Indeks Szlenka

Indeks Szlenka – w analizie funkcjonalnej, dla danej przestrzeni Banacha ${\displaystyle X,}$ liczba porządkowa, która w pewnym sensie mierzy, jak bardzo podobne są do siebie topologia wyznaczona przez normę i *-słaba topologia na domkniętej kuli jednostkowej przestrzeni sprzężonej ${\displaystyle X^{*}.}$

Pojęcie wprowadzone w 1968 roku przez Wiesława Szlenka w celu udowodnienia, że nie istnieje uniwersalna (refleksywna) przestrzeń Asplunda dla klasy wszystkich ośrodkowych, refleksywnych przestrzeni Banacha^[1].

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią Asplunda (przestrzeń Banacha jest przestrzenią Asplunda wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń sprzężona do jej dowolnej ośrodkowej podprzestrzeni jest nadal ośrodkowa). Jeżeli ${\displaystyle \varepsilon >0}$ oraz ${\displaystyle K}$ jest *-słabo zwartym podzbiorem przestrzeni sprzężonej ${\displaystyle X^{*},}$ to niech

${\displaystyle B_{\varepsilon }^{0}=K.}$

Przy użyciu indukcji pozaskończonej definiuje się kolejno zbiory ${\displaystyle B_{\varepsilon }^{\alpha }.}$ Jeżeli ${\displaystyle \alpha =\beta +1,}$ to

${\displaystyle B_{\varepsilon }^{\alpha }=B_{\varepsilon }^{\beta }\setminus \bigcup {\mathcal {K}},}$

gdzie ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ jest rodziną wszystkich *-słabo otwartych podzbiorów ${\displaystyle B_{\varepsilon }^{\beta }}$ o średnicy nie przekraczającej ${\displaystyle \varepsilon .}$ W przypadku, gdy ${\displaystyle \alpha }$ jest liczbą graniczną definiuje się

${\displaystyle B_{\varepsilon }^{\alpha }=\bigcap _{\beta <\alpha }B_{\varepsilon }^{\beta }.}$

Wszystkie zbiory zdefiniowane powyżej są *-słabo zwarte. Niech

${\displaystyle {\mbox{Sz}}_{\varepsilon }(K)=\alpha ,}$

gdzie ${\displaystyle \alpha }$ jest najmniejszą taką liczbą porządkową, że zbiór ${\displaystyle B_{\varepsilon }^{\alpha }}$ jest pusty. Definicja ta jest poprawna (tj. dla pewnej liczby ${\displaystyle \alpha }$ zbiór ${\displaystyle B_{\varepsilon }^{\alpha }}$ jest pusty) z uwagi na założenie, że ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią Asplunda.

Indeks Szlenka zbioru ${\displaystyle K}$ definiuje się jako liczbę

${\displaystyle {\mbox{Sz}}(K)=\sup _{\varepsilon >0}{\mbox{Sz}}_{\varepsilon }(K).}$

W przypadku, gdy ${\displaystyle K}$ jest domkniętą kulą jednostkową przestrzeni ${\displaystyle X^{*}}$ (por. twierdzenie Banacha-Alaoglu), używa się notacji ${\displaystyle {\mbox{Sz}}\,X}$ i mówi się o indeksie Szlenka przestrzeni ${\displaystyle X.}$

• Jeżeli ${\displaystyle Y}$ jest przestrzenią Asplunda oraz przestrzeń ${\displaystyle X}$ zanurza się izomorficznie w przestrzeń ${\displaystyle Y,}$ to

${\displaystyle {\mbox{Sz}}(X)\leqslant {\mbox{Sz}}(Y).}$

• Jeżeli ${\displaystyle \tau }$ jest gęstością przestrzeni ${\displaystyle X}$ (minimalną mocą zbioru gęstego w ${\displaystyle X}$), to ${\displaystyle {\mbox{Sz}}(X)<\tau ^{+},}$ przy czym ${\displaystyle \tau ^{+}}$ oznacza najmniejszą liczbę kardynalną większą od ${\displaystyle \tau .}$
• Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią Asplunda, to

${\displaystyle {\mbox{Sz}}(X\oplus X)={\mbox{Sz}}(X)}$^[2].

• Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią Asplunda, to istnieje taka liczba porządkowa ${\displaystyle \alpha ,}$ że ${\displaystyle {\mbox{Sz}}(X)=\omega ^{\alpha }.}$ W szczególności, jeżeli ${\displaystyle {\mbox{Sz}}(X)<\omega _{1},}$ to ${\displaystyle \alpha <\omega _{1}.}$
• Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest taką przestrzenią Asplunda oraz ${\displaystyle {\mbox{Sz}}\,X>\alpha }$ dla pewnej przeliczalnej liczby porządkowej ${\displaystyle \alpha ,}$ to istnieje taka ośrodkowa domknięta podprzestrzeń ${\displaystyle Y}$ przestrzeni ${\displaystyle X,}$ że ${\displaystyle {\mbox{Sz}}\,Y>\alpha }$^[3].

• Jeżeli ${\displaystyle \alpha <\omega _{1},}$ to przedział liczb porządkowych ${\displaystyle [0,\omega ^{\omega ^{\alpha }}]}$ z topologią porządkową jest zwartą przestrzenią metryzowalną oraz dla dowolnej pary różnych liczb ${\displaystyle \alpha ,\beta <\omega _{1}}$ przestrzenie ${\displaystyle C([0,\omega ^{\omega ^{\alpha }}])}$ i ${\displaystyle C([0,\omega ^{\omega ^{\beta }}])}$ nie są izomorficzne^[4]. Co więcej, mogą być one rozróżnianiane poprzez indeks Szlenka. Dokładniej:

${\displaystyle {\mbox{Sz}}(C([0,\omega ^{\omega ^{\alpha }}]))=\omega ^{\alpha +1}}$^[5].

• Przestrzeń ${\displaystyle C([0,\alpha ])}$ jest przestrzenią Asplunda dla dowolnej liczby porządkowej. Jeżeli ${\displaystyle \alpha \in [\omega _{1},\omega _{1}\cdot \omega ),}$ to ponadto

${\displaystyle {\mbox{Sz}}(C([0,\alpha ]))=\omega _{1}\cdot \omega =\omega ^{\omega _{1}+1}.}$

• J. Vanderwerff, P. Hájek, S.V. Montesinos, V. Zizler, Biorthogonal Systems in Banach Spaces, Springer-Verlag GmbH, Nowy Jork 2007, ISBN 0-387-68914-1. s. 62–85