Koło Mohra

Koło Mohra (koło naprężeń) – graficzna reprezentacja (rys. 1) stanu naprężenia^[1][2], opracowana przez niemieckiego inżyniera Christiana Mohra.

Koło Mohra pozwala znaleźć wykreślnie wartości naprężeń normalnych i stycznych w dowolnym kierunku^[3], a także określić naprężenia główne i kierunki główne. Koło Mohra wykorzystuje się także w transformacji płaskiego stanu naprężenia oraz do określenia momentu bezwładności po obrocie układu współrzędnych, ze względu na podobieństwo wzorów matematycznych, które opisują te transformacje.

Koło Mohra, mimo że jest konstrukcją graficzną, pozwala, na podstawie danych liczbowych obliczać wartości naprężeń na podstawie prostych związków geometrycznych^[1].

Koło Mohra jest wygodnym narzędziem analizy płaskiego stanu naprężenia w wybranym punkcie ${\displaystyle P}$ ośrodka sprężystego^[4]. Najczęściej jego konstruowanie odbywa się na podstawie znajomości naprężeń normalnych ${\displaystyle \sigma _{\alpha }>\sigma _{\beta }}$ i stycznych ${\displaystyle \tau _{\alpha }=-\tau _{\beta }}$ występujących w tym punkcie i działających na półpłaszczyzny ${\displaystyle \pi _{\alpha }}$ i ${\displaystyle \pi _{\beta }}$ określone przez ich wersory ${\displaystyle \mathbf {\vec {n}} _{\alpha }=(\cos \alpha ,\sin \alpha ),\;\;\mathbf {\vec {n}} _{\beta }=(\cos \beta ,\sin \beta )}$  (rys. 2a-c).

Koło budujemy w układzie współrzędnych ${\displaystyle 0\sigma \tau }$^[2]. Jego środek ma w tym układzie współrzędne ${\displaystyle \left({\frac {\sigma _{\alpha }+\sigma _{\beta }}{2}},\;0\right),}$ promień zaś ma długość ${\displaystyle {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{\alpha }-\sigma _{\beta }}{2}}\right)^{2}+\tau _{\alpha }^{2}}}}$ (rys. 2a). Na tym rysunku kierunek wersora ${\displaystyle \mathbf {\vec {n}} _{\alpha }}$ określa prosta wyznaczona przez punkty ${\displaystyle R\;i\;A_{\alpha },}$ przy czym współrzędne punktu ${\displaystyle A_{\alpha }}$ określają naprężenia ${\displaystyle \sigma _{\alpha },\;\tau _{\alpha }}$ działające na punkt ${\displaystyle P}$ półpłaszczyzny ${\displaystyle \pi _{\alpha }}$ (rys. 2b). Po obrocie wersora o kąt ${\displaystyle +90^{\circ }}$ przyjmuje on pozycję ${\displaystyle \mathbf {\vec {n}} _{\beta }.}$ W tym przypadku punkt ${\displaystyle A_{\beta }}$ ma współrzędne ${\displaystyle (\sigma _{\beta },\;\tau _{\beta }=-\tau _{\alpha })}$ określające stan naprężenia w punkcie ${\displaystyle P}$ półpłaszczyzny ${\displaystyle \pi _{\beta }}$ (rys. 2c).

Jest istotne, że kąty są odmierzane od kierunku osi ${\displaystyle 0\sigma ,}$ czyli od kierunku wersora wskazującego kierunek naprężenia głównego ${\displaystyle \sigma _{1}}$ (rys. 2a)^[4].

Rysunki 2b-e ilustrują stany naprężeń występujące w punkcie ${\displaystyle P}$ półpłaszczyzn ${\displaystyle \pi _{\alpha },\;\pi _{\beta },\;\pi _{\gamma },\;\pi _{\delta }}$ o wersorach ${\displaystyle \mathbf {\vec {n}} _{\alpha },\;\mathbf {\vec {n}} _{\beta },\;\mathbf {\vec {n}} _{\gamma },\;\mathbf {\vec {n}} _{\delta }.}$

Warto zauważyć, że obrotowi wersora ${\displaystyle \mathbf {\vec {n}} }$ o kąt ${\displaystyle 180^{\circ }}$ odpowiada pełne okrążenie punktu ${\displaystyle A}$ po okręgu Mohra. Wynika stąd, że dalszemu obrotowi wersora odpowiada powtórny obieg punktu ${\displaystyle A}$ po tym okręgu.

W przypadku obciążenia hydrostatycznego, tzn. gdy ${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{2},}$ koło Mohra redukuje się do punktu ${\displaystyle (\sigma _{1},\;0).}$

Gdy ${\displaystyle \sigma _{1}=-\sigma _{2},}$ środek koła ${\displaystyle 0}$ pokrywa się z początkiem ${\displaystyle S}$ układu współrzędnych ${\displaystyle 0\sigma \tau .}$ Wówczas w punkcie ${\displaystyle P}$ na półpłaszczyznach ${\displaystyle \pi _{\pm 45^{\circ }}}$ i ${\displaystyle \pi _{\pm 135^{\circ }}}$ naprężenia normalne mają wartości zerowe, a naprężenia styczne – wartości ekstremalne ${\displaystyle \tau =\pm {\frac {\sigma _{1}-\sigma _{2}}{2}}.}$ Jest to przypadek czystego ścinania w punkcie ${\displaystyle P}$^[4].

Koło Mohra może być także wykorzystane (rys. 3a) do opisu związków zachodzących pomiędzy momentami bezwładności ${\displaystyle I_{\alpha },\;I_{\beta }}$ i momentami dewiacyjnymi ${\displaystyle D_{\alpha }=-D_{\beta }}$ dowolnej figury płaskiej^[4], liczonymi względem układu współrzędnych ${\displaystyle P12}$ (rys. 3b-c). Przy tym obliczeniu figura zajmuje położenie określone wersorem tej osi głównej, centralnej, względem której główny moment bezwładności ma mniejszą wartość.

Na podstawie konstrukcji koła Mohra można podać alternatywny sposób obliczania momentu bezwładności ${\displaystyle I_{\alpha }}$ dowolnej figury płaskiej^[4] względem osi odchylonej o kąt ${\displaystyle \alpha }$ od kierunku centralnej osi głównej (1).

Wprowadźmy do rozważań nową wielkość – tzw. promień bezwładności ${\displaystyle i_{\alpha }}$ liczony prostopadle do osi ${\displaystyle 0\alpha ,}$ od środka elipsy do jej stycznej ${\displaystyle \alpha \!-\!\alpha }$ poprowadzonej w punkcie ${\displaystyle C}$ (rys. 4). Jest on określony wzorem

${\displaystyle i_{\alpha }={\sqrt {\frac {I_{\alpha }}{A}}},}$

w którym ${\displaystyle A}$ oznacza pole rozważanej figury.

Zbudujmy teraz tzw. elipsę bezwładności^[4] o półosiach mających długość głównych promieni bezwładności

${\displaystyle i_{1}={\sqrt {\frac {I_{1}}{A}}},\;\;i_{2}={\sqrt {\frac {I_{2}}{A}}}}$ (rys. 4).

W tym celu skorzystamy ze wzoru wynikającego z rys. 3.

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }&={\frac {1}{2}}(I_{1}+I_{2})+{\frac {1}{2}}(I_{1}-I_{2})\cos(2\alpha )\\[2pt]&={\frac {1}{2}}{\big (}1+\cos(2\alpha ){\big )}I_{1}+{\frac {1}{2}}{\big (}1-\cos(2\alpha ){\big )}I_{2}=I_{1}\cos ^{2}\alpha +I_{2}\sin ^{2}\alpha .\end{aligned}}}$

Stąd dla promieni bezwładności mamy

(a)   ${\displaystyle i_{\alpha }^{2}=i_{1}^{2}\cos ^{2}\alpha +i_{2}^{2}\sin ^{2}\alpha .}$

Powstaje jednak pytanie, czy wielkość ${\displaystyle i_{\alpha }}$ obliczona tym wzorem jest istotnie promieniem bezwładności względem osi ${\displaystyle 0\alpha .}$

Obliczmy odległość ${\displaystyle d}$ osi ${\displaystyle 0\alpha }$ od stycznej ${\displaystyle \alpha \!-\!\alpha }$ (rys. 4).

Wykorzystamy w tym celu dwa równania elipsy

${\displaystyle x=i_{2}\cos \varphi ,\quad y=i_{1}\sin \varphi ,}$

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}}{i_{2}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{i_{1}^{2}}}-1=0.}$

Związek pomiędzy kątami ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \varphi }$ otrzymamy, obliczając pochodną funkcji ${\displaystyle f}$ w kierunku stycznej w punkcie ${\displaystyle C.}$

${\displaystyle \left({\frac {df}{ds}}\right)_{C}={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {dx}{ds}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{ds}}={\frac {2x}{i_{2}^{2}}}(-\cos \alpha )+{\frac {2y}{i_{1}^{2}}}(-\sin \alpha )=0.}$

Stąd

(b)   ${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha =-{\frac {i_{1}^{2}}{i_{2}^{2}}}{\frac {x}{y}}=-{\frac {i_{1}}{i_{2}}}\operatorname {ctg} \varphi .}$

Teraz możemy napisać (na podstawie rys. 4)

${\displaystyle {\begin{aligned}d&=y\cos \alpha -x\sin \alpha =i_{1}\sin \varphi \cos \alpha -i_{2}\cos \varphi \sin \alpha \\[2pt]&=i_{1}\cos \alpha {\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {ctg} ^{2}\varphi }}}-i_{2}\sin \alpha {\frac {\operatorname {ctg} \varphi }{\sqrt {1+\operatorname {ctg} ^{2}\varphi }}}.\end{aligned}}}$

Po wykorzystaniu związków (b) i (a) i prostych przekształceniach otrzymujemy

${\displaystyle d={\sqrt {i_{1}^{2}\cos ^{2}\alpha +i_{2}^{2}\sin ^{2}\alpha }}=i_{\alpha }.}$

Zatem istotnie ${\displaystyle i_{\alpha }}$ jest prostopadłą odległością ${\displaystyle d}$ pomiędzy osią ${\displaystyle 0\alpha }$ a styczną ${\displaystyle \alpha \!-\!\alpha }$ (rys. 4), czyli jest, zgodnie z definicją, promieniem bezwładności względem tej osi^[4].

Rozważmy przekrój poprzeczny pręta prostego, poddanego ściskaniu (lub rozciąganiu) mimośrodowym siłą skupioną ${\displaystyle P}$ działającą na mimośrodach ${\displaystyle x_{p}}$ i ${\displaystyle y_{p}}$ (rys. 5) liczonych względem centralnych głównych osi bezwładności przekroju^[4].

W przekroju takim można wyróżnić obszar, nazywany jego rdzeniem lub jądrem, o tej własności, że działanie siły w tym obszarze wywołuje naprężenia stałego znaku w całym przekroju poprzecznym. Naprężenia te można obliczyć wzorem

${\displaystyle \sigma ={\frac {P}{A}}+{\frac {Px_{p}}{J_{y}}}x+{\frac {Py_{p}}{J_{x}}}y={\frac {P}{A}}\left(1+{\frac {x_{p}x}{i_{y}^{2}}}+{\frac {y_{p}y}{i_{x}^{2}}}\right),}$

w którym:

${\displaystyle A}$ – pole powierzchni przekroju poprzecznego,

${\displaystyle i_{x},\;i_{y}}$ – jego promienie bezwładności,

${\displaystyle x_{p},\;y_{p}}$ – współrzędne punktu przyłożenia siły ${\displaystyle P,}$

${\displaystyle x,\;y}$ – współrzędne punktu, w którym obliczane są naprężenia.

Równanie osi obojętnej ma postać^[4]

(1)   ${\displaystyle {\frac {x_{p}}{i_{y}^{2}}}x+{\frac {y_{p}}{i_{x}^{2}}}y+1=0,}$

z której wynika, że każdej stycznej ${\displaystyle T(x,y)}$ do konturu przekroju poprzecznego odpowiada pewien punkt przyłożenia siły ${\displaystyle P(x_{p},y_{p}).}$

Jeżeli zbudujemy obwiednię ${\displaystyle S}$ konturu przekroju poprzecznego w postaci linii łamanej złożonej z odcinków stycznych do tego konturu, to z równania (1) wynika również, że każdemu wierzchołkowi ${\displaystyle R(x_{o},y_{o})}$ obwiedni ${\displaystyle S}$ odpowiada prosta ${\displaystyle P(x_{p},y_{p}),}$ po której porusza się punkt ${\displaystyle P,}$ gdy styczna obraca się wokoło wierzchołka ${\displaystyle R.}$

Rdzeń przekroju jest zawsze figurą wypukłą. Mieści się ona zawsze wewnątrz obwiedni (obrysu) konturu przekroju.

Dla przykładu wyznaczymy kontur rdzenia przekroju poprzecznego pokazanego na rys. 5. Ponieważ dla tego przekroju mamy

${\displaystyle i_{x}^{2}={\frac {5}{12}}b^{2},}$

${\displaystyle i_{y}^{2}={\frac {7}{36}}b^{2},}$

więc równanie (1) przybiera postać (2)   ${\displaystyle 180x_{p}x_{o}+84y_{p}y_{o}+35b^{2}=0,}$

w której ${\displaystyle x_{o},\;y_{o}}$ są współrzędnymi wierzchołka obwiedni przekroju poprzecznego.

Dla wierzchołka ${\displaystyle A}$ tej obwiedni mamy ${\displaystyle x_{o}={\frac {5}{6}}d}$ i ${\displaystyle y_{o}=0}$ i z równania (2) otrzymujemy równanie prostej ${\displaystyle A}$ równoległej do osi ${\displaystyle 0y}$

${\displaystyle x_{p}=-{\frac {7}{60}}d.}$

Dla wierzchołka ${\displaystyle B}$ mamy ${\displaystyle x_{o}=-{\frac {d}{6}},\;y_{o}=d}$ i równanie (2) przybiera postać

(3)   ${\displaystyle -60x_{p}+168y_{p}+35d=0.}$

Jest to równanie linii konturowej ${\displaystyle B}$ rdzenia, którą wyznaczymy na podstawie dwu znanych jej punktów o współrzędnych ${\displaystyle x_{p}=0,\;y_{p}=-{\frac {5}{24}}d\;\;{}}$ oraz ${\displaystyle {}\;\;y_{p}=0,\;x_{p}={\frac {7}{12}}d.}$

Dla wierzchołka ${\displaystyle C}$ mamy ${\displaystyle x_{o}=-{\frac {2}{3}}d,\;y_{o}={\frac {1}{2}}d}$ i otrzymujemy równanie (2) o postaci

(4)   ${\displaystyle -240x_{p}+84y_{p}+35d=0.}$

Linię konturową ${\displaystyle C}$ rdzenia określają punkty ${\displaystyle x_{p}=0,\;y_{p}=-{\frac {5}{12}}d\;\;{}}$ oraz ${\displaystyle {}\;\;y_{o}=0,\;x_{o}={\frac {7}{48}}d.}$

Wyznaczone trzy linie konturowe ${\displaystyle A,B,C}$ opisują kształt połowy rdzenia (rys. 5). Druga połowa jest symetryczna względem osi ${\displaystyle 0x}$ ze względu na symetrię przekroju poprzecznego.

Warto jeszcze zwrócić uwagę na fakt, że ustawieniu siły ${\displaystyle P}$ w narożu ${\displaystyle D}$ konturu rdzenia odpowiada styczna ${\displaystyle D}$ do konturu przekroju. Pokażemy to przykładowo dla naroża ${\displaystyle D.}$ Jego współrzędne określimy, znajdując punkt przecięcia się prostych ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B.}$

Prosta ${\displaystyle A{:}}$ ${\displaystyle x_{p}=-{\frac {7}{60}},\;{}}$ prosta ${\displaystyle B{:}}$ ${\displaystyle -60x_{p}+168y_{p}+35d=0.}$

Podstawiając ${\displaystyle A}$ do ${\displaystyle B,}$ otrzymujemy ${\displaystyle y_{p}=-{\frac {1}{4}}d.}$

Jeżeli teraz współrzędne naroża ${\displaystyle D\;\left(-{\frac {7}{60}}d,\;-{\frac {1}{4}}d\right)}$ podstawimy do równania (2), to otrzymamy równanie stycznej ${\displaystyle D}$ do konturu przekroju

${\displaystyle -42x_{o}-42y_{o}+35d=0.}$

Styczna ta przechodzi przez dwa punkty

${\displaystyle x_{o}=0,\;y_{o}={\frac {5}{6}}d\;\;{}}$ oraz ${\displaystyle {}\;\;y_{o}=0,\;x_{o}={\frac {5}{6}}d,}$

i jak wynika z rys. 5, również przez naroża ${\displaystyle A\;i\;B}$ przekroju poprzecznego.

Jak widać, istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość: wierzchołkowi obwiedni przekroju poprzecznego odpowiada prosta konturu rdzenia i odwrotnie – wierzchołkowi rdzenia odpowiada styczna do konturu przekroju poprzecznego.

• elipsoida naprężeń Lamégo
• Christian Otto Mohr
• Georg Mohr