Introdução A Fisica Quantica - Carol PDF
Introdução A Fisica Quantica - Carol PDF
Introdução A Fisica Quantica - Carol PDF
Captulo 1
Panorama historico:
a era pr
e-qu
antica
1.1 Introdu
c
ao
1
2 1 Panorama historico: a era pre-quantica
em moleculas, como se faz hoje , cada uma dessas partculas deveria conter
um atomo de hidrogenio e um atomo de oxigenio. A receita para a proporcao
5,5:1 seria entao explicada da seguinte maneira: o atomo de oxigenio pesa
5,5 vezes mais que o de hidrogenio.
As massas atomicas obtidas dessa forma por Dalton estao na tabela 1. As
massas atomicas de Dalton estao todas erradas e nao apenas pelas limitacoes
em seus aparelhos de medida; ele nao conhecia a proporcao correta de atomos
nas moleculas que formavam os compostos qumicos. Por exemplo, ele supos
que a molecula de agua era feita por um atomo de hidrogenio e um de
oxigenio, embora saibamos hoje que a proporcao correta e dada pela ja
famosa formula H2 O.
Como podemos, hoje, analisar os 5,5 g de oxigenio obtidos por Dalton? Sig-
nifica que o atomo de oxigenio e 5,5 vezes mais pesado que dois atomos de
hidrogenio, e portanto, 11 vezes mais pesado que um atomo de hidrogenio.
Considerando-se as limitacoes, o numero 11 pode ser considerado significa-
tivamente proximo de 16. A tabela 2 da as proporcoes usadas por Dalton e
estao comparadas com as formulas como as conhecemos hoje.
O proximo passo fundamental na direcao da Teoria Atomica foi dado por J.
L. Gay-Lussac (1778-1850). Ele percebeu que de forma semelhante ao que
acontece com os elementos, que se combinam em proporcoes bem definidas de
massas, os gases tambem se combinam em proporcoes bem definidas de vol-
ume (sob pressao e temperatura constantes). Por exemplo, dois volumes de
hidrogenio, combinados com um volume de oxigenio, produzem dois volumes
de vapor dagua. Um volume de nitrogenio, combinado com tres volumes de
hidrogenio, produzem, de novo, dois volumes de amonia. A explicacao desses
fatos foi dada por A. Avogadro (1776-1856), que deu um passo decisivo para
bases experimentalmente testaveis da teoria atomica, como veremos no que
segue.
Em 1811, Avogadro fez uma hipotese fundamental: volumes iguais de qual-
quer gas, numa dada temperatura e pressao, sempre contem o mesmo n umero
de partculas do gas. A essas partculas, Avogadro deu o nome de moleculas.
Note que o fato de que dois litros de hidrogenio sempre se combinam com um
litro de oxigenio para formar a agua, sugere imediatamente que a partcula
agua contem duas vezes mais hidrogenio do que oxigenio. Mas entao, por
que duas porcoes iguais de hidrogenio, combinadas com uma de oxigenio,
produzem duas porcoes de agua e nao uma so? Isto significa que o produto
final contera duas vezes mais oxigenio e duas vezes mais hidrogenio que os
volumes iniciais. Por que? Avogadro logo percebeu que as moleculas de
oxigenio continham 2 a tomos cada uma, e da mesma forma, as moleculas de
hidrogenio. Assim, e devido a esse brilhante raciocnio de Avogadro, temos
hoje as formulas de reacoes qumicas
2 H2 + O2 2 H 2 O
N2 + 3 H2 2 NH3
6 1 Panorama historico: a era pre-quantica
que foram expulsos pela colisao com os raios catodicos. A descoberta dos
raios X foi a primeira descoberta de uma forma de radiacao, e deixou os
fsicos alertas para a questao: seria essa a u
nica forma de radiacao?
Nao era. Em 1896, A. H. Becquerel (1852-1908) explorava, na Ecole Poly-
technique, a possibilidade de que o sol poderia provocar a emissao de raios
X pelos cristais. O metodo por ele utilizado era o seguinte: colocavam-se
varios cristais perto de placas fotograficas envoltas em papel escuro, tendo
uma tela composta de fios de cobre entre os dois.
O que Becquerel esperava ver? Se os raios de sol causassem a emissao de raios
X pelos cristais, estes penetrariam o papel escuro no qual a placa fotografica
estava envolta, mas nao penetrariam os fios de cobre da tela e ele poderia
ver a fotografia da tela na placa fotografica. Temos agora uma ilustracao
interessante da ajuda do acaso no progresso da ciencia: no dia em que a
experiencia deveria ser feita, nao havia sol! Entao, Becquerel colocou a tela
na gaveta e deixou o cristal descoberto sobre a mesa. Quando voltou, alguns
dias depois, para retomar a placa fotografica, havia nela a impressao perfeita
da tela de cobre! A u nica conclusao possvel era entao que a radiacao emitida
pelo cristal (que era um cristal de uranio) nao foi provocada pelo sol, mas
deveria ser uma propriedade do proprio cristal. Para confirmar essa hipotese,
ele repetiu a experiencia colocando o cristal e a placa fotografica dentro de
uma caixa blindada e obteve o mesmo resultado.
Em 1898, Marie (1867-1934) e Pierre Curie (1859-1906) descobrem outros
elementos que produzem os mesmos raios catodicos, por exemplo, o radio.
Observaram que a producao de radiacao desse elemento era muito mais efi-
ciente que a do uranio, e por isso, o fenomeno foi batizado de radioatividade.
Afinal, o que e entao a radioatividade? E a radiacao produzida por diver-
sos elementos. Quantos tipos existem? Apos a descoberta do fenomeno, a
pesquisa em torno do mesmo foi intensa. Rutherford, que mais tarde viria
a descobrir os detalhes do atomo como conhecemos hoje, entao no Canada,
identificou dois tipos de raio, os quais ele batizou de e . O raio tinha
alto poder de penetracao, e o raio , em contrapartida, pequeno poder de
penetracao. Hoje, sabemos que os raios sao eletrons, e os raios sao
nucleos de He. Na verdade, logo em seguida Becquerel descobriu que os raios
, ao serem defletidos em campos eletricos, mostravam ter carga negativa
e tinham uma velocidade muito maior do que a dos raios catodicos hoje
sabemos porque: os raios sao eletrons que saem de dentro do n ucleo, e
portanto com muito mais energia. Rutherford, por outro lado, mostra que
a relacao carga-massa do raio era parecida com a do hidrogenio e que sua
carga era duas vezes maior do que a do hidrogenio. Descobriu, portanto, o
1.2 Sobre a constituicao da materia 9
primeiro n
ucleo mais pesado que o hidrogenio o helio. Mas vamos deixar a
descoberta dos atomos para mais adiante.
1.2.2 An
alise quantitativa da radioatividade
O decaimento radioativo e um processo aleatorio. Qualquer partcula den-
tro de um atomo tem uma certa probabilidade de decair espontaneamente
por unidade de tempo1 . A probabilidade de decaimento e independente da
vida previa da partcula. Se N (t) e o n
umero de partculas numa amostra
como funcao do tempo, entao, a taxa de decaimento e proporcional a N .
Matematicamente, temos a seguinte equacao:
dN (t)
= N. (1.1)
dt
1
Note que aqui, pela primeira vez, aparece de forma natural um ingrediente que mais
tarde vai se mostrar fundamental na elaboraca o de uma Teoria Qu
antica: o car
ater prob-
abilstico da descrica
o da natureza, em geral.
c
FIGURA 3 - Marie, Pierre e sua filha Ir`ene.
The Science Museum
10 1 Panorama historico: a era pre-quantica
N (t) = N0 et , (1.2)
onde N0 e o n
umero inicial de partculas. O n
umero de partculas de um dado
elemento decai exponencialmente numa taxa que depende daquele particular
elemento. Define-se, em geral, a vida media de um elemento como
1
= . (1.3)
Se tivermos uma amostra com muitas partculas, 1/ e delas (cerca de 37,8%)
nao terao decado apos um tempo . Em Fsica Nuclear costuma-se trabalhar
com o conceito de vida media, que e o tempo depois do qual a amostra se
reduziu a` metade. Podemos relacionar essas duas quantidades assim
1
et1/2 / = t1/2 = ln 2. (1.4)
2
Decaimento
Foram classificadas como sendo produtos do decaimento que nao tinham
poder de penetracao na materia as partculas sao nucleos e interagem
fortemente com a materia, entao sao rapidamente absorvidos. A razao pela
qual a partcula escapa do n
ucleo com muito maior frequencia do que outros
nucleos ate menores, como o deuterio, por exemplo e sua excepcional
energia de ligacao (E 28 MeV, ou 7 MeV por nucleon), que pode ser
comparada com o deuteron, Ed 2 MeV. A maneira microscopica de explicar
esse decaimento e atraves da Teoria Quantica, que veremos mais adiante. O
fenomeno e conhecido como tunelamento.
O decaimento decresce o n umero atomico de massa A por 4 unidades.
Portanto, os produtos de uma cadeia de decaimentos vao ter produtos
cujas massas atomicas diferem por 4 unidades. Existem 4 series radioativas:
1a s
erie Composta pelos n
ucleos cujo n
umero atomico e divisvel
por 4 e que, ao decarem, perdem uma partcula e
ficam na mesma serie.
2a s
erie Nucleos com n
umero atomico dado por A = 4n + 1.
3 s
a
erie Nucleos com n
umero atomico dado por A = 4n + 2.
4 s
a
erie Nucleos com n
umero atomico dado por A = 4n + 3.
1.2 Sobre a constituicao da materia 11
Na tabela 3, sao exemplificadas cada uma dessas series. Note que o Nept
unio
ja nao pode mais ser encontrado na natureza, uma vez que a vida o Universo
e cerca de 1010 anos! Pode, porem, ser fabricado em laboratorio.
Alguns n ucleos podem se desintegrar de dois modos diferentes. Por exemplo,
o bismuto (212
83 Bi) desintegra-se 66,3% emitindo radia cao e 33,7% emitindo
partculas . A cadeia de desintegracao ramifica-se assim
212 208
99 Po 82 Pb
//
84
66,3%ttt
t
tt
tt
t
212
83 Bi JJ
JJ33,7%
JJ
JJJ
%%
208 208
81 Ti 82 Pb
//
ln 2 0, 693
= =
T1/2 5 3.600 s
= 3, 85 105 seg1
p2 p2
Q= + ,
2MTh 2m
p2 p2
m 4
Q= 1+ = 1+ ,
2m MTh 2m A4
ou,
p2 Q(A 4)
= .
2m A
No problema em questao, temos
p2 4, 28 . 234
= 4, 21 MeV.
2m 238
Rea
co
es nucleares
Como escrevemos, em geral, uma equacao que envolve n ucleos atomicos? A
equacao deve ser balanceada no sentido que a soma dos ndices inferiores
(numeros atomicos) deve ser a mesma nos dois lados da equacao; a soma dos
ndices superiores (numeros de massa) tambem deve ser a mesma nos dois
lados da equacao. Entao, a equacao de desintegracao radioativa primaria do
radio e
226 222 4
88 Ra 86 Rn + 2 He.
Muitos processos nucleares podem ser indicados por uma notacao condensada
em que uma partcula leve, usada como projetil, e uma partcula leve, produto
da reacao, sao representadas por smbolos do n
ucleo inicial, usado como alvo,
e o n
ucleo final, produto da reacao. Os smbolos n, p, d, , e e sao usados
para representar neutrons, protons, deuterons (21 H), partculas alfa, eletrons
1.2 Sobre a constituicao da materia 13
90
80
umero de neutrons (N)
70
60
50
40
30
20
N
10
0
0 10 20 30 40 50 60
Numero de protons (Z)
1 atomos
N= mol 6, 02 1023 = 2, 66 1021 atomos.
226 mol
A constante de decaimento e
0, 693 0, 693
= = = 1, 35 1011 s1 .
T 1/2 (1620 anos)(3, 16 107 s/anos)
e o n
umero de desintegracoes por segundo em um grama de radio.
Zfinal = 92 + 6 8 2 = 82,
Afinal = 238 8 4 = 206.
1.3 O que
e eletricidade?
A observacao de que existe atracao entre substancias diferentes, quando estas
sao atritadas, conduziu, naturalmente, a` ideia de que a eletricidade nao e uma
propriedade intrnseca das substancias, mas, ao inves disso, algum tipo de
fluido, que e produzido ou transferido quando as substancias sao atritadas,
e que se espalha afetando objetos proximos. Essa imagem foi reforcada pela
descoberta por S. Gray (1667-1736) da conducao eletrica. Em 1729, ele
anunciou que a virtude eletrica (electrical virtue) de um tubo de vidro
atritado poderia ser transmitida a outros corpos, seja por contato direto ou
por um fio que conectasse os corpos, de forma a fornecer ao outro corpo a
mesma propriedade de atrair ou repelir corpos leves como o tubo de vidro.
Fica claro, entao, que o que quer que a eletricidade fosse, ela podia ser
separada do corpo que a produziu. O problema ficou mais complicado apos
a descoberta de que corpos eletrizados poderiam atrair ou repelir outros
corpos eletrizados, levantando a questao de haver dois tipos diferentes de
eletricidade.
Em 1733, o cientista frances, C. F. de F. Dufay (1698-1738), observou que
pedacos de metal, que tivessem estado em contato com um tubo de vidro
eletrizado, sofreriam repulsao, mas atrairiam pedacos de metal que tivessem
estado em contato com um pedaco de resina eletrizada. Concluiu, entao, que
existem dois tipos de eletricidade, muito diferentes uma da outra. Chamou
uma delas de eletricidade vtrea e a outra de resinosa. Mais tarde, esses dois
tipos de eletricidade foram considerados como dois tipos de fluidos eletricos,
16 1 Panorama historico: a era pre-quantica
1.3.1 Descargas el
etricas e raios cat
odicos
Como ja discutimos relativamente sobre a radioatividade, existia um tipo de
radiacao chamada de raios catodicos: ela e emitida por superfcies metalicas
quando uma voltagem era aplicada entre o catodo e o anodo.
Havia duas correntes de pensamento acerca da natureza dos raios catodicos:
uma delas acreditava que se tratava de partculas; a outra acreditava que
fossem um fenomeno ondulatorio que dependia do meio. A interferencia
ondulatoria era apoiada pela observacao de que os raios catodicos podiam
atravessar folhas de metal sem serem defletidos. O conflito sobre a dualidade
onda-partcula, como veremos, vai reaparecer 30 anos mais tarde, em outro
contexto!
Em 1885, J. H. Geissler (1815-1879) inventou uma bomba que permitia ex-
trair o ar de um tubo de vidro ate uma pressao da ordem de 104 vez a
pressao atmosferica. Essa bomba foi usada entre 1858 e 1859 numa serie de
experimentos para estudar a conducao de eletricidade em gases a pressoes
muito baixas. Esses experimentos foram feitos por J. Pl ucker (1801-1868).
No seu arranjo experimental, duas placas de metal dentro de um tubo de gas
eram conectadas atraves de fios a uma fonte de alta tensao. No entanto, esse
vacuo nao era perfeito, e os cientistas foram levados a hipoteses erroneas
sobre a natureza dos raios catodicos, como mais tarde se aprendeu tratar-se
de efeitos do gas residual dentro do tubo.
nesse ponto que J. J. Thomson entra na historia. O ingrediente funda-
E
mental que lhe permitiu a descoberta da natureza dos raios catodicos os
18 1 Panorama historico: a era pre-quantica
1.3.2 A descoberta do el
etron
Uma outra tecnica desenvolvida nesse tempo e que se mostrou fundamental
para o sucesso da experiencia de Thomson foi a tecnica necessaria para ob-
servar a deflexao dos raios catodicos num campo eletrico. Foi isso que levou,
finalmente, a` interpretacao dor raios catodicos como partculas carregadas
negativamente, os eletrons.
O aparelho desenvolvido por Thomson e chamado hoje de espectrometro de
massa. Ele usou esse aparelho para medir a razao carga-massa do eletron.
A experiencia era feita da seguinte maneira (ver figura 7): uma corrente de
partculas emitidas pelo catodo (C) atravessavam um colimador (A e B) e se
dirigiam a uma regiao onde havia um capacitor de placas paralelas (D e E) de
comprimento L, separadas por uma distancia d. Uma voltagem conhecida V
era aplicada entre as placas, criando, assim, entre as placas, o campo eletrico
~ = V
|E| . (1.5)
d
O vacuo dentro do tubo, como comentamos, era suficientemente bom para
1.3 O que e eletricidade? 19
que efeitos secundarios, devidos a colisoes com moleculas de ar, pudessem ser
desprezados.
A aceleracao do eletron na direcao y e dada por
F qE qV
a= = = , (1.6)
m m md
onde, na u ltima expressao, apenas a razao q/m e desconhecida. O tempo
que o eletron leva para atravessar as placas e
L
tp = , (1.7)
vx
onde vx e a velocidade inicial do eletron, que permanece inalterada dentro
do campo eletrico perpendicular a ela. A componente y da velocidade, vy ,
no entanto, se altera e e dada por
qV L q dvy vx
vy = atp = = . (1.8)
mdvx m VL
Note que, se Thomson conseguisse medir vx e vy , teria determinado a relacao
carga-massa.
Nao e imediato medir as velocidades vx e vy dos eletrons, pelo menos nao di-
retamente. Thomson pensou num metodo para determina-las indiretamente.
Colocou um campo magnetico constante perpendicular ao campo eletrico e
ajustou sua intensidade de forma que nao houvesse deflexao. Entao,
E V
qE = qvx B vx = = , (1.9)
B dB
o que determina vx em termos de quantidades conhecidas. A expressao para
a relacao carga-massa pode, entao, ser reescrita como
E 104
v= = = 2, 9 107 m/s!
B 3, 4 104
Note que, no exemplo acima, usamos q/m = 1, 76 1011 C/kg, 1,76 vez a
razao encontrada por Thomson. Esse e o valor conhecido hoje, com metodos
mais modernos.
1.3.3 Conseq
uencias da descoberta do el
etron
Apesar de ter medido apenas a razao carga-massa, Thomson conjeturou que
os eletrons sao constituintes fundamentais da materia. As observacoes
que o levaram a essa conclusao foram as seguintes: havia uma universal-
idade na razao q/m medida (o valor nao dependia das circunstancias nas
quais eram feitas as medidas). Por exemplo, o material do catodo nao tinha
influencia nessa razao, embora com certeza afete vx . Variar as condicoes
externas tambem nao alterava os resultados.
Mas, se os eletrons partculas negativamente carregadas sao constituintes
de toda materia, e sabendo que a materia e neutra, isso nos leva a concluir
que deve haver carga positiva tambem, como parte essencial da materia.
Fen
omenos que deram origem `
a
mec
anica qu
antica
23
24 2 Fenomenos que deram origem a` mecanica quantica
2.1 Radia
c
ao de um corpo negro
2.1.1 Defini
c
ao de um corpo negro
P = R A = T 4 A,
temos
70
2200 K
60
dR/d (W/cm2 m)
50
2000 K
40
30
1800 K
20
1600 K
10
0
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
(m)
Verificou-se que
max T = 2898 mK. (Lei do deslocamento de Wien) (2.2)
2.1.3 Descri
c
ao cl
assica
Vamos considerar uma cavidade com um pequeno orifcio como aquela imag-
ina por Kirchoff. Quando a radiacao atinge um equilbrio termico, entao
o campo eletromagnetico dentro da cavidade nao varia e a radiancia por
unidade de freq uencia, dR/d, independe da direcao dos raios de luz. O
campo de radiacao torna-se isotropico e independente da forma da cavidade
ou do material das paredes. Se isto nao fosse verdade, poderamos violar a se-
gunda da lei da termodinamica! Imagine que introduzimos um pequeno disco
na cavidade, a` mesma temperatura que as paredes da cavidade. Este disco
aqueceria se o plano do disco fosse colocado perpendicularmente a` direcao
na qual dR/d for maior.
Tambem podemos concluir, baseados apenas na segunda lei da Termodinamica,
que o campo de radiacao e independente das coordenadas espaciais. Se nao
fosse esse o caso, pequenos objetos colocados em pontos diferentes da cavi-
dade se termalizariam a temperaturas diferentes. Novamente, isto contradiz
a segunda lei da Termodinamica.
Suponhamos, entao, um corpo negro mergulhado numa fonte a` temperatura
T . Como e o processo de absorcao e emissao da radiacao pela materia das
30 2 Fenomenos que deram origem a` mecanica quantica
n()d 2 d . (2.3)
Pelo princpio de equiparticao, por sua vez, a energia media de cada onda e
kB T kB e constante de Boltzmann e T a temperatura absoluta e, portanto,
independente da freq uencia (depende apenas da amplitude da onda, asim
como a energia de um oscilador harmonico
1
). Assim, a radiancia a uma certa freq
uencia e proporcional ao produto do
n
umero de ondas vezes a energia de cada onda, isto e,
dR
d kB T 2 d . (2.4)
d
Em termos de comprimento de onda, temos
dR kB T
d 4 d , (2.5)
d
onde usamos que = c.
1
Considere um oscilador harm onico cl
assico. Sua coordenada ser
a dada por x(t) =
A cos(t + ) e, por conseguinte, seu momento, por p(t) = mx(t)
= mA sin(t + ). A
energia ser
a, ent
ao
p2 1 1 1
E= + kx2 = m 2 A2 sin2 (t + ) + kA2 cos2 (t + ) .
2m 2 2 2
p
Mas = k/m, e portanto E = A2 . Este resultado tambem e v
alido para energia das
ondas eletromagneticas cl
assicas.
32 2 Fenomenos que deram origem a` mecanica quantica
= h , (2.6)
onde h e uma constante, o que faria diminuir o peso das grandes freq
uencias
pelo seguinte motivo. Um dos argumentos que usamos para deduzir a ex-
pressao (2.5) foi que cada freq
uencia deveria contribuir com uma energia
media kB T . Vamos mergulhar um pouco mais profundamente neste resul-
tado. Como ele e obtido?
Da termodinamica, temos que a probabilidade de encontrar algum sistema
com energia , estando este u
ltimo em equilbrio com um ambiente a` tem-
2.1 Radiacao de um corpo negro 33
peratura T e2
e/kB T e/kB T
P () = R = . (2.7)
e/kB T d kB T
e/kB T d
R
0
hi = = kB T , (2.8)
kB T
= nh , n N, (2.9)
Discuss
ao sobre as conseq
uencias desse resultado
dR a eb/T
= , (Formula emprica de Wien) (2.11)
d 5
em que a e b sao constantes.
45
40 T = 2000K
35
dR/d (W/cm2 m)
30
25
20
15
10
5
00 2.0 4.0 6.0 8.0 10
(m)
O c
alculo de Planck
Entao, a potencia irradiada por area e comprimento de onda pode ser obtida
pela formula de Rayleigh-Jeans (vide Eq. (B.20) do Ap. B), introduzindo a
expressao nova de Planck para a energia media:
dR 2hc2
= 5 hc/k T . (2.17)
d (e B 1)
Esta e a formula descoberta por Planck. Ela contem o resultado classico
no limite de grandes comprimentos de onda. Nesse limite (hc/ kB T ),
podemos expandir a exponencial da forma
hc
ehc/kB T 1 + ,
kB T
e obtemos, da formula de Planck,
dR 2c
= 4 kB T,
d
que e simplesmente a formula de Rayleigh-Jeans.
Ja para pequenos comprimentos de onda, a exponencial domina o denomi-
nador, e podemos fazer a aproximacao
ehc/kB T 1 ehc/kB T ,
com o que obteremos
dR 2hc2 hc/kB T
= e . (2.18)
d 5
Se compararmos com a expressao emprica obtida por Wien, obtemos um
valor para a constante h, que ficou conhecida como constante de Planck:
hc
b= h = 6, 63 1034 Js = 4, 14 1015 eVs. (2.19)
k
Em termos de freq
uencia, a formula de Planck se escreve como
dR dR d
= . (2.20)
d d d
(O sinal negativo e apenas para que a integracao seja feita de 0 a , como
para dR/d.)
Lembrando que = c/, temos
dR 2hc2 c
= 5 h/k T
d (c/) (e B 1) 2
(2.21)
2 h 3
= 2 h/k T .
c e B 1
38 2 Fenomenos que deram origem a` mecanica quantica
A formula obtida por Planck, portanto, interpola com sucesso entre a dis-
tribuicao de Rayleigh-Jeans que funciona para comprimentos de onda grandes
e a expressao emprica de Wien adequada para comprimentos de onda
pequenos.
Podemos tambem, a partir das equacoes (2.17) e (2.21), obter as leis de
Stefan-Boltzmann (Eq. (2.1)) e do deslocamento de Wien (Eq. (2.2)), como
segue. Primeiramente, integrando (2.21), temos a radiancia total dada por
dR 2h 3
Z Z
R= d = 2 d.
0 d c 0 eh/kB T 1
Fazendo a substituicao x = h/kB T , e usando o resultado conhecido para a
integral
x3 4
Z
dx = ,
0 ex 1 15
temos
2k 4 T 4 x3 2 5 k 4 T 4
Z
R= dx =
h3 c 2 0 ex 1 15h3 c2
T 4 ,
5 k 4 )/(15h3 c2 ) = 5, 67 108 W/m2 K4 .
Para encontrar o maximo da curva de radiacao, devemos derivar (2.17) em
relacao a e igualar a zero. Fazendo isso, encontramos
2hc2 ehc/kB T
5 hc
+ 2 = 0.
5 (ehc/kB T 1) kB T ehc/kB T 1
Temos duas solucoes triviais correspondendo a = 0, . A solucao nao triv-
ial corresponde ao termo entre parenteses igual a zero. Fazendo novamente
a substituicao x = hc/kB T , encontramos
ex
x =5 ou (5 x) ex = 5,
ex 1
que e uma equacao transcendental. A solucao numerica para essa equacao e
x0 = 4, 965. Da encontramos que
hc
max T = = 2898 mK .
x0 k
2.1.5 Radia
c
ao de corpo negro c
osmica
Recentemente, a radiacao de corpo negro ganhou importancia especial. No
final dos anos 1940, George Gamow (seguido por R. Alpher e H. Bethe) inves-
tigou algumas conseq uencias do modelo Big-Bang da criacao do Universo.
Uma dessas conseq uencias foi que a radiacao remanescente da intensa ra-
diacao inicial deveria estar presente ate hoje na forma de radiacao de corpo
negro. Calculos prevendo tal campo de radiacao numa temperatura de 25 K
se mostraram inadequados. Ate 1964, nao havia sido feita nenhuma tentativa
para medir essa radiacao. Entao, A. A. Penzia e R. W. Wilson descobriram
um rudo termico forte usando um detector radio-astronomico, e a partir da
cresceu o interesse nessas medidas.
Um grupo liderado por R. H. Dicke efetuou essas medidas e percebeu ime-
diatamente o significado do rudo termico: corresponde a` radiacao de corpo
negro proveniente de uma temperatura de 2, 65 0, 09 K. Essas medidas nao
tem nada de simples, devido a outros sinais que se superpoem a este. Em
1945, Dicke teve a ideia de construir um receptor de radio que oscilava entre
o ceu e um banho de helio lquido 100 vezes por segundo. O sinal do recep-
tor e assim filtrado apenas sinais que variem com a freq uencia de 100 Hz
40 2 Fenomenos que deram origem a` mecanica quantica
placa de
metal
Luz
ultravioleta
fotons
e Corrente
sobre um deles luz ultravioleta. Ironicamente, o efeito fotoeletrico por ele de-
scoberto e considerado como uma observacao de menor importancia levou
a uma reformulacao completa no conhecimento das ondas eletromagneticas,
demonstradas no mesmo experimento.
o fato de que energia eletromagnetica,
O que e, afinal, o efeito fotoeletrico? E
seja na forma de raios X, luz ultravioleta ou luz comum incidindo sobre
metais, provoca a ejecao de eletrons de suas superfcies.
Como a teoria classica explica esse fenomeno? Ela sugere que a luz inci-
dente chega na forma de uma onda eletromagnetica. Se usarmos um feixe
uniforme, sua energia estara contida em toda frente de onda (como ocorre
com uma onda mecanica na agua, por exemplo). Quanto mais intensa a
luz, maior a amplitude dos campos E ~ eB ~ em qualquer ponto da frente de
onda, e maior sera a energia que a onda deposita no metal por segundo.
Esses campos exercem forcas sobre os eletrons do metal e, eventualmente,
conseguem arranca-los da superfcie. Vamos estimar, dentro desse contexto
classico, quanto tempo seria necessario para a liberacao de um eletron.
Para concretizar as ideias, consideremos uma radiacao com intensidade de 1
mW/m2 , que incida num metal para o qual a energia necessaria para libertar
o eletron das forcas que o prendem ao material (funcao trabalho, ) seja 4 eV.
Supondo uma distribuicao contnua e uniforme de radiacao, vamos estimar
o tempo necessario para que o eletron absorva a energia necessaria (4 eV) e
escape.
O diametro do atomo e da ordem de 0,3 nm. A energia por unidade de
tempo, P , que incide num u
nico atomo e
2 3 1 2 10 2 1 eV
P = Id = (10 Js m ) (3 10 m)
1, 6 1019 J
= 6 104 eV/s.
42 2 Fenomenos que deram origem a` mecanica quantica
K = eV0 . (2.23)
E = h. (2.26)
1 2
me vmax = eV0 = h . (2.27)
2
Esta e a equacao de Einstein sobre o efeito fotoeletrico. Note que essa equacao
permite uma verificacao independente daquela proveniente da radiacao de
corpo negro para o valor de h, uma vez que a inclinacao do grafico (linear)
V0 e simplesmente h/e.
Em 1915, Robert Andrews Millikan (1868-1953) comprovou a equacao de
Einstein, medindo V0 como funcao da freq
uencia de corte (Fig. 14). Note
44 2 Fenomenos que deram origem a` mecanica quantica
Kmax = h .
h = 4, 12 1015 eV s,
ou seja,
h
= 4, 12 1015 V s.
e
Sabendo que e = 1, 6 1019 C, obtemos para a constante de Planck
h = 6, 59 1034 J s.
h = 6, 6262 1034 J s.
= 1, 81 eV.
Area da imagem Involucro metalico ou ceramico
Pinos de conexao
Fios de ouro
Amplificador
Registrador serial
A sigla CCD quer dizer dispositivo de carga acoplada (do ingles Charge-
Coupled Device). O detector CCD e um aparelho extremamente sensvel
para a deteccao da luz. E um chip quadrado, formado por uma matriz de
sensores fotoeletricos, feitos de material semicondutor, distribudos em linhas
e colunas.
Cada um dos pontos da matriz na Fig. 15 e denominado pixel. Assim, cada
sensor do CCD dara origem a um pixel da imagem digital final. Quando um
foton atinge um desses sensores, um eletron e liberado por meio do efeito
fotoeletrico, e registrado como sendo proveniente daquele determinado pixel.
Como acabamos de ver, quanto mais fotons atingirem um certo pixel, mais
eletrons sao liberados. Um sistema eletronico registra os eletrons, somando
a quantidade total deles, sensor por sensor. Depois de um certo tempo, o
sistema tem informacoes armazenadas e um mapa que mostra como estao
distribudas espacialmente as intensidades luminosas. Temos, assim, uma
imagem digital.
2.3 O calor especfico dos solidos 47
100
CCD
Eficiencia (%) 10
Olho humano
1
0
200 300 400 500 600 700
(nm)
cv 0 6= 3N k !! (2.31)
T 0
2.4 Bremsstrahlung
A palavra Bremsstrahlung significa radiacao de freamento (do alemao brem-
sen=frear + Strahlung=radiacao). E um efeito, de uma certa forma, inverso
ao efeito fotoeletrico: quando eletrons energeticos atingem um alvo denso,
sao rapidamente desacelerados e, portanto, irradiam. O espectro resultante
e largo e contnuo, e esta ilustrado na Fig. 17.
Tanto o efeito fotoeletrico como o Bremsstrahlung so podem ocorrer na pre-
senca de alvos suficientemente pesados que possam receber energia e mo-
mento. Sabendo que a luz e composta por fotons, o que podemos dizer sobre
essa curva?
Usando a ideia sobre a natureza corpuscular da luz, comprovada pelo efeito
fotoeletrico, Einstein previu que haveria um limite inferior para o compri-
mento de onda da radiacao emitida. Imaginemos um eletron que, inicial-
mente, incide no alvo com uma energia da ordem de eV, apos ser acelerado
por uma diferenca de potencial V . Enquanto vai sendo desacelerado dentro
do alvo, ele irradia fotons. A freq
uencia maxima max (comprimento de onda
mnimo min ) ocorre quando toda a energia cinetica do eletron e irradiada
por um u nico foton:
eV
E = hmax = eV max =
h
ch
min = .
eV
2.4 Bremsstrahlung 49
Detetor
Colimador Fonte de raios X
Colimador
PSfrag replacements
Fenda divergente
PSfrag replacements
Detetor
Colimador
Colimador
Fonte de raios X
Fenda divergente
Suporte rotatorio para amostras
Comprimento de onda,
A
Camara de
ionizacao
Cristal de
calcita
Alvo de
carbono
Tubo de raio X
PSfrag replacements Molibidenio
K
A Fig. 19 mostra os primeiros dados obtidos por Compton. Ele usava fotons
obtidos de decaimento nuclear e mediu o comprimento de luz espalhada a 0 ,
45 , 90 e 135 . Os dados mostram que o comprimento de onda da luz espal-
hada varia linearmente com 1 cos , e que a constante de proporcionalidade
e 2, 4 1012 m.
Compton nao apenas demonstrou a precisao da formula (2.32), como tambem
que ela pode ser interpretada de maneira muito simples se a hipotese de
Einstein for levada a`s u ltimas conseq
uencias. Uma conseq uencia da teoria
da relatividade restrita de Einstein e que partculas que viajam na velocidade
da luz sao partculas sem massa, cujo momento e dado por
E
|~
p| = , (2.33)
c
onde E e a energia total da partcula.
Uma outra observacao experimental foi importante para as hipoteses de
Compton: o comprimento de onda da radiacao espalhada era independente
do material que constitua o alvo. Compton supos que o espalhamento era
devido a colisoes entre os fotons e os eletrons do alvo os atomos como um
todo nao participavam do processo a nao ser para receber o recuo do eletron.
2.5 Efeito Compton 53
y
p00 , 00
foton eletron
x
E0 , p0
p~e
antes depois
2.5.1 Distribui
c
ao de energia de f
otons e el
etrons
Vamos retomar a expressao (2.44) e reescreve-la da seguinte forma
4h 2 2
00 0 = sen = 2 C sen .
me c 2 2 2
Quest
oes
2.1 O grafico abaixo representa os dados obtidos em uma experiencia
de efeito fotoeletrico.
12
Potencial de Freiamento (V)
10 (100; 10)
6 (150; 6)
4 (200; 3,8)
2 (300; 1,9)
(400; 0,5)
0
100 150 200 250 300 350 400
Comprimento de onda (nm)
A partir desses dados, obtenha:
(a) a funcao trabalho do material do catodo;
(b) a freq
uencia de corte;
(c) o valor da constante de Planck (h) em unidades de eV s .
Exerccios
Radia
c
ao de corpo negro
2.1 Suponha que voce seja um corpo negro a 33 C (temperatura ex-
terna). Qual e o comprimento de onda no qual voce irradia mais
energia por unidade de comprimento de onda?
2.2 Um corpo negro irradia 180 J a 20,0 C em 8,00h; qual e a sua
area superficial?
Exerccios 57
2.3 Imagine que voce queira construir um circuito para operar a` tem-
peratura ambiente. Nesse circuito, ha um resistor de 100 , que
carrega uma corrente de 1 mA. Estime o tamanho mnimo (area
superficial) do resistor, se a sua temperatura nao deve exceder
400 K.
2.4 Estime a temperatura do nosso planeta, supondo que a Terra seja
um corpo negro ideal absorvendo energia do Sol.
(Dica: Use o valor da constante solar dada no exemplo 2.3, e
lembre-se que a area banhada pelo sol e dada pelo projecao no
plano perpendicular a` radiacao incidente.)
2.5 Na lei de deslocamento de Wien, o comprimento de onda maximo
e inversamente proporcional a T ; mas porque = c/, a freq
uencia
maxima e diretamente proporcional a T . Como resultado, a
versao em termos de freq
uencia dessa lei e
de freq
uencia.
(Dica: Use a discussao do problema anterior.)
2.7 Um corpo negro esta a` temperatura de 6000 K. Em qual compri-
mento de onda ele irradiara a maior parte da energia por unidade
de comprimento de onda? Em qual freq uencia ele irradiara a
maior parte da energia por unidade de freq uencia?
2.8 Suponha que a Terra fosse formada por rocha derretida a alguma
temperatura muito alta. Estime o tempo para que a Terra resfrie
ate 300 K. (Nota: Este calculo foi feito originalmente por Lord
Kelvin. O tempo de resfriamento encontrado por Kelvin foi sig-
nificativamente menor do que as evidencias geologicas indicavam
para a idade da Terra. Isto gerou um grande debate cientfico.
O problema foi resolvido com a descoberta de elementos radioa-
tivos na Terra. A energia liberada em decaimentos radioativos
aumenta o tempo de resfriamento.)
2.9 Use a lei de Stefan-Boltzmann para calcular a densidade de en-
ergia da radiacao cosmica de fundo (T = 2, 74 K).
58 2 Fenomenos que deram origem a` mecanica quantica
Efeito fotoel
etrico
2.10 Qual e o comprimento de onda de um foton de energia igual a
2,50 eV?
2.11 Estime a energia tpica de fotons de (a) um estacao de radio
FM, (b) um forno de micro-ondas ( 0, 01 m), (c) do sol, (d)
um pedaco de ceramica aquecida a T 1000 K e (e) dos fotons
cosmicos do universo primordial (T 3 K).
2.12 Um nvel de luz tpico para uma boa leitura corresponde a cerca
de 2 1013 fotons por segundo por centmetro quadrado. Se
estes tem um comprimento de onda medio de 550 nm, qual e a
irradiancia correspondente?
2.13 A corrente num experimento de efeito fotoeletrico decresce a zero
quando o potencial de retardo e aumentado para 1,25 V. Qual e
a velocidade maxima dos eletrons?
2.14 Um alvo e iluminado com luz ultravioleta de 240 nm. Eletrons
sao emitidos e suas energias cineticas variam desde proximo de
zero ate 12, 0 1020 J. O experimento e entao refeito, desta
vez iniciando com uma luz incidente de 500 nm, e aumentando a
frequencia ate que a fotocorrente comece a fluir. Determine qual
e esta frequencia inicial e o comprimento de onda correspondente.
2.15 O comprimento de onda correspondente ao limiar para que ocorra
o efeito fotoeletrico no alumnio e de 2.954
A. Qual e a funcao
de trabalho do Al (em eV) e qual a energia cinetica maxima dos
eletrons ejetados do Al por luz ultravioleta de comprimento de
onda de 1.500 A?
2.16 A luz de uma fonte termica (T = 6000 K) e filtrada de tal forma
que apenas fotons na regiao do visvel atingem um fotocatodo,
cuja funcao de trabalho e de 2,0 eV. Quando a intensidade da
luz que chega ao fotocatodo e 1 mW, uma corrente de 1 A
e observada no circuito que detecta os fotoeletrons. Estime a
eficiencia quantica do fotocatodo.
Espalhamento Compton
2.17 Um foton de 100 MeV colide com um proton em repouso. Calcule
a perda de energia maxima que o foton pode sofrer.
2.18 Raios X com comprimento de onda de 110 pm sao espalhados por
eletrons livres a um angulo de 20,0 . Encontre a variacao de .
Exerccios 59
Espalhamento Rutherford
61
62 3 Espalhamento Rutherford
Com essa hipotese, Rutherford obteve uma expressao detalhada para o es-
palhamento, que foi mais tarde verificada em experimentos subseq
uentes e
que nos levaram a` imagem que temos hoje do atomo.
Cargas positivas
Considerando o n ucleo como uma carga puntiforme, entao o campo
eletrico e simplesmente
~ p = Ze r .
E
40 r 2
Carga negativas
Como estamos interessados somente na regiao interna do atomo, us-
amos a lei de Gauss, que nos diz que para qualquer superfcie gaussiana,
vale
~ = qint ,
I
~ n dS
E
S 0
onde dS ~ =n dS e n e o vetor unitario normal a` superfcie S em cada
ponto. O lado esquerdo da equacao representa o fluxo de campo eletrico
atraves da superfcie arbitraria fechada S, o qual e proporcional a` carga
interna qint a` essa superfcie cargas externas a essa superfcie nao tem
nenhuma influencia sobre esse campo.
A superfcie de Gauss e esfericamente simetrica, concentrica com a
carga puntiforme Ze. A razao de termos escolhido essa superfcie e
porque sobre ela, por simetria, o campo eletrico estara apontando ra-
dialmente para fora e seu modulo e constante sobre a superfcie. Entao,
a lei de Gauss pode ser escrita na seguinte forma mais simples
I I
E~ n dS
~ = En r n dS,
S S
onde n
= r, pois, no caso em questao, devido a` nossa escolha de S,
a normal a` superfcie tem direcao radial. Assim, temos simplesmente,
64 3 Espalhamento Rutherford
PSfrag replacements
~
E R
~
E Superfcie
Gaussiana
n
ucleo
RN
~
E
nuvem
~
E eletronica
(a) (b)
que
qint
I I
~ n dS
E ~ = En dS = En 4r 2 = ,
S S 0
r e o raio da superfcie Gaussiana.
Quanto vale qint ? Essa e a carga interna a` superfcie Gaussiana escol-
hida. Ela e uma fracao da carga total Ze proporcional a` razao entre
o volume delimitado pela superfcie Gaussiana e o volume do atomo,
ou seja,
4
3
r 3 r3
qint = Ze 4 3 = Ze 3 .
3
R R
O campo fora dessa distribuicao e obviamente nulo, uma vez que o atomo e
eletricamente neutro. Entao, para essa imagem simples, onde consideramos
o nucleo puntiforme, temos que a forca sobre a partcula e tanto maior
quanto mais proxima ela chegar do n ucleo atomico.
Se, no entanto, relaxarmos a hipotese de que o n ucleo seja puntiforme, vere-
mos que a forca maxima que a partcula sente sera quando ela passar rente
ao n ucleo. Vamos, entao, atribuir um raio RN ao n
ucleo e recalcular o campo
eletrico na regiao r < RN . Da mesma forma que fizemos para o calculo das
3.1 Estimativa simples da consistencia das ideias de Rutherford 65
F~
puntiforme
tamanho finito
RN R r
~ p = Ze r r.
E 3
40 RN
Para as cargas negativas, devemos ter E = 0, ja que nao ha nenhuma carga
negativa dentro do n
ucleo.
Para a regiao fora do n
ucleo, o calculo e o mesmo feito anteriormente quando
consideramos uma carga puntiforme, pois a carga interna a` superfcie gaus-
siana e, simplesmente, a carga total do n ucleo. Podemos sintetizar os resul-
tados como segue:
r
3
se r < RN ,
RN
Ze h r i
E= r 2 3 se RN < r < R, (3.1)
40 R
0 se r > R.
Este resultado pode melhor ser visualizado no grafico da Fig. 21, onde
podemos confirmar a predicao de que a forca maxima sentida pela partcula
sera quando esta se aproxima da superfcie do nucleo1 .
1
Obs: Para sermos mais exatos no c
alculo da contribuicao das cargas negativas, de-
veramos subtrair o volume do n
ucleo do volume total do a tomo. No entanto, como
3
sabemos, RN R, e portanto o volume do n ucleo ( RN ) e completamente desprezvel
quando comparado ao volume do a tomo ( R 3 ).
66 3 Espalhamento Rutherford
3.1.3 Potencial el
etrico na superfcie do n
ucleo
Vamos determinar o potencial eletrico na superfcie de um n
ucleo de ouro, que
foi um dos alvos utilizados por Rutherford. O raio do n ucleo e RN = 6, 6 fm
e Z = 79.
Supondo o nucleo esferico, ele se comporta com ja vimos, para pontos exter-
nos, como se fosse uma carga puntiforme no centro. Assim, temos
e Z 79
V = = 1, 44 MV fm
40 RN 6, 6 fm
= 17 MV.
3.1.4 Aproxima
c axima da partcula incidente
ao m
Vamos supor que a partcula incidente tenha uma energia cinetica K0 em
pontos distantes do n ucleo longe da influencia do potencial e se mova em
direcao a ele. Quao perto essa partcula e capaz de chegar do nucleo antes
de ser brecada pela repulsao coulombiana? Sabendo-se que na experiencia
realizada K0 = 5, 0 MeV, o que podemos concluir desses dados?
Se a partcula vai frontalmente em direcao ao n
ucleo, entao, por conservacao
da energia, temos
2Ze2
K+ = K0
40 r
Se a partcula for parada pelo n ucleo, entao sua energia cinetica sera
nula, e a distancia em que isso ocorre e dada por
2Ze2
r= .
40 K0
2 79 1, 44 MeV fm
r= = 46 fm.
5, 0 MeV
Entao, Rutherford podia sondar distancia dessa ordem com o aparelho ex-
perimental de que dispunha. Para chegar mais perto do n ucleo e descobrir
se este tinha um tamanho finito, eram necessarias energias maiores, o que so
foi feito posteriormente com a criacao dos aceleradores de partcula.
68 3 Espalhamento Rutherford
3.1.5
Angulo de espalhamento da partcula
Vamos supor que a partcula esteja viajando com velocidade v , e se aprox-
ime a uma distancia d do centro espalhador. A carga da partcula e 2e e a
carga positiva do n
ucleo atomico e Ze. A alteracao do momento da partcula
quando se aproxima do centro espalhador e dada por
2kZe2 2d
p = F t , (3.2)
d2 v
onde k = 1/40 e o fator 2 vem da hipotese de que t se refere ao tempo
gasto pela partcula para atravessar o centro de espalhamento.
O angulo , devido a essa colisao, e, aproximadamente
p 4kZe2 1
=
p dv m v
2 (3.3)
2kZe 2kZe2
= 1 = ,
d( 2 m v2 ) dK
onde K e a energia cinetica da partcula .
O resultado importante desta estimativa e que o angulo de espalhamento e
inversamente proporcional a ancia e, portanto, angulos grandes, como os
` dist
observados, seriam possveis dentro das hipoteses de Rutherford.
Se usarmos para d o tamanho do atomo ( 105 fm), obtemos a partir da
expressao (3.3), para o caso especfico de partculas com energia cinetica
de 6,0 MeV (que era aproximadamente a energia de partculas provenientes
do decaimento do Ra) incidindo sobre um atomo de Platina (Z = 78)
2Zke2 2 78 (1, 44 MeV fm)
= = 5
= 4 104 ,
dK 10 fm 6, 0 MeV
ou seja, o angulo de espalhamento para um modelo, no qual as cargas posi-
tivas estao distribudas no raio do atomo (como o modelo Thomson), leva a`
conclusao de que os angulos de espalhamento observados deveriam ser pre-
dominantemente dianteiros. Mesmo que ocorresse um n umero grande de
colisoes no alvo (espalhamento m ultiplo) nao seria suficiente para explicar os
espalhamento em angulos de 90 .
No entanto, se a carga positiva do atomo estiver concentrada numa regiao
pequena, a distribuicao angular e muito diferente daquela prevista por uma
distribuicao uniforme. A razao fsica e simples: a partcula pode chegar
muito mais perto desse centro sem penetra-lo, e a forca sera maior a distancias
menores.
3.2 Formulacao de um problema de espalhamento 69
area a detector
alvo
fluxo
incidente
Note da estimativa obtida para os angulos como funcao da distancia que para
se obter , a carga positiva deveria estar concentrada numa regiao pelo
menos da ordem de 104 vezes menor que o raio do atomo. E claro que a
estimativa nao e boa para angulos grandes (voce saberia explicar por que?),
mas esse resultado ja indica que o centro espalhador do modelo de Rutherford
deve ser ordens de grandeza menor que o atomo de Thomson.
3.2 Formula
c
ao de um problema de espalhamento
A situacao fsica tpica de um problema de espalhamento e a seguinte: um
fluxo de partculas incide sobre um alvo e, devido a` interacao com esse alvo,
e defletido. A figura 22 esquematiza a situacao. As partculas contidas no
feixe incidente sao denominadas projeteis.
3.2.1 Defini
c
ao de se
c
ao de choque
Considere o espalhamento de duas esferas macicas, um projetil incidindo
sobre um alvo de raio R. Um fluxo de esferas projeteis e direcionado sobre
o alvo como na Fig. 22. A probabilidade de que um dado projetil acerte o
alvo e chamada de probabilidade de espalhamento P . Essa probabilidade e
proporcional a` area da secao de corte transversal do alvo, , isto e,
P = R2 .
caso contrario, onde a area do feixe e menor que a do alvo e tratada no Ex.
3.1) e a taxa de incidencia de partculas e N/t, entao o fluxo incidente
sera
N
= , (3.4)
at
e a taxa de espalhamento n umero de partculas espalhadas por unidade de
tempo deve ser igual a` taxa de partculas incidentes vezes a razao entre a
area do alvo e a area do feixe, isto e,
R2 N
Resp = . (3.5)
a t
A secao de choque e a taxa de espalhamento divida pelo fluxo incidente, ou
seja,
Resp
= R2 . (3.6)
Num caso mais geral, podemos ter partculas do tipo A incidindo em partculas
do tipo B com a reacao
A + B Estado final.
1 b 1028 m2 .
O fluxo incidente nao depende da area do feixe contanto que esta seja
menor do que a area da secao de corte do alvo. O fluxo incidente
depende no entanto do comprimento do alvo porque cada proton in-
cidente encontra protons alvos ao longo de todo o caminho no alvo.
n
umero de projeteis espalhados no intervalo e + d
d() =
n
umero de projeteis incidentes por unidade de area do alvo
dN ()
= ,
I/A
72 3 Espalhamento Rutherford
3.2.2 Se
c
ao de choque de Rutherford
Em termos classicos, o problema pode ser esquematizado como na Fig. 23,
usando a trajetoria de uma partcula projetil ao ser defletida por um alvo.
Consideremos daqui para frente que os projeteis sao partculas . Se o n ucleo
nao espalhasse a partcula , a distancia de menor aproximacao da mesma ao
nucleo seria b, o parametro de impacto. O angulo de espalhamento e definido
como o angulo assintotico (longe do centro espalhador) da partcula com
relacao a` direcao incidente. A forca entre a partcula e o n
ucleo e tanto
menor quanto maior for o parametro de impacto.
Um parametro de impacto especfico conduz, atraves da trajetoria da partcula
a um angulo de espalhamento especfico (ver figura 24: se o parametro de
impacto estiver entre b e b + db, o angulo de espalhamento estara entre e
+ d).
3.2 Formulacao de um problema de espalhamento 73
F~
A M
b ~r
O
db
d
b
Entao, para obter a distribuicao angular prevista pela teoria classica e com-
para-la com a distribuicao angular medida, precisaremos relacionar b com .
claro que essa relacao depende fortemente do potencial espalhador. No
E
caso do espalhamento Rutherford, o alvo e constitudo de in umeros protons,
e este numero deve ser levado em conta no calculo da secao de choque. Alem
disso, o problema tem uma simetria axial, isto e, a interacao da partcula
com o n ucleo nao depende do angulo em torno do eixo pontilhado da Fig. 23.
Este e o caso de todos os potenciais centrais, como o potencial coulombiano
ou gravitacional. Assim, temos
d dN 1
= , (3.10)
d d In
onde agora, o angulo solido e simplesmente d = 2 sen d e I corresponde
ao n
umero de partculas incidentes sobre um alvo que contem n n ucleos por
unidade de area este caso e analogo ao estudado no Ex. 3.1.
A comparacao teorico-experimental pode ser feita usando a expressao teorica
d/db e reescrevendo-a em termos de :
d d d(cos )
= .
db d(cos ) db
Vamos analisar mais uma vez a Fig. 23. O ponto O e o centro da forca. M
representa a partcula lancada com velocidade v . O parametro de impacto
b e a distancia perpendicular entre a direcao de ~v e a linha tracada de O
paralelamente a ~v . Sendo a forca repulsiva, a trajetoria e delineada pelos
pontos AMB. A forma dessa curva depende de como a forca varia com a
distancia. Para a forca coulombiana, temos
2kZe2
|F~ | = , (3.11)
r2
e a trajetoria sera uma hiperbole. Quando a partcula esta em A, seu mo-
mento angular e L = m v b. Numa posicao qualquer M, seu momento
angular sera L~ = ~r p~ = ~r m~v . A velocidade da partcula num ponto
qualquer da trajetoria e dada pelo vetor
dr d
~v =r + r . (3.12)
dt dt
Assim encontramos para o momento angular
~ = ~r m dr r + r d
L
dt dt (3.13)
d
= m r 2 z,
dt
3.2 Formulacao de um problema de espalhamento 75
dvy 2kZe2 d
= sen . (3.17)
dt m v b dt
Para o calculo da deflexao da partcula, devemos integrar essa equacao de
um extremo a outro da trajetoria. No ponto assintotico de onde a partcula
vem, temos vy = 0, pelo fato do momento inicial ser paralelo a x e = 0.
Ja no outro ponto assintotico de destino da partcula, temos vy = v sen
e = . Note que neste ponto, a velocidade da partcula deve ser
novamente igual a v , pois o espalhamento e elastico. Entao, temos
Z v sen
2kZe2
Z
dvy = sen d.
0 m v b 0
Entao,
2kZe2
v sen = (1 + cos ).
m v b
Lembrando que cotg 12 = (1 + cos )/ sen , teremos
1 m v2
cotg = b. (3.18)
2 2kZe2
A expressao acima nos da a relacao procurada entre b e . Podemos agora
obter a secao de choque. Para obtermos a relacao entre a secao de choque
76 3 Espalhamento Rutherford
Zke2
b() = cotg .
K 2
Logo, para um angulo de 90 ,
47 1, 44 MeV fm
b(90 ) = cotg(45 ) = 5, 64 fm
12 MeV
= b(90 )2 = 1, 0 102 fm2 = 1, 0 b
e para o angulo de 10 ,
Assim, temos
Este resultado equivale a dizer que apenas 2,6 % das partculas inci-
dentes sao espalhadas em angulos maiores do que 0,1 rad, ou cerca de
6 !
78 3 Espalhamento Rutherford
106
105
104
dN/d
103
102
10
-1 -0.5 0 0.5 1
cos
3.3 Comparac
ao com os dados de Geiger e
Marsden
A concordancia da expressao obtida por Rutherford com os dados de Geiger
e Marsden e impressionante (veja Fig. 25).
Os dados sao consistentes com um n ucleo puntiforme. Para conseguir maior
proximidade do n ucleo atomico, foram necessarias experiencias envolvendo
partculas mais energeticas, que conseguissem se aproximar mais. Mais
tarde, R. Hofstadter et al., em 1953, fizeram um experimento do tipo descrito
acima, porem usando eletrons com energia de 125 MeV espalhados por alvos
de ouro. A partir da comparacao dos dados com a formula de Rutherford,
foi possvel concluir que os dados sao inconsistentes com a hipotese de n
ucleo
puntiforme. Essas experiencias foram capazes de estabelecer que o n ucleo do
ouro tem um raio de aproximadamente 3 1015 m.
Fsica Classica.
A primeira objecao era simples: se toda carga positiva esta concentrada no
centro do atomo, e este n ucleo tem dimensoes tao pequenas, como explicar
porque a repulsao coulombiana nao destroi esse aglomerado de partculas
positivas? A solucao dessa charada veio com a descoberta do neutron, por
James Chadwick (1891-1974), em 1932. O neutron e uma partcula neu-
tra que atrai os protons, com uma forca da ordem de 200 vezes a repulsao
eletrostatica e a forca nuclear forte. Uma das diferencas fundamentais
entre essas duas forcas e que a forca eletromagnetica tem longo alcance, en-
quanto que a forca forte tem um alcance curto. Este fato explica porque nao
podemos ter n ucleos estaveis de qualquer tamanho a atracao provocada
pelos neutrons e limitada a alguns vizinhos proximos, enquanto que a forca
coulombiana age em todas as cargas presentes no n ucleo. Entao, n
ucleos
muito pesados, apesar de terem uma quantidade maior de neutrons do que
de protons, sao bastantes instaveis.
A segunda objecao era a seguinte: o modelo dinamico do tipo sistema planetario
proposto por Rutherford apresenta uma dificuldade insuperavel dentro da
Fsica Classica. Segundo as equacoes de Maxwell, cargas aceleradas irradiam
e perdem energia desse modo. Para uma orbita de dimensoes atomicas, o
colapso do atomo se daria em 109 s. A materia nao seria estavel!
Essa u ltima charada so foi resolvida atraves do modelo de Bohr, que intro-
duziu postulados sobre a estabilidade das orbitas dos eletrons nos atomos.
Um embasamento solido desse fato so veio com a Mecanica Quantica de
Schrodinger e Heisenberg.
Exerccios
3.1 Pesquisadores desejam estudar as propriedades de uma partcula
que e produzida em colisoes proton-proton com uma secao de
choque de 1 nb. Eles desenharam um alvo de hidrogenio lquido
cilndrico com 0,05 m de diametro e 0,5 m de comprimento. O
feixe de protons tem uma intensidade de 108 por segundo. Se o
aparato pode detectar a partcula rara com uma eficiencia de 10
%, quanto tempo vai demorar para que se colete 106 eventos?
3.2 Um feixe colimado de protons e enviado para dentro de uma
camara de bolhas com deuterio lquido, cuja espessura e de 0,5
m. A densidade do deuterio lquido e 162 kg/m3 . Uma amostra
com 105 figuras e analisada e tres eventos raros sao encontrados.
80 3 Espalhamento Rutherford
Espectros at
omicos e o modelo
de Bohr
83
84 4 Espectros atomicos e o modelo de Bohr
gases. A luz proveniente de uma dada especie passava atraves de uma fenda
numa tela e depois atravessava um prisma, que separava o feixe estreito em
seus constituintes de cores, as linhas espectrais.
Quando um gas e excitado, ele emite radiacao com comprimentos de onda
especficos e o que se ve sao linhas coloridas numa tela negra como mostra
a Fig. 26. Este fenomeno e conhecido como o espectro de emiss ao. O
inverso tambem ocorre e e chamado de espectro de absorcao quando a luz
atravessa um gas, os atomos absorvem em comprimentos de onda especficos.
Neste caso, observamos linhas escuras num fundo luminoso.
A partir do espectro solar, tambem foi observado que a intensidade e suprim-
ida em alguns comprimentos de onda. Alem das linhas intensas, notou-se a
existencia ou inexistencia de outras linhas correspondendo a` ausencia de al-
guns comprimentos de onda.
Em 1814, Joseph Fraunhofer (1787-1826) conseguiu identificar algumas dessas
linhas escuras no espectro solar, linhas estas que sao chamadas linhas de
Fraunhofer, com comprimentos de onda caractersticos de certos atomos. Em
1861, uma descoberta importante foi feita por Robert W. Bunsen (1811-1899)
e Gustav R. Kirchhoff (1824-1897) quando conseguiram observar linhas de
Fraunhofer no laborat
orio. Kirchhoff e Bunsen demonstraram que as linhas
de Fraunhofer eram causadas pela absorcao de luz pelos atomos em compri-
mentos de onda especficos. Assim, pode-se concluir que os atomos tanto
emitem quanto absorvem radiacao em comprimentos de onda especficos as-
sociados com cada elemento.
Dezenas de milhares de comprimentos de onda emitidos pelos atomos foram
medidos e catalogados. Por exemplo, o espectro da radiacao emitida pelo
merc urio 198 (198 Hg) esta mostrado na Fig. 27. Esses comprimentos de onda
sao caractersticos do merc urio. Note que as linhas nao aparecem com a
mesma intensidade. Para o merc urio, a linha mais intensa tem comprimento
de onda de
Hg = 253, 6506 nm.
espectro contnuo
PSfrag replacements
4000
Intensidade (u.a.)
3000
2000
1000
0
2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500
Comprimento de onda (
A)
4.2 A experi
encia de Franck e Hertz
Em 1914, James Franck (1882-1964) e Gustav Hertz (1887-1975) fizeram uma
experiencia que revelou mais um aspecto importante da estrutura da materia.
O objetivo desse experimento era determinar a interacao dos eletrons com
atomos num gas. O aparelho utilizado esta mostrado na Fig. 28.
Franck e Hertz construram um tubo a vacuo com vapor de merc urio. A fonte
de eletrons era a emissao termica a partir de um catodo. Os eletrons eram
acelerados por uma diferenca de potencial V1 variavel entre o catodo e a grade.
Se nao houvesse interacao entre os eletrons e o merc
urio, ao atingir a grade,
a energia cinetica dos eletrons corresponderia a eV1 . Chegando a` grade, os
eletrons passavam a ser desacelerados por uma diferenca de potencial V2 , de
sinal oposto a V1 , mantida constante entre a grade e o anodo (Fig. 28).
A energia cinetica dos eletrons no anodo, supondo que nao tenha havido
interacao com os atomos de merc
urio, seria
K = e(V1 V2 ).
Se houvesse interacao com os atomos de merc urio, haveria uma perda de
energia E por parte dos eletrons e sua energia no anodo seria
K = e(V1 V2 ) E.
4.2 A experiencia de Franck e Hertz 87
catodo
grade
anodo
PSfrag replacements
V1
V2
hc 1240 eV nm
= = = 253 nm.
E 4, 9 eV
400
200
100
0
0 2,5 5 7,5 10 12,5 15
Potencial acelerador V1 (V)
4.3 A s
erie de Balmer
No final do seculo XIX, Angstrom mediu quatro das linhas visveis emitidas
pelo hidrogenio, com uma precisao de 1011 m. Em 1885, Johann Balmer
(1825-1890) escreveu um trabalho que dava uma formula simples para as
linhas visveis do espectro do hidrogenio, medidas por
Angstrom. A formula
de Balmer era
n2
=C 2 , (4.1)
n 4
onde n e um inteiro maior ou igual a 3 e C uma constante obtida a partir da
inclinacao do grafico da Fig. 30.
A formula de Balmer preve linhas correspondentes a n = 7, 8, . . . cujos com-
primentos de onda nao estao na regiao do visvel n = 7 esta no limiar.
Todas essas linhas foram descobertas posteriormente.
Balmer generalizou a sua formula da seguinte forma
n2
= Cm , (4.2)
n2 m 2
A)
Comprimento de onda, (
6000
5000
4000
Linha prevista (n = 7)
3000
1 1,5 2
n /(n2 4)
2
RH = 1, 09677576 107 m1 .
90 4 Espectros atomicos e o modelo de Bohr
ke2 me v 2
= . (2a lei de Newton) (4.4)
r2 r
A energia, nessa situacao, e constante e dada por
1 2 ke2 ke2
E = me v = , (4.5)
2 r 2r
4.4 O modelo de Bohr 91
onde usamos a Eq. (4.4) na u ltima passagem. O sinal negativo significa que o
eletron esta ligado. Para conseguir arranca-lo da acao da forca eletrostatica
e necessario fornecer energia ate E = 0 (r ).
Quando o atomo emite luz, sua energia deve diminuir, e observando a ex-
pressao acima que fornece a energia do eletron numa orbita qualquer, somos
levados a concluir que uma diminuicao na energia implica necessariamente
numa diminuicao do raio:
ke2 ke2 ke2 1
1
Eif = = . (4.6)
2ri 2rf 2 rf ri
4.4.1 ao para rn ?
Como justificar e obter uma express
Aqui, o trabalho de Planck foi importante, como veremos. Uma outra con-
stante de movimento que Bohr ainda nao havia usado era o momento angular
note que a constante de Planck h tem unidades de momento angular. Entao,
Bohr deu um passo fundamental: quantizou o momento angular das orbitas.
h
me vr = n , (4.9)
2
92 4 Espectros atomicos e o modelo de Bohr
4.4.2 Observa
co
es sobre o modelo de Bohr
A expressao para o raio de Bohr em termos da constante de Planck e da
carga e massa do eletron foi um marco na historia da Fsica, definindo a
escala atomica de tamanho.
Por que os estados com n = 2, 3, . . . sao chamados tambem de estacionarios,
uma vez que a tendencia dos mesmos e decair para o estado fundamental, com
emissao de fotons cujos comprimentos de onda pertencem a` serie de Lyman?
O perodo de revolucao numa orbita e da ordem de grandeza do perodo
correspondente a` luz visvel ( 1014 s). Como o tempo tpico de emissao de
radiacao e 108 s, o eletron descreve um n
umero grande de revolucoes antes
de decair. Entao, faz sentido pensar na sua orbita como sendo estacionaria.
Quanta energia e necessaria para ionizar o atomo de hidrogenio? Escolhendo
o nvel zero de energia com referencia, a energia correspondente ao primeiro
nvel no atomo de hidrogenio e
ke2
E1 = = hcRH = 13, 6 eV.
2a0
Observe que para remover o eletron de sua orbita nao e necessario fornecer
exatamente essa energia. O resto sera transformado em energia cinetica.
No entanto, para promover o eletron para qualquer outra o rbita ligada e
necessario uma quantidade quantizada de energia.
O princpio da Correspond
encia
Observe que a constante de Planck (h) tem unidades de energia vezes tempo,
ou equivalentemente, de momento angular.
(energia)(tempo) = (massa)(velocidade)2 (tempo)
= (massa)(velocidade)(comprimento)
= (mom. angular)
A constante ~ = h/2 corresponde a` variacao mnima possvel do mo-
mento angular de uma partcula. Isto e difcil de perceber numa escala
macroscopica, pois ~ e muito pequeno e a variacao do momento angular nos
parece contnua. No atomo, no entanto, notamos que o momento angular e
quantizado.
Para valores grandes do n umero quantico n, deve-se haver concordancia com
os resultados classicos. Isto e chamado o princpio da correspondencia. Por
exemplo, no contexto classico, sabemos que a freq uencia da radiacao emitida
94 4 Espectros atomicos e o modelo de Bohr
N
umeros qu
anticos no domnio macrosc
opico
Colapso do
atomo
Vamos calcular agora quanto tempo duraria o atomo de Rutherford, nao fosse
o postulado de que essas orbitas sao estacionarias.
4.5 Como funciona o laser? 95
2ke2 a2
P = ,
3c3
onde a e a aceleracao da partcula. Neste caso, a aceleracao e centrpeta e
igual a v 2 /r. Logo, temos
2ke2 v 4
P = .
3c3 r 2
A potencia irradiada e funcao do tempo porque o raio da orbita diminiu
a` medida que o eletron irradia. Vejamos entao como a potencia irradiada
depende da energia do eletron. Temos que o raio da orbita e
ke2
r=
2E
(o sinal negativo vem de que a energia e negativa por definicao) e a velocidade
dada por
2E
v2 = ,
me
de onde conclumos que
dE 32E 4
P = = 3 2 2.
dt 3c ke me
antes:
depois:
emissao espontanea
colisao
com eletron
transicao sem radiacao
estado fundamental
Quest
oes
4.1 Qual e o comprimento de onda do foton menos energetico no
espectro de Balmer? Qual e o comprimento de onda do limite
dessa serie?
4.2 Quanta energia e necessaria para ionizar o atomo de hidrogenio
quando este esta no estado n = 4 ?
4.3 Um atomo emite um foton quando um dos seus eletrons
(a) colide com outro de seus eletrons.
(b) e removido do atomo.
(c) faz uma transicao para um estado de menor energia.
(d) faz uma transicao para um estado de maior energia.
4.4 Qual das seguintes transicoes num atomo de hidrogenio emite um
foton com maior freq
uencia?
(a) n = 1 n = 2.
(b) n = 2 n = 1.
Exerccios 99
(c) n = 2 n = 6.
(d) n = 6 n = 2.
4.5 O tempo de vida de um eletron no estado n = 2 do hidrogenio e
cerca de 10 ns. Qual a incerteza da energia neste estado? Com-
pare com a energia deste estado.
4.6 Um neutron com energia cinetica de 6,0 eV colide com um atomo
de hidrogenio em repouso no estado fundamental. Mostre que
esta colisao deve ser elastica. O que poderia acontecer se a energia
cinetica do neutron fosse maior?
4.7 O acelerador de eletrons de 32-GeV em Stanford, gera um feixe
de eletrons de comprimento de onda pequeno, proprio para es-
tudar os detalhes da estrutura nuclear em experimentos de es-
palhamento. Qual e este comprimento de onda e como ele se
compara com o tamanho medio de um n ucleo ?
4.8 Considere um balao preenchido com gas helio (monoatomico) a
18 C e pressao de 1,0 atm. Calcule (a) o comprimento de onda
de de Broglie medio dos atomos de helio e (b) a distancia media
entre os atomos. Podem os atomos serem tratados com partculas
sob estas condicoes?
Exerccios
4.1 No modelo de Bohr para o atomo de hidrogenio, o eletron esta em
constante movimento. Como pode tal eletron ter uma quantidade
de energia negativa?
4.2 Explique porque o espectro do hidrogenio tem tantas linhas, em-
bora o atomo de hidrogenio possua apenas um eletron.
4.3 Relacione as diferentes series do espectro do hidrogenio com as
possveis transicoes do eletron dentro do atomo (faca um desenho
esquematizando estas transicoes). Explique entao porque deve-
mos ter a condicao n > m na equacao de Balmer-Rydberg-Ritz.
4.4 Um proton e um eletron, ambos inicialmente em repouso, se com-
binam para formar um atomo de hidrogenio no estado funda-
mental. Um u nico foton e emitido neste processo. Qual e o seu
comprimento de onda?
100 4 Espectros atomicos e o modelo de Bohr
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H G E8Z H
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Ap
endice A
Distribuic
ao de Boltzmann da
energia
A Mec anica Estatstica e uma area da Fsica que utiliza metodos estatsticos
em uma teoria cinetica para atomos e moleculas a fim de explicar pro-
priedades macroscopicas da materia. Por exemplo, e um teorema da Mecanica
Estatstica que o valor medio da energia cinetica das moleculas de um gas a
temperatura T e 21 kB T (para cada grau de liberdade)1 .
Um exemplo vai nos conduzir a um dos mais importantes resultados da fsica,
conhecido como distribuicao de Boltzmann, que relaciona a Termodinamica
com a Mecanica Estatstica:
Nos concentremos na distribuicao das moleculas na nossa atmosfera, descon-
sideremos os ventos e suponhamos que ela esta em equilbrio termico a tem-
peratura T . Se N e o n umero total de moleculas em um volume V do gas
a pressao P , entao P V = N RT , ou P = nkB T , onde n = N/V e o n umero
de moleculas por unidade de volume. Como a temperatura e constante, a
pressao sera proporcional a` densidade. Vamos agora buscar a variacao de
densidade em funcao da altitude na atmosfera.
Se tomamos uma unidade de area a uma altura h, entao a forca vertical
sobre a area e a pressao P . Como o sistema esta em equilbrio, as forcas
sobre as moleculas devem ser balanceadas, ou seja, a forca resultante sobre
cada uma deve ser nula, entao se tomamos uma camada de espessura h + dh,
a pressao exercida na area inferior da camada deve exceder a pressao sobre a
area de cima da camada de forma a balancear com o peso (a Fig. 62 ilustra
a situacao).
1
T em Kelvin, kB = 1, 38 1023 J/K e a constante de Boltzmann.
191
192 A Distribuicao de Boltzmann da energia
g
h + dh
2,5
(1025 atomos/m3 )
2,0
densidade, n
1,5
1,0
0,5
0
0 10 20 30 40 50
altura, h (km)
e/kB T , (A.4)
F n dx = dP = kB T dn . (A.5)
dn dU
= , (A.6)
n kB T
que pode ser facilmente integrada e resulta
n = n0 eU/kB T , (A.7)
2
o que F seja deriv
Com a condica avel de um potencial.
Ap
endice B
Derivac
ao cl
assica da radiac
ao
de corpo negro
194
195
n1
(n1 , n2 , n3 )
n2
n3
~
E ~
B
~k ~k
~
B ~
E
196 B Derivacao classica da radiacao de corpo negro
n=1
n=2
L
n=3
dN 8L3 1 dN 8
= = 4, (B.8)
d 4 L d
3
que corresponde ao n
umero de modos da cavidade por unidade de compri-
mento de onda e de volume.
Para encontrar a energia media de cada onda por unidade de volume e por
unidade de comprimento de onda, devemos multiplicar a expressao anterior
por uma energia media hi. Sabemos que a energia carregada por uma onda
eletromagnetica e independente do comprimento de onda; depende apenas
da intensidade (amplitude) da onda. Apos essa consideracao, podemos escr-
ever a expressao para a energia (E) por unidade de volume (L3 ), ou seja, a
densidade de energia, u, por comprimento de onda, da seguinte forma
du 1 dE 1 dN 8
= 3 = hi 3 = 4 hi . (B.9)
d L d L d
e portanto, Z
Z= e/kT d = kT. (B.18)
0
Entao, a energia media e obtida imediatamente, por
Z Z
1
hi = p() d = e/kT d
0 kT 0 (B.19)
= kT .