Curso de Análise Combinatória
Curso de Análise Combinatória
Curso de Análise Combinatória
SO LUS - MA
2016
-1-
NDICE
1 ANLISE COMBINATRIA
1.1 A Construo de Grupos
1.2 Fatorial de um Nmero
1.2.1 Exerccios
1.3 Princpio Fundamental da Contagem
1.3.1 Exerccios
1.4 Princpio Aditivo da Contagem
1.4.1 Exerccios
1.5 Exerccios de Fixao
1.6 Permutao Simples
1.6.1 Exerccios
1.7 Arranjo Simples
1.7.1 Exerccios
1.8 Arranjo com Repetio
1.9 Permutao Circular
1.10 Exerccios de Fixao
1.11 Combinao Simples
1.11.1 Exerccios
1.12 Permutao com Repetio
1.13 Exerccios de Fixao
2 BINMIO DE NEWTON
2.1 Desenvolvimento (Produtos Notveis)
2.1.1 Exerccios
2.2 Tringulo de Pascal
2.3 Relao de Stifel
2.1.1 Exerccios
2.4 Binmio de Newton
2.1.1 Exerccios
2.5 Frmula do Termo Geral
2.1.1 Exerccios
2.6 Exerccios de Fixao
1. ANLISE COMBINATRIA
-2-
1.2.1 Exerccios
1) Utilizando uma calculadora, verifique se a desigualdade 3100 > 100! verdadeira ou falsa.
-3-
1.3
Existem situaes de contagem, em que adicionamos as possibilidades, e existem outras, nas quais
multiplicamos as possibilidades. J estudamos aquelas situaes em que tivemos que efetuar uma
multiplicao. Em tais situaes utilizamos o princpio multiplicativo para justificar. Mas como
sabemos, diante de um experimento, se multiplicamos ou adicionamos as possibilidades?
Antes de procurarmos dar uma resposta a essa questo, o que fundamental para os problemas de
contagem, importante entender a utilizao de 2 conectivos em nossa lngua portuguesa: E ou OU.
Exemplo da Matemtica:
(IV)
Concluso:
Quando, num problema de contagem, aparecer o conectivo E, devemos pensar em
simultaneidade, em dependncia.
Quando aparecer o conectivo OU num problema de contagem, deveremos interpret-lo no
sentido aditivo.
Exemplo:
Para ir de uma cidade A at uma cidade B, existem dois percursos, passando pela cidade C ou pela
cidade D. Os caminhos possveis esto indicados no esquema abaixo. Quantas so as possibilidades
de sair da cidade A e chegar cidade B?
A
-6-
Ateno:
Para obtermos o nmero de elementos de A U B, n(A U B), adicionamos o nmero de elementos de
A, com o nmero de elementos de B e diminumos o nmero de elementos pertencentes a A e a B,
simultaneamente.
B
A B
1.4.1 Exerccios
1) Explique o significado, em cada frase, do conectivo OU:
a. Jos ou Joo vai passar no vestibular.
b. Jos ou Joo vo passar no vestibular.
2) Quantos nmeros naturais de 4 ou cinco algarismos distintos podem ser formados com os
algarismos 1, 2, 3, 5, 7 e 9?
3) Para a diretoria de uma empresa, concorrem 4 candidatos presidncia e 6 vice-presidncia.
Quantas maneiras distintas podem ocorrer na ocupao desses dois cargos?
4) Para ir de uma cidade A a outra cidade B dispomos de cinco empresas de nibus, trs de avies e
uma de navio. De quantos modos podemos viajar de A at B?
5) Voc deve pintar cada quadradinho de amarelo, ou de verde ou de azul.
De quantas maneiras diferentes isso possvel?
6) Um baralho tem 52 cartas. Se retirarmos duas cartas, uma de cada vez e sem reposio, quantas
possibilidades existem?
7) Quantos nmeros de 5 algarismos distintos h em nosso sistema de numerao?
8) Um anfiteatro possui 5 portas.
De quantos modos ele pode ser aberto?
-7-
9) Num estdio de futebol h 12 portes de entrada. Quantas possibilidades existem de uma pessoa:
a. entrar por um porto e depois sair?
b. entrar por um porto e depois sair por outro diferente?
b) 615
c) 640
d) 649
e) 648
2) A quantidade de nmeros inteiros compreendidos entre 30.000 e 65.000 que podemos formar
utilizando somente os algarismos 2, 3, 4, 6 e 7, de modo que no figurem algarismos repetidos,
:
a) 48
b) 66
c) 96
d)120
3) (UFU-MG) De quantas maneiras trs mes e seus respectivos trs filhos podem ocupar uma fila
com seis cadeiras, de modo que cada me sente junto de seu filho?
a) 6
b) 18
c) 12
d) 36
e) 48
b) 36
c) 52
d) 60
e) 72
5) (UNIFOR-CE) Um casal e seus quatro filhos vo ser colocados lado a lado para tirar uma foto.
Se todos os filhos devem ficar entre os pais, de quantos modos distintos os seis podem posar
para tirar a foto?
a) 24
b) 48
c) 96
d) 120
e) 720
b) 15
c) 3
d) 26
e) 50
7) (FGV-SP) Um restaurante oferece no cardpio duas saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5
variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de
carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poder fazer seu pedido?
a) 120
b) 144
c) 14
d) 60
e) 12
-8-
8) (UCSAL-BA) Um cdigo para leitura tica constitudo por 6 barras, brancas ou pretas.
Nenhum cdigo, tem barras de uma s cor.
Quantos desses cdigos, distintos entre si, podem ser formados?
a) 128
b) 64
c) 62
d) 32
e) 16
9) (UFR-PE) Qual o nmero de placas de carros que poderiam ser registradas (cada uma contendo
apenas trs letras) fazendo uso das letras A, B, C, D?
a) 34
b) 72
c) 96
d) 64
e) 102
10) (PUC-RS) O nmero de mltiplos de 11, inteiros e positivos, formados por trs algarismos ?
a) 79
b) 80
c) 81
d) 99
e) 100
11) (UFRN) A quantidade de nmeros pares de 5 algarismos, sem repetio, que podemos formar
com os dgitos 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 igual a:
a) 720
b) 1.140
c) 2.160
d) 2.280
e) 3.600
12) (CESESP-PE) Num acidente automobilstico, aps se ouvirem vrias testemunhas, concluiu-se
que o motorista culpado do acidente dirigia o veculo cuja placa era constituda de duas vogais
distintas e quatro algarismos diferentes, e o algarismo das unidades era o dgito 2. Assinale,
ento, a nica alternativa correspondente ao nmero de veculos suspeitos:
a) 1.080
b) 10.800
c) 10.080
d) 840
e) 60.480
13) (UM-SP) Um trem de passageiros constitudo de uma locomotiva e seis vages distintos,
sendo um deles restaurante. Sabendo-se que a locomotiva deve ir frente e que o vagorestaurante no pode ser colocado imediatamente aps a locomotiva, o nmero de modos
diferentes de montar a composio :
a) 120
b) 320
c) 500
d) 600
e) 720
14) (UFBA) Uma firma deseja imprimir calendrios de diversos modelos variando a quantidade de
meses em cada folha do calendrio, desde que o nmero de meses includos em cada folha de
determinado modelo seja constante. O nmero de modelos que podem ser feitos :
a) 6
b) 12
c) 28
d) 794
e) 13.345
15) (PUC-RS) Com os algarismos significativos formam-se todos os nmeros de quatro algarismos
distintos, sendo que x deles possuem um algarismo mpar na ordem das centenas. O valor de
x :
a) 336
b) 567
c) 1.680
d) 3.335
e) 3.403
b) 11
c) 12
d) 10
e) 8
-9-
b) 10
c) 32
d) 120
e) 240
18) (MACK-SP) O total de nmeros, formados com os algarismos distintos, maiores que 50.000 e
menores que 90.000 e que so divisveis por 5, :
a) 1.596
b) 2.352
c) 2.686
d) 2.788
e) 4.032
19) (PUC-SP) Chamam-se palndromos nmeros inteiros que no se alteram quando invertida a
ordem de seus algarismos (por exemplo: 383, 4.224, 74.847). O nmero total de palndromos
de cinco algarismos :
a) 900
b) 1.000
c) 1.900
d) 2.500
e) 5.000
20) (USP-SP) Quantos nmeros mpares de 4 algarismos, sem repetio, podem ser formados com
os dgitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?
a) 120
b) 60
c) 30
d) 180
e) 90
Exemplos:
Conjunto Z
Z = {A, B, C}
n=3
Grupos de Permutao Simples {ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}
Pn
Frmula de Clculo
Pn = n!
P3 = 3! = 6
ROMA uma das permutaes das letras da palavra AMOR.
No caso de letras, cada permutao formada denomina-se anagrama.
1.6.1 Exerccios
1) Voc dispe de 9 livros: 3 de Matemtica, 4 de Fsica e 2 de Qumica. Todos so distintos.
a. Qual o nmero de maneiras distintas de dispor esses 9 livros lado a lado numa mesma
prateleira?.
b. Qual o nmero de maneiras de dispor esses livros deixando juntos os da mesma disciplina?.
2) Considerando as letras da palavra FORTE, calcule:
a. o nmero total de anagramas que podem ser formados com as 5 letras;
b. o nmero de anagramas que comeam e terminam por consoante.
3) Cinco rapazes e duas moas devem ocupar os sete lugares de uma mesma fila de um cinema.
a. De quantas maneiras distintas eles podem ocupar esses sete lugares?
b. De quantos modos eles podem ocupar esses sete lugares se as moas devem ficar juntas?
c. De quantos modos eles podem ocupar esses sete lugares se as moas devem ficar separadas?
4) Permutam-se de todos os modos possveis os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9 e escrevem-se assim
nmeros com cinco algarismos distintos, colocando-os em ordem crescente.
a. Qual o lugar ocupado pelo nmero 53.719;
b. Qual a soma dos nmeros assim formados?
5) Considere apenas os algarismos 2, 4, 6 e 8.
a. Quantos nmeros naturais de 4 algarismos podemos formar?
b. Quantos nmeros naturais de 4 algarismos distintos podemos formar?
c. Quantos nmeros naturais de 4 algarismos, onde pelo menos 1 algarismo se repita, podemos
formar?
6) Suponhamos que voc tenha uma nota de 100 reais, uma nota de 50 reais, uma nota de 10 reais,
uma nota de 5 reais e uma nota de 1 real.
Colocando-as lado a lado, de quantas maneiras diferentes elas podem ser dispostas, como na
fotografia, apenas mudando as posies entre elas?
- 11 -
.:
A5,3 = 5 . 4 . 3 . 2! / 2!
b) A5,2
c) A10,5
Sabendo que pai e me devem ficar juntos, vamos amarrar os dois e trat-los como se fossem um
nico elemento. Veja a figura 1 abaixo:
Ao tratar o pai e me como um nico elemento, passamos a ter somente 5 elementos. Portanto,
utilizando a permutao circular de 5 elementos, calculamos o nmero de possibilidades desta
famlia sentar-se ao redor da mesa com pai e me juntos sendo que o pai est esquerda da me.
Permutao circular (Pc) de 5 elementos calcula-se:
Pc5 = P4 = (5-1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24
Portanto, para o pai esquerda da me, temos 24 posies diferentes. Mas o pai pode estar direita
da me, como na figura 2, e ento teremos mais 24 posies diferentes para contar (novamente Pc5).
Portanto, o nmero total de disposies 48.
2) Dois meninos e trs meninas formaro uma roda dando-se as mos. De quantos modos
diferentes podero formar a roda de modo que os dois meninos no fiquem juntos?
No total temos 5 elementos para dispor em crculo, ou seja, novamente utilizaremos Permutao
Circular. Mas agora a restrio diferente, os dois meninos NO podem ficar juntos. Para esta
situao, iremos calcular o nmero total de disposies (sem restrio) e diminuir deste resultado o
nmero de disposies em que os meninos esto juntos (para calcular o nmero de disposies
deles juntos, fazemos como no exerccio 1).
O nmero total de disposies Pc5 = (5 - 1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24.
Agora, para calcular o nmero de disposies com os meninos juntos, devemos amarr-los e tratlos como um nico elemento, lembrando que podemos ter duas situaes:
O nmero total de disposies com os meninos juntos 2.P c4 (4 elementos pois os meninos esto
juntos e valem por 1). Calculando este valor:
2.Pc4 = 2.(4-1)! = 2.3! = 2.3.2.1 = 12
- 14 -
b) 12
c) 18
d) 36
e) 48
2) (UNIFOR-CE) Um casal e seus quatro filhos vo ser colocados lado a lado, para tirar uma foto.
Se todos os filhos devem ficar entre os pais, de quantos modos distintos os seis podem posar
para tirar a foto?
a) 21
b) 48
c) 96
d) 120
e) 720
3) (UFRS) A expresso [(n+1)! n!] / [(n+1)! + n!] com n inteiro estritamente positivo vale:
a) (n2 + n) / (1 + n)
b) (n2 + n - 1) / 2
c) (n2 - n) / (1 + n)
d) n / (n +2)
4) (FUVEST-SP) O nmero de anagramas da palavra FUVEST que comea e termina por vogal ?
a) 24
b) 48
c) 96
d) 120
e) 144
5) (FEI-SP) Obter o nmero de anagramas da palavra REPBLICA nos quais as vogais se mantm
nas respectivas posies.
6) (FGV-SP) Numa sala de reunies h 10 cadeiras e 8 participantes. De quantas maneiras distintas
podemos sentar os participantes. (Duas pessoas ficaro de p?)
a) 181.440
b) 3.628.800
c) 1.814.400
d) 40.320
e) 403.200
b) 712
c) 120
d) 144
e) 180
8) (PUC-SP) O nmero de anagramas da palavra ALUNO que tem as vogais em ordem alfabtica :
a) 20
b) 30
c) 60
d) 80
e) 100
9) (UFOP-MG) Podemos ordenar as pessoas que esto numa certa fila de 24 maneiras diferentes.
Ento, nessa fila esto quantas pessoas?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 12
e) 24
10) (TAUBAT-SP) Numa estante existem trs livros de Matemtica, trs livros de Histria e um
de Geografia. Se desejarmos sempre um livro de Histria em cada extremidade, ento o nmero
de maneiras de se arrumar esses sete livros :
a) 720
b) 36
c) 81
d) 126
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11) (UFCE) A quantidade de nmeros inteiros compreendidos entre 30.000 e 65.000 que podemos
formar utilizando somente os algarismos 2, 3, 4, 6 e 7, de modo que no figurem algarismos
repetidos, :
a) 48
b) 66
c) 96
d) 120
12) (UFRN) Quantos nmeros de 7 dgitos, maiores que 6.000.000, podem ser formados com os
algarismos 0, 1, 3, 4, 6, 7 e 9, sem repeti-los?
a) 1.800
b) 720
c) 5400
d) 5040
e) 2160
13) (UFBA) Para abrir um cofre eletrnico deve-se digitar uma seqncia formada por quatro
algarismos distintos, sendo que o primeiro o triplo do segundo. Uma pessoa que desconhece
essa seqncia pretende abrir o cofre. O maior nmero possvel de seqncias que ela deve
digitar :
a) 170
b) 240
c) 180
d) 280
e) 168
b) 5 objetos
c) n objetos
15) (SANTA CECLIA-SP) O nmero de maneiras em que podemos dispor vinte pessoas em torno
de uma mesa redonda :
a) 20!
b) 20! / 2
c) 19!
d) 19! / 2
6) (PUC-SP) Dois meninos e trs meninas formaro uma roda dando-se as mos. De quantos modos
diferentes podero formar a roda de modo que os dois meninos no fiquem juntos?
a) 15
b) 24
c) 18
d) 16
e) 12
17) (UFPE) Qual o maior inteiro n para que 20! Seja divisvel por 3n?
a) 2
b) 7
c) 8
d) 9
e) 20
1.11 Combinao
Combinaes, so agrupamentos de k elementos, de forma que os k elementos sejam distintos entre
si apenas pela espcie. A posio dos elementos no importa e no os distingue.
Combinaes simples de n elementos distintos tomados k a k so subconjuntos formados por k
elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Duas combinaes so diferentes
quando possuem elementos distintos, no importando a ordem em que os elementos so colocados:
Conjunto Z
Z = {A, B, C}
n=3
N de elementos dos Grupos
k=2
Taxa de 2 elementos
Grupos de Combinao Simples {AB, AC, BC}
Cn,k
Frmula de Clculo
Cn,k = n! / k!(n-k)! C3,2 = 3! / 2!(3-2)! = 3
O nmero acima tambm conhecido como Nmero Binomial. O nmero binomial indicado por:
(nk) = n! / k!(n-k)!
- 16 -
Numa faculdade os alunos dos cursos foram convidados a participar de um campeonato de futebol
de salo. Inscreveram-se ao todo 15 times. Considerando que todos os times se enfrentaro uma
nica vez (um turno) e que o campeo ser aquele que formar mais pontos, obtenha o nmero total
de jogos disputados?
Voc j estudou a teoria dos conjuntos. Viu que, a partir de um conjunto, podemos formar
subconjuntos. Vamos exemplificar:
O conjunto A = {2; 3; 4; 5; 6} admite subconjuntos com nenhum elemento, com 1 elemento, com 2
elementos, com 3 elementos, com 4 elementos e com 5 elementos. Procure, a seguir, completar
indicando os subconjuntos de A.
* 0 elemento ..................................
* 1 elemento ..................................
* 2 elementos ..................................
* 3 elementos ..................................
* 4 elementos ..................................
* 5 elementos ..................................
Em Anlise Combinatria, precisamos encontrar um procedimento que nos permita obter, por
exemplo, o nmero de subconjuntos que podem ser formados com uma certa quantidade de
elementos de um conjunto dado. Entretanto no queremos fazer isso enumerando todos esses
subconjuntos aps serem formados.
Obs.: Cada subconjunto uma combinao simples de elementos.
Assim, por exemplo, as combinaes simples (subconjuntos) com 3 elementos do conjunto
A = {a1; a2; a3; a4; a5} so:
{a1; a2; a3} {a1; a2; a4} {a1; a2; a5} {a1; a3; a4};
{a1; a3; a5} {a1; a4; a5};
{a2; a3; a4} {a2; a3; a5} {a2; a4; a5} {a3; a4; a5}
So 10 subconjuntos com 3 elementos em cada subconjunto. De modo equivalente, so 10
combinaes simples de 5 elementos agrupados 3 a 3. Em smbolos: C5,3 = 10
Mas como podemos calcular o total de combinaes simples sem cont-las aps obt-las?
Vamos considerar o que estudamos at aqui:
Precisamos, para formar um subconjunto com 3 elementos, escolher esses elementos. Assim, temos:
1.11.1 Exerccios
1) Em uma turma, voc dever escolher 4 pessoas como representantes da turma.
Qual o nmero total de escolhas possveis?
2) Ao final da aula, cada aluno da turma dever apertar a mo de todos os colegas uma nica vez.
Quantos apertos de mo existiro no total?
3) Considere 8 vrtices de um octgono convexo. Voc dever formar segmentos ligando esses
pontos dois a dois. Qual o nmero total de segmentos que podem ser formados?
4) Ao final da aula, cada aluno da turma dever apertar a mo de todos os colegas uma nica vez.
Quantos apertos de mo existiro no total?
5) Qual o nmero total de diagonais de um octgono convexo?
6) Obtenha, utilizando combinaes simples, o nmero de jogos de futebol de salo na situao
apresentada no incio da unidade.
7) Resolva a equao Cn,2 = 10:
- 18 -
Voc j estudou problemas de Anlise Combinatria que tratavam da formao de anagramas das
letras de uma palavra qualquer. Assim, por exemplo, a palavra RODA admite um total de 24
anagramas.
Para calcular esse nmero de anagrama, utilizamos o seguinte raciocnio:
Na palavra ARARA, existem letras repetidas que dificultam, a princpio, o clculo do nmero total
de anagramas. Mais tarde, voltaremos a essa palavra; por enquanto, vamos buscar um modo de
calcular o nmero total de anagramas de uma palavra que tenha letras repetidas. Vamos considerar a
palavra TARTARUGA.
* Sugerimos ler o captulo 1.9 Combinaes, antes de ler a explicao dada abaixo.
Para formar um anagrama de TARTARUGA, temos que dispor 3A, 2T, 2R, 1G e 1U em 9 lugares.
Quando escolhemos elementos, no estamos preocupados com a ordem, ou seja, fazemos uma
combinao.
Agora, pelo princpio multiplicativo, temos que o nmero total de anagramas das letras de
TARTARUGA :
C9,3 . C6,2 . C4,2 . C2,1 . 1 = 9! / 3!2!2!
9!: permutao das 9 letras
3!: permutao dos 3
2!: permutao dos 2T
2!: permutao dos 2R
Se as 9 letras fossem diferentes, teramos P9 = 9! Anagramas. Como os A so iguais, contamos cada
anagrama 3! Vezes (devemos ento dividir por 3!). Da mesma forma, contamos cada anagrama 2!
Vezes e 2! Vezes por serem iguais os T e os R, respectivamente (ento devemos dividir por 2! E por
2!).
Isto tudo nos leva a pensar em permutao de 9 letras, das quais 3 so iguais a A, 2 so iguais a T,
2 so iguais a R, 1 a letra G e 1 a letra U.
(3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 9)
Em smbolos:
P93,2,2,1,1 = 9! / 3!2!2!
Retorne agora palavra ARARA.
- 20 -
b) 720
c) 15
d) 30
e) 180
b) 720
c) 1.440
d) 1.920
e) 5.040
3) (UFPA) Uma cobaia percorre um labirinto tendo sete pontos em que pode virar direita,
esquerda ou seguir em frente. De quantas maneiras esta cobaia percorre o labirinto, se segue um
caminho diferente em cada vez?
a) A7,3
b) C7,3
c) 7
d) 37
e) 7! / 3!
4) (USP) Uma comisso de cinco alunos deve ser formada para discutir e planejar o
desenvolvimento das partes esportiva de sua escola. Sabendo-se que estes cinco alunos devem
ser escolhidos de um grupo de 10 alunos, ento o nmero possvel de escolha :
a) 360
b) 180
c) 21.600
d) 252
e) 210
b) x = -6
c) x = 21
d) x = 13
e) x = 7
b) 12
c) 10
d) 8
e) 6
b) 190
c) 180
d) 120
e) 18
8) (UFSC) Um experimento consiste em lanar uma moeda 6 vezes. Considera-se como resultado
desse experimento a seqncia das faces obtidas no 1, 2, 3, 4, 5 e 6 lanamento,
respectivamente. Por exemplo, indicando por c a face cara e por k a face coroa, um
resultado possvel desse experimento a seqncia (c, c, k, c, k, c).
O nmero de resultados possveis desse experimento apresentando quatro caras e duas coroas :
a) 30
b) 24
c) 20
d) 18
e) 15
9) (FGV-SP) Sobre uma mesa so colocadas em linha 6 moedas. O nmero total de modos possveis
pelos quais podemos obter 2 caras e 4 coroas voltados para cima :
a) 360
b) 48
c) 30
d) 120
e) 15
- 21 -
10) (UFBA) Dispondo-se de abacaxi, acerola, goiaba, laranja, ma, mamo e melo; calcule de
quantos sabores diferentes pode-se preparar um suco, usando-se trs frutas distintas.
a) 90
b) 35
c) 15
d) 30
e) 50
11) (PUC-MG) O nmero de maneiras pelas quais 6 pessoas podem ser distribudas em 3 grupos,
cada um formado por 2 pessoas, ?
a) 60
b) 75
c) 80
d) 85
e) 90
12) (UFRGS) Em uma classe de doze alunos, um grupo de cinco ser selecionado para uma viagem.
De quantas maneiras distintas esse grupo poder ser formado, sabendo que, entre os doze
alunos, dois so irmos e s podero viajar se estiverem juntos?
a) 30.240
b) 594
c) 462
d) 408
e) 372
b) 36
c) 152
d) 1.200
e) 28.800
14) (UFSE) Considere todos os produtos de trs fatores distintos que podem ser obtidos com os
elementos do conjunto A = {1, 2, 3, 5, 7, 11}. Quantos deles so pares?
a) 10
b) 18
c) 20
d) 36
e) 60
15) (FUVEST) Numa primeira fase de um campeonato de xadrez, cada jogador joga uma vez contra
os demais. Nessa fase foram realizados 78 jogos. Quantos eram os jogadores?
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
b) 220
c) 720
d) 980
e) 1320
17) (UFRN) Com sete pontos sobre uma circunferncia, quantos tringulos, com vrtices nesses
pontos, podem ser formados?
a) 35
b) 45
c) 47
d) 53
e) 54
18) (UFF-RJ) Uma empresa vai fabricar cofres com senhas de 4 letras, usando 18 consoantes e 5
vogais. Se cada senha deve comear com uma consoante e terminar com uma vogal, sem repetir
letras, o nmero de senhas possveis :
a) 3.060
b) 24.480
c) 37.800
d) 51.210
- 22 -
e) 53.440
b) 625
c) 480
d) 300
e) 255
20) (FEI-SP) Sejam duas retas paralelas (r e s). Tomam-se 5 pontos distintos em r e 4 em s. A razo
entre o nmero total de quadrilteros convexo e o nmero total de tringulos que podem ser
formados com vrtices nesses pontos :
a) 1/2
b) 3/4
c) 2/3
d) 6/7
e) 4/5
21) (FUVEST-SP) A escrita braile para cegos um sistema de smbolos com o qual cada caractere
formado por uma matriz de 6 pontos, dos quais pelo menos um se destaca em relao aos
outros. Assim, por exemplo:
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Qual o nmero mximo de caracteres distintos que podem ser representados nesse sistema de
escrita?
a) 62
b) 89
c) 26
d) 720
e) 36
b) 48
c) 52
d) 54
e) 56
23) (ITA) Um general possui n soldados para tomar uma posio inimiga. Desejando efetuar um
ataque com dois grupos, um frontal com r soldados e outro de retaguarda com s soldados (r+s =
n), ele poder dispor seus homens de quantas maneiras distintas nesse ataque?
a) n! / (r+s)!
2
b) n! / r!s!
c) n! / (rs)!
d) 2(n!) / (r+s)!
e) 2(n!) / r!s!
BINMIO DE NEWTON
a
a+b
b
a
a+b
b - 23 -
Observe que o quadrado maior foi dividido em 4 partes: dois quadrados e dois retngulos.
Para calcular a rea do quadrado maior S, podemos proceder de duas formas, isto :
1 maneira: Considerando o quadrado de lado medindo a + b, a rea ser: S = (a + b)2
2 maneira: Considerando os dois retngulos iguais e os dois quadrados, o mdio e o menor;
teremos como rea: S = 2ab + a2 + b2
Como as duas formas representam a rea do mesmo quadrado, ento igualamos as duas expresses:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
O quadrado da soma de dois termos o quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro
pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.
O quadrado de uma diferena
S1
S2
S2
a-b
a-b
Queremos agora obter a rea S do quadrado menor da figura geomtrica acima. Podemos fazer isso
de duas maneiras:
1 maneira
Considerando apenas o quadrado da medida de seu lado, isto : S = (a - b)2
2 maneira
Considerando as reas das figuras geomtricas que compem o quadrado de lado a, ou seja,
S = a2 S1 2S2
S = a2 b2 - 2b . (a b)
S = a2 b2 - 2ab + 2b2 = a2 - 2ab + b2
(a - b)2 = a2 2ab + b2
O quadrado da diferena de dois termos o quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o
primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.
Discutindo:
- 24 -
2.1.1 Exerccios
1) Fatore cada uma das expresses algbricas abaixo:
a) x2 2xy + y2
b) x3 3x2y + 3xy2 y3
c) x2 + 2xy + y2
d) x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
e) x2 y2
f) x4 y4
2) Desenvolva a potncia (x + y)4
3) Observando os coeficientes da expresso correspondente ao desenvolvimento de (x + y) 4 e os
valores das combinaes C4,0, C4,1, C4,2, C4,3 e C4,4 o que se pode concluir?
4) Considere a expresso algbrica A = a3 3a2b + 3ab2 b3.
Qual o valor numrico que essa expresso assume para a = 2 35 e 35 ?
5) Qual o nmero de termos do desenvolvimento da potncia correspondente a:
a) (2x + y)2
b) (x - y)4
c) (3 + y)3
d) (x + a)4
6) Assinale V ou F conforme as afirmaes sejam verdadeiras ou falsas, respectivamente:
( ) x3 + y3 (x + y)3
( ) x2 y2 (x - y)2 para todo x e y
( ) x2 . y2 = (x . y)2
( ) -1 + -1 = ( + ) / ( e 0)
7) A figura a seguir foi construda conforme uma lgica. Descubra qual essa lgica e d o valor de
x e de y.
1
1
1
1
1
1
1
1
6
10
x
21
1
3
6
7
4
10
20
35
- 25 -
1
1
5
15
1
6
21
1
7
Blaise Pascal
Blaise Pascal foi um Filsofo e Matemtico francs, nasceu em Clermont em 1623 e morreu em
1662 na cidade de Paris. Era filho de Etienne Pascal, tambm Matemtico. Em 1632, toda a famlia
foi viver em Paris.
O pai de Pascal, que tinha uma concepo educacional pouco ortodoxa, decidiu que seria ele
prprio a ensinar os filhos e que Pascal no estudaria Matemtica antes dos 15 anos, pelo que
mandou remover de casa todos os livros e textos matemticos. Contudo, movido pela curiosidade,
Pascal comeou a trabalhar em Geometria a partir dos 12 anos, chegando mesmo a descobrir, por si,
que a soma dos ngulos de um tringulo igual a dois ngulos retos. Ento o seu pai resignou-se e
ofereceu a Pascal uma cpia do livro de Euclides.
Aos 14 anos, Pascal comeou a acompanhar o seu pai nas reunies de Mersenne, onde se
encontravam muitas personalidades importantes. Aos 16 anos, numa das reunies, Pascal
apresentou uma nica folha de papel que continha vrios teoremas de Geometria Projetiva,
incluindo o hoje conhecido como "Hexagrama mstico" em que demonstra que "se um hexgono
estiver inscrito numa cnica, ento as interseces de cada um dos 3 pares de lados opostos so
- 26 -
colineares". Em Fevereiro de 1640 foi publicado este seu trabalho "Ensaio sobre seces cnicas",
no qual trabalhou durante 3 anos
Em 1639 a famlia de Pascal deixou Paris e mudou-se para Rouen, onde o seu pai tinha sido
nomeado coletor de impostos da Normandia Superior.
Aos dezoito anos e com o objetivo de ajudar o pai na tarefa de cobrar impostos, Pascal inventou a
primeira mquina digital, chamada Pascalinne para levar a cabo o processo de adio e subtrao,
e posteriormente organizou a produo e comercializao destas mquinas de calcular (que se
assemelhava a uma calculadora mecnica dos anos 40). Pelo menos sete destes computadores
ainda existem; uma foi apresentada rainha Cristina da Sucia em 1652.
Quando o seu pai morreu em 1651, Pascal escreveu a uma das suas irms uma carta sobre a morte
com um profundo significado cristo em geral e em particular sobre a morte do pai. Estas suas
idias religiosas foram a base para a sua grande obra filosfica "Penses" que constitui um
conjunto de reflexes pessoais acerca do sofrimento humano e da f em Deus.
Em Fsica destacou-se pelo seu trabalho "Tratado sobre o equilbrio dos lquidos" relacionado
com a presso dos fludos e hidrulica. O princpio de Pascal diz que a presso em qualquer ponto
de um fluido a mesma, de forma a que a presso aplicada num ponto transmitida a todo o
volume do contentor. Este o princpio do macaco e do martelo hidrulicos.
Pascal estudou e demonstrou no trabalho do "Tringulo aritmtico", publicado em 1654, diversas
propriedades do tringulo e aplicou-as no estudo das probabilidades. Antes de Pascal, j Tartaglia
usara o tringulo nos seus trabalhos e, muito antes, os matemticos rabes e chineses j o
utilizavam. Este famoso tringulo que se pode continuar indefinidamente aumentando o nmero de
linhas conhecido como Tringulo de Pascal ou Tringulo de Tartaglia. Trata-se de um arranjo
triangular de nmeros em que cada nmero igual soma do par de nmeros acima de si. O
tringulo de Pascal apresenta inmeras propriedades e relaes, por exemplo, "as somas dos
nmeros dispostos ao longo das diagonais do tringulo geram a Sucesso de Fibonacci.
Em correspondncia com Fermat, durante o Vero de 1654, Pascal estabeleceu os fundamentos da
Teoria das Probabilidades. O seu ltimo trabalho foi sobre a Ciclide a curva traada por um
ponto da circunferncia que gira, sem escorregar, ao longo de uma linha reta. Durante esse ano
desinteressou-se pela cincia; passou os ltimos anos da vida a praticar caridade e decidiu dedicarse a Deus e religio. Faleceu com 39 anos devido a um tumor maligno que tinha no estmago se
ter estendido ao crebro.
Na Matemtica, comum relacionarmos o seu nome a um determinado tringulo formado por
nmeros, representados por combinaes, ou seja:
- 27 -
Voc saberia obter os nmeros da prxima linha sem calcular as combinaes correspondentes?
Explique:
O que voc pode dizer sobre o valor Cn,0, sendo n um nmero natural qualquer?
- 28 -
Numa mesma linha do tringulo de Pascal, qual a relao entre os termos eqidistantes dos
extremos?
Vamos retornar alguns fatos da Anlise Combinatria, para justificar alguns importantes
resultados.
necessrio voltarmos s combinaes simples, estudadas em Anlise Combinatria, para
entendermos alguns resultados que aqui sero teis.
Quando formamos subconjuntos com base em um conjunto qualquer, estamos combinando seus
elementos.
Vamos formar, com base nos elementos do conjunto A = {3; 4; 5; 6; 7}, todos os subconjuntos com
2 elementos e, a seguir, seus complementares em relao ao conjunto A.
(Voc dever escrev-los)
Subconjuntos
Com 2 elementos
Subconjuntos
complementares
{3; 4}
....................
{3; 5}
....................
{3; 6}
....................
{3; 7}
....................
{4; 5}
....................
{4; 6}
....................
{4; 7}
....................
{5; 6}
....................
{5; 7}
....................
{6; 7}
....................
So C5,2 = 10
subconjuntos
So ..........
Subconjuntos
complementares
Temos assim que numa linha qualquer do Tringulo de Pascal, elementos eqidistantes dos
extremos so iguais. Entretanto at aqui no conseguimos ainda justificar a compreenso de como
esse tringulo construdo. Falta um pequeno, mas importante, fato que daremos o nome de
Relao de Stifel.
2.3 Relao de Stifel
Novamente, vamos utilizar uma situao envolvendo Anlise Combinatria e subconjuntos.
Situao:
No quadro abaixo, esto todos os subconjuntos de A = {3; 4; 5; 6; 7} com exatamente 3 elementos.
Ao todo so 10 subconjuntos, pois C5,2 = 10.
{3; 4; 5}
{3; 5; 7}
{4; 5; 7}
{3; 4; 6}
{3; 6; 7}
{4; 6; 7};
{3; 4; 7}
{4; 5; 6}
{5; 6; 7}
{3; 5; 6}
Discutindo:
Observando o quadro, faa o que se pede:
Quantos e quais so os subconjuntos de A = {3; 4; 5; 6; 7} formados com 3 elementos que contm
o elemento 7?
- 30 -
Voltando ao Tringulo de Pascal, agora podemos compreender melhor como ele formado.
C0,0
C0,1
C0,2
C0,3
C0,4
C0,5
C0,6
C0,7
C1,6
C1,7
C1,2
C1,3
C1,4
C1,5
+
C2,7
C1,1
C2,4
C2,5
C2,6
C2,2
C2,3
+
C3,5
C3,6
C3,7
C3,3
C3,4
C4,4
C4,5
C4,6
C4,7
C5,5
C5,6
C5,7
C6,6
C6,7
C7,7
.
.
.
Procure completar o quadro a seguir com os valores, dentro dos retngulos, correspondentes s
combinaes, mas sem utilizar o clculo combinatrio.
Organizando as idias
Relao de Stifel: somando dois elementos consecutivos de uma mesma linha de um Tringulo de
Pascal, obtemos o elemento da prxima linha situado abaixo desses dois elementos.
Em smbolos:
Cn, p + Cn, p+1 = Cn+1, p+1
Utilizando combinaes simples, justifique a Relao de Stifel no quadro a seguir:
- 31 -
2.3.1 Exerccios
1) Qual o nmero de solues da equao C10,x = C10,6?
2) Construa as 8 primeiras linhas do tringulo de Pascal e, a seguir, calcule a soma dos elementos de
uma mesma linha (todos). Qual a concluso?
3) Resolva a equao C10,2 + C10,3 = C11,x .
4) Calcule:
a) C2,0 + C2,1 + C2,2
b) C3,0 + C3,1 + C3,2 + C3,3
c) C4,0 + C4,1 + C4,2 + C4,3 + C4,4
d) Cn,0 + Cn,1 + Cn,2 + ... + Cn,n
5) Tomando 8 pontos distintos pertencentes a uma circunferncia, quantos polgonos convexos
inscritos podem ser construdos com vrtices nesses pontos?
6) Considere o conjunto A tal que A = {a, e, i, o, u}
a) Qual o nmero de subconjuntos de A?
b) Em quantos subconjuntos de A, formados por 3 elementos, o elemento e figura?
c) Em quantos subconjuntos de A, formados por 3 elementos, o elemento e no figura?
7) Resolva a equao Cn,0 + Cn,1 + Cn,2 + ... + Cn, n-1 ?
8) Numa turma com 32 pessoas, 5 sero escolhidas para participar de uma viagem. Qual o nmero
de maneiras de escolher essas 5 pessoas sabendo que duas dessas pessoas s iro se forem
juntas?
2.4
Binmio de Newton
Denomina-se Binmio de Newton, a todo binmio da forma (a + b)n, sendo n um nmero natural.
Exemplo:
B = (3x - 2y)4 (onde a = 3x, b = -2y e n = 4 [grau do binmio]).
- 32 -
Nota 1:
Isaac Newton - fsico e matemtico ingls (1642 - 1727).
Suas contribuies Matemtica, esto reunidas na monumental obra Principia Mathematica,
escrita em 1687.
Exemplos de desenvolvimento de binmios de Newton:
a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3
c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4
d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5
Nota 2:
No necessrio memorizar as frmulas acima, j que elas possuem uma lei de formao bem
definida, seno vejamos:
Vamos tomar, por exemplo, o item (d) acima:
Observe que o expoente do primeiro e ltimos termos so iguais ao expoente do binmio, ou seja,
igual a 5.
A partir do segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos a partir da seguinte regra prtica de
fcil memorizao:
Multiplicamos o coeficiente de a pelo seu expoente e dividimos o resultado pela ordem do termo. O
resultado ser o coeficiente do prximo termo. Assim por exemplo, para obter o coeficiente do
terceiro termo do item (d) acima teramos: 5.4 = 20; agora dividimos 20 pela ordem do termo
anterior (2 por se tratar do segundo termo) 20:2 = 10 que o coeficiente do terceiro termo
procurado.
Observe que os expoentes da varivel a decrescem de n at 0 e os expoentes de b crescem de 0 at
n. Assim o terceiro termo 10 a 3b2 (observe que o expoente de a decresceu de 4 para 3 e o de b
cresceu de 1 para 2).
Usando a regra prtica acima, o desenvolvimento do binmio de Newton (a + b)7 ser:
(a + b)7 = a7 + 7 a6b + 21 a5b2 + 35 a4b3 + 35 a3b4 + 21 a2b5 + 7 ab6 + b7
Como obtivemos, por exemplo, o coeficiente do 6 termo (21 a2b5)?
Pela regra: coeficiente do termo anterior = 35. Multiplicamos 35 pelo expoente de a que igual a 3
e dividimos o resultado pela ordem do termo que 5.
Ento, 35.3 = 105 e dividindo por 5 (ordem do termo anterior) vem 105:5 = 21, que o coeficiente
do sexto termo, conforme se v acima.
Observaes:
1) o desenvolvimento do binmio (a + b)n um polinmio.
2) o desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos.
- 33 -
2.4.1
Exerccios
b) 1
c) -1
d) 331.237
e) 1.973.747
3) (UNIVALI-SC) Desenvolvendo o binmio (x2 2)5, temos (x2 2)5 = x10 + mx8 + 40x6 80x4 +
80x2 + n, portanto, m + n :
a) +40
b) 42
c) -9
d) -42
e) -48
b) o 6
c) o 7
d) o 8
- 35 -
e) no existe
b) o 6
c) o 7
d) o 8
e) no existe
b) 326
c) 924
d) 1,012
e) 1214
b) 263
c) 10
e) 310
d) 3
b) 120
c) 240
d) 480
e) 960
b) -2
c) -1
d) 2
e) 3
b) 20
c) 24
d) 28
e) 32
11) (UFPA) No binmio (2x + 1/4x)n, a soma dos coeficientes binomiais do segundo e do terceiro
termos igual a 36 e o terceiro termo sete vezes maior que o segundo. Ento o valor de x +
1/x, :
a) -10/3
b) -5/3
c) -3/5
d) -3/10
e) -1/3
b) 35
c) 48
d) 56
e) 70
b) -3 240x3
c) 3 240x3
d) 540x3
e) 540x4
b) 9
c) 18
d) 64
e) 256
b) 70.16.81 x4y4
c) 70.16.81 x5y4
- 36 -
d) 70.16.81 x4y5
e) 70.16.81 x5y5
b) (1 + sen2)5 -1
c) -1
d) 0
17) (MACK-SP) Um dos termos no desenvolvimento de (x +3a) 5 360x3. Sabendo que a depende
de x, o valor de a :
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
18) (FGV-SP) Desenvolvendo a expresso [(x + 1/x).(x 1/x)] 5, obtm-se como termo
independente de x o valor:
a) 10
b) -10
c) 20
d) -20
e) 36
19) (FATEC-SP) Sabendo que o segredo de um cofre uma seqncia de quatro algarismos
distintos e o primeiro igual ao triplo do segundo, o maior nmero de tentativas diferentes
que devemos fazer para conseguir abri-lo igual a:
a) 56
b) 84
c) 168
d) 253
e) 1.054
- 37 -