Seja A = (aij)3x3, com aij = i + j, e B = (bij)3x3, com bij = j i, determine a matriz C, tal

que C = A.B.

Questo 2

Considerando as matrizes e , verifique se vlida a

propriedade comutativa na multiplicao de matrizes.

Questo 3

(UFU) Considere a matriz . Ento A4 + 2A3 + 4A2 + 8A igual a:

a) A6
b) A8
c) A10
d) A5

Questo 4

(PUC RS) O elemento c22 da matriz C = AB, onde A = eB

= :
a) 0
b) 2
c) 6
d) 11
e) 22

Respostas
Resposta Questo 1
Primeiramente, vamos determinar os elementos das matrizes A e B:
 Agora que j conhecemos A e B, podemos realizar o produto entre essas matrizes para
determinar a matriz C:

Portanto, multiplicando as matrizes A e B, obtemos a matriz .

Resposta Questo 2
Se queremos verificar a validade da propriedade comutativa na multiplicao das
matrizes A e B, isso implica mostrar se verdadeira a igualdade A.B = B.A. Vamos fazer
primeiro o produto A.B:

Vamos agora fazer o produto B.A:

Aps fazer as multiplicaes das matrizes A e B, podemos constar que A.B B.A,
portanto, a propriedade comutativa no se aplica multiplicao de matrizes.

Resposta Questo 3
Para resolver essa questo, realizaremos primeiramente as multiplicaes que

caracterizam as potncias de matriz, sendo , temos:

A = A . A =

A = A . A =

A4 = A 3 . A =
 Vamos agora aplicar a multiplicao de matriz por um nmero e a soma de matrizes para
solucionar a expresso A4 + 2A3 + 4A2 + 8A:
A4 + 2A3 + 4A2 + 8A

Observe novamente os resultados das potncias da matriz A. Podemos sintetizar que:

A2 = 2. A = 2.A
A3 = 2.2.A = 2.A = 4.A
A4 = 2.2.2.A = 23.A = 8.A

An = 2n 1.A
Mas o resultado da expresso corresponde 32.A. Se 32 = 25, podemos ento afirmar que
o resultado da expresso A4 + 2A3 + 4A2 + 8A A6, pois A6 = 25.A. Logo, a alternativa
correta a letra a.

Resposta Questo 4
Para determinar um elemento de C, no necessrio realizar toda a multiplicao entre as
matrizes A e B. O elemento C22, por exemplo, formado pela soma dos produtos dos
elementos da 2 linha da matriz A com os elementos da 2 coluna da matriz B, isto :
C22 = A21 . B12 + A22 . B22 + A23 . B32 + A24 . B42
C22 = 5 . 1 + 6 . 1 + 7 . 0 + 8 . 0
C22 = 5 + 6
C22 = 11
Portanto, a alternativa correta a letra d.

...........................................................................................

Um avio percorreu a distncia de 5 000 metros na posio inclinada, e em

relao ao solo, percorreu 3 000 metros. Determine a altura do avio.

QUESTO 2

Do topo de uma torre, trs cabos de ao esto ligados superfcie por meio
de ganchos, dando sustentabilidade torre. Sabendo que a medida de cada
cabo de 30 metros e que a distncia dos ganchos at base da torre de
15 metros, determine a medida de sua altura.

QUESTO 3

Uma escada de 12 metros de comprimento est apoiada sob um muro. A

base da escada est distante do muro cerca de 8 metros. Determine a
altura do muro.
QUESTO 4

Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular

com as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros, considerando que a
cerca de arame ter 4 fios.

RESPOSTAS

Questo 1

Questo 2

Questo 3
 Questo 4

Determine os valores de x, y, w e z em cada caso:

 Questo 2
Em um tringulo retngulo, determine as medidas dos ngulos agudos e da hipotenusa,
sabendo que um dos catetos mede 3 cm e o outro mede 3 cm.

Questo 3
(Cesgranrio) Uma rampa plana, de 36 m de comprimento, faz ngulo de 30 com o plano
horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente de:
a) 63 m.
b) 12 m.
c) 13,6 m.
d) 93 m.
e) 18 m.

Questo 4
(UFAM) Se um cateto e a hipotenusa de um tringulo retngulo medem 2a e 4a,
respectivamente, ento a tangente do ngulo oposto ao menor lado :
a) 23
b) 3
3
c) 3
6
d) 20
20
e) 33

Respostas
Resposta Questo 1
a) Atravs do cosseno de 30, temos:
 cos 30 = cat. adjacente a 30
hipotenusa
3 = 16
2 x
3 x = 16 2
x = 32
3
x = 323
33
x = 323
3

Portanto, a hipotenusa mede 323 unidades.

3
b) Atravs do seno de y:
sen y = cat. oposto a y
hipotenusa
sen y = 13
26
sen y = 1
2
O seno de y . Podemos ento concluir que y = 30.
c) Pelo seno de 60:
sen 60 = cat. oposto a 60
hipotenusa
3 = w
2 18
2 w = 183
w = 183
2
w = 93
Conclumos que w = 93 unidades.
d) Atravs do cosseno de 45:
cos 45 = cat. adjacente a 45
hipotenusa
2 = 20
2 z
2 z = 20 2
z = 40 . 2
2 2
x = 402
2
x = 202
Portanto, a hipotenusa mede 202 unidades.
 Resposta Questo 2
Como sabemos apenas as medidas dos catetos, vamos utilizar o Teorema de Pitgoras
para determinar a medida da hipotenusa (h):
(hipotenusa) = (cateto) + (cateto)
h = 3 + (3)
h = 9 + 3
h = 12
h = 23 cm
Considere um ngulo oposto ao lado de 3 cm. Calculando sua tangente, temos:
tg = cat. oposto a
cat. adjacente a
tg = 3
3
tg = 3
3
tg = 3 . 3
3 3
tg = 33
3
tg = 3
Se tg = 3, logo = 60. Sabendo que a soma dos ngulos internos de um tringulo
qualquer 180 e que esse um tringulo retngulo, podemos determinar a medida de
outro ngulo agudo :
+ + 90 = 180
+ 60 + 90 = 180
+ 150 = 180
= 180 150
= 30
Portanto, os ngulos agudos desse tringulo valem 30 e 60.

Resposta Questo 3
Podemos representar no tringulo ilustrado a seguir a situao descrita no problema. A
hipotenusa representa a rampa percorrida pela pessoa citada:

Representao geomtrica da questo 3

Na figura, a altura que a pessoa foi elevada est representada pelo lado vermelho (cateto
oposto ao ngulo de 30). Vamos chamar esse lado do tringulo de x para determinar seu
valor. Para tanto, utilizaremos a frmula do seno:
sen 30 = cat. oposto
hipotenusa
1=x
2 36
 2x = 36
x = 36
2
x = 18 m
Portanto, ao subir a rampa, a pessoa eleva-se verticalmente 18 m. Logo, a alternativa
correta a letra e.

Resposta Questo 4
Pelo enunciado do exerccio, sabemos que a hipotenusa mede 4a e um dos catetos
mede 2a, mas no sabemos de qual cateto se trata. Precisamos determinar a medida do
segundo cateto. Chamando-o de c, pelo Teorema de Pitgoras, temos:
(hipotenusa) = (cateto) + (cateto)
(4a) = (2a) + c
16a = 4a + c
c = 16a 4a
c = 12a
c = 12a
c = 2a3
Agora que conhecemos o terceiro lado da figura, podemos esboar o tringulo com o qual
estamos trabalhando:

Representao geomtrica da questo 4

Vamos chamar de o ngulo oposto a 2a, que o menor cateto. Agora
podemos determinar a tangente de :
tg = cat. oposto a
cat. adjacente a
tg = 2a
2a3
tg = 1
3
tg = 1 . 3
3 3
tg = 3
3
Portanto, a alternativa que indica a resposta correta a letra b.
.............................................................
Probabilidade

Questo 1
 No lanamento de dois dados, qual o nmero total de possibilidades de resultados e qual
a probabilidade de obtermos soma igual a 8?

a) 36 e 5%

b) 36 e 14%

c) 6 e 5%

d) 5 e 6%

e) 36 e 6%

Questo 2

Qual a probabilidade de, no lanamento de 4 moedas, obtermos cara em todos os

resultados?

a) 2%

b) 2,2%

c) 6,2%

e) 4%

f) 4,2%

Questo 3

Duas moedas e dois dados, todos diferentes entre si, foram lanados simultaneamente.
Qual o nmero de possibilidades de resultados para esse experimento?

a) 146
 b) 142

c) 133

d) 144

e) 155

Questo 4

Qual o nmero total de possibilidades de resultado no lanamento de 5 moedas?

a) 2

b) 5

c) 10

d) 24

e) 32

Respostas
Resposta Questo 1

Primeiramente, vamos descobrir o nmero total de possibilidades, pois ele ser usado para
descobrirmos a probabilidade de obter soma 8:

So dois dados com seis resultados possveis cada. As combinaes entre esses
resultados podem ser calculadas multiplicando-se o nmero de resultados do primeiro pelo
do segundo:

66 = 36

Tambm poderamos ter escrito todas as possibilidades e contado-as, mas esse

procedimento gasta mais tempo. Portanto, o nmero total de possibilidades de resultados
36.
 Para calcular a probabilidade de sair soma 8, devemos procurar as possibilidades de obter
tal soma. So elas:

2,6; 3,5; 4,4; 5,3 e 2,6

Sendo 5 o nmero de possibilidades de obter soma 8, divida esse nmero pelo nmero
total de possibilidades de resultados:

5 = 0,14
36

Para transformar isso em porcentagem, basta multiplicar por 100:

0,14100 = 14%

A probabilidade de sair soma 8 14%.

Gabarito: Letra B.

Resposta Questo 2

Primeiramente, necessrio encontrar o nmero total de possibilidades de resultados:

2222 = 16

Posteriormente, devemos encontrar o nmero de possibilidades de obter cara em todos os

resultados. Na realidade, s existe uma possibilidade de que isso acontea.

Por fim, basta dividir o segundo pelo primeiro:

1 = 0,0625
16

Multiplicando 6,25 por 100, para obter um percentual, teremos: 6,25%

Gabarito: Letra C.

Resposta Questo 3
 Para calcular o nmero de possibilidades de resultados de um experimento nesses
moldes, multiplique o nmero de resultados possveis de cada objeto em observao. No
caso de cada moeda, 2 resultados, e de cada dado, 6 resultados:

2266 = 436 = 144

Gabarito: Letra D.

Resposta Questo 4

O nmero total de resultados que pode ser obtido no lanamento de duas moedas
encontrado multiplicando-se a quantidade de resultados da primeira moeda pela
quantidade da segunda e assim por diante. Observe:

22222 = 32

Portanto, so 32 possibilidades diferentes.

Gabarito: Letra E.

................................

FATORIAL

Resolva as seguintes equaes fatoriais:

Ver Resposta

QUESTO 2
Ver Resposta

QUESTO 3

Ver Resposta

QUESTO 4

Ver Resposta

QUESTO 5

Simplifique a expresso:

Ver Resposta

RESPOSTAS
Questo 1
Voltar a questo

Questo 2
Voltar a questo

Questo 3

Voltar a questo

Questo 4
Voltar a questo

Questo 5

...................................................

Permutaao simples e repetitivos

ELEMENTOS REPETIDOS
11

QUESTO 1
Determine o nmero de anagramas que podem ser formados com as
letras do nome ALEMANHA.
QUESTO 2
Utilizando o nome COPACABANA, calcule o nmero de anagramas
formados desconsiderando aqueles em que ocorrem repeties
consecutivas de letras.

QUESTO 3
Ao preencher um carto da loteria esportiva, Andr optou pelas
seguintes marcaes: 4 coluna um, 6 coluna do meio e 3 coluna dois.
De quantas maneiras distintas Andr poder marcar os cartes?

QUESTO 4
Em um torneio de futsal um time obteve 8 vitrias, 5 empates e 2
derrotas, nas 15 partidas disputadas. De quantas maneiras distintas
esses resultados podem ter ocorrido?

QUESTO 5
Em uma prova composta de 20 questes envolvendo V ou F, de
quantas maneiras distintas teremos doze respostas V e oito respostas
F?

RESPOSTAS
Questo 1
No nome ALEMANHA, a letra A se repete trs vezes, dessa maneira,
temos que calcular os anagramas de forma a desconsiderar aqueles
em que a letra A se apresenta consecutivamente.

So possveis 6720 anagramas.

Questo 2
Na palavra COPACABANA, temos quatro letras A e duas letras C. O
nmero de anagramas formados ser dado pela expresso:
Podero ser formados 75.600 anagramas.

Questo 3

Os cartes podero ser marcados de 60.060 maneiras diferentes.

Questo 4

Os resultados podem ser dispostos de 135.135 maneiras distintas.

Questo 5

Podemos ter 125.970 maneiras distintas de respostas envolvendo

doze questes V e oito F.

EXERCCIOS SOBRE PERMUTAO

SIMPLES
 1

QUESTO 1
Os resultados do ltimo sorteio da Mega-Sena foram os nmeros 04,
10, 26, 37, 47 e 57. De quantas maneiras distintas pode ter ocorrido
essa sequncia de resultados?

QUESTO 2
Na palavra NORTE, quantos anagramas podem ser formados?
Quantos comeam com vogal?

QUESTO 3
(U.F.Pelotas-RS) Tomando como base a palavra UFPEL, resolva as
questes a seguir.

a. Quantos anagramas podem ser formados de modo que as

vogais estejam sempre juntas?
b. Quantos anagramas podem ser formados com as letras UF
juntas?
c. Quantos anagramas podem ser formados com as letras PEL
juntas e nessa ordem?
QUESTO 4
(Vunesp-SP) Considere todos os nmeros formados por seis
algarismos distintos obtidos permutando-se, de todas as formas
possveis, os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

a. Determine quantos nmeros possvel formar (no total) e

quantos nmeros se iniciam com o algarismo 1.
b. Escrevendo-se esses nmeros em ordem crescente, determine
qual posio ocupa o nmero 512346 e que nmero ocupa a 242
posio.
RESPOSTAS
Questo 1
Os nmeros sorteados da mega sena formam uma sequncia de seis
nmeros. Para calcular as formas distintas que esse resultado pode
ter sido sorteado, basta calcular: P6=6!=6*5*4*3*2*1 = 720.

Questo 2
Na palavra NORTE, temos 5 letras e a quantidade de anagramas
distintos dada por P5=5!= 5*4*3*2*1 =120. Para sabermos quantos
comeam com vogal, sabemos que, fixado que a primeira letra uma
vogal, restam apenas quatro posies a serem permutadas. Ento
temos 4!= 4*3*2*1 = 24. Como temos duas vogais, basta multiplicar
2*24=48. Assim, dos 120 anagramas que podem ser formados,
apenas 48 comeam com vogais.

Questo 3
Na palavra UFPEL, temos 5 letras e a quantidade de anagramas
distintos dada por P5 = 5! = 5*4*3*2*1 = 120

a. Para sabermos quantos anagramas podem ser formados de

modo que as vogais estejam sempre juntas, vamos considerar um
bloco de vogais, por exemplo, UE. Ento, basta realizar a
permutao como se tivssemos apenas quatro itens a serem
permutados. Ento temos P4 = 4*3*2*1 = 24 . Como temos tambm
outro bloco de vogais, EU, o clculo ser anlogo ao anterior,
portanto basta dobrarmos o ltimo resultado. Assim, dos 120
anagramas que podem ser formados, apenas 48 apresentam as
vogais juntas.

a Para calcular quantos anagramas tem as letras UF juntas, o

raciocnio o mesmo do item a, e o resultado tambm o mesmo.
S que agora estamos considerando os blocos UF e FU.

a Para saber quantos anagramas podem ser formados com as letras

PEL juntas, basta considerar que essas letras formam um nico
bloco, e, assim, teremos apenas a permutao de 3 elementos, U, F
e PEL. Como foi fixado que as letras PEL devem aparecer nessa
ordem, basta calcular P3 = 3*2*1 = 6, e no se deve analisar outros
grupos.
Questo 4
a. No total, as possveis permutaes de seis algarismos so
dadas por P6=6!=6*5*4*3*2*1 = 720. Fixando aquelas que iniciam
com o algarismo 1, basta permutar os outros algarismos. Portanto,
temos P5=5!= 5*4*3*2*1 =120 nmeros que comeam com o
algarismo 1.
a Escrevendo esses nmeros em ordem crescente, temos a seguinte
situao: o primeiro conjunto de nmeros so aqueles que
comeam com 1, e, conforme calculado no item anterior, formam
120 elementos. O segundo conjunto a ser ordenado so aqueles
nmeros que comeam com o algarismo 2, e seguindo o mesmo
raciocnio, tambm contm 120 elementos. Segue que temos 6
conjuntos numricos comeando com cada algarismo (1, 2, 3, 4, 5 e
6), cada um com 120 elementos. Queremos saber qual posio
ocupa o nmero 512346. De imediato, sabemos que sua posio
deve estar entre 481 e 600, que so as posies ocupadas pelos
nmeros que comeam com o algarismo 5. Agora, note que 512346
o menor nmero desse conjunto. Portanto, sua posio
justamente a posio 481. Para saber qual nmero ocupa a 242
posio, j sabemos que um nmero que comea com o
algarismo 3, isso porque at o 120 so os que comeam com 1, do
121 at 240 so os que comeam com o nmero 2 e da posio
241 at a posio 360 so aqueles que comeam com o algarismo
3. Como queremos o nmero na posio 242, queremos o segundo
menor nmero desse conjunto que inicia com o nmero 3. Temos
que o menor o nmero 312456. Para encontrar o segundo menor,
basta permutar os dois ltimos algarismos; assim, temos que o
nmero que ocupa a posio 242 o 312465.

Anlise Combinatria Exerccios

01. (FUVEST) Considere todas as trinta e duas seqncias, com cinco
elementos cada uma, que podem ser formadas com os algarismos 0 e 1.
Quantas dessas seqncias possuem pelo menos trs zeros em posies
consecutivas?

a) 3
b) 5
c) 8
d) 12
e) 16

02. (VUNESP) De uma urna contendo 10 bolas coloridas, sendo 4 brancas, 3

pretas, 2 vermelhas e 1 verde, retiram-se, de uma vez, 4 bolas. Quantos so
os casos possveis em que aparecem exatamente uma bola de cada cor?

a) 120
b) 72
c) 24
d) 18
e) 12

03. (MACK) Cada um dos crculos da figura ao lado dever ser pintado com
uma nica cor, escolhida dentre quatro disponveis. Sabendo-se que dois
crculos consecutivos nunca sero pintados com a mesma cor, ento o
nmero de formas de se pintar os crculos :

a) 100
b) 240
c) 729
d) 2916
e) 5040

04. (UEL) Um professor de Matemtica comprou dois livros para premiar

dois alunos de uma classe de 42 alunos. Como so dois livros diferentes, de
quantos modos distintos pode ocorrer a premiao?

a) 861
b) 1722
c) 1764
d) 3444
e) 242

05. (UNIV. EST. DE FEIRA DE SANTANA) O nmero de equipes de trabalho

que podero ser formadas num grupo de dez indivduos, devendo cada
equipe ser constituda por um coordenador, um secretrio e um digitador, :

a) 240
b) 360
c) 480
d) 600
e) 720

06. (MACK) Os polgonos de k lados (k mltiplos de 3), que podemos obter

com vrtices nos 9 pontos da figura, so em nmero de:
a) 83
b) 84
c) 85
d) 168
e) 169

07. (MACK) Um juiz dispe de 10 pessoas, das quais somente 4 so

advogados, para formar um nico jri com 7 jurados. O nmero de formas
de compor o jri, com pelo menos 1 advogado, :

a) 120
b) 108
c) 160
d) 140
e) 128

08. Do cardpio de uma festa constavam dez diferentes tipos de

salgadinhos dos quais s quatro seriam servidos quentes. O garom
encarregado de arrumar a travessa e servi-la foi instrudo para que a
mesma contivesse sempre s 2 diferentes tipos de salgadinhos frios, e s 2
diferentes dos quentes. De quantos modos diferentes, teve o garom a
liberdade de selecionar os salgadinhos para compor a travessa, respeitando
as instrues?

a) 90
b) 21
c) 240
d) 38
e) 80

09. (ITA) O nmero de solues inteiras, maiores ou iguais a zero, da

equao x + y + z + w = 5 :

a) 36
b) 48
c) 52
d) 54
e) 56

10. (MACK) Dentre os anagramas distintos que podemos formar com n

letras, das quais duas so iguais, 120 apresentam estas duas letras iguais
juntas. O valor de n :

a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
c) 122

Respostas:
01. C 02. C 03. D 04. B

05. E 06. E 07. A 08. A

10. C
09. E