Wielomiany Bernoulliego

Wielomiany Bernoulliego, nazwane na cześć Jakoba Bernoulliego, łączą w sobie liczby Bernoulliego i symbol Newtona. Są używane przy rozszerzaniu funkcji w nieskończone szeregi, a także we wzorze Eulera-Maclaurina.

Te wielomiany występują w badaniach wielu funkcji specjalnych, a szczególnie w rozważaniach nad funkcją dzeta Riemanna oraz funkcją dzeta Hurwitza. Wielomiany te stanowią ciąg Appella (np. ciąg Sheffera dla zwykłego operatora pochodnej). Liczba przecięć wielomianów Bernoulliego z osią odciętych w przedziale jednostkowym jest niezmienna niezależnie od stopnia wielomianu. Dla wysokich stopni wielomianów Bernoulliego granica jest zbliżona w przybliżeniu do funkcji sinus i cosinus.

Podobnym zbiorem wielomianów są wielomiany Eulera.

Wielomiany Bernoulliego ${\displaystyle B_{n}}$ mogą zostać zdefiniowane za pomocą funkcji tworzącej. Mają również znaczną ilość innych postaci.

Funkcja tworząca dla wielomianów Bernoulliego prezentuje się następująco:

${\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}$

Odpowiednikiem tego wzoru dla wielomianów Eulera jest

${\displaystyle {\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}$

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{n-k}x^{k},}$

${\displaystyle E_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}{\frac {E_{k}}{2^{k}}}\left(x-{\frac {1}{2}}\right)^{m-k},}$

dla ${\displaystyle n\geqslant 0,}$ gdzie ${\displaystyle B_{k}}$ są liczbami Bernoulliego, a ${\displaystyle E_{k}}$ – liczbami Eulera.

Wielomiany Bernoulliego mogą zostać opisane wzorem:

${\displaystyle B_{n}(x)={\frac {D}{e^{D}-1}}x^{n},}$

gdzie ${\displaystyle D={\frac {d}{dx}}}$ jest operatorem pochodnej po ${\displaystyle x.}$ Powyższy ułamek może zostać rozszerzony do szeregu potęg formalnych. Wynika z tego, że

${\displaystyle \int _{a}^{x}B_{n}(u)du={\frac {B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}}.}$

Używając operatora pochodnej, można również zapisać wielomiany Eulera w podobny sposób.

${\displaystyle E_{n}(x)={\frac {2}{e^{D}+1}}x^{n}.}$

Wielomiany Bernoulliego są również unikalnym zbiorem wielomianów determinowanym równaniem

${\displaystyle \int _{x}^{x+1}B_{n}(u)du=x^{n}.}$

Używając transformacji całkowej zdefiniowanej jako

${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{x}^{x+1}f(u)du}$

na wielomianach ${\displaystyle f,}$ można stwierdzić, że

${\displaystyle (Tf)(x)={\frac {e^{D}-1}{D}}f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {D^{n}}{(n+1)!}}f(x)=f(x)+{\frac {f'(x)}{2}}+{\frac {f''(x)}{6}}+{\frac {f'''(x)}{24}}+\dots }$

Wiedząc, że wielomiany Bernoulliego w postaci jawnej dane są jako

${\displaystyle B_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(x+k)^{m}}$

można zauważyć podobieństwo tego wzoru do funkcji dzeta Hurwitza, a co za tym idzie, zapisać powyższy wzór za jej pomocą.

${\displaystyle B_{n}(x)=-n\zeta (1-n,x).}$

Powyższy zapis rozszerza pojęcie wielomianów Bernoulliego o niecałkowite wartości liczby ${\displaystyle n.}$

Wiedząc, że wielomiany Bernoulliego w postaci jawnej dane są jako

${\displaystyle B_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(x+k)^{m}.}$

Używając rachunku różnicowego, można zapisać jedną z sum w sposób następujący:

${\displaystyle \Delta ^{n}x^{m}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n}{k}}(x+k)^{m}.}$

Wiedząc, że ${\displaystyle \Delta =e^{D}-1}$ gdzie ${\displaystyle D={\frac {d}{dx}},}$ używając szeregu Merkatora, można zapisać:

${\displaystyle {\frac {D}{e^{D}-1}}={\frac {\ln(\Delta +1)}{\Delta }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-\Delta )^{n}}{n+1}}.}$

• liczby Bernoulliego

• Milton Abramowitz, Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (1972) Dover, New York. (Rozdział 23.)
• Tom M. Apostol (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929. (Rozdział 12.11)
• Djurdje Cvijović, Jacek Klinowski (1995), New formulae for the Bernoulli and Euler polynomials at rational arguments, Proceedings of the American Mathematical Society, 123 (5): 1527–1535
• Jesus Guillera; Jonathan Sondow (2008), Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch’s transcendent, The Ramanujan Journal. 16 (3): 247–270. arXiv:math.NT/0506319. doi:10.1007/s11139-007-9102-0
• Hugh L. Montgomery, Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory, Cambridge tracts in advanced mathematics, Vol. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Press. pp. 495–519. ISBN 978-0-521-84903-6.