Àlgebra ëd Boole

N'àlgebra ëd Boole a l'é n'esempi amportant dë strutura algébrica. A l'é dovrà nen mach an matemàtica, ma ëdcò an vàire aplicassion, për esempi an teorìa dl'anformassion.

Na strutura algébrica ${\displaystyle B=(B,\vee ,\wedge )}$, dotà ëd doe operassion ${\displaystyle \vee ,\wedge }$, as dis àlgebra ëd Boole s'a sodisfa le propietà sì-dapress:

• J'operassion a son assossiative, visadì:

${\displaystyle (a\vee b)\vee c=a\vee (b\vee c)}$,

${\displaystyle (a\wedge b)\wedge c=a\wedge (b\wedge c)}$.

• J'operassion a son comutative, visadì:

${\displaystyle a\vee b=b\vee a}$,

${\displaystyle a\wedge b=b\wedge a}$.

• Minca operassion a l'é distributiva rëspet a l'àutra:

${\displaystyle a\vee (b\wedge c)=(a\vee b)\wedge (a\vee c)}$,

${\displaystyle a\wedge (b\vee c)=(a\wedge b)\vee (a\wedge c)}$.

• A-i son an B dj'element 0 e 1 (ciamà zero e un) taj che:

${\displaystyle a\vee 0=a}$,

${\displaystyle a\wedge 1=a}$.

• Për minca ${\displaystyle a\in B}$ a esist n'element ${\displaystyle a'\in B}$, dit complement d'a, ch'a sodisfa j'ugualianse:

${\displaystyle a\vee a'=1}$,

${\displaystyle a\wedge a'=0}$.

Si B a l'é n'àlgebra ëd Boole, as peul definisse ansima a B n'àutra strutura d'àlgebra ëd Boole ${\displaystyle B^{*}=(B,\vee ^{*},\wedge ^{*})}$ an butant

${\displaystyle a\vee ^{*}b=a\wedge b}$,

${\displaystyle a\wedge ^{*}b=a\vee b}$.

Antlora la fonsion ${\displaystyle x\mapsto x'}$ a l'é n'isomorfism antra B e B'. Costa B' a l'é dita àlgebra doal ëd B.