Facet Apostila Fundamental Frações e Porcentagem Conteudo
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MATEMTICA APLICADA
APOSTILA 01
FUNDAMENTAL
15
(quinze, cento e quatro avos) dos entrevistados no responderam.
104
39 50 89
+ = (oitenta e nove, cento e quatro avos) dos entrevistados deram
104 104 104
algum tipo de resposta.
H outra forma de apresentar o resultado da pesquisa acima. muito utilizada em jornais e TV.
39
trinta e nove entre cento e quatro pessoas responderam SIM.
104
50
cinqenta entre cento e quatro pessoas responderam NO.
104
15
. quinze entre cento e quatro pessoas no responderam pesquisa.
104
OBSERVAO: Esse resultado, geralmente, apresentado com o grfico de setores.
a) Um time de futebol arrumou os seus 42 jogadores em 6 grupos iguais para treinar. Jogaram de camisa branca, dois sextos.
Jogaram de camisas pretas, trs sextos. O restante no usou camisa.
3 5
b) Numa central de correios do Rio de Janeiro, das cartas vo para a Bahia, vo para Minas Gerais e as
10 10
restantes ficam no Rio.
1 3
c) Uma caixa tinha 45 bombons. Joo comeu dos bombons. Pedro comeu dos bombons da mesma caixa.
9 9
2
d) Um comerciante comprou 135 caixas com 1 dzia de ovos em cada caixa. No caminho das caixas caram e
3
os ovos quebraram.
Vamos trabalhar agora com a parte representada e descobrir qual a quantidade total do inteiro.
Ainda sero usadas as representaes grficas.
7 7 7
1
- Que quantidade de moedas representa?_________
3
2
- Que quantidade de moedas representam?_________
3
- Qual o total de moedas de Mauro?___________
3 3 3 3 3 3
1
- Qual a quantidade de do total das canetas?__________
6
3
- Qual a quantidade de do total das canetas?__________
6
4
- Qual a quantidade de do total das canetas?__________
6
5
- Qual a quantidade de do total das canetas?__________
6
- Qual o total de canetas?_________________
Matemtica Aplicada - https://ranildolopes.wordpress.com/ - Prof. Ranildo Lopes - FACET 4
APLICAO CONTEXTUALIZADA
1) Problemas:
b) Marluce tem 45 mas. Seu vizinho tem o dobro de Marluce mais 15 unidades. Quantas mas eles tm
juntos?
c) A tera parte da idade de Slvia 12 anos. Considerando que estamos em 1998. Em que ano Slvia nasceu?
d) Leonardo tem 46 anos. Seu filho tem a metade. H 15 anos atrs qual a idade de cada um?
e) Jos morreu em 1976 com 59 anos. Em 1942 quantos anos ele tinha?
f) Um homem nasceu em 1881. Viveu 30 anos na Europa, 7 anos na sia e viveu na Amrica o dobro de anos
que viveu na sia, morrendo em seguida. Em que ano este homem morreu?
I - DIFERENAS
a) A soma de dois nmeros 35. Um deles maior que o outro 5 unidades. Quanto vale cada nmero?
SOLUO: Se um deles maior 5 unidades que o outro porque se no houvesse esta diferena a soma dos dois
seria 35 5=30. Logo cada um seria 30 : 2=15. Logo o menor ser 15 e o maior ser 15 + 5=20.
b) A soma de dois nmeros 230 e a diferena entre eles 62. Quais so os nmeros?
c) A soma de dois nmeros 645 e a diferena entre eles 121. Qual o maior nmero?
d) Quando Bete nasceu, Zeca tinha 3 anos. Hoje, a soma das idades deles d 21 anos. Quantos anos tem Bete?
E Zeca?
SOLUO: Zeca 3 anos mais velha que Bete. Se no houvesse esta diferena a soma das idades seria 21-3=18.
E cada um teria 18 : 2=9. Logo Bete tem 9 anos e Zeca tem 9 + 3=12 anos.
e) Nlson tem 3 anos a mais do que Juca e 7 anos a mais do que Waldir. A soma das idades dos trs 134 anos.
Qual a idade de cada um?
SOLUO: Nlson tem 7 anos a mais que Waldir. Juca tem 4 anos a mais que Waldir. Para que no haja esta
diferena, tiramos 134-7=127-4=123. Se a soma das idades for 123, ento teremos cada um com 123:3=41.
As idades seriam ento: Waldir 41 anos. Juca 41+4=45 anos e Nlson 41+7=48 anos.
a) A diferena entre dois nmeros 186. O maior 7 vezes o menor. Quais so os nmeros?
SOLUO: Vejamos primeiro este exemplo: o nmero 14 sete vezes o nmero 2. A diferena entre eles 12. 2(o
menor) a sexta parte de 12.
Logo no nosso problema o menor deve ser a sexta parte da diferena. 186:6=31. Ento o menor ser 31 e o maior
ser 7 x 31=217.
Os nmeros pares, isto , nmeros em que as unidades simples so 0, 2, 4, 6 ou 8, so sempre divisveis por 2.
EX1: 384 dividido por 2 192 com resto 0. Logo 384 mltiplo de 2.
EX2: 335.276 dividido por 2 167.638 com resto 0. Logo 335.276 mltiplo de 2.
Os nmeros divisveis por 3 apresentam como soma dos valores absolutos de seus algarismos um nmero
divisvel por 3.
EX1: 123 divisvel por 3 porque 1+2+3=6 e 6 divisvel por 3.
EX2: 1.348 no divisvel por 3 porque 1+3+4+8=16 no divisvel por 3.
Um procedimento prtico para nmeros com mais de 2 algarismos, consiste em separar as ordens das
dezenas e das unidades simples e verificar se o nmero formado divisvel por 4. Se for ento o nmero
inicial tambm ser.
EX1: 324 divisvel por 4, pois separando como explicado, temos: 324 e como 24 mltiplo de 4 (6x4=24), 324
tambm ser.
EX2: 67.216 divisvel por 4, pois separando temos: 67.216 e 16 mltiplo de 4(4x4=16). Logo 67.216 ser
mltiplo de 4.
Outra forma de identificarmos nmeros divisveis por 4 verificar se o nmero possui a dezena simples e a
unidades simples iguais a 00.
V) Divisibilidade por 5:
NMEROS PRIMOS
Repare que em alguns casos dos exerccios que voc fez anteriormente s apareceram 2 divisores: D(3), D(5),
D(11), D(17) e D(23). Estes nmeros com apenas dois divisores so chamados nmeros primos.
Evidentemente existem infinitos nmeros primos.
Outra observao importante foi a presena em todos os casos acima do divisor 1. Em todos os conjuntos de
divisores o nmero 1 aparece, mas ele no considerado um nmero primo.
Voc sabia que na aritmtica existe uma afirmao verdadeira que diz: Todo nmero pode ser decomposto de
forma nica em um produto de fatores primos?
Esta afirmao quer dizer que podemos escrever qualquer nmero atravs de multiplicaes de nmeros primos.
Veja os exemplos.
24=2x2x2x3,
66=2x3x11,
120=2x2x2x3x5,
121=11x11.
Quando escrevemos um nmero como um produto com o maior nmero de fatores possveis, na verdade
estaremos escrevendo a decomposio em fatores primos.
Represente cada nmero abaixo com um produto, mas somente com nmeros primos.
a) 16 = ____________________________________
b) 20 = ____________________________________
c) 25 = _____________________________________
Ao decompor um nmero em fatores primos, voc dever observar os critrios de divisibilidade para escolher o
primeiro nmero primo como divisor.
O clculo dos divisores de um nmero foi estudado anteriormente de uma forma muito simples: encontrando as
multiplicaes.
A dificuldade encontrar os divisores de nmeros maiores. Precisamos ter certeza de que no esquecemos de
nenhum..
EXEMPLO. Encontrar os divisores de 360. Essa decomposio j est feita. Um procedimento muito prtico
adicionar uma linha vertical ao lado dos nmeros primos e colocar o divisor de todos, 1, no topo. Cada fator primo
ser multiplicado por todos os outros da linha acima dele. Veja.
1
360 2 2 (resultado de 2 x 1)
180 2 4 (resultado de 2 x 2. Repare que no preciso retornar ao 1)
90 2 8 (resultado de 2 x 4)
45 3 3 6 12 24 (resultados de 3 x 1, 3 x 2, 3 x 4, 3 x 8)
15 3 9 18 36 72 (resultados de 3 x 3, 3 x 6, 3 x 12, 3 x 24)
5 5 5 10 20 40 15 30 60 120 45 90 150 - 360
1
D(360) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 150, 360.
Repare que so muitos divisores e poderamos esquecer algum na hora de lista-los. Como saber, antes de calcul-
los, quantos seriam? possvel, mas precisamos antes entender uma forma de representar as multiplicaes. A
potncia.
Muita vezes a decomposio mostra uma fatorao como 2 x 2 x 2 x 2 ou 3 x 3. Em Matemtica usual representar essas
multiplicaes da seguinte forma:
a) 2 x 2 x 2 x 2 = 24 . L-se dois elevado quarta potncia. Ateno! Esse resultado no 8 e sim, 16. Muito
cuidado.
b) 3 x 3 = 32 . L-se trs elevado segunda potncia ou trs elevado ao quadrado. Esse resultado 9.
Voltando decomposio em fatores primos de 360, podemos escrever na forma de potncia como:
360 = 23 x 32 x 5
O procedimento que permite calcular os divisores consiste em somar 1 a cada potncia e multiplicar esses
resultados. No caso do fator 5, lembre que sua potncia 1.
Multiplicando as somas, temos: (3+1) x (2+1) x (1+1) = 4 x 3 x 2 = 24 divisores. Confira com os divisores que voc
encontrou.
O mximo divisor comum representado por MDC o maior nmero que pode ser divisor de um ou mais nmero.
Mais uma vez o mtodo de clculo desse MDC pode ser facilitado para nmeros grande atravs da decomposio
em fatores primos. Observe.
EXEMPLO. Calcular o MDC entre 24 e 36. Vamos decompor os nmeros em fatores primos e comparar os
resultados.
24 2 36 2
12 2 18 2
6 2 9 3
3 3 3 3
1 24 = 23 x 3 1 36 = 2 2 x 3
Comparando as decomposies vemos que os termos que podem dividir ambos os nmeros 22 x 3. Repare que
23 8 e ele no divide 36. Logo o MDC 22 x 3 = 12.
O MDC entre dois ou mais nmeros ser formado pela decomposio que satisfizer a todos os casos. O fator deve
aparecer em todas as fatoraes e com as menores potncias.
45 3 60 2 75 3
15 3 30 2 25 5
5 5 15 3 5 5
1 5 5 1
45 = 32 x 5 1 60 = 22 x 3 x 5 75 = 3 x 52
Nesse caso os nicos fatores comuns foram 3 e 5. O fator 2 s apareceu como divisor de 60. Logo o MDC (45, 60,
75) = 3 x 5 = 15.
O mnimo mltiplo comum entre dois ou mais nmeros o menor valor que pode ser divisvel por esses nmeros.
Repare que no podemos encontrar o maior, pois os mltiplos so infinitos.
Um procedimento muito prtico para encontrar o MMC e o MDC entre dois ou mais nmeros consiste na
decomposio simultnea (ao mesmo tempo). Veja.
EXEMPLO. Encontrar o MMC e o MDC entre 90 e 60. Faremos a decomposio em fatores primos dos nmeros ao
mesmo tempo. Caso no seja possvel dividir algum nmero pelo mesmo divisor primo, ele ser repetido nessa
linha.
OBSERVAO. H outros mtodos, que no sero estudados agora, para encontrar o MDC. Utilize aquele o
que preferir.
A VIAGEM
Carlos, Pedro e Marcos so amigos h muito tempo e adoram viajar com suas famlias.
Carlos tem 25 anos, 3 filhos e trabalha com informtica. Pedro tem 31 anos, 2 filhos e engenheiro civil. Marcos
tem 27 anos, 2 filhos e advogado.
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No feriado da Semana Santa combinaram uma viagem a um hotel fazenda distante 250 km do Rio de Janeiro .
Marcaram encontro num posto de gasolina onde Carlos ps 50 litros de combustvel, Pedro abasteceu seu carro
com 60 litros e Marcos com 60 litros tambm. A estrada estava boa e resolveram parar no quilmetro 100 para
fazer um lanche.
b) Voc poderia dizer quantos anos tinha Carlos quando nasceu seu 1 filho, sabendo a velocidade de seu
carro?_________________ Explique: ______________________
___________________________________________________________________
c) Se Carlos tem 3 filhos aos 25 anos, podemos afirmar que com 50 anos ele ter 6 filhos?___________________
Explique:___________________________________
___________________________________________________________________
d) Se a velocidade do carro de Carlos continuar sempre de 70 km/h, aps 2 horas ele percorrer quantos
quilmetros?______________xplique:_______________________________________________________
g) Podemos afirmar que um carro desenvolvendo uma velocidade de 100 km/h percorre
200km em 2 horas? ______________ Explique: _____________________________
____________________________________________________________________
Voc deve ter percebido que saber a idade do motorista no ajuda em nada no clculo de velocidade, de
gasto de combustvel, etc.
As informaes sobre o consumo de combustvel e a distncia percorrida esto interligadas, isto , se sabemos
quantos quilmetros o carro gasta com um litro, sabemos quanto percorrer com 2 litros, com 3 litros, etc.
Em Matemtica dizemos que estas medidas so proporcionais. Observe as tabelas abaixo e complete as
informaes:
TABELA 1
NOME VELOCIDADE PERCORRE EM PERCORRE EM PERCORRE EM
1h 2h 3h
CARLOS 70 km/h 70 km
PEDRO 100 km/h 100 km
MARCOS 120 km/h 120 km
TABELA 2
NOME CONSUMO PERCORRE COM PERCORRE PERCORRE
1 litro COM 2 litros COM 3 litros
CARLOS 10 km por litro 70 km
PEDRO 10 km por litro 100 km
MARCOS 12 km por litro 120 km
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Podemos representar matematicamente uma situao de proporcionalidade utilizando a notao de fraes. Veja
alguns exemplos:
Um carro gasta 1 litro de combustvel para cada 12 km. Quantos quilmetros percorrer este carro com 5
litros?
12 1
ESPAO PERCORRIDO
12 km
CONSUMO
1 litro
? 5
? 5 litros
Temos pela equivalncia 12 x 5 = 1 x . Logo o valor desconhecido 60. O carro ento percorrer 60 km
com 5 litros.
A FESTA
no de convidados no de docinhos
Festa de Gilcinia 40 200
Festa de Claudineide 60 x
Se aumentarmos o nmero de convidados, ento o nmero de docinhos tambm deve aumentar. Logo, essas duas
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grandezas envolvidas se relacionam de maneira diretamente proporcional. Diretamente, porque quando uma
aumenta, a outra tambm aumenta; quando uma diminui, a outra tambm diminui.
Por isso, a proporo ficar assim:
40 200 2 200
ou ainda
60 x 3 x
600
Donde tiramos 2x = 600 o que implica x 300
2
Logo, a quantidade de docinhos que Claudineide deve providenciar 300.
c) Tomando por base a festa de Claudineide, com 60 convidados e que pagou-se 4 pessoas no preparo das comidas, que
gastaram 6 horas no preparo, pergunta-se:
- Quantas pessoas devero ser contratadas para fazer a mesma quantidade de comidas, na metade do tempo ou
seja 3 horas?
Aqui, observamos que as duas grandezas envolvidas se relacionam de maneira inversamente proporcional.
Inversamente, porque quando uma aumenta, a outra dever diminuir ( o mutiro, mais pessoas trabalhando para
o menor tempo de execuo); quando uma diminui, a outra aumenta.
Por isso, a proporo ficar assim:
4 3
x 6
24
Donde tiramos 3x = 4 . 6 o que implica x 8
3
Logo, sero necessrias 8 pessoas.
DECIMAIS E PORCENTAGENS
A frao ou nmero racional j foi estudada de vrias formas e localizada na reta numrica. Foi visto que a frao
6
(seis quintos) representa o nmero 1,2 , pois, na verdade o trao de frao um operador de diviso.
5
No dia-a-dia falamos 1,2 como um vrgula dois. Mas possvel decompor este nmero em ordens. Em que ordem
ficaria o algarismo 1? Em que ordem ficaria o algarismo 2?
As ordens conhecidas e trabalhadas at agora iniciavam nas unidades simples, mas o nmero 1,2 mostra uma
vrgula aps as unidades simples. O algarismo 2 ocupar uma ordem menor que as unidades: a ordem dos
dcimos. Veja o quadro: