Distância entre duas retas paralelas

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A distância entre duas retas paralelas no plano é a distância mínima entre quaisquer dois pontos.

Como as retas são paralelas, a distância perpendicular entre elas é uma constante, portanto não importa qual ponto é escolhido para medir a distância. Dadas as equações de duas retas paralelas não verticais na forma reduzida

${\displaystyle y=mx+n_{1}\,}$

${\displaystyle y=mx+n_{2}\,,}$

a distância entre as duas linhas é a distância entre os dois pontos de interseção dessas linhas com a linha perpendicular

${\displaystyle y=-x/m\,.}$

Essa distância pode ser encontrada resolvendo os sistemas lineares

${\displaystyle {\begin{cases}y=mx+n_{1}\\y=-x/m\ ,\end{cases}}}$

e

${\displaystyle {\begin{cases}y=mx+n_{2}\\y=-x/m\,\end{cases}}}$

para obter as coordenadas dos pontos de intersecção. As soluções dos sistemas lineares são os pontos

${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)\ =\left({\frac {-n_{1}m}{m^{2}+1}},{\frac {n_{1}}{m^{2}+1}}\right)\,,}$

e

${\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right)\ =\left({\frac {-n_{2}m}{m^{2}+1}},{\frac {n_{2}}{m^{2}+1}}\right)\,.}$

A distância entre os pontos é

${\displaystyle d={\sqrt {\left({\frac {n_{1}m-n_{2}m}{m^{2}+1}}\right)^{2}+\left({\frac {n_{2}-n_{1}}{m^{2}+1}}\right)^{2}}}\,,}$

que se reduz a

${\displaystyle d={\frac {|n_{2}-n_{1}|}{\sqrt {m^{2}+1}}}\,.}$

Quando as linhas dadas são da forma geral

${\displaystyle ax+by+c_{1}=0\,}$

${\displaystyle ax+by+c_{2}=0,\,}$

a distância entre elas pode ser expressa como

${\displaystyle d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

• Distância de um ponto a uma linha

• Abstand In: Schülerduden – Mathematik II . Bibliographisches Institut & FA Brockhaus, 2004,ISBN 3-411-04275-3, pp. 17-19 (em alemão)
• Hardt Krämer, Rolf Höwelmann, Ingo Klemisch: Analytische Geometrie und Lineare Akgebra . Diesterweg, 1988,ISBN 3-425-05301-9, pág. 298 (em alemão)

• Florian Modler: Vektorprodukte, Abstandsaufgaben, Lagebeziehungen, Winkelberechnung – Wann welche Formel?, pp. 44-59 (em alemão)
• AJ Hobson: “APENAS AS MATEMÁTICAS” - UNIDADE NÚMERO 8.5 - VETORES 5 (Equações vetoriais de retas), pp. 8-9