 meses. Como estamos
falando de juros simples, temos:
M = C x (1 + j x t)
1,482 = 1 + j x 16
1,482 – 1 = j x 16
0,482 = j x 16
0,482 / 16 = j
0,030125 = j
3,0125% = j
Note que a taxa é ligeiramente superior a 3%, o que torna este item ERRADO.
Resposta: E
A) 2%.
B) 4%.
C) 5%.
D) 6%.
E) 7%.
RESOLUÇÃO:
M = C x (1 + j x t)
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2,2 = 1 + 24j
1,2 = 24j
1,2 / 24 = j
0,05 = j
5%am = j
Resposta: C
( ) Se um investidor aplicar a quantia de R$ 500,00 em uma instituição financeira, pelo prazo de 2 anos, à taxa de
juros simples de 4% ao ano, e, ao final desse prazo, ele reinvestir todo o montante recebido na mesma aplicação,
por mais 2 anos e nas mesmas condições iniciais, então, ao final desses 4 anos, esse investidor receberá o montante
de R$ 580,00.
RESOLUÇÃO:
Nesta questão temos duas aplicações sucessivas. Na primeira, o capital inicial C = 500 reais é aplicado pelo prazo t
= 2 anos à taxa simples j = 4% ao ano, gerando o montante que pode ser calculado assim:
M = C x (1 + j x t)
M = 500 x (1 + 0,04 x 2)
O montante da primeira aplicação será o capital inicial da segunda aplicação (afinal todo ele foi reinvestido). Assim,
na segunda aplicação temos C = 540 reais, j = 4% ao ano e t = 2 anos (mesmas condições do primeiro investimento).
Portanto, o montante ao final deste prazo é:
M = 540 x (1 + 0,04 x 2)
Obs.: Repare que se você tivesse considerado uma única aplicação com C = 500, j = 4% ao ano e t = 4 anos (prazo
total), teria obtido M = 580 reais. Entretanto esta resolução é incorreta, pois o exercício informa que após 2 anos todo
o valor (inclusive os juros) foi reinvestido, de modo que os juros dos primeiros 2 anos passaram a render novos juros ao
longo dos 2 anos seguintes, resultando em um montante final ligeiramente superior a 580 reais.
Resposta: E
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( ) Obtendo-se a quantia de R$ 13.000,00 ao final do período, é correto afirmar que a taxa de juros simples mensal
da aplicação foi de 6%.
( ) Se a taxa de juros mensal da aplicação for de 5%, então o montante auferido no período será de R$ 12.000,00.
RESOLUÇÃO:
O enunciado informa que o capital inicial é C = 10000 reais, o regime é de juros simples, e o prazo de aplicação é t
= 5 meses. Com isso em mãos, vejamos cada item:
( ) Obtendo-se a quantia de R$ 13.000,00 ao final do período, é correto afirmar que a taxa de juros simples mensal da
aplicação foi de 6%.
Sendo o montante final M = 13000 reais, podemos obter a taxa de juros “j” assim:
M = C x (1 + j x t)
13000 = 10000 x (1 + j x 5)
1,3 = 1 + 5j
5j = 0,3
j = 0,06 = 6%
Item CORRETO.
( ) Se a taxa de juros mensal da aplicação for de 5%, então o montante auferido no período será de R$ 12.000,00.
M = 10000 x (1 + 0,05 x 5)
M = 10000 x 1,25
M = 12500 reais
Item ERRADO. Novamente repare que, apesar desse item ser errado, o valor encontrado (12500) é próximo
daquele apresentado no enunciado (12000).
Resposta: C E
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RESOLUÇÃO:
No regime de juros simples, os juros incidem apenas sobre o valor inicial da dívida ou do investimento (capital
inicial). Assim, esses juros não são capitalizados (incorporados ao capital), de modo a render juros no período
seguinte. Esta capitalização dos juros acontece no regime de juros compostos. Item CORRETO.
ATENÇÃO: a questão também poderia ter dito que, no regime de juros simples, a capitalização só ocorre ao final
do prazo total. Na prática, é como se não houvesse capitalização, pois não teremos o efeito dos “juros sobre juros”.
Resposta: C
(A) R$ 26.000,00.
(B) R$ 28.645,00.
(C) R$ 29.282,00.
(D) R$ 30.168,00.
(E) R$ 28.086,00.
RESOLUÇÃO:
Temos um prazo de t = 4 anos, capital inicial C = 20000 reais, juros compostos de j = 10% ao ano. O montante
final é:
M = C x (1+j)t
M = 20000 x (1+0,10)4
M = 20000 x 1,14
M = 20000 x 1,4641
M = 2 x 14641
M = 29282 reais
Resposta: C
(A) 159.000,00.
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(B) 163.909,00.
(C) 163.500,00.
(D) 154.500,00.
(E) 159.135,00.
RESOLUÇÃO:
Temos uma dívida de C = 150.000 reais a ser paga após t = 3 meses no regime de juros compostos, com a taxa
de j = 3% ao mês. O montante a ser pago é dado por:
M = C x (1+j)t
M = 150.000 x (1+0,03)3
M = 150.000 x (1,03)3
M = 150.000 x 1,092727
M = 15 x 10927,27
M = 163.909,05 reais
Obs.: sugiro decorar também que 1,033 = 1,092727, pois este valor aparece muito em provas.
Resposta: B
(A) 1,0%.
(B) 0,9%.
(C) 0,8%.
(D) 1,1%.
(E) 1,2%.
RESOLUÇÃO:
Temos o montante M = 41.212,04, o capital inicial C = 40.000 e prazo t = 3 meses. Podemos descobrir a taxa
de juros na fórmula:
M = C x (1+j)t
4,121204 / 4 = (1+j)3
1,030301 = (1+j)3
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Neste ponto, o melhor que você faz é testar as alternativas de resposta. Começando com j = 1,0%, temos:
Resposta: A
(A) R$ 3.548,16;
(B) R$ 3.600,00;
(C) R$ 3.612,32;
(D) R$ 3.720,00;
(E) R$ 3.736,64.
RESOLUÇÃO:
Sendo C o valor inicial da dívida, M o valor pago após 1 mês, t = 1 mês (prazo de pagamento) e j = 12% ao mês
a taxa de juros, temos:
M = C x (1 + j)t
4032 = C x (1 + 12%)1
4032 = C x (1 + 0,12)
4032 = C x (1,12)
4032 / 1,12 = C
3600 reais = C
Resposta: B
a) 6.600 reais;
b) 7.200 reais;
c) 7.800 reais;
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d) 7.986 reais;
e) 8.016 reais.
RESOLUÇÃO:
Aqui foram dados C = 6000 reais, i = 10% am e t = 3 meses. Aplicando a fórmula, temos:
M = C x (1 + j)t
M = 6000 x (1,1)³
M = 6000 x 1,331
M = 7986 reais
Resposta: D
Para que R$ 2.000,00 produzam o mesmo montante M, ele deve ser capitalizado nessas mesmas condições
durante um período igual a:
a) 8 meses;
b) 7 meses;
c) 6 meses;
d) 4 meses;
e) 3 meses.
RESOLUÇÃO:
Temos uma operação de juros compostos em que o capital inicial é C = 2662,00 reais, a taxa é de j = 10% am,
e o prazo é de t = 4 meses. O montante final é:
M = C x (1+j)t
M = 2662 x (1+0,1)4
M = 2662 x (1,1)4
Para que um capital C = 2000 reais produza esse mesmo montante M, a uma taxa de 10% ao mês, temos:
M = 2000 x (1 + 0,1)t
1,331 = (1,1)t – 4
(1,1)³ = (1,1)t – 4
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3=t–4
T = 7 meses
Resposta: B
a) 9,0% ao mês;
b) 9,5% ao mês;
c) 10,0% ao mês;
d) 10,5% ao mês;
e) 11,0% ao mês.
RESOLUÇÃO:
Vamos supor que o empréstimo seja de 100 reais. Após dois meses, a uma taxa de juros compostos de 10%
ao mês, teremos:
Se fosse no regime simples, esse mesmo empréstimo de 100 reais, em 2 meses, renderia esses 21 reais de
juros a uma taxa de juros “i” equivalente a:
J=Cxixt
21 = 100 x i x 2
i = 21/200
i = 0,105 = 10,5%
Veja que nos juros compostos temos um total de 0,1² = 0,21 = 21% de juros. Já os juros simples são menos
onerosos: 10,5%.
Resposta: E
(A) 19,5%;
(B) 20,0%;
(C) 21,5%;
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(D) 22,0%;
(E) 22,5%.
RESOLUÇÃO:
Temos:
M = C x (1 + j)t
1,44 = (1 + j)2
1,22 = (1 + j)2
1,2 = 1 + j
j = 1,2 – 1
j = 0,2
j = 20% ao ano
Resposta: B
(A) R$ 2.140,35.
(B) R$ 2.240,00.
(C) R$ 2.253,65.
(D) R$ 2.380,00.
(E) R$ 2.385,65.
RESOLUÇÃO:
Inicialmente, preciso deixar uma ressalva quanto à péssima redação deste enunciado. De qualquer forma,
não podemos perder tempo questionando isto. Vamos à resolução.
M = C x (1 + j)t
M = 2000 x (1 + 0,01)12
M = 2000 x 1,1268
M = 2253,60 reais
Resposta: C
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a) R$ 2.678,84
b) R$ 2.800,00
c) R$ 2.828,20
d) R$ 2.928,20
e) R$ 3.000,43
RESOLUÇÃO:
M = 2000 x (1 + 10%)4
M = 2928,20 reais
Resposta: D
(A) R$ 15.900,00.
(B) R$ 900,00.
(C) R$ 981,12.
(D) R$ 15.918,12.
(E) R$ 918,12.
RESOLUÇÃO:
Foram aplicados 15% x 100.000 = 15.000 reais, à taxa j = 2% ao mês, pelo prazo t = 3 meses, juros compostos.
Os juros obtidos são:
J=M–C
J = 918,12 reais
Resposta: E
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I - taxa de juros de 5% ao mês, incidindo sobre o saldo devedor acumulado do mês anterior;
II - impostos mais taxas que poderão ser financiados juntamente com os 100 mil reais. Ao fazer a simulação, o
gerente informou que o valor total de quitação após os 3 meses seria de 117.500 reais. O valor mais próximo do
custo real efetivo mensal, ou seja, a taxa mensal equivalente desse empréstimo, comparando o que pegou com o
que pagou, é de
RESOLUÇÃO:
Observe que o cliente pegou um valor inicial de C = 100.000 reais mas pagou, após t = 3 meses, o valor de M
= 117.500 reais. Assim, a taxa de juros efetivamente praticada (ou custo efetivo) é obtida por:
M = C x (1+j)t
1,175 = (1+j)3
1,1751/3 = 1+j
1,1751/3 – 1 = j
Essa é a taxa de juros no formato decimal. Para escrevê-la na forma de porcentagem, basta multiplicar por
100%, ficando com:
[(1,1751/3 – 1)x100]% = j
Resposta: A
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(A) R$ 64,08
(B) R$ 79,17
(C) R$ 40,30
(D) R$ 71,51
(E) R$ 61,96
RESOLUÇÃO:
M = C x (1+j)t
M = 1.000 x (1+3%)2
M = 1.000 x (1,03)2
M = 1.000 x 1,0609
M = 1.060,90 reais
Este valor é capitalizado, pelo regime simples, pelos 10 dias restantes, ou seja, 10/30 = 1/3 de mês. Logo,
Resposta: D
(A) R$ 909,09
(B) R$ 826,45
(C) R$ 466,51
(D) R$ 683,01
(E) R$ 790,00
RESOLUÇÃO:
Veja que o dinheiro que vale 1000 reais em t = 2 meses valerá 1210 reais em t = 4 meses, ou seja, em um
intervalo de 2 meses há este crescimento. Podemos escrever que:
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1,21 = (1 + j)2
1,1 = 1 + j
0,10 = j
j = 10% ao mês
Assim, podemos descobrir o capital inicial C que, em t = 2 meses, passará a valer o montante M = 1000 reais,
à taxa de j = 10%am:
M = C x (1 + j)t
1000 = C x (1 + 0,10)2
1000 = C x 1,21
C = 1000 / 1,21
C = 826,44 reais
Resposta: B
() Um capital C foi aplicado, no regime de juros simples, à taxa de juros i% ao mês, por um período de t meses, em
que t > 2. Outro capital, de mesmo valor C, foi aplicado, no regime de juros compostos, também à taxa de i% ao
mês, pelo mesmo período t. Nesse caso, o montante auferido no regime de juros compostos é maior que o
montante auferido no regime de juros simples.
RESOLUÇÃO:
Como o prazo é maior do que 1 (na verdade ele é até maior do que 2 períodos), podemos garantir que juros
compostos vão gerar um montante MAIOR do que juros simples. Item CERTO.
Resposta: C
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Com referência a essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem, considerando que 1,22 seja o valor
aproximado de 1,054.
( ) Caso o gerente do banco onde Antônio mantém seus investimentos lhe ofereça um título de capitalização no
valor de R$ 10.000, com vencimento em dois anos e juros anuais simples equivalentes a 75% de uma aplicação
disponível comum, esse título será resgatado, no vencimento, por um valor superior a R$ 14.000.
RESOLUÇÃO:
Como atualmente as aplicações pagam 20% ao ano, esse título de capitalização paga 75% deste valor, ou seja, 0,75
x 20% = 15% ao ano. Temos uma aplicação a juros simples com valor inicial C = 10.000 reais, prazo t = 2 anos, e
taxa j = 15% ao ano. O montante final é:
M = C x (1 + jxt)
M = 10.000 x (1 + 0,15x2)
M = 10.000 x (1 + 0,30)
M = 10.000 x (1,30)
M = 13.000 reais
Item ERRADO.
Resposta: E
Se um capital de R$ 500 for aplicado à taxa de juros simples de 5% ao mês, ao final de nove meses será gerado um
montante superior a R$ 700.
RESOLUÇÃO:
M = C x (1 + j x t)
M = 500 x (1 + 5% x 9)
M = 500 x (1 + 45%)
M = 500 x (1 + 45/100)
M = 500 + 500x45/100
M = 500 + 5x45
M = 500 + 225
M = 725 reais
Item CORRETO.
Resposta: C
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RESOLUÇÃO:
M = C x (1+j)t
M = 100 x (1+1%)2
M = 100 x (1,01)2
M = 100 x 1,0201
M = 102,01 reais
Se sacarmos 50 reais, sobra o saldo de 102,01 – 50 = 52,01, que é SUPERIOR a 52. Item ERRADO.
Resposta: E
RESOLUÇÃO:
M = C x (1+j)t
M = 100 x (1+1%)3
M = 100 x (1,01)3
Item ERRADO.
Resposta: E
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Lista de questões
1. FCC – FUNAPE – 2017)
João emprestou a quantia de R$23.500,00 a seu filho Roberto. Trataram que Roberto pagaria juros simples de 4%
ao ano. Roberto pagou esse empréstimo para seu pai após 3 anos. O valor total dos juros pagos por Roberto foi
(A) R$ 3.410,00.
(B) R$ 2.820,00.
(C) R$ 2.640,00.
(D) R$ 3.120,00.
(E) R$ 1.880,00.
− Condições a prazo = entrada de R$ 500,00 e pagamento de uma parcela de R$ 1.484,00 após 60 dias da data da
compra.
A aplicação de um capital, no valor de R$ 900.000, em determinada instituição financeira, por um período de seis
meses, foi resgatado pelo valor de R$ 1.035.000. Considerando-se que o capital foi aplicado a juros simples, a taxa
de juros ao mês foi de
(A) 2,5%.
(B) 0,15%.
(C) 3,0%.
(D) 2,0%.
(E) 4,0%.
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Em 17/01/2012, uma pessoa tomou R$ 20.000,00 emprestados do Banco A, por um ano, a juro simples, à taxa de
4% ao mês. Após certo tempo, soube que o Banco B emprestava, a juros simples, à taxa de 3% ao mês. Tomou,
então, R$ 20.000,00 emprestados do Banco B até 17/01/2013 e no mesmo dia liquidou sua dívida com o Banco A.
Em 17/01/2013, os juros pagos aos Bancos A e B totalizaram R$ 8.200,00. O número de meses correspondente ao
prazo de segundo empréstimo é
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8
Renato aplicou uma quantia no regime de capitalização de juros simples de 1,25% ao mês. Ao final de um ano,
sacou todo o dinheiro da aplicação, gastou metade dele para comprar um imóvel e aplicou o restante, por quatro
meses, em outro fundo, que rendia juros simples de 1,5% ao mês. Ao final desse período, ele encerrou a aplicação,
sacando um total de R$ 95.082,00. A quantia inicial, em reais, aplicada por Renato no primeiro investimento foi de
(A) 154.000,00
(B) 156.000,00
(C) 158.000,00
(D) 160.000,00
(E) 162.000,00
Uma televisão pode ser comprada em certa loja por R$860,00 à vista ou em duas parcelas de R$460,00, uma no
ato da compra e a outra 30 dias depois. A taxa de juros ao mês que a loja está cobrando é de:
a) 8%;
b) 10%;
c) 12%;
d) 15%;
e) 18%.
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O número de anos para que um capital quadruplique de valor, a uma taxa de 5% ao mês, juros simples, é de
(A) 7,50.
(B) 3,80.
(C) 4,50.
(D) 5,00.
(E) 6,00.
Leandro aplicou a quantia de R$ 200,00. Ao final do período, seu montante era de R$ 288,00. Se a aplicação de
Leandro se deu em regime de juros simples, durante 8 meses, a taxa mensal de juros foi
a) 5,0%.
b) 5,5%.
c) 6,5%.
d) 7,0%.
e) 6,0%.
O preço de um eletrodoméstico aumentou, de agosto de 2010 para setembro do mesmo ano, R$ 120,00. Isso
corresponde a um aumento mensal de 8%. O valor desse eletrodoméstico em setembro de 2010 era, em reais, um
número
a) 15%
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b) 13%
c) 11%
d) 9%
e) 7%
(A) R$ 5.500,00.
(B) R$ 6.000,00.
(C) R$ 4.500,00.
(D) R$ 4.000,00.
(E) R$ 5.000,00.
(A) 0,5%.
(B) 10%.
(C) 1%.
(D) 5%.
(E) 0,1%.
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(A) R$ 100.500,00.
(B) R$ 112.000,00.
(C) R$ 125.000,00.
(D) R$ 128.000,00.
(E) R$ 130.000,00.
(A) 5.
(B) 6.
(C) 7.
(D) 8.
(E) 9
A taxa mensal de juros embutida nas vendas com pagamento um mês após a compra é, aproximadamente:
a) 18%
b) 19%
c) 20%
d) 21%
e) 22%
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(A) 0,00225%
(B) 0,0025%
(C) 0,225%
(D) 0,2375%
(E) 0,25%
a) 68.085,10
b) 66.000,00
c) 65.000,00
d) 64.555,12
e) 63.656,98
(A) 11.800,00
(B) 11.699,99
(C) 11.500,00
(D) 11.333,33
(E) 10.980,00
a) 30.000,00
b) 28.500,00
c) 27.250,00
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d) 25.000,00
e) 24.100,00
( ) Se um capital de R$ 10.000 for aplicado, durante três meses, à taxa de juros simples de 2% a.m., gerará um
montante inferior a R$ 10.500.
( ) Se uma empresa investir R$ 100 mil a determinada taxa simples de juros mensais e, após 16 meses de aplicação,
resgatar o montante de R$ 148.200, conclui-se que a taxa de juros é inferior a 3%.
A) 2%.
B) 4%.
C) 5%.
D) 6%.
E) 7%.
( ) Se um investidor aplicar a quantia de R$ 500,00 em uma instituição financeira, pelo prazo de 2 anos, à taxa de
juros simples de 4% ao ano, e, ao final desse prazo, ele reinvestir todo o montante recebido na mesma aplicação,
por mais 2 anos e nas mesmas condições iniciais, então, ao final desses 4 anos, esse investidor receberá o montante
de R$ 580,00.
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( ) Obtendo-se a quantia de R$ 13.000,00 ao final do período, é correto afirmar que a taxa de juros simples mensal
da aplicação foi de 6%.
( ) Se a taxa de juros mensal da aplicação for de 5%, então o montante auferido no período será de R$ 12.000,00.
(A) R$ 26.000,00.
(B) R$ 28.645,00.
(C) R$ 29.282,00.
(D) R$ 30.168,00.
(E) R$ 28.086,00.
(A) 159.000,00.
(B) 163.909,00.
(C) 163.500,00.
(D) 154.500,00.
(E) 159.135,00.
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(A) 1,0%.
(B) 0,9%.
(C) 0,8%.
(D) 1,1%.
(E) 1,2%.
(A) R$ 3.548,16;
(B) R$ 3.600,00;
(C) R$ 3.612,32;
(D) R$ 3.720,00;
(E) R$ 3.736,64.
a) 6.600 reais;
b) 7.200 reais;
c) 7.800 reais;
d) 7.986 reais;
e) 8.016 reais.
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Para que R$ 2.000,00 produzam o mesmo montante M, ele deve ser capitalizado nessas mesmas condições
durante um período igual a:
a) 8 meses;
b) 7 meses;
c) 6 meses;
d) 4 meses;
e) 3 meses.
a) 9,0% ao mês;
b) 9,5% ao mês;
c) 10,0% ao mês;
d) 10,5% ao mês;
e) 11,0% ao mês.
(A) 19,5%;
(B) 20,0%;
(C) 21,5%;
(D) 22,0%;
(E) 22,5%.
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(A) R$ 2.140,35.
(B) R$ 2.240,00.
(C) R$ 2.253,65.
(D) R$ 2.380,00.
(E) R$ 2.385,65.
a) R$ 2.678,84
b) R$ 2.800,00
c) R$ 2.828,20
d) R$ 2.928,20
e) R$ 3.000,43
(A) R$ 15.900,00.
(B) R$ 900,00.
(C) R$ 981,12.
(D) R$ 15.918,12.
(E) R$ 918,12.
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I - taxa de juros de 5% ao mês, incidindo sobre o saldo devedor acumulado do mês anterior;
II - impostos mais taxas que poderão ser financiados juntamente com os 100 mil reais. Ao fazer a simulação, o
gerente informou que o valor total de quitação após os 3 meses seria de 117.500 reais. O valor mais próximo do
custo real efetivo mensal, ou seja, a taxa mensal equivalente desse empréstimo, comparando o que pegou com o
que pagou, é de
(A) R$ 64,08
(B) R$ 79,17
(C) R$ 40,30
(D) R$ 71,51
(E) R$ 61,96
(A) R$ 909,09
(B) R$ 826,45
(C) R$ 466,51
(D) R$ 683,01
(E) R$ 790,00
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() Um capital C foi aplicado, no regime de juros simples, à taxa de juros i% ao mês, por um período de t meses, em
que t > 2. Outro capital, de mesmo valor C, foi aplicado, no regime de juros compostos, também à taxa de i% ao
mês, pelo mesmo período t. Nesse caso, o montante auferido no regime de juros compostos é maior que o
montante auferido no regime de juros simples.
Com referência a essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem, considerando que 1,22 seja o valor
aproximado de 1,054.
( ) Caso o gerente do banco onde Antônio mantém seus investimentos lhe ofereça um título de capitalização no
valor de R$ 10.000, com vencimento em dois anos e juros anuais simples equivalentes a 75% de uma aplicação
disponível comum, esse título será resgatado, no vencimento, por um valor superior a R$ 14.000.
Se um capital de R$ 500 for aplicado à taxa de juros simples de 5% ao mês, ao final de nove meses será gerado um
montante superior a R$ 700.
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Gabarito
1. B
2. E
3. A
4. D
5. B
6. D
7. D
8. B
9. A
10. A
11. A
12. D
13. C
14. B
15. B
16. E
17. C
18. A
19. A
20. D
21. E
22. E
23. C
24. E
25. CE
26. C
27. C
28. B
29. A
30. B
31. D
32. B
33. E
34. B
35. C
36. D
37. E
38. A
39. D
40. B
41. C
42. E
43. C
44. E
45. E
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Resumo direcionado
Veja a seguir um resumão que eu preparei com tudo o que vimos de mais importante nesta aula. Espero que
você já tenha feito o seu resumo também, e utilize o meu para verificar se ficou faltando colocar algo 😊 .
M = C x (1 + j x t) M = C x (1 + j)t
J=Cxjxt
J=M–C
J=M–C
Taxa incide sobre o Capital / Principal Taxa incide sobre a dívida total no período anterior
Mesmo valor se t = 1
Dica de cálculo
(1,0X)2 = 1,DDQQ
(dobro e quadrado de X)
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