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Análise Combintória Exercícios Resolvidos PDF
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Introdução
Entendemos por Combinatória o ramo da Matemática que nos permite
resolver problemas em que basicamente, é necessário “escolher e organizar” os objetos
de um conjunto, isto é, a parte da Matemática em que estudamos as técnicas de
contagem de agrupamentos que podem ser feitos com elementos de um dado conjunto.
Tendo sua origem basicamente no estudo dos jogos de azar, tais como lançamentos de
dados, jogos de carta, etc., a Combinatória sofreu e sofre até hoje, intenso
desenvolvimento. Seus métodos são aplicados em diversas áreas como no cálculo das
probabilidades, em problemas de transporte, de confecção de horários, de elaboração de
planos de produção, de programação linear, de estatística, de teoria da informação, de
biologia molecular, de economia, de lógica, etc.. Além disso, esses métodos são também
utilizados em problemas de Matemática Pura, como na teoria dos grupos e de
representações, no estudo dos fundamentos da geometria, nas álgebras não associativas,
etc. Diante de tamanha importância, não só para a Matemática, mas em diversas áreas,
acredita-se que seu estudo merece maior destaque e atenção já nas séries iniciais da
Educação Básica, bem como, na sua etapa final, uma vez que a combinatória pode
exercer uma função não apenas de levar o aluno a ter acesso à Matemática como
ciência, com suas peculiaridades e conceitos específicos, mas também possibilitar que
ele ao se apropriar da linguagem que as ciências naturais e sociais utilizam para
descrever fenômenos diversos e de aprofundar seu conhecimento sobre procedimentos
matemáticos de enfrentamento e resolução de situações-problema.
Tradicionalmente, o estudo de Combinatória é calcado em definições e
fórmulas que automatizam os estudantes num trabalho mecânico que muitas vezes fica
distante da compreensão do que estão fazendo. E é aí que começam a surgir equívocos,
Anais do VIII ENEM – Minicurso 2
GT 3 – Educação Matemática no Ensino Médio
como por exemplo, entre definições como a de arranjos e combinações. Isso traz a
impossibilidade do professor ir além do desenvolvimento dos agrupamentos simples, já
que a situação se complica quando se tenta abordar os agrupamentos com repetição.
Já é consenso entre educadores e matemáticos que, no ensino bem-
sucedido, os alunos precisam compreender aquilo que aprendem e que essa
compreensão é garantida quando eles participam da construção das idéias matemáticas.
Dessa forma alcançar tais objetivos só é possível quando os próprios professores
compreendem os conceitos matemáticos abstratos.
Diante de tais considerações este mini-curso é uma proposta oferecida a
professores de Ensino fundamental e médio, bem como, dirigido também a alunos de
graduação em licenciatura de Matemática. Assim, o mini-curso dará ênfase a resolução
de problemas contextualizados, que mostram várias aplicações da combinatória. É
também um dos objetivos do mini-curso demonstrar, por meio de conceitos da
combinatória alguns resultados matemáticos – que se mostram bastante freqüentes ao
longo das séries do ensino fundamental e médio.
O princípio multiplicativo
Problema 1: Três estradas X, Y e Z conduzem ao topo de morro. De quantos modos
diferentes uma pessoa pode subir e descer este morro?
Solução:
Se a pessoa pode subir por X então pode descer por X, Y ou Z. Diante disso escolhendo
uma das três estradas para subir temos 3 possibilidades de escolha de estradas para
descer. Podemos dispor todas as maneiras de percursos na tabela abaixo:
subida\descida X Y Z
X (X, X) (X, Y) (X, Z)
Y (Y, X) (Y, Y) (Y, Z)
Z (Z, X) (Z, Y) (Z, Z)
Problema 2: Suponha que no problema 1 a pessoa não queira descer o morro pela
mesma estrada que usou para subir. Quantos caminhos diferentes de ida e volta ela pode
efetuar?
Anais do VIII ENEM – Minicurso 3
GT 3 – Educação Matemática no Ensino Médio
Solução:
Neste caso temos que há 3 maneiras diferentes para subir e 2 diferentes para descer.
Logo, o número de percursos diferentes possíveis é igual a 3 ⋅ 2 = 6 .
A partir dos problemas acima podemos enunciar um dos princípios básicos da
combinatória, o princípio multiplicativo.
Mas, como verificar a validade de tal princípio? Podemos fazer isso de forma
bastante simples, isto é, verificando a validade do Princípio intuitivamente.
Denote por a1 , a2 ,..., am as m maneiras de ocorrências de A e por b1 , b2 ,..., bn as n
maneiras de ocorrências de B, após A ter ocorrido da maneira ai (onde i = 1, 2,..., m ).
Diante disso, podemos construir o seguinte uma tabela como a do problema 1:
A \ B b1 b2 .................... bn
. . . .
. . . .................... .
. . . .
. . . .
am (am,b1) (am,b2) .................... (am,bn)
Problema 3: Quantos números de três algarismos podem ser formados no sistema decimal?
Solução:
Considere um número de três algarismo, como algo representado por
P1 P2 P3
Daí, temos:
d1: escolher um algarismo, diferente de zero, para a posição P1;
d2: escolher um algarismo para a posição P2;
d3: escolher um algarismo para a posição P3
Assim, temos que # d1 = 9, # d2 = 10 e # d3 = 10. Logo, pelo princípio multiplicativo temos que
9 ⋅10 ⋅10 = 900 números.
Problema 4: Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados no sistema
decimal?
Solução:
Considere um número de três algarismo, como algo representado por
P1 P2 P3
Daí, temos:
d1: escolher um algarismo, diferente de zero, para a posição P1;
d2: escolher um algarismo, diferente do escolhido em d1, para a posição P2;
d3: escolher um algarismo, diferente dos escolhidos em d1 e d2, para a posição P3
Assim, temos que # d1 = 9, # d2 = 9 e # d3 = 8. Logo, pelo princípio multiplicativo temos que
9 ⋅ 9 ⋅ 8 = 648 números.
Os dois últimos problemas ilustram que nunca devemos, quando estamos resolvendo um
problema de combinatória, deixar uma dificuldade “para depois”. Ou seja: se existe uma
restrição causando dificuldades então devemos satisfaze-la em primeiro lugar.
Anais do VIII ENEM – Minicurso 5
GT 3 – Educação Matemática no Ensino Médio
Problema 5: Quantos números pares de três algarismos distintos podem ser formados no sistema
decimal?
Solução:
Este problema apresenta uma dificuldade maior por isso vamos resolve-lo em duas etapas.
Etapa 1: Calcular a quantidade de números de três algarismos distintos terminados em zero.
Considere um número de três algarismo, como algo representado por
P1 P2 P3
Daí, temos:
d1: colocar o número zero na posiçãoP3;
d2: escolher um algarismo, diferente de zero, para a posição P1;
d3: escolher um algarismo, diferente dos escolhidos em d1 e d2, para a posição P2
Assim, temos que # d1 = 1, # d2 = 9 e # d3 = 8. Logo, pelo princípio multiplicativo temos que
1 ⋅ 9 ⋅ 8 = 72 números.
Etapa 2: Determinar a quantidade de números pares de três algarismos distintos não terminados
em
zero.
Considere um número de três algarismo, como algo representado por
P1 P2 P3
Daí, temos:
d1: escolher um algarismo, dentre 2, 4, 6, 8 para a posiçãoP3;
d2: escolher um algarismo, diferente de zero e diferente do escolhido em d1, para a posição P1;
d3: escolher um algarismo, diferente dos escolhidos em d1 e d2, para a posição P2
Assim, temos que # d1 = 4, # d2 = 8 e # d3 = 8. Logo, pelo princípio multiplicativo temos que
4 ⋅ 8 ⋅ 8 = 256 números.
Portanto, temos que a solução do nosso problema inicial é dada por 72 + 256 = 328 números.
Problema 6: Um dado é lançado 4 vezes. Qual o número de maneiras nas quais o “6” pode
aparecer em seqüência, precisamente duas vezes.
Anais do VIII ENEM – Minicurso 6
GT 3 – Educação Matemática no Ensino Médio
Solução:
Usando a lição tirada do problema 5, vamos dividir em etapas a solução desse problema.
Etapa 1: Cálculo do número de maneiras de aparecer o número 6 em seqüência nos dois
primeiros lançamentos.
6 6 __ __
a
A1: resultado do lançamento do dado pela 3 . vez
A2: resultado do lançamento do dado pela 4a. vez
Assim, temos que # A1 = 5 e # A2 = 6. Logo, pelo princípio multiplicativo temos que 5 ⋅ 6 = 30 .
Etapa 3: Cálculo do número de maneiras de aparecer o número 6 em seqüência nos dois últimos
lançamentos.
__ __6 6
A1: resultado do lançamento do dado pela 1a. vez
A2: resultado do lançamento do dado pela 2a. vez
Assim, temos que # A1 = 6 e # A2 = 5. Logo, pelo princípio multiplicativo temos que 6 ⋅ 5 = 30 .
Portanto, a resposta do problema é 30 + 25 + 30 = 85.
Problema 9:
Quantos subconjuntos possui um conjunto com n elementos?
Solução:
Seja o conjunto A = {a1 , a2 ,..., an } .
Cada subconjunto de A possui x1 elementos a1 , x2 elementos a2 , ..., xn elementos an , onde
xi ∈ {0,1} com i = 1, 2,..., n . Para se formar um subconjunto de A devemos escolher um valor para
Problema 10: n automóveis devem entrar sucessivamente numa rua que dá mão para um único
lado e estacionar em n vagas existentes. Cada carro deve justapor-se a um carro já estacionado.
Podendo o primeiro carro ocupar qualquer das vagas, quantas filas distintas podem ser
formadas?
Solução:
O número de maneiras de arrumar automóveis os n automóveis nas n vagas, nas condições do
problema é igual ao número de maneiras de arruma-los fora das vagas e em seguida encaixa-los
nas mesmas.
d1: colocar o 1o. carro
d2: colocação do 2o. carro, após ter ocorrido d1
d3: colocação do 3o. carro, após terem ocorrido d1 e d2
.
.
Anais do VIII ENEM – Minicurso 8
GT 3 – Educação Matemática no Ensino Médio
.
dn: colocação do n-ésimo carro, após ter ocorrido d1, d2, ..., dn
Assim, temos que # d1 = 1 (já que o primeiro carro não há condição de ser satisfeita); # d2 =2
(na frente ou atrás do 1o. carro), # d3 = 2 (na frente ou atrás dos dois carros já arrumados), ..., #
dn = 2 (na frente ou atrás dos n – 1 carros já arrumados). Logo, pelo princípio multiplicativo
temos que 1 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ 2 = 2n−1 modos.
Problema 11: Sejam os conjuntos A = {a1 , a2 ,..., a p } e B = {b1 , b2 ,..., bm } . Quantas aplicações
Problema 12: Sejam os conjuntos A = {a1 , a2 ,..., a p } e B = {b1 , b2 ,..., bm } . Quantas aplicações
Problema 12: Sejam os conjuntos A = {a1 , a2 ,..., an } e B = {b1 , b2 ,..., bn } . Quantas aplicações
bijetoras f:A→B.
Problema 13: Dados n objetos distintos a1 , a2 ,..., an , de quantos modos é possível ordena-los?
Solução:
Para os objetos a, b, c há 6 ordenações: abc, acb, bac, bca, cba, cab. No caso geral temos
n modos de escolher o objeto que ocupará o primeiro lugar, n – q modos de escolher o
que ocupará o segundo lugar, ..., 1 modo de escolher o objeto que ocupará o último
lugar. Temos então que o problema é equivalente ao problema 12, logo o número de
modos de ordenar n objetos distintos é n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ... ⋅1 .
A partir do problema 13 definimos cada ordenação dos n objetos como uma permutação
simples de n objetos e o número de permutações de n objetos distintos, representado por Pn é
Anais do VIII ENEM – Minicurso 10
GT 3 – Educação Matemática no Ensino Médio
Problema 14: Quantos são os anagramas da palavra QUADRO que começam por vogal?
Solução:
Considere as posições de cada letra da palavra quadro
P1 P2 P3 P4 P5 P6
Problema 15: De quantos modos podemos formar uma roda com 6 crianças?
Solução:
À primeira vista parece que para formar uma roda com as 6 crianças basta escolher uma ordem
para eles, o que pode ser feito de120!= 720 modos. Mas, há rodas iguais como por exemplo,
ABCDE e EABCD (onde A, B, C, D e E representam as crianças). Daí , a contagem de 720
720
rodas contou cada roda 6 vezes. Portanto, temos como resposta para o problema = 120 .
6
Problema 17: De quantos modos podemos escolher p objetos distintos entre n objetos distintos
dados?
Solução:
Cada subconjunto com p elementos é chamado de uma combinação simples de classe
p dos n objetos a1, a2, ... , an.
Anais do VIII ENEM – Minicurso 11
GT 3 – Educação Matemática no Ensino Médio
Assim, por exemplo, as combinações simples de classe 3 dos objetos a1, a2, a3, a4, a5
são: {a1,a2,a3} {a1,a2,a4} {a1,a2,a5} {a1,a3,a4} {a1,a3,a5} {a1,a4,a5} {a2,a3,a4} {a2,a3,a5}
{a2,a4,a5} {a3,a4,a5}.
O número de combinações simples de classe p de n Objetos é representado por
C np . Assim, C 53 = 10.
Problema 15: Em uma urna há fichas numeradas de 1 a 10. De quantos modos se podem retirar
3 fichas de modo que a soma dessas fichas seja menor que 9?
Solução:
Primeiro temos que o número de modos de retirar 3 fichas é C103 . São 4 grupos de 3 fichas cuja
Problema 16: De quantos modos se podem repartir 27 livros diferentes entre as pessoas A, B e
C, de modo que A e B, juntas, recebam o dobro de C?
Solução:
Primeiramente temos que se C recebe x livros, então A e B devem receber 2x.
Daí, 2x + x = 27 ⇒ x = 9.
d1: escolher 9 livros dentre os 27 para dar a C
d2: distribuir os 18 livros restantes entre A e B
Assim, temos que # d1 = C279 , # d2 =218. Logo, pelo princípio multiplicativo temos que C279 ⋅ 218
modos.
Anais do VIII ENEM – Minicurso 12
GT 3 – Educação Matemática no Ensino Médio
Assim temos que # X = 33, # Y = 34 e # Z = 33. Observe que cada número escolhido em A têm
por soma um múltiplo de 3, cada 3 números escolhidos em B têm por soma um múltiplo de 3,
cada 3 números escolhidos em C têm por soma um múltiplo de 3 e escolhendo-se um número
em A, um em B e um em C, a soma das 3 números é múltiplo de 3.
Daí: C332 + C343 + C333 + C331 ⋅ C341 ⋅ C331 = 2C333 + C343 + (C331 )2 ⋅ C341 .
Referências Bibliográficas:
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio: Ciências da Natureza,
Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC, 1999.
LIMA, E. L., CARVALHO, P., et al. Temas e Problemas.3 ed. Rio de Janeiro: SBM, 2003.
TUCKER, A . Applied Combinatorics. Nova Iorque: John Wiley and Sons, 2. Ed, 1984.