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    Eds 10 Sem Engenharia UNIP

    Enviado por

    Sérgio Almeida
    O documento apresenta exercícios resolvidos sobre oscilações harmônicas simples e compostas. Os exercícios abordam conceitos como amplitude, frequência, período, velocidade e aceleração de oscilações harmônicas, além de sistemas de múltiplos graus de liberdade e transmissibilidade.

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    de 6

    Modulo 1

    1) y = 0,06.cos[(π/2).t+(π/3)]; y = A.cos(𝜔 ∙ t + 𝜑_0)


    A= amplitude = 0,06 m
    𝜔 = pulsação = π/2 rad/s B

    2) y = 0,06.cos[(π/2).t+(π/3)]; y = A.cos(𝜔 ∙ t + 𝜑_0)


    A= amplitude = 0,06 m
    𝜔 = pulsação = π/2 rad/s
    T= 2 π / 𝜔 ; T= 2 π / (π/2) ; T= 2 * π * 2 / π ; T= 4 s D

    3) y = 0,06.cos[(π/2).t+(π/3)];
    A= amplitude = 0,06 m
    𝜔 = pulsação = π/2 rad/s
    No t= 2s, temos: y = 0,06.cos[(π/2).2+(π/3)];
    Então: cos(4pi/3)=-1/2 > y=-0,03m B

    4) y = 0,06.cos[(π/2).t+(π/3)]; y’ = A.w.sen (𝜔 ∙ t + 𝜑_0)


    A= amplitude = 0,06 m
    𝜔 = pulsação = π/2 rad/s
    t= 2s, temos: y’ = 0,06.( π /2) sen[(π/2).2+(π/3)]; y’ = 0,06.sen[π+π/3];
    𝑦′ = 0,082 m/s aproximadamente. C

    5) A= amplitude = 0,06 m
    𝜔 = pulsação = π/2 rad/s
    𝑦′′ = 𝐴.∗ 𝜔 ^2 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝜔 ∙ 𝑡 + 𝜑_0);
    y’’ = -0,06*(pi/2)^2*cos((pi/2)*2+(pi/3))
    𝑦^′′ = 0,074 𝑚/𝑠^2 D

    6) f=5 Hz ; t=0,1s, v=10,88 m/s


    𝑇 = 1 /𝑓 ;𝑇 = 1/5 ;𝑇 = 0,2 𝑠
    𝜔 = 2𝜋 𝑓 ; 𝜔 = 2𝜋 5 ; 𝜔 = 31,4159 rad/s A
    7) f=5 Hz ; t=0,1s, v=10,88 m/s
    𝜔 = 2𝜋 𝑓 ; 𝜔 = 2𝜋 5 ; 𝜔 = 31,4159 rad/s
    𝑣 = 𝑤 ∗ 𝐴 = 10,88/31,416 = 𝐴 ; A=0,346
    Portanto, a fase inicial do movimento harmônico será 𝜑 = 𝜋/2 B

    8) f=5 Hz ; t=0,1s, v=10,88 m/s


    𝜔 = 2𝜋 𝑓 ; 𝜔 = 2𝜋 5 ; 𝜔 = 31,4159 rad/s
    𝑣 = 𝑤 ∗ 𝐴 = 10,88/31,416 = 𝐴 ; A=0,346m C

    9) f=5 Hz ; t=0,1s, v=10,88 m/s


    𝜔 = 2𝜋 𝑓 ; 𝜔 = 2𝜋 5 ; 𝜔 = 31,4159 rad/s
    𝑣 = 𝑤 ∗ 𝐴 = 10,88/31,416 = 𝐴 ; A=0,346m

    𝑎(𝑡) = − w² * A* cos(w*t) para o instante t=0,1s, temos:

    𝑎(0,1) = −〖31,416〗^2 ∗ 0,346 ∗ 𝑐𝑜𝑠 (31,416 ∗ 0,1) = −340,8 𝑚/𝑠² D

    10) f=5 Hz ; t=0,1s, v=10,88 m/s


    𝜔 = 2𝜋 𝑓 ; 𝜔 = 2𝜋 5 ; 𝜔 = 31,4159 rad/s
    𝑣 = 𝑤 ∗ 𝐴 = 10,88/31,416 = 𝐴 ; A=0,346m
    𝑥(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡 + 𝜑) = 0,346 ∗ 𝑐𝑜𝑠(31,4159𝑡 + 𝜋/2)

    𝑥(0,2) = 0,346 ∗ 𝑐𝑜𝑠(31,4159 ∗ 0,2 + 𝜋/2) = 0,343 𝑚 E

    11) m=0,4 kg; T=0,25 s; 𝜑_0 = 𝜋/4 ; A=0,08 m


    𝜔 = 2𝜋 /𝑇 ; 𝜔 = 2𝜋 /0,25 ; 𝜔 = 8 𝜋 rad/s
    x = A.cos(𝜔 ∙ t + 𝜑_0)
    x = 0,08.cos(8𝜋 ∙ t + 𝜋/4) A

    12) m=0,4 kg; T=0,25 s; 𝜑_0 = 𝜋/4 ; A=0,08 m


    𝑣 = −𝜔 ∗ 𝐴; 𝑣 = −8 𝜋 ∗ 0,08
    𝑣 = -2 m/s
    𝑣 = -2sen(8𝜋 ∙ t + 𝜋/4) B
    13) m=0,4 kg; T=0,25 s; 𝜑_0 = 𝜋/4 ; A=0,08 m
    𝑎 = −𝜔^2 ∗ 𝐴; 𝑎 = −(8 𝜋)^2 ∗ 0,08
    𝑎 = -50,53 m/s
    𝑎 = -50,53 cos(8𝜋 ∙ t + 𝜋/4) D

    14) v’=-A*w*sen(w.t+f)
    v’=-0,08.8pi.sen((8pi.4+pi/4))
    v’=-1,41 m/s A

    15) A=0,08m ; t=4s ; T=0,25s


    K=(4p*0,4)/0,25
    K=252,66
    Ep = (1/2)*252,66*0,08² = 0,8 J B

    16) A=0,08m ; t=4s ; T=0,25s


    T=2 𝜋/𝑤 ; w=2𝜋/𝑇 = 2PI()/ 0,25 ; w=25,133 rad/s
    Sendo v=w*A = 25,133*0,08 = 2,01064m/s
    E Enercia cinetica= (m (massa) * v (velocidade)² )/2

    , então Ec=(0,4*2,01064²) / 2 = 0,808J C

    17) A=0,08m ; t=4s ; T=0,25s


    K=(4p*0,4)/0,25
    K=252,66 N/m
    Ep=(1/2)*K*Y²
    Ep = (1/2)*252,66*0,002² = 0,05 J D

    18) A=0,08m ; t=4s ; T=0,25s


    T=2 𝜋/𝑤 ; w=2𝜋/𝑇 = 2PI()/ 0,25 ; w=25,133 rad/s
    Sendo v=w*A e A=0,08; v=25,13*0,08= 2,0104 m/s
    E Enercia cinetica= (m (massa) * v (velocidade)² )/2
    , então Ec=(0,4*2,0104²) / 2 = 0,08J E
    19) K1=100N/m ; K2=200N/m e K3=300N/m
    Keq1=100+200=300 N/m
    1/keq=1/keq1+1/k3 = 1/300+1/300; Keq=150 N/m D

    20) f=1/2*PI*(K/3)^(1/2) = ½*PI*(8000/10)^(1/2) = 4,5 hz


    sendo que w=2*PI*f= 2*PI*4,5= 28,28/2=14,14 rad/s C

    21) Dado do exercício K=8KN/m > K=8000 N/m E

    22) R = 0,80 m; I = 1,60 kg.m2; k = 8,00 kN/m; r = 0,60 m; m = 10,00 kg

    W²= K/I = 8000/1,60 =5000 ; w=70,71 rad/s


    W²=K/m; m= k/w² = 8000/5000
    m=1,6 Kg

    MODULO 2
    1) 𝛽 = 𝛾/𝜔_0 ; 𝜔_0 = 4𝑟𝑎𝑑/𝑠 ; 𝛽 = 1/4
    𝑤 = 𝜔_0 ∗ 〖(1 − 𝛽^2)〗^(1/2) = 4 ∗ √(1 − 〖(1/4)〗^2 ) = 3,87 𝑟𝑎𝑑/𝑠 D

    2) x = A.cos(𝜔 ∙ t + 𝜑_0)
    v= 0,04 m/s ; W= 4rad/s ; t=0,1 s; 𝜑_0 = 0
    A=v/w ; A=0,04/4=0,01 m
    x = 0,01cos(4 ∙ 0,1)
    x=9,9*10^-3 m = 1 cm

    3) v= 0,04 m/s ; W= 3,87rad/s ; t=0,1 s; 𝜑_0 = 0; 𝜔_0 = 4𝑟𝑎𝑑/𝑠


    A=v/w ; A=0,04/3,87=0,0103 m B
    MODULO 3

    1) Sendo K=80000N/m e m=100kg, temos:


    𝜔 = √(𝐾/𝑚) ; 𝜔 = √(80000/100) ; 𝜔 = 28,28 𝑟𝑎𝑑/𝑠 , Sabendo que 𝛾 =
    10 𝑟𝑎𝑑/𝑠 e 𝜔_0 = 28,28 𝑟𝑎𝑑/𝑠, temos que:

    W² = 𝜔_0 ²- 𝛾² = 28,28² - 10² = 699,76

    W=26,4 rad/s; 24,32 rad/s, portanto: f=w/2*pi = 26,4/2*pi=4,2 ciclos por


    segundo; 3,8 hz A

    2) Sendo K=80000N/m e m=100kg, temos:


    𝜔 = √(𝐾/𝑚) ; 𝜔 = √(80000/100) ; 𝜔 = 28,28 𝑟𝑎𝑑/𝑠 E

    3) 𝛾 = 𝐶/ 2 ∗ 𝑚 ; sendo c= 2000 Ns/m e m=100kg, temos que:


    𝛾 = 2000 / 2 ∗ 100 = 10 rad/s D

    4) 𝛽 = 𝛾/𝜔_0 , sabendo que 𝛾 = 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠 e 𝜔 = 28,28 𝑟𝑎𝑑/𝑠, temos que:


    𝛽 = 10/28,28 = 0,3536 C

    5) Sabendo que 𝛾 = 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠 e 𝜔_0 = 28,28 𝑟𝑎𝑑/𝑠, temos que:


    W² = 𝜔_0 ²- 𝛾² = 28,28² - 10² = 699,76
    W=26,4 rad/s B

    MODULO 4

    1) mt = 400 kg; m = 100 kg; e = 1,00 mm; f = 3000 rpm=50rps e β =


    0,30.
    Sabendo–se que w=2*pi*f= 2*pi*50=314,16 rad/s
    W²=K/m; K=w²*m=314,16²*100=9869650,56N/m
    Com 10% da força máxima: 986,9KN/m C
    4) m=500Kg ; f=4547/60=75,78rps; K=?; T=10%=0,1

    X=(9,81/4pi²*75,783²)*(0,1+1/0,1) ;x=4,75946534*10^-4

    Keq=500*9,81/4,759467534*10^-4

    Keq=10305,77KN/m

    K=Keq/4= 10305,77/4=2576 KN/m A

    6) m=6k; f¹=1600/60=26,667rps; f¹=3600/60=60rps


    A frequência mais baixa é a mais crítica, e será utilizada para achar o
    valor da rigidez necessária.
    K=? (adotando 100% de transmissibilidade)
    T=1 ; x=(g/4*pi²*f¹)*(T+1/T); x=(9,81/4*pi²*26,667²)*(1+1/1)
    X= 6,98861224*10^-4
    K=21055,682 N/m = 21KN/m A

    MODULO 5
    1) m= m1 = m2 = 0,8 kg; k = k1 = k2 = k3 = 12,8 N/m
    𝜔 = √(𝐾/𝑚) ; 𝜔 = √(12,8/0,8) ; 𝜔 = 4 𝑟𝑎𝑑/𝑠 B

    3)k = k1 = k2 = k3 = 12,8 N/m e m = m1 = m2 = 0,8 kg

    w²= (12,8*3)/0,8 = 48; w=6,9 rad/s A

    MODULO 7

    2) k = k1 = k2 = k3 = 12,8 N/m e m = m1 = m2 = 0,8 kg


    w²= (12,8*3)/0,8 = 48; w=6,9 rad/s
    k=3*EI/l³ = 3*1000/0,3³= 111,1KN/m
    W=(k/m)^(1/2) = (111,1*10³/0,2)^(1/2) =745,3 rad/s D

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