Iloczyny grup

Zasugerowano, aby ten artykuł podzielić na różne artykuły.

Iloczyny (produkty) grup – sposoby budowania nowych grup z dobrze już znanych, jak również metody opisu bardziej skomplikowanych grup przez inne, mniejsze, o znanej strukturze, np. każda grupa abelowa skończenie generowana jest iloczynem prostym grup cyklicznych.

Niech ${\displaystyle \{G_{i}:i\in I\}}$ będzie rodziną grup, gdzie ${\displaystyle I}$ jest co najwyżej przeliczalnym zbiorem indeksów. Rozważmy iloczyn kartezjański

${\displaystyle \prod _{i\in I}G_{i}=G_{1}\times G_{2}\times \ldots \times G_{n}\times \ldots =\{(g_{1},g_{2},\dots ,g_{n},\dots ):g_{i}\in G_{i},i\in I\}}$

z działaniem

${\displaystyle (g_{1},g_{2},\dots ,g_{n},\dots )(h_{1},h_{2},\dots ,h_{n},\dots ){\overset {\underset {\mathrm {def} }{\ }}{=}}(g_{1}h_{1},g_{2}h_{2},\dots ,g_{n}h_{n},\dots ).}$

Powyższe działanie wprowadza w tym zbiorze strukturę grupy, gdyż

• elementem neutralnym jest ${\displaystyle e=(e_{1},e_{2},\dots ,e_{n},\dots ),}$ gdzie ${\displaystyle e_{i}}$ jest elementem neutralnym grupy ${\displaystyle G_{i}}$ dla każdego ${\displaystyle i\in I,}$
• elementem odwrotnym do elementu ${\displaystyle g=(g_{1},g_{2},\dots ,g_{n},\dots )}$ jest ${\displaystyle g^{-1}=(g_{1}^{-1},g_{2}^{-1},\dots ,g_{n}^{-1},\dots ).}$

Powyższą konstrukcję nazywa się iloczynem kartezjańskim grup i oznacza symbolem ${\displaystyle \prod _{i\in I}G_{i}.}$

W definicji zastosowano dla każdej grupy zapis multyplikatywny.

Iloczynem (produktem) prostym (zewnętrznym) grup ${\displaystyle G_{i}}$ określonych wyżej nazywa się podgrupę iloczynu kartezjańskiego grup ${\displaystyle \prod _{i\in I}G_{i}}$ określonego równością

${\displaystyle \coprod _{i\in I}G_{i}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{\ }}{=}}\{(g_{1},g_{2},\dots ,g_{n},\dots ):\exists _{m}\;\forall _{i>m}\;g_{i}=e_{i}\}.}$

Iloczyn prosty jest więc zbiorem tych elementów iloczynu kartezjańskiego, których prawie wszystkie współrzędne są jedynkami odpowiednich grup. Grupa, która może być wyrażona jako iloczyn prosty właściwych podgrup jest nazywana rozkładalną, w przeciwnym wypadku nosi ona nazwę nierozkładalnej.

Jeżeli ${\displaystyle I=\{1,2,\dots ,n\}}$ jest zbiorem skończonym, to iloczyn prosty pokrywa się z iloczynem kartezjańskim grup, wówczas do jego oznaczenia stosuje się również zapis ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}\times \ldots \times G_{n}.}$

Jeżeli jednak ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ jest zbiorem przeliczalnym, a ${\displaystyle G_{i}}$ są nietrywialne dla nieskończenie wielu ${\displaystyle i\in I,}$ to ${\displaystyle \coprod G_{i}<\prod G_{i}.}$

Jeżeli rozważamy grupy ${\displaystyle A_{i}}$ z addytywnym sposobem zapisu, to iloczyn prosty nazywa się wówczas sumą prostą i pisze

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}.}$

W algebrze abstrakcyjnej sumy proste grup uogólnia się na sumy proste przestrzeni liniowych, modułów i innych struktur, więcej w artykule o sumach prostych modułów.

Sam zapis jest przemienny, tzn. dla sumy prostej dwóch grup przemiennych ${\displaystyle G=H\oplus K=K\oplus H.}$ Jest również łączny, tzn. jeżeli ${\displaystyle G=H\oplus K}$ oraz ${\displaystyle K=L\oplus M,}$ to ${\displaystyle G=H\oplus (L\oplus M)=H\oplus L\oplus M.}$

Jeżeli ${\displaystyle G=H\oplus K,}$ to można udowodnić, że:

• dla dowolnych ${\displaystyle h\in H,\;k\in K}$ zachodzi ${\displaystyle h+k=k+h,}$
• dla dowolnych ${\displaystyle g\in G}$ istnieją jednoznacznie wyznaczone ${\displaystyle h\in H,\;k\in K}$ takie, że ${\displaystyle g=h+k,}$
• zachodzi skracanie sumy w ilorazie, tzn. ${\displaystyle (H\oplus K)/K}$ jest izomorficzna z ${\displaystyle H.}$

Fakty te uogólnia się łatwo na sumę prostą skończenie wielu grup.

• grupa wektorów na płaszczyźnie euklidesowej o współrzędnych rzeczywistych z dodawaniem jest iloczynem prostym grupy liczb rzeczywistych z dodawaniem przez samą siebie.

Niech będą dane grupy ${\displaystyle N}$ i ${\displaystyle D}$ oraz homomorfizm ${\displaystyle \varphi \colon D\to \operatorname {Aut} \;N}$ grupy ${\displaystyle D}$ w grupę automorfizmów grupy ${\displaystyle N.}$

Iloczynem półprostym (zewnętrznym) grup ${\displaystyle N}$ i ${\displaystyle D}$ za pośrednictwem ${\displaystyle \varphi ,}$ oznaczanym ${\displaystyle N\rtimes _{\varphi }D,}$ nazywa się grupę składająca się z elementów ${\displaystyle (n,d),\;n\in N,d\in D}$ wraz z działaniem określonym wzorem

${\displaystyle (n_{1},d_{1})(n_{2},d_{2})=\left(n_{1}\varphi _{d_{1}}(n_{2}),d_{1}d_{2}\right)}$

oraz odwrotnością daną przez

${\displaystyle (n,d)^{-1}=\left(\varphi _{d^{-1}}(n^{-1}),d^{-1}\right),}$

i elementem neutralnym

${\displaystyle (e,1)}$

gdzie ${\displaystyle e\in N}$ oraz ${\displaystyle 1\in D}$ są elementami neutralnymi.

Niech ${\displaystyle N}$ będzie podgrupą normalną w ${\displaystyle G.}$ Dopełnieniem normalnym ${\displaystyle D}$ podgrupy ${\displaystyle N}$ w ${\displaystyle G}$ nazywamy zbiór spełniający warunki ${\displaystyle N\cap D=\{e\}}$ oraz ${\displaystyle ND=G}$ (równoważnie ${\displaystyle DN=G}$).

Grupę ${\displaystyle G}$ nazywa się iloczynem półprostym wewnętrznym podgrup ${\displaystyle N}$ i ${\displaystyle D,}$ co oznacza ${\displaystyle N\rtimes D}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle D}$ jest dopełnieniem normalnym ${\displaystyle N.}$

Jeżeli grupa ${\displaystyle G}$ jest iloczynem półprostym wewnętrznym swoich podgrup ${\displaystyle N}$ i ${\displaystyle D,}$ to jest ona izomorficzna z iloczynem półprostym zewnętrznym ${\displaystyle N\rtimes _{\varphi }D}$ za pośrednictwem homomorfizmu ${\displaystyle \varphi :D\to \operatorname {Aut} N}$ określonego jako ${\displaystyle \varphi _{d}(n)=dnd^{-1},}$ czyli sprzężenie ${\displaystyle n}$ przez ${\displaystyle d.}$ Odwrotnie, iloczyn półprosty zewnętrzny ${\displaystyle N\rtimes _{\varphi }D}$ jest wewnętrznym iloczynem półprostym swoich podgrup ${\displaystyle N\times \{1\}}$ oraz ${\displaystyle \{e\}\times D,}$ przy czym pierwsza z nich jest podgrupą normalną.

• ${\displaystyle N\rtimes _{\varphi }D\equiv N\times D}$ wtedy i tylko wtedy, gdy homomorfizm ${\displaystyle \varphi \colon D\to \operatorname {Aut} \;N}$ jest trywialny.
• ${\displaystyle N\rtimes _{\varphi }D}$ jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle N,D}$ są przemienne oraz ${\displaystyle \varphi \colon D\to \operatorname {Aut} \;N}$ jest trywialny.

• Grupa diedralna rzędu ${\displaystyle 2n}$ jest iloczynem półprostym wewnętrznym ${\displaystyle D_{n}=\mathbb {Z} _{n}\rtimes \mathbb {Z} _{2}.}$
• Grupa izometrii przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ jest iloczynem półprostym grupy obrotów oraz symetrii z grupą translacji.

• holomorf
• iloczyn kompleksowy
• suma prosta

• Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4.

• Direct product (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].