Enstrofia

Em dinâmica de fluidos, a enstrofia ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ pode ser interpretado como outro tipo de densidade potencial; ou, mais concretamente, a quantidade diretamente relacionada à energia cinética no modelo de fluxo que corresponde aos efeitos de dissipação no fluido. É particularmente útil no estudo de fluxos turbulentos, e é frequentemente identificada no estudo de propulsores, bem como na teoria de combustão e meteorologia.

Dado um domínio ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ e um campo vetorial fracamente diferenciável ${\displaystyle u\in H^{1}(\mathbb {R} ^{n})^{n}}$ que representa um fluxo de fluido, como uma solução para as equações de Navier–Stokes, sua enstrofia é dada por:^[1]

where ${\displaystyle |\nabla \mathbf {u} |^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}\left|\partial _{i}u^{j}\right|^{2}}$. Esta grandeza é igual ao quadrado da seminorma ${\displaystyle |\mathbf {u} |_{H^{1}(\Omega )^{n}}^{2}}$ da solução no espaço de Sobolev ${\displaystyle H^{1}(\Omega )^{n}}$.

No caso em que o fluxo seja incompressível, ou equivalentemente que ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$, a enstrofia pode ser descrita como a integral do quadrado da vorticidade ${\displaystyle \mathbf {\omega } }$:^[2]

${\displaystyle {\mathcal {E}}({\boldsymbol {\omega }})\equiv \int _{\Omega }|{\boldsymbol {\omega }}|^{2}\,dx}$

ou, em termos da velocidade de fluxo:

${\displaystyle {\mathcal {E}}(\mathbf {u} )\equiv \int _{S}|\nabla \times \mathbf {u} |^{2}\,dS}$

No contexto das equações incompressíveis de Navier-Stokes, a enstrofia aparece no seguinte resultado útil:^[1]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\int _{\Omega }|\mathbf {u} |^{2}\right)=-\nu {\mathcal {E}}(\mathbf {u} )}$

A quantidade entre parênteses à esquerda é a energia cinética no fluxo, então o resultado diz que a energia diminui proporcionalmente à viscosidade cinemática ${\displaystyle \nu }$ vezes a enstrofia.

• Circulação atmosférica
• Turbulência