TCC Eq Maxwell
TCC Eq Maxwell
TCC Eq Maxwell
Florianpolis
7 de julho de 2008
Agradecimentos
Primeiramente agradeo a Deus por todas as bnos que me concedeu e
por ter me dado sade e fora durante meu perodo de graduao.
Aos meus pais, Mirian B. B. Oberziner e Gilberto Jos Oberziner, ao meu
irmo Andr Luiz B. Oberziner e ao meu namorado Henrique C. Monteiro pelo
amor, carinho, incentivo e pacincia que nunca me faltaram.
A toda minha famlia, avs, tios, tias e primos por sempre acreditar que
daria certo e pela compreenso pelos momentos em que no pude estar presente.
Ao meu orientador, Prof. Dr. Mauricio Valencia Ferreira da Luz pelas
horas de dedicao, incentivo, amizade que muito me ajudaram a seguir nessa
caminhada.
Aos professores que contriburam de alguma forma na minha graduao,
em particular o Prof. Dr. Ivan Pontual Costa e Silva que desde a primeira fase foi
construindo conosco o significado da Matemtica e o Prof. Ms. Jos Luiz Rosas
Pinho, que muito sabiamente me deu grandes lies de vida e de humanidade.
Aos colegas de graduao, em especial a Marina O. Brigo, pela amizade
e companheirismo que foi muito alm do curso.
Sumrio
Introduo
1 As Equaes de Maxwell
10
e a Permeabilidade Magntica
................... 13
28
47
62
70
Consideraes Finais
72
Referncias Bibliogrficas
73
Introduo
Maxwell dedicou-se a formular matematicamente as teorias sobre
eletromagnetismo, conseguindo obter equaes simples que permitem descrever
fenmenos
eltricos
magnticos.
Formou-se,
ento,
teoria
do
Captulo 1
As Equaes de Maxwell
Neste
captulo,
analisaremos
as
grandezas
fundamentais
do
1.1
10
11
de induzir fluxo em um dado meio. Geralmente uma alta induo est associada
alta permeabilidade
permeabilidade, podemos dizer que se um meio induz mais fluxo porque ele
o permite mais [1].
Sendo
S.
(1.1)
Este fluxo
e a Permissividade Eltrica
14
e , podemos observar
(1.3)
Definindo um vetor
seco , o fluxo de por
definida por:
, sendo
(1.5)
meio conduzir mais ou menos corrente eltrica [1]. Podemos observar este fato na
relao abaixo, conhecida como Lei de Ohm sob forma local.
(1.6)
15
(1.8)
(1.9)
(1.10)
, ,
Como
, obtemos:
16
(1.11)
17
(1.12)
(1.13)
e a induo magntica
ento a equao:
(1.14)
18
(1.15)
equao:
(1.16)
Ou seja,
(1.17)
obtendo:
(1.18)
19
(1.19)
a permissividade eltrica e
representa a
a condutividade
(1.20)
(1.21)
(1.22)
20
e
e
conforme a figura 1.
ao meio
, os campos
(1.23)
(1.24)
(1.25)
(1.26)
onde
atravs da superfcie
. Todavia, se
so contnuas
21
magntico
e a
, com caractersticas
que
para o meio
para o meio
est
(1.27)
22
No limite, quando
e onde
lateral, temos:
(1.28)
, sendo
e
, obtm-se:
(1.29)
Observa-se que as componentes normais da densidade de fluxo eltrico so
contnuas ao longo da interface de separao dos dois meios, mesmo havendo
uma distribuio volumtrica de carga ( ).
Se houver uma distribuio superficial de carga, a equao (1.28) pode ser
reescrita como:
(1.30)
eltrico.
23
e do campo magntico
e s componentes
do domnio global
(ou
) de
condies [3]:
(1.31)
(1.32)
.
(1.33)
[3]:
(1.34)
(1.35)
24
i.
ii.
so nulas.
e
forma [1]:
(1.36)
(1.37)
(1.38)
(1.39)
(1.40)
25
Sabendo que:
e que
(1.41)
(1.42)
(1.43)
(1.44)
26
(1.45)
27
Captulo 2
Modelos Estticos Completos
Neste captulo apresentaremos os modelos eletrosttico e eletrocintico
originado do desacoplamento das equaes de Maxwell. As equaes de Maxwell
para estes modelos so resolvidas por meio da definio de potenciais escalar e
vetor. Durante o texto apresentaremos as formulaes matemticas tanto na forma
forte quanto na forma fraca.
(2.1)
(2.2)
(2.3)
28
(2.4)
Matematicamente, a aproximao que consiste em desprezar as correntes
de deslocamento, substituem um problema hiperblico de segunda ordem,
caracterizando propagao, por um elptico ou parablico, por exemplo, que
caracterizam fenmenos de uma natureza prxima dos fenmenos de difuso.
Podemos encontrar aplicaes onde o campo eltrico
fraco (ou
(2.5)
onde
a velocidade da luz e
o comprimento de onda
29
30
.
As restries globais definidas so relativas carga eltrica total
dada
(2.17)
(2.18)
(2.19)
31
e de fronteira
.
As restries globais definidas so relativas corrente eltrica dada pela
(2.25)
(2.26)
32
tal que:
(2.27)
(2.28)
33
(2.29)
Mas,
(2.30)
(2.31)
cresce.
funo escalar. Ento, a equao (2.27) tambm pode ser obtida da equao
(2.12). importante ressaltar que o estado fsico desta equao foi observado
muitos anos antes e somente com o avano do clculo vetorial que foi possvel
escrever o fenmeno desta forma.
Note que o campo eltrico assim definido representa, pela equao (2.12),
um campo admissvel. Na relao acima, o potencial
considerando os potenciais
no nico. Em efeito,
, onde
uma
34
(2.32)
Ou, em outra notao para o caso de duas dimenses,
(2.33)
uma constante.
Alm do mais, essa condio pode ser diretamente religada relao
(2.18) que impe a circulao do campo eltrico sobre um contorno. Supondo que
esse contorno liga duas fronteiras denotadas
sobre a fronteira
sobre a fronteira
, a relao
35
(2.37)
se enunciam
36
pode ser
deve associar, alm das condies de contorno, uma condio de calibre que pode
ser o calibre de Coulomb,
[3, 4].
(2.41)
(2.42)
37
(2.43)
(2.44)
(2.45)
Dizemos que a equao (2.42) e as condies de contorno (2.43), (2.44)
e (2.45) formam a formulao eletrosttica forte em potencial vetor.
atravs de:
(2.46)
Substituindo a equao (2.22) em (2.20) e depois a equao (2.46),
obtemos:
(2.47)
(2.49)
38
, as equaes diferenciais
denotada por .
que ser preciso caracterizar de forma precisa, de modo que eles acolham
os campos considerados.
Considera-se uma estrutura formada de quatro espaos funcionais e de trs
operadores diferenciais. Os quatro espaos so subconjuntos de
so integrveis em
operadores so o gradiente (
), divergente (
, onde
) e rotacional (
Os trs
). Seus
39
. Sendo
dada por
so respectivamente [3]:
(2.50)
(2.51)
(2.52)
Os domnios dos operadores foram construdos de forma a satisfazerem as
relaes [3]:
e
Isto ,
, tendo
40
e uma superfcie
(2.53)
(2.54)
(2.55)
(2.56)
Com , ,
definidos sobre
(2.57)
(2.58)
41
(respectivamente
) colocados em (2.57)
pores complementares
seja,
, respectivamente.
aplicada ao campo
a definir, isto ,
(2.59)
Onde
42
(2.61) se reduz a
sucessivamente
43
(2.62)
Na equao acima,
e nulas sobre
transmisso
pode se estender
a incgnita e os
forma forte. Ele tambm pertence ao mesmo espao que as funes teste ou ao
menos a um espao
sobre
no necessariamente homognea (
).
forma:
44
(2.64)
E ento, a equao (2.64) se torna [3]:
(2.65)
Uma formulao fraca pode ser considerada como um sistema de uma
infinidade de equaes com uma infinidade de incgnitas. Durante o texto ser
visto como possvel aproximar um determinado problema a fim de permitir sua
resoluo numrica. Essa aproximao consistir a fase da discretizao. Note que
esse o fato de reduzir o nmero de funes teste a um valor finito que
responsvel pelo carter aproximado da soluo.
No nvel contnuo, a soluo de uma formulao fraca a mesma que
aquela da formulao forte.
Ainda para o problema da eletrocintica, uma formulao fraca pode ser
estabelecida a partir da equao (2.20), isto ,
, considerando a frmula
(2.67)
45
(2.69)
46
Captulo 3
Mtodo de Elementos Finitos
Neste captulo utilizaremos das formulaes fortes e fracas obtidas no
captulo anterior para estabelecer e conceituar o mtodo de elementos finitos
(MEF). Atravs do MEF chegaremos a uma soluo numrica do problema
eletrosttico e eletrocintico.
da seguinte forma:
47
, como j mencionamos
48
Esta equao deve estar relacionada com cada n do elemento. Para o caso
da figura 4, temos [4]:
(3.3a)
(3.3b)
(3.3c)
Pela Regra de Cramer e utilizando das equaes (3.3a), (3.3b) e (3.3c),
podemos encontrar os valores dos coeficientes
(3.4a)
(3.4b)
(3.4c)
O valor de
(3.5)
49
(3.6)
onde,
(3.7)
Os outros termos
ndices.
Note que, para duas dimenses:
(3.8)
(3.9)
A equao (3.6) tambm pode ser escrita na forma [4]:
(3.10)
onde,
(3.11a)
50
(3.11b)
(3.11c)
(3.12)
. Portanto,
no n
e para
nos ns
e .
51
(3.14)
onde
(3.15)
,a
(3.16)
Na outra notao,
(3.17)
Agora, a discretizao ser associada ao mtodo residual. Para facilitar a
compreenso, faremos uma analogia com elementos em uma dimenso, onde o
elemento um segmento de reta e os ns so os pontos que limitam o segmento.
A equao (3.14) fica [4]:
(3.18)
52
Onde
a funo peso no n ,
o nmero total de ns e
o domnio
pertence.
equaes para
ns
ns
Figura 5 Funo peso
correspondem aos ns
0 nos ns
ns
Figura 6 Soma das funes peso para o elemento
como as
53
por
, temos a
(3.19)
onde
e que
(3.20a)
54
(3.20b)
(3.20c)
(3.21)
(3.22)
55
, obtemos:
(3.23)
(3.24)
(3.25)
Cada funo
igual a 1 no n
que igual a 1 no n 1 e
zero nos ns 2 e 3.
Portanto, calcular a integral (3.25) corresponde em calcular o volume da
pirmide de altura 1 como mostra, por exemplo, a figura 7 [4].
=1
56
Figura 7 Funo
Para
, obtemos:
e obtemos o segundo
(3.26)
Sendo:
- matriz rigidez contendo as contribuies de cada elemento;
- matriz dos potenciais eltricos (incgnitas);
- matriz contendo as fontes de densidade de carga eltrica.
57
Na figura,
so os elementos,
58
(3.27)
Para o elemento
(3.28)
Para o elemento
(3.29)
E para o elemento
(3.30)
Na matriz global,
Obtm-se
e .
59
Para obter
elementos
pertence aos
Para obter
corresponde s
(3.31)
60
os
termos do sistema.
Para o problema eletrosttico, a matriz rigidez ficar da seguinte forma [1]:
(3.32)
(3.33)
(3.34)
, onde
61
Captulo 4
Aplicaes dos Modelos Eletrocintico e
Eletrosttico
Neste captulo faremos duas aplicaes, uma do modelo eletrocintico e
outra do modelo eletrosttico. Para o primeiro modelo, faremos a soluo analtica
do potencial em uma calha condutora e tambm atravs do MEF, no segundo
modelo, a aplicao ser em um isolador eltrico tipo pino.
e altura
e , tem-se
e entre os pontos
e , tm-se
.
.
62
Figura 10 Distribuio do potencial eltrico (esquerda) e do campo eltrico (direita) na placa condutora retangular.
64
Figura 11 Foto dos isoladores tipo pino de porcelana (esquerda) e de vidro (direita).
65
figura 14.
66
Figura 15 Distribuio do potencial eltrico (esquerda) e do campo eltrico (direita) para o isolador de ar (ou seja, sem
nenhum isolador).
Figura 16 Distribuio do potencial eltrico (esquerda) e do campo eltrico (direita) para o isolador de vidro.
67
Figura 17 Distribuio do potencial eltrico (esquerda) e do campo eltrico (direita) para o isolador de porcelana.
Valor da
permissividade
relativa
Ar
Vidro
Porcelana
Rigidez dieltrica
em V/m
Valor mnimo do
campo eltrico em
V/m
Valor mximo do
campo eltrico em
V/m
Tabela 1 Comparao do campo eltrico total considerando o isolador fabricado com trs tipos de materiais isolantes.
68
do campo eltrico ao
com aumento da
Figura 18 Variao do mdulo da componente y do campo eltrico ao longo da linha b em azul da figura 13.
69
Apndice A
Fundamentos do Clculo Vetorial
Definio A.1. Se
funo vetorial
(ou
) definida por
Definio A.2. Se
derivadas parciais de
vetorial sobre
e as
um campo
definido por
Definio A.3. Se
, ento a divergncia de
Teorema A.4. Se
e , o gradiente de
o campo vetorial em
e existem
70
e ,
Teorema A.5. Se
parciais, ento
formada por uma curva simples , fechada, suave, com orientao positiva. Seja
um campo vetorial cujos componentes tm derivadas parciais contnuas na
regio aberta de
um campo
71
Consideraes Finais
A idia inicial era somente fazer um trabalho de concluso de curso numa
rea aplicada de forma que fosse possvel aplicar conhecimentos obtidos durante a
graduao.
Ao optar pelo estudo das equaes de Maxwell e suas aplicaes foi muito
mais interessante do que imaginei, pois percebi que esta imensa teoria do
eletromagnetismo baseia-se somente em quatro equaes relativamente simples,
as equaes de Maxwell.
A experincia que na rea da engenharia eltrica foi muito proveitosa, pois
ela vai muito alm de resultados prticos. necessrio muito conhecimento fsico
e matemtico para desempenhar um bom trabalho.
Durante o desenvolvimento do TCC notou-se que o mtodo de elementos
finitos uma ferramenta numrica muito utilizada na engenharia para soluo das
equaes diferenciais provenientes das equaes de Maxwell. Sua aplicao
muito utilizada onde no se tem solues analticas. A anlise dos resultados
obtidos com o mtodo de elementos finitos auxilia no projeto dos dispositivos
eltricos e magnticos, evitando a fabricao de muitos prottipos at se chegar no
produto final dentro dos padres exigidos pela empresa.
Espera-se que os objetivos propostos tenham sido atingidos com a
realizao do trabalho ao estudar as equaes de Maxwell, os modelos
eletrocintico e eletrosttico e as aplicaes dos mesmos.
72
Referncias Bibliogrficas
[1] BASTOS, J. P. A. Eletromagnetismo e Clculo de Campos. 3 ed. So Paulo:
UFSC, 1996.
[2] KRAUS, J. D.; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo. 2 ed. Rio de Janeiro:
Guanabara Dois, 1986.
[3] FERREIRA DA LUZ, M. V. Modelagem Numrica II. Notas de aula.
Florianpolis: UFSC, 2008.
[4] BASTOS, J. P. A; SADOWSKI, N. Eletromagnetic Modeling by Finite
Elements. New York: Marcel Dekker, 2003.
[5] LORRAIN, P.; CORSON, D.; LORRAIN, F. Campos e Ondas
Electromagnticas. Lisboa: Fundao Calouste Gulbenkian, 2000.
[6] Site http://pt.wikipedia.org/wiki/James_Clerk_Maxwell
[7] Site http://www.colegiosaofrancisco.com.br/alfa/james-clerk-maxell/jamesclerk-maxwell-2.php
[8] IDA, N.; BASTOS, J.P.A. Eletromagnetism and Calculation of Fields, New
York: Springer-Verlag, 1992.
[9] HAYT Jr, W. H. Eletromagnetismo. Rio de Janeiro: LTC, 1978.
73
HALLIDAY,
D.;
RESNICK,
R.
Fundamentos
da
Fsica
3:
74