Teoria das categorias

 Ver artigo principal: Categoria (teoria das categorias)

Uma categoria C consiste nos seguintes elementos:

• Uma coleção de objetos de C.
• Para cada dupla a, b de objetos, uma coleção de setas (ou morfismos) do domínio (ou origem) a até o contradomínio (ou destino) b, para as quais são usadas a notações f : a → b e f ∈ hom_C(a, b).
• Para cada objeto a, uma seta de a até a, chamada identidade 1_a : a → a.
• Para cada tripla de objetos a, b, c, uma operação de composição, levando

  cada seta f : a → b e cada seta g : b → c a uma seta g ∘ f : a → c.

• Devem ser satisfeitas as igualdades:

  (Lei da identidade) Para todos objetos a, b e todas as setas f : a → b, vale 1_b ∘ f = f = f ∘ 1_a.

  (Associatividade) Para todos objetos a, b, c, d e todas as setas f : a → b, g : b → c e h : c → d, vale (h ∘ g) ∘ f = h ∘ (g ∘ f).^[7][8][9]

Há, por exemplo, categorias:

• cujos objetos são conjuntos, e cujos morfismos são funções entre conjuntos;
• cujos objetos são grupos, e cujos morfismos são homomorfismos de grupos;
• cujos objetos são espaços topológicos, e cujos morfismos são funções contínuas;
• cujos objetos são os elementos de um conjunto pré-ordenado fixo (P, ≤), e tal que, para quaisquer objetos x, y ∈ P, o número de morfismos x → y é exatamente um se x ≤ y, e zero se ¬ (x ≤ y).^[10]
• cujos objetos são vértices de um grafo, e cujos morfismos são caminhos nesse grafo.^[11]

Nestes dois últimos exemplos, percebe-se que os objetos podem não ter "elementos", e os morfismos podem não ter relação com funções.

 

Para a representação de relações entre os morfismos, usam-se diagramas consistindo de alguns dos objetos e setas de uma categoria; uma sequência de setas, cada uma tendo destino coincidindo com a origem da seguinte, representa a composição de morfismos correspondentes. Um desses diagramas é chamado diagrama comutativo quando quaisquer duas sequências de setas que iniciam num mesmo objeto, e que terminam também num mesmo objeto, têm composições iguais.^[12][13]

Dualizar consiste em inverter o sentido de cada uma das setas em um diagrama; cada categoria tem uma categoria oposta. Desse modo, os teoremas e definições em teoria das categorias se organizam em duplas, um enunciado sendo obtido do outro trocando cada categoria pela oposta; por exemplo, um epimorfismo é um monomorfismo na categoria oposta, um coproduto é um produto na categoria oposta etc.^[14]

 Ver artigo principal: Categoria (teoria das categorias)#Tipos de morfismos

Como os objetos de uma categoria podem não ter "elementos", generalizações de conceitos como função injetiva e função sobrejetiva devem envolver somente setas, e pode haver mais de uma generalização possível.

	Como uma categoria consiste de setas, nossa disciplina também poderia ser descrita como aprender como viver sem elementos, usando setas em vez deles.
— Saunders Mac Lane[15]

Como exemplo, generalizando o conceito de função injetiva, um morfismo f : a → b é chamado monomorfismo se e só se

para todo objeto c e morfismos g, h : c → a satisfazendo f ∘ g = f ∘ h, vale g = h.

Na categoria dos conjuntos, na categoria dos grupos e na categoria dos espaços topológicos, os monomorfismos são exatamente as funções injetivas.^[16] Já um morfismo f : a → b é chamado seção se e só se existe g : b → a tal que g ∘ f = 1_a. Toda seção é um monomorfismo, mas a recíproca pode falhar; com efeito, na categoria dos grupos abelianos, as seções são exatamente os homomorfismos de grupos abelianos f : A → B que são injetivos e tais que B é a soma direta da imagem de f com algum subgrupo de B.^[17]

Dualizando, um morfismo f : b → a é um epimorfismo se e só se

para todo objeto c e morfismos g, h : a → c satisfazendo g ∘ f = h ∘ f, vale g = h.

Na categoria dos conjuntos, os epimorfismos são precisamente as funções sobrejetivas. Na categoria dos anéis, no entanto, a inclusão ℤ → ℚ é um epimorfismo não sobrejetivo.^[18]

Como outro exemplo, um isomorfismo é um morfismo f : a → b tal que há g : b → a satisfazendo g ∘ f = 1_a e f ∘ g = 1_b. Na categoria dos espaços topológicos, os isomorfismos são precisamente os homeomorfismos.^[19]

 Ver artigo principal: Propriedade universal

Construções como produto cartesiano, soma direta, e espaço funcional podem ser generalizadas para todas as categorias. Com exemplo, dados objetos a, b numa categoria C, um objeto a × b, junto a morfismos p_a : a × b → a e p_b : a × b → b, forma um sistema de produto categorial (binário) se e só se, para qualquer outro objeto c e quaisquer morfismos f : c → a e g : c → b, existe único morfismo h : c → a × b tal que p_a ∘ h = f e p_b ∘ h = g.

 

Dualmente, há o conceito de coproduto (binário). Na categoria dos conjuntos, os produtos correspondem aos produtos cartesianos, e os coprodutos correspondem às uniões disjuntas. Na categoria dos grupos abelianos, os produtos e coprodutos binários coincidem, e são chamados de soma direta.^[20][21]

Uma propriedade universal é uma propriedade que envolve a existência de único morfismo que faz certo diagrama comutar. Maneiras de definir rigorosamente o conceito incluem functores representáveis e limites e colimites.^[22][23]

 Ver artigo principal: Functor

	[…] sempre que novos objetos abstratos são construídos de uma maneira especificada a partir de outros, é recomendado tratar a construção dos mapeamentos induzidos correspondentes nesses novos objetos como parte integral de sua definição.
— Samuel Eilenberg, Saunders Mac Lane[24]

Um functor é uma correspondência entre objetos de duas categorias que pode ser estendida a uma correspondência entre morfismos, de modo que sejam preservadas as identidades e as composições. Mais precisamente, dadas categorias C e D, um functor (covariante) de C até D, escrito F : C → D, consiste

• de uma atribuição, a cada objeto x ∈ C, de um objeto F(x) ∈ D,
• de uma atribuição, a cada morfismo f : x → y, de um morfismo F_{x, y}(f) = F(f) : F(x) → F(y),

satisfazendo

• F(1_x) = 1_F(x) para cada objeto x ∈ C,
• F(g ∘ f) = F(g) ∘ F(f) para cada dupla de morfismos f : x → y e g : y → z.

Exemplos de correspondências que podem ser estendidas a functores são: a correspondência entre cada conjunto A e seu conjunto de partes P(A) (levando cada f : A → B à função f^→ = (S ⊆ A) ↦ {f(x) | x ∈ S}, de imagens de subconjuntos de A); a correspondência entre cada anel comutativo K e seu grupo de matrizes invertíveis GL_n(K) de ordem n.^[25]

Noutros casos, há um functor contravariante, atribuindo um morfismo F(f) : F(y) → F(x) a cada morfismo f : x → y, e invertendo a ordem das composições. Exemplos de correspondências que podem ser estendidas a functores contravariantes são: a correspondência entre cada conjunto e seu conjunto de partes (levando cada f : A → B à função f^← = (T ⊆ B) ↦ {y | f(y) ∈ T}, de pré-imagens de subconjuntos de B); a correspondência entre cada espaço vetorial e seu espaço dual; a correspondência entre cada anel comutativo e seu espaço de ideais primos.^[26]

 Ver artigo principal: Transformação natural (teoria das categorias)

	Não é muito enganoso, pelo menos historicamente, dizer que categorias são o que deve ser definido para definir functores, e que functores são o que deve ser definido para definir transformações naturais.
— Peter Freyd[27]

Intuitivamente, uma transformação natural é uma família de morfismos numa categoria dados simultaneamente por uma mesma definição, sem depender de escolhas "arbitrárias". Por exemplo, para cada V espaço vetorial, há mapeamento linear natural e de V ao dual de seu dual, dado por e(v) = f ↦ f(v). Mais precisamente, uma transformação natural entre functores F, G : C → D é uma família de morfismos η_X : F(X) → G(X), para cada X objeto de C, satisfazendo

para qualquer morfismo f : X → Y, η_Y ∘ F(f) = G(f) ∘ η_X.^[28]

 

Eis exemplos:

• A projeção G → G∕[G, G] de cada grupo em sua abelianização (quociente pelo subgrupo comutador) pode ser representada como uma transformação natural.^[29]
• A dualidade de Pontryagin pode ser descrita como a existência de isomorfismo natural G ≅ G^∧∧, para cada G grupo abeliano localmente compacto, onde H^∧ denota o grupo topológico dos homomorfismos contínuos de H a 𝕋, grupo multiplicativo dos complexos de valor absoluto um.^[30]

Functores e transformações naturais permitem definir o conceito de equivalência de categorias.

 Ver artigo principal: Adjunção (teoria das categorias)

Uma adjunção entre functores F : C → D e G : D → C é uma família natural de isomorfismos, para quaisquer objetos c de C e d de D,$${\displaystyle \hom _{D}(F(c),d)\cong \hom _{C}(c,G(d)).}$$ Neste caso, diz-se que F é adjunto esquerdo e G é adjunto direito. Exemplos de adjunções incluem:

• Sendo C = Set a categoria de conjuntos e D = K-Vet a categoria de espaços vetoriais sobre um corpo fixo K, a adjunção$${\displaystyle \hom _{K-\mathbf {Vet} }(K[S],V)\cong \hom _{\mathbf {Set} }(S,G(V))}$$ onde K[S] é um espaço vetorial de base indexada pelo conjunto S, e G(V) é o conjunto de elementos do espaço vetorial V.^[31]
• Sendo C = Set a categoria de conjuntos e D = Grp a categoria de grupos, a adjunção$${\displaystyle \hom _{\mathbf {Grp} }(F(S),H)\cong \hom _{\mathbf {Set} }(S,G(H))}$$ onde F(S) é o grupo livre no conjunto S, e G(H) é o conjunto de elementos do grupo H.
• Sendo D = CompMet a categoria dos espaços métricos completos (cujos morfismos são os mapeamentos uniformemente contínuos) e C = Met a categoria dos espaços métricos, a adjunção$${\displaystyle \hom _{\mathbf {CompMet} }(K(M),N)\cong \hom _{\mathbf {Met} }(M,G(N))}$$ onde K(M) é a completação do espaço métrico M, e G(N) = N.^[32]
• Sendo C = D = Ab a categoria dos grupos abelianos, e sendo H grupo abeliano fixo, a adjunção$${\displaystyle \hom _{\mathbf {Ab} }(A\otimes H,B)\cong \hom _{\mathbf {Ab} }(A,\operatorname {Hom} (H,B))}$$ onde ⊗ denota o produto tensorial entre grupos abelianos, e Hom(H, B) denota o grupo abeliano de homomorfismos de grupo H → B.^[33]
• Sendo C = Top a categoria dos espaços topológicos e D = CHaus a categoria dos espaços compactos de Hausdorff, a adjunção$${\displaystyle \hom _{\mathbf {CHaus} }(F(X),K)\cong \hom _{\mathbf {Top} }(X,G(K))}$$ onde F(X) é a compactificação de Stone–Čech de X, e G(K) = K.^[34]

Se um functor F : C → D é adjunto esquerdo a G : D → C, a composição G ∘ F : C → C faz parte de uma mônade em C.^[35]

Abaixo, seguem algumas aplicações elementares da teoria das categorias.

• Functores são usados para expressar conceitos de topologia algébrica; com efeito, foi nessa área que o conceito começou a ser reconhecido.^[36]
• Os teoremas do functor adjunto podem ser usados para demonstrar a existência (e propriedades) de grupos livres, monoides livres, anéis livres etc. (mas não "corpos livres", que não existem), da compactificação de Stone–Čech e de "maiores quocientes de Hausdorff".^[37][38]
• Como adjuntos esquerdos são functores cocontínuos, F(A ⨿ B) ≅ F(A) ∗ F(B), onde F(_) denota o grupo livre, ⨿ denota a união disjunta, e ∗ denota o produto livre (coproduto de grupos).
• Se M é um (R, S)-bimódulo, o functor M ⊗_S _ é adjunto esquerdo, logo cocontínuo, e em particular é functor exato direito (não "exato esquerdo"); isto tem aplicações à álgebra homológica.^[39]
• O grupo ℤ_p dos inteiros p-ádicos pode ser descrito como o limite do functor representado diagramaticamente por$${\displaystyle \cdots \twoheadrightarrow \mathbb {Z} /p^{3}\twoheadrightarrow \mathbb {Z} /p^{2}\twoheadrightarrow \mathbb {Z} /p}$$ e o grupo ℤ[1p]∕ℤ de Prüfer pode ser descrito como o colimite do functor representado diagramaticamente por^[1]$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\xrightarrow {[n]\mapsto [p\cdot n]} \mathbb {Z} /p^{2}\xrightarrow {[n]\mapsto [p\cdot n]} \mathbb {Z} /p^{3}\rightarrow \cdots }$$ 
• Mônades são usadas na linguagem de programação Haskell para modelar, por exemplo, a manipulação de estado global e o não determinismo.^[40]
• Tom Leinster emprega teoria das categorias para construir um objeto inicial numa categoria envolvendo espaços de Banach, dando, assim, uma caracterização alternativa do espaço L¹([0 … 1]) das funções Lebesgue-integráveis no intervalo [0 … 1].^[41]