Pierwiastnik

Pierwiastnik względem ustalonych liczb – wyrażenie algebraiczne zbudowane z tych liczb za pomocą czterech podstawowych działań arytmetycznych^[a] oraz pierwiastków^[1] stopni naturalnych^{[potrzebny przypis]}.

Pierwiastnikiem względem liczb ${\displaystyle x,y}$ oraz ${\displaystyle \pi }$ jest np. ${\displaystyle {\sqrt[{5}]{x+{\sqrt {\pi y+x}}}}.}$ Wyrażenie to można zatem zapisać z użyciem skończonej ilości znaków czterech działań arytmetycznych i działania pierwiastkowania.

Liczbę zespoloną ${\displaystyle z}$ można przedstawić za pomocą pierwiastników^[2], jeśli istnieją liczby zespolone ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}$ oraz liczby naturalne ${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}$ takie, że kładąc

${\displaystyle K_{0}=\mathbb {Q} }$ (ciało liczb wymiernych), ${\displaystyle K_{i}=K_{i-1}(z_{i})}$ (rozszerzenie ciała ${\displaystyle K_{i-1}}$ o element ${\displaystyle z_{i}}$) dla ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$

będziemy mieli

• ${\displaystyle z_{i}^{k_{i}}\in K_{i-1}}$ dla wszystkich ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ oraz ${\displaystyle z\in K_{n}.}$

Liczbę ${\displaystyle k=\max\{k_{1},\dots ,k_{n}\}}$ nazywa się stopniem powyższego przedstawienia.

Jeśli powyżej zastąpimy ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ przez pewne ciało ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {C} ,}$ to otrzymamy definicję przedstawialności liczby ${\displaystyle z}$ w pierwiastnikach nad ciałem ${\displaystyle K.}$ Jeśli ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (a_{1},\dots ,a_{m}),}$ to powiemy, że ${\displaystyle z}$ jest przedstawialna w pierwiastnikach względem ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{m}}$.

Niech ${\displaystyle K}$ będzie ciałem o charakterystyce 0. Element ${\displaystyle a}$ jest pierwiastnikowy względem ciała ${\displaystyle K}$ (albo element a wyraża się przez pierwiastniki względem ciała ${\displaystyle K}$), gdy istnieje ciąg ciał ${\displaystyle K=K_{0}\subset K_{1}\subset \dots \subset K_{r}}$ oraz ${\displaystyle a\in K_{r},}$ dla których zachodzi warunek:

• dla ${\displaystyle i=1,2,\dots ,r}$ ciało ${\displaystyle K_{i}}$ jest ciałem rozkładu wielomianu postaci ${\displaystyle x^{n_{i}}-a_{i}\in K_{i-1}[x].}$

Zbiór elementów pierwiastnikowych względem ciała ${\displaystyle K}$ oznacza się zwykle przez ${\displaystyle r(K)}$ i nazywa domknięciem pierwiastnikowym ciała ${\displaystyle K}$^[3].

Jeśli ${\displaystyle K}$ jest ciałem charakterystyki ${\displaystyle p>0,}$ to powyższy warunek definicji zastępuje się następującym:

• dla ${\displaystyle i=1,2,\dots ,r}$ ciało ${\displaystyle K_{i}}$ jest ciałem rozkładu wielomianu postaci ${\displaystyle x^{n_{i}}-a_{i}\in K_{i-1}[x],}$ gdzie ${\displaystyle p\not \operatorname {|} n_{i},}$ albo wielomianu postaci ${\displaystyle x^{p}-x-a_{i}\in K_{i-1}[x]}$^[3].

• Zbiór ${\displaystyle r(K)}$ jest ciałem^[4].
• Każdy element pierwiastnikowy względem ${\displaystyle r(K)}$ należy do ${\displaystyle r(K)}$^[4].
• Jeśli ${\displaystyle p,q\in \mathbb {Q} }$ oraz równanie

${\displaystyle z^{3}+pz+q=0}$

nie ma pierwiastków wymiernych, to pierwiastki tego równania nie dają się przedstawić w pierwiastnikach kwadratowych.

• Jeżeli ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$ są liczbami pierwszymi, to równanie ${\displaystyle x^{p}-2qx-q=0}$ nie jest rozwiązalne w pierwiastnikach względem ${\displaystyle \mathbb {Q} }$^[5].

Pojęcie pierwiastnika odegrało ważną rolę w badaniach (między innymi Abela i Galois) nad rozwiązalnością równań algebraicznych jednej zmiennej stopni wyższych niż 4. Badania te inspirowane były znanymi wzorami, wyrażającymi pierwiastki równań niskich stopni (wzory podane przez del Ferra i Tartaglię, a znane jako wzory Cardana dla równań stopnia trzeciego i wzory Ferrariego dla czwartego). Niestety, okazało się, że w ogólnym przypadku (to znaczy poza wyjątkowymi układami wartości współczynników równania) pierwiastki równań stopni piątego i wyższych nie wyrażają się przez pierwiastniki względem współczynników równania (twierdzenie Abela-Ruffiniego).

Pierwiastniki kwadratowe mają zastosowanie w geometrii. Punkt jest konstruowalny za pomocą cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy jest pierwiastnikiem kwadratowym nad pewnym rozszerzeniem ciała ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (Wantzel). G. Mohr i L. Mascheroni udowodnili, że w twierdzeniu powyższym można ograniczyć się do cyrkla, a J. Steiner wykazał, że jeśli na płaszczyźnie dany jest okrąg wraz ze środkiem, można ograniczyć się do linijki^[6].

• Jerzy Browkin: Teoria ciał. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977.