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Sistemas de Equações Do 1° Grau Com 2 Incógnitas - Matemática Didática
Sistemas de Equações Do 1° Grau Com 2 Incógnitas - Matemática Didática
Sistemas de Equações Do 1° Grau Com 2 Incógnitas - Matemática Didática
Incgnitas
Quando tratamos as equaes do 1 grau com duas variveis vimos que a equao x + y = 20 admite
infinitas solues, pois se no houver restries como as do exemplo na pgina em questo, podemos atribuir
qualquervalorax,eparatornaraequaoverdadeira,bastaquecalculemosycomosendo20x.
Aequaoxy=6pelosmesmosmotivos,emnohavendorestries,tambmadmiteinfinitassolues.
Comoasequaesx+y=20exy=6admiteminfinitassoluespodemosnosperguntar:
Serquedentreestassoluesexistemaquelasquesocomunssduasequaes,isto,queresolvaaomesmo
tempotantoaprimeira,quantosegundaequao?
Estejustamenteotemadestetpicoquevamostrataragora.
MtodosdeResoluo
Hvriosmtodosparacalcularmosasoluodestetipodesistema.Agoraveremososdoismaisutilizados,primeiro
omtododaadioeemseguidaomtododasubstituio.
MtododaAdio
Estemtodoconsisteemrealizarmosasomadosrespectivostermosdecadaumadasequaes,afimdeobtermos
umaequaocomapenasumaincgnita.
Quando a simples soma no nos permite alcanar este objetivo, recorremos ao princpio multiplicativo da
igualdadepara multiplicarmos todos os termos de uma das equaes por um determinado valor, de sorte que a
equaoequivalenteresultante,nospermitaobterumaequaocomumanicaincgnita.
Aseguirtemosoutrasexplicaesqueretratamestassituaes.
Quandoosistemaadmiteumanicasoluo?
Tomemoscomopontodepartidaosistemacompostopelasduasequaesabaixo:
Percebaqueiremoseliminarotermocomavarively,sesomarmoscadaumdostermosdaprimeiraequaocom
orespectivotermodasegundaequao:
Agora de forma simplificada podemos obter o valor da incgnita x simplesmente passando o coeficiente 2 que
multiplicaestavarivel,paraooutroladocomaoperaoinversa,dividindoassimtodoosegundomembropor2:
Agora que sabemos que x = 13, para encontrarmos o valor de y, basta que troquemos x por 13 na primeira
equaoedepoisisolemosynoprimeiromembro:
Escolhemosaprimeiraenoasegundaequao,poisseescolhssemosasegunda,teramosquerealizarumpasso
amaisqueseriamultiplicarambososmembrospor1,jqueteramosynoprimeiromembroenoy como
preciso,noentantopodemosescolheraequaoquequisermos.Normalmenteiremosescolheraequaoquenos
facilitearealizaodosclculos.
Observetambmquenestecasoprimeiroobtivemosovalordavarivelxeemfunodeleconseguimosobtero
valordey,porqueistonoseraconveniente.Seformaisfcilprimeiroencontrarmosovalordasegundaincgnita,
assimquedevemosproceder.
Quandoumsistemaadmiteumanicasoluodizemosqueeleumsistemapossveledeterminado.
Quandoosistemaadmiteumainfinidadede
solues?
Vejamososistemaabaixo:
Note que somando todos os termos da primeira equao ao da segunda, no conseguiremos eliminar quaisquer
variveis,entovamosmultiplicarostermosdaprimeirapor2eentorealizarmosasoma:
Veja que eliminamos no uma das variveis, mas as duas. O fato de termos obtido0 = 0 indica que o sistema
admiteumainfinidadedesolues.
Quando um sistema admite uma infinidade de solues dizemos que ele um sistema possvel e
indeterminado.
Quandoosistemanoadmitesoluo?
Vejamosesteoutrosistema:
Notequesesomarmosostermosdaprimeiraequaocomosdasegunda,tambmnoconseguiremoseliminar
nenhuma das variveis, mas agora veja o que acontece se multiplicarmos por 2 todos os termos da primeira
equaoerealizarmosasomadasequaes:
Obtivemos0=3queinvlido,esteoindicativodequeosistemanoadmitesolues.
Quandoumsistemanoadmitesoluesdizemosqueeleumsistemaimpossvel.
MtododaSubstituio
Estemtodoconsisteemelegermosumadasequaesedestaisolarmosumadasvariveis.Feitoistosubstitumos
naoutraequao,avarivelisoladapelaexpressoobtidanosegundomembrodaequaoobtidaquandoisolamos
avarivel.
Esteprocedimentotambmresultaremumaequaocomumanicavarivel.
O procedimento menos confuso do que parece. A seguir veremos em detalhes algumas situaes que
exemplificamtaisconceitos,assimcomofizemosnocasodomtododaadio.
Quandoosistemaadmiteumanicasoluo?
Para nos permitir a comparao entre os dois mtodos, vamos utilizar o mesmo sistema utilizado no mtodo
anterior:
Vamosescolheraprimeiraequaoeisolaravarivelx:
Agoranasegundaequaovamossubstituirxpor20y:
Agoraquesabemosquey=7,podemoscalcularovalordex:
Quandoosistemaadmiteumainfinidadede
solues?
Solucionemososistemaabaixo:
Estesistemajfoiresolvidopelomtododaadio,agoravamosresolvlopelomtododasubstituio.
Porsermaisfcilegeraremumresultadomaissimples,vamosisolaraincgnitaydaprimeiraequao:
Agoranaoutraequaovamossubstituirypor102x:
Comoobtivemos0=0,osistemaadmiteumainfinidadedesolues.
Quandoosistemanoadmitesoluo?
Novamentevamossolucionaromesmosistemautilizadonomtodoanterior:
Observequemaisvivelisolarmosavarivelxdaprimeiraequao,poisoseucoeficiente2divisordeambos
coeficientesdoprimeiromembrodasegundaequao,oqueirajudarnosclculos:
Agorasubstitumosxnasegundaequaopelovalorencontrado:
Conformeexplicadoanteriormente,oresultado0=3indicaqueestesistemanoadmitesolues.