Exercicios Capitulo 10 Gujarati PDF
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CAPTULO 10
MULTICOLINEARIDADE: O QUE ACONTECE SE OS REGRESSORES SO
CORRELACIONADOS?
10.2 (a) No. A varivel X3i uma combinao linear exata de X2i, pois X3i = 2X2i 1.
Yi = 1 + 2 X 2i + 3 (2 X 2i 1) + ui = ( 1 3 ) + ( 2 + 2 3 ) X 2i + ui = 1 + 2 X 2i + ui , em que
1 = ( 1 3 ) e 2 = ( 2 + 2 2 ) . Podemos, portanto, estimar 1 e 2 singularmente,
mas no os originais, pois s temos duas equaes para resolver trs incgnitas.
Portanto,
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r12.3 = ( 12.3 )( 21.3 ) = ( 2 )( 1 ) = 1
1 2
r13.2 = ( 13.2 )( 31.2 ) = ( 3 )( 1 ) = 1
1 3
r23.1 = ( 23.1 )( 32.1 ) = ( 3 )( 2 ) = 1
2 3
Da,
2
R1.23 = r122 + (1 r122 ) r13.2
2
= 1 . Analogamente, R2.13
2
= R3.12
2
= 1.
10.5 (a) Sim. Dados de sries temporais econmicas tendem a evoluir na mesma
direo, como acontece com as variveis defasadas de renda neste caso.
1 = Y 2 X 2 3 X
1 = Y 2 X 2 = Y 2 X 2
1 = Y 3 X 3 = Y 3 X 3
Logo, 1 = 1 + 1 Y .
2 2
var( 2 ) = = (Nota: r23 = 0 )
2
x 2
2i (1 r )
2
23 x 2
2i
2
var( 2 ) = 1
(veja a Equao 3.3.1)
x 2
2i
Repare que =
2 u 2
i
12 =
u
2
i
.
n3 n2
(c) Se for excluda a varivel trabalho, o coeficiente do capital ser tendencioso. O vis
pode ser calculado como no Exerccio 10.6 e vale ( 2 )(b23 ) = (1,4988)(0,1319) =
0,1975.
10.10 (a) No, porque a multicolinearidade diz respeito associao linear entre
variveis, e nesse caso ela no-linear.
(c) Se uma das variveis for excluda, haver vis de especificao que aparecer nos
coeficientes das variveis remanescentes.
10.11 No. Variveis devem ser includas com fundamento terico, e no apenas para
aumentar a SQE ou o R. Alm disso, se as variveis estiverem correlacionadas, sua
incluso ou excluso alterar os valores dos outros coeficientes.
10.12 (a) Falsa. Se existir relao linear exata entre variveis, no poderemos sequer
estimar os coeficientes ou seus erros-padro.
x 2
j .
(e) Incerta. No h mal nenhum se a colinearidade observada persistir nos valores das
amostras futuras. Mas se esse no for o caso ou se o objetivo for uma estimao
precisa, ento a multicolinearidade pode ser um problema.
(h) Falsa. Normalmente se obtm R elevados em modelos com muita correlao entre
os regressores.
(i) Verdadeira. Como se pode ver pela frmula dada em (c), se a variabilidade de X3
2
for pequena, R j tender a ser pequeno e no caso extremo de no haver variabilidade
em X3, x
2
3i ser igual a zero, caso em que a varincia de 3 estimado ser infinita.
10.13 (a) Reportando-nos Equao (7.11.15), vemos que se todos os r forem zero,
R ser zero, ipso facto.
2r 2 (1 r ) 2r 2
R =
2
= .
(1 r 2 ) 1+ r
r (1 r ) r
(b) Pela Equao (7.11.1), pode-se ver, por exemplo, que r12.3 = = .
1 r 2
1+ r
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10.15 (a) Se houver multicolinearidade perfeita, (XX) passa a ser uma matriz
singular e, portanto, no pode ser invertida. Conseqentemente, os coeficientes e seus
erros-padro so indefinidos.
(b) Pode-se testar isso examinado o determinante de (XX). Se for zero, existe
colinearidade perfeita.
10.16 (a) Como no caso de colinearidade perfeita a matriz (XX) no pode ser
invertida, a de varincia-covarincia indefinida.
10.19 (a) Como o terceiro regressor (Mt Mt-1) uma combinao linear de Mt e Mt-1 ,
poder haver um problema de colinearidade.
GNPt = 1 + ( 2 + 4 ) M t + ( 3 4 ) M t 1 + ui = 1 + 1M t + 2 M t 1 + ui , poderemos
estimar singularmente 1, 1 e 2, mas no 2, 3 e 4.
(c) Todos os parmetros poderiam ser estimados singularmente, pois no haveria mais
colinearidade perfeita.
( x2i x3i ) 2
10.20 Recorde que r =
2
.
( x22i )( x32i )
23
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Logo, ( x x ) = r ( x22i )( x32i ) .
2 i 3i
2 2
23
(b) A priori, espera-se que o impacto do capital sobre a produo seja positivo, o que
no ocorre nesse caso devido provavelmente colinearidade nos regressores.
(c) uma funo de produo tipo Cobb-Douglas, pois podemos escrever o modelo
dado como Y = 1 K 2 L 3 e 4 t .
modelos, precisamos das somas dos quadrados dos resduos restritas e irrestritas para
usar a verso R desse teste.
10.25 (a), (b), (c) & (d) Em essncia, todas essas opinies nos dizem que a
multicolinearidade , muito freqentemente, um problema de deficincia de dados.
Problemas
Yi = 20,995 + 0,710Zi
ep = (6,341) (0,066)
t = (3,311) (10,771) r = 0,906
3 = (0,75)(0,710) = 0,532. Portanto, 4 = (0,625)(0,710) = 0,444.
(b) A varivel Z pode ser interpretada como uma mdia ponderada dos diferentes tipos
de renda.
A regresso auxiliar de LPIB contra LIPC mostra que h alta correlao entre as duas
variveis, indicando a possibilidade de haver problemas de colinearidade com os
dados.
(d) No caso, a melhor soluo seria expressar as importaes e o PIB em termos reais
dividindo-os pelo IPC, conforme observado no captulo do livro-texto. Os resultados do
Eviews 3 so os seguintes:
Varivel dependente:
LOG(IMPORTA / IPC)
Mtodo: Mnimos quadrados
Data: 11/11/2000 Hora: 10:26
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Amostra: 1970 1998
Observaes includas:
29
Varivel Coeficiente Erro-padro Estatstica-t Probabilidade
C 0,106099 0,494911 0,214380 0,8319
LOG(PIB/IPC) 2,162167 0,135693 15,93429 0,0000
R-quadrado 0,903881
10.28 (a) Como h cinco variveis explanatrias, haver cinco regresses auxiliares.
Por economia de espao, apresentamos a seguir somente os valores R obtidos com
essas regresses:
Varivel
R
dependente
X2 0,9846
X3 0,9482
X4 0,9872
X5 0,9889
X6 0,9927
(c) provvel que haja na equao excesso de variveis para substitutos da carne de
frango. Poderamos usar como regressores apenas o preo composto dos substitutos, o
da carne de frango e a renda disponvel, o que j foi feito no Exerccio 7.19.
(d) Criar uma varivel de preo relativo, digamos, o preo da carne bovina dividido
pelo da suna, poderia amenizar o problema da colinearidade.
10.29 (a) & (c) Pelo exame dos coeficientes de correlao entre as possveis variveis
explanatrias, observamos uma correlao muito alta entre o IPC geral e o IPC de
carros novos (0,997), e entre este e a RPD (0,991). Os outros so relativamente altos,
mas podem permanecer no modelo por razes tericas. A RPD tambm est
estreitamente ligada ao nvel de emprego, e a correlao entre as duas 0,972.
Podemos, portanto, excluir o IPC geral e a RPD e estimar o seguinte modelo:
Varivel dependente: LY
Mtodo: Mnimos quadrados
Como mostra a tabela, as correlaes aos pares, ou simples, variam desde valores
muito baixos (-0,0409 entre GM e GMO, por exemplo) a valores comparativamente
altos (0,8812 entre Escolaridade e Taxa, por exemplo).
Amostra: 1 35
Observaes includas:
35
Varivel Coeficiente Erro-padro Estatstica-t Probabilidade
C 1904,578 251,9333 7,559849 0,0000
TAXA -93,75255 47,14500 -1,988600 0,0574
GE 0,000225 0,038255 0,005894 0,9953
GMO -0,214966 0,097939 -2,194896 0,0373
NEIN 0,157208 0,516406 0,304427 0,7632
ATIVOS 0,015572 0,025405 0,612970 0,5452
IDADE -0,348636 3,722331 -0,093661 0,9261
Dependentes 20,72803 16,88047 1,227930 0,2305
Escolaridade 37,32563 22,66520 1,646826 0,1116
R-quadrado 0,825555 Varivel dependente mdia 2137,086
Desvio-padro da varivel
R-quadrado ajustado 0,771879 64,11542
dependente
E.P. da regresso 30,62279 Critrio info Akaike 9,898400
Soma quad resduos 24381,63 Critrio Schwarz 10,29835
Verossimilhana Log -164,2220 Estatstica-F 15,38050
Estat Durbin-Watson 1,779824 Probabilidade (Estatstica-F) 0,000000
(c) Por economia de espao, calcularemos FIV e TOL somente da taxa do regressor.
Regressando TAXA contra todos os outros regressores, obtemos um valor R de
0,9416. Pela Equao (7.5.6) podemos verificar que o FIV para esse regressor cerca
de 2224, e o inverso desse nmero a TOL, que vale 0,00045.
(d) Nem todas as variveis do modelo so necessrias. Uma ou mais podem ser
excludas aplicando os testes de diagnstico apresentados no livro, ou podemos usar
uma combinao linear delas.
(e) Embora os resultados sejam variados, talvez haja alguma evidncia de que valha a
pena experimentar o imposto de renda negativo.
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10.31 Este para ser feito em aula.
Varivel dependente: Y
Mtodo: Mnimos quadrados
Amostra: 1947 1961
Observaes includas:
15
Varivel Coeficiente Erro-padro Estatstica-t Probabilidade
C -3017441 939728,1 -3,210973 0,0124
X1 -20,51082 87,09740 -0,235493 0,8197
X2 -0,027334 0,033175 -0,823945 0,4338
X3 -1,952293 0,476701 -4,095429 0,0035
X4 -0,958239 0,216227 -4,431634 0,0022
X5 0,051340 0,233968 0,219430 0,8318
X6 1585,156 482,6832 3,284049 0,0111
R-quadrado 0,9955
R-quadrado ajustado 0,9921
E.P. da regresso 295,6219
Soma quad resduos 699138,2
Estatstica-F 295,7710
Estat Durbin-Watson 2,492491
Comparando esses resultados com os da Seo 10.10, vemos que a excluso de uma
nica observao pode alterar as magnitudes e/ou os sinais de alguns dos coeficientes,
o que fundamenta o argumento apresentado no texto de que, em casos de alta
colinearidade, pequenas mudanas nos dados podem levar a diferenas considerveis
nos resultados.