Função hiperbólica

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Na matemática, funções hiperbólicas são funções análogas às funções trigonométricas ordinárias, estas também conhecidas como funções circulares. Funções hiperbólicas foram introduzidas por volta de 1760 de maneira independente pelos matemáticos Vincenzo Riccati e Johann Heinrich Lambert^[1]. As funções hiperbólicas básicas são o seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico, dos quais são derivados a tangente hiperbólica, a cossecante hiperbólica ou a secante hiperbólica e a cotangente hiperbólica, análogas às funções trigonométricas derivadas. Em alguns casos, suas inversas também são consideradas funções hiperbólicas.

Essa classe de funções recebe esse nome porque, em muitos casos nos quais o uso de funções trigonométricas gera círculos ou elipses, o uso de funções hiperbólicas gera hipérboles, como, por exemplo, no caso das equações paramétricas:

${\displaystyle x=\cos t\,}$

${\displaystyle y=\sin t\,}$

Estas geram um círculo, enquanto que as equações:

${\displaystyle x=\cosh t\,}$

${\displaystyle y=\sinh t\,}$

geram (uma metade de) uma hipérbole.

Funções hiperbólicas aparecem nas soluções de várias equações diferenciais lineares, nas soluções de algumas equações cúbicas, em cálculos de ângulos e distâncias na geometria hiperbólica e em cálculos da Equação de Laplace em coordenadas cartesianas. Equações de Laplace são importantes em diversas áreas da física, incluindo eletromagnetismo, transferência de calor, hidrodinâmica e relatividade restrita.

Na análise complexa, as funções hiperbólicas surgem como as partes imaginárias das funções trigonométricas seno e cosseno. Quando são consideradas como definidas por uma variável complexa, as funções hiperbólicas são funções racionais de exponenciais e, portanto, holomórficas.

As expressões das funções hiperbólicas são as seguintes:

• Seno hiperbólico:

${\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}}$

• Cosseno hiperbólico:

${\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}}$.

• Tangente hiperbólica:

${\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}}$

${\displaystyle ={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}={\frac {1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}}$

• Cotangente hiperbólica: ${\displaystyle x\not =0}$

${\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}={\frac {1+e^{-2x}}{1-e^{-2x}}}}$

• Secante hiperbólica:

${\displaystyle \operatorname {sech} \,x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}}$

${\displaystyle ={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}={\frac {2e^{-x}}{1+e^{-2x}}}}$

• Cossecante hiperbólica: ${\displaystyle x\not =0}$

${\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}}$

${\displaystyle ={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}={\frac {2e^{-x}}{1-e^{-2x}}}}$

As derivadas das funções hiperbólicas são as seguintes:

• Derivada do seno hiperbólico:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sinh x=\cosh x}$

• Derivada do cosseno hiperbólico:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cosh x=\sinh x}$

• Derivada da tangente hiperbólica:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh x=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x=1/\cosh ^{2}x}$

• Derivada da cotangente hiperbólica:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\coth x=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-1/\sinh ^{2}x}$, se ${\displaystyle x\not =0}$

• Derivada da secante hiperbólica:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ \operatorname {sech} \,x=-\tanh x\ \operatorname {sech} }$

• Derivada da cossecante hiperbólica:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ \operatorname {csch} \,x=-\coth x\ \operatorname {csch} }$, se ${\displaystyle x\not =0}$

Ver artigo principal: Função hiperbólica inversa

As derivadas das funções hiperbólicas inversas (também chamadas de funções arco) são as seguintes:

• Derivada do arco seno hiperbólico:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arsinh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}$

• Derivada do arco cosseno hiperbólico:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcosh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$, se ${\displaystyle 1<x}$

• Derivada do arco tangente hiperbólico:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {artanh} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}}$, se ${\displaystyle -1<x<1}$

• Derivada do arco cotangente hiperbólico:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcoth} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}}$, se ${\displaystyle \left\vert x\right\vert >1}$

• Derivada do arco secante hiperbólico:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arsech} \,x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}}$, se ${\displaystyle 0<x<1}$

• Derivada do arco cossecante hiperbólico:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcsch} \,x=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}}$, se ${\displaystyle x\not =0}$

As funções hiperbólicas podem ser definidas, usando-se números complexos, a partir das funções trigonométricas:

• ${\displaystyle \sin(ix)=i\sinh x\,}$
• ${\displaystyle \cos(ix)=\cosh x\,}$
• ${\displaystyle \tan(ix)=i\tanh x\,}$
• ${\displaystyle \cos(x)=\cosh(ix)}$
• ${\displaystyle \sin(x)=i\sinh(-ix)}$
• ${\displaystyle \tan(x)=i\tanh(-ix)\,}$

onde i é uma unidade imaginária com a propriedade i² = −1.

As formas complexas nas definições acima são provenientes da Fórmula de Euler.

Prova resumida de ${\displaystyle \cos(ix)=\cosh(x)}$ :

${\displaystyle \cos(xy)=e^{xyi}{\frac {1}{2}}+e^{-xyi}{\frac {1}{2}}}$ :

${\displaystyle \cos(ix)=e^{-x}{\frac {1}{2}}+e^{x}{\frac {1}{2}}=\cosh(x)}$

O mesmo funciona para as demais relações afirmadas.

${\displaystyle (\operatorname {senh} (t)+\cosh(t))^{m}=(e^{t})^{m}=e^{mt}=\operatorname {senh} (mt)+\cosh(mt)}$

${\displaystyle e^{2t}=\left({\frac {\sinh(t)+\cosh(t)}{\cosh(t)-\sinh(t)}}\right)}$

${\displaystyle e^{2t}=(\sinh(t)+\cosh(t))^{2}}$

${\displaystyle \cosh ^{2}(t)-\operatorname {senh} ^{2}(t)=1}$

${\displaystyle e^{-t}(\sinh(t)+\cosh(t))=1}$

${\displaystyle e^{t}(\sinh(t)-\cosh(t))=-1}$

- GRAVILLE SMITH, William Elementos de Cálculo Diferencial e Integral Editora Biblioteca da Marinha do Brasil, 1950.

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Hyperbolic functions», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer  (em inglês)
• Hyperbolic functions on PlanetMath (em inglês)
• Hyperbolic functions entry at MathWorld (em inglês)
• Web-based calculator of hyperbolic functions (em inglês)

• Catenária, o gráfico da função ${\displaystyle y=\cosh x\,}$.