Rozszerzenie algebraiczne

Rozszerzenie algebraiczne – w teorii ciał rozszerzenie ${\displaystyle L}$ ciała ${\displaystyle K,}$ którego każdy element jest algebraiczny nad ${\displaystyle K.}$

Rozważania nad rozszerzeniem ciała ${\displaystyle K}$ o pewien element ${\displaystyle a,}$ należący do ciała ${\displaystyle L,}$ które samo stanowi rozszerzenie ciała ${\displaystyle K,}$ Jerzy Browkin zaczyna od wprowadzenia pewnego homomorfizmu ${\displaystyle \varphi ,}$ mianowicie takiego, który elementom pierścienia wielomianów ${\displaystyle K[x]}$ przyporządkowywać będzie wartość, jaką dany wielomian przyjmuje po podstawieniu za ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a.}$ Formalizując, ${\displaystyle \varphi (f(x))=f(a)}$^[1].

Jądrem skonstruowanego w ten sposób homomorfizmu będzie zbiór tych tylko wielomianów z ${\displaystyle K[x],}$ które przyjmują dla zmiennej ${\displaystyle a}$ wartość ${\displaystyle 0.}$ W dalszym ciągu przywołać należy, że ${\displaystyle L}$ stanowi ciało, a każde ciało jest dziedziną całkowitości^[1]. Dowodzi się zaś, że jeśli dany pierścień ilorazowy ${\displaystyle P/I}$ jest dziedziną całkowitości, to ideał ${\displaystyle I}$ jest pierwszy^[2]. Skoro tak, to i jądro rozpatrywanego homomorfizmu ${\displaystyle \varphi }$ musi być ideałem pierwszym. Pierścień wielomianów ma ideały pierwsze w postaci bądź ideału zerowego, bądź to ideałów maksymalnych, a każdy ideał tego pierścienia jest główny – skoro więc ma być to jednocześnie ideał maksymalny, będzie on generowany przez pewien wielomian nierozkładalny^[1].

W pierwszym przypadku jądrem ${\displaystyle \varphi }$ może być wielomian zerowy^[1]. Oznacza to, że żaden inny wielomian nie znika dla elementu ${\displaystyle a.}$ Element ten, nie będąc pierwiastkiem żadnego niezerowego wielominanu, określa się jako przestępny^[3]. Homomorfizm ${\displaystyle \varphi }$ będzie wtedy zanurzeniem^[1]. Wskazuje się wtedy izomorfizm pomiędzy zbiorem ${\displaystyle f(a)}$ a ${\displaystyle K[x]}$ i podobnie między zbiorem ilorazów elementów tego zbioru z ${\displaystyle K(x).}$ Dowodzi się w takim wypadku, że ${\displaystyle K(a)}$ jest izomorficzne z ciałem funkcji wymiernych od ${\displaystyle x,}$ co wskazuje na nieskończenie liczną bazę rozszerzenia ${\displaystyle (K(a):K)}$^[1].

W drugim przypadku jądrem ${\displaystyle \varphi }$ będzie ideał generowany przez pewien wielomian nierozkładalny ${\displaystyle f,}$ taki, że ${\displaystyle a}$ stanowi jego pierwiastek^[1]. Taki element rozszerzenia, będący pierwiastkiem niezerowego wielomianu z pierścienia ${\displaystyle K[x],}$ nazywa się elementem algebraicznym nad tym ciałem^[3]. Wobec powyższego każdy wielomian ${\displaystyle g}$ wzięty z ${\displaystyle K[x],}$ jeśli znika po podstawieniu ${\displaystyle a}$ za ${\displaystyle x,}$ to należy do jądra ${\displaystyle \varphi .}$ Z uwagi na właściwości tegoż jądra musi więc być wielokrotnością ${\displaystyle f.}$ Czyni to ten ostatni jedynym nierozkładalnym wielomianem przyjmującym dla ${\displaystyle x}$ wartość ${\displaystyle 0}$^[1]. W dalszych rozważaniach korzysta się z twierdzenia o izomorfizmie. Wynika z niego, że izomorficzne w stosunku do siebie są dwa pierścienie, z których pierwszy to ${\displaystyle \varphi (K[x]),}$ a drugi to pierścień ilorazowy ${\displaystyle K[x]}$ przez ${\displaystyle (f).}$ Jako że ${\displaystyle (f)}$ oznacza tutaj ideał maksymalny generowany przez ${\displaystyle f,}$ drugi pierścień jest ciałem. Wobec izomorfizmu oba pierścienie to ciała. Pamiętając, że ${\displaystyle \varphi }$ przyporządkowuje wielomianowi z ${\displaystyle K[x]}$ jego wartość dla ${\displaystyle a,}$ dochodzi się do wniosku, że ${\displaystyle \varphi (K[x])=K(a)}$^[3].

Więcej informacji na temat ciała ${\displaystyle K(a)}$ otrzymać można, przedstawiając dowolny wielomian ${\displaystyle g}$ należący do ${\displaystyle K[x]}$ w postaci ${\displaystyle g(x)=h(x)\cdot f(x)+r(x),}$ gdzie ${\displaystyle h}$ stanowi iloraz z dzielenia ${\displaystyle g}$ przez ${\displaystyle f,}$ a ${\displaystyle r}$ stanowi resztę z tego dzielenia (i dlatego stopień wielomianu ${\displaystyle r}$ winien być mniejszy od stopnia ${\displaystyle f}$). Po podstawieniu ${\displaystyle a}$ w miejsce ${\displaystyle x}$ okazuje się, że ${\displaystyle h(a)\cdot f(a)}$ się zeruje i ${\displaystyle g(a)=r(a).}$ Wobec tego ${\displaystyle K(a)=\{r\in K[x]\},}$ pamiętając o warunku nałożonym na stopień ${\displaystyle r.}$ Można wykazać jednoznaczność przedstawienia elementów ${\displaystyle K(a)}$ poprzez ${\displaystyle r(a).}$ Oznacza to, że każdy element należący do ${\displaystyle K(a)}$ stanowi kombinację liniową elementów tworzonych poprzez podnoszenie ${\displaystyle a}$ do potęg od ${\displaystyle 0}$ do o ${\displaystyle 1}$ mniejszej od stopnia ${\displaystyle f.}$ Wobec tego zbiór tych potęg elementu ${\displaystyle a}$ stanowić będzie bazę dokonanego rozszerzenia. Ma ona dokładnie tyle elementów, ile wynosił stopień ${\displaystyle f}$^[3].

Z przeanalizowanych przypadków wynika, że w przypadku rozszerzenia ciała ${\displaystyle K}$ o element algebraiczny nad tym ciałem ${\displaystyle a}$ zawsze ${\displaystyle (K(a):K)}$ jest liczbą skończoną. Liczbę tę określa się jako stopień elementu ${\displaystyle a}$ względem ciała ${\displaystyle K}$^[3]. Stopień ten w przeanalizowanym przypadku równa się stopniowi rozpatrywanego nierozkładalnego wielomianu ${\displaystyle f,}$ który przyjmuje wartość ${\displaystyle 0}$ po podstawieniu doń tego elementu i zwany jest sam wielomianem minimalnym dla tegoż elementu^[4].

Powyższe rozważania można rozszerzyć na dowolną liczbę elementów z ${\displaystyle L.}$ Dla elementów algebraicznych nad ${\displaystyle K}$ od ${\displaystyle a_{1}}$ do ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle K(a_{1},...,a_{n})=\{g(a_{1},...,a_{n}):g\in K[x_{1},...,x_{n}]\}}$ i ${\displaystyle (K(a_{1},...,a_{n}):K)}$ również jest liczbą skończoną^[5].

Jeżeli więc dla danego ciała ${\displaystyle L,}$ które stanowi rozszerzenie ciała ${\displaystyle K,}$ dla dowolnego jego elementu ${\displaystyle a\in L}$ zachodzi druga opisana sytuacja, to znaczy każdy element rzeczonego rozszerzenia jest algebraiczny nad ${\displaystyle K,}$ a żaden nie jest przestępny, to wtedy ${\displaystyle L}$ stanowi rozszerzenie algebraiczne ${\displaystyle K}$^[5].

Jak wynika z powyższych rozważań, rozszerzenie algebraiczne jest skończone. Prawdą jest także implikacja w drugą stronę: mianowicie każde rozszerzenie skończone ciała jest zarazem algebraiczne. Jeśli bowiem ${\displaystyle (L:K)}$ jest skończone, to dla każdego elementu ${\displaystyle a}$ wziętego z ${\displaystyle L}$ rozszerzenie ${\displaystyle K(a)}$ będzie podciałem ${\displaystyle L.}$ Wobec tego ${\displaystyle (K(a):K)}$ nie będzie mogło być większe od ${\displaystyle (K:L),}$ które przyjmuje skończoną wartość. W efekcie ${\displaystyle (K(a):K)}$ także będzie miało wartość skończoną. Wobec tego rozszerzenie to będzie podpadać pod drugi z rozważanych przykładów i element ${\displaystyle a}$ będzie algebraiczny nad tym ciałem. Jako że tyczy się to dowolnego elementu wybranego z ciała ${\displaystyle L,}$ rozszerzenie musi więc być algebraiczne^[5].

• JerzyJ. Browkin JerzyJ., Teoria ciał, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977  (pol.).