Hipoteza Poincarégo

Hipoteza Poincarégo – hipoteza dotycząca 3-wymiarowych rozmaitości topologicznych sformułowana w pracach Henriego Poincarégo w roku 1904^[1]. Przez niemal sto lat nie udawało się jej dowieść ani obalić. Była jednym z problemów milenijnych, ogłoszonych przez Instytut Matematyczny Claya w roku 2000.

Dowód potwierdzający prawdziwość hipotezy zawarty jest w pracach rosyjskiego matematyka Grigorija Perelmana dotyczących hipotezy geometryzacyjnej Thurstona, opublikowanych w roku 2002 i 2003^[2][3]. Prace Perelmana zostały zweryfikowane w roku 2006. Magazyn Science przyznał ostatecznemu rozstrzygnięciu hipotezy nagrodę „Breakthrough of the Year” roku 2006^[4].

Każda trójwymiarowa zwarta i jednospójna rozmaitość topologiczna bez brzegu jest homeomorficzna ze sferą trójwymiarową, czyli brzegiem czterowymiarowej kuli.^[5]

Ogólniejsza wersja hipotezy sformułowana została przy użyciu terminów topologii algebraicznej:

Każda n-wymiarowa rozmaitość bez brzegu, zwarta i mająca typ homotopijny n-wymiarowej hipersfery jest homeomorficzna z n-wymiarową hipersferą.

Dla wymiaru 1 (czyli dla okręgu) i 2 (czyli dla sfery) dowody znane były od lat. Stephen Smale podał w 1961 dowód dla wymiarów większych niż 4, Michael Freedman w roku 1982 dla wymiaru 4^[1].

• Krzysztof Ciesielski, Zdzisław Pogoda: Bezmiar Matematycznej Wyobraźni. Warszawa: Prószyński i S-ka, 2005. ISBN 83-7337-932-0.
• Józef H. Przytycki. Grigorij Perelman, hipoteza Poincar ́ego i odrzucony medal Fieldsa. „Wiadomości Matematyczne”. 46 (1), 2010. Polskie Towarzystwo Matematyczne. 

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Poincaré Conjecture, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-06-18].
• Poincaré conjecture (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-06-18].