Funkcja błędu

Funkcja błędu Gaussa – funkcja nieelementarna, która występuje w rachunku prawdopodobieństwa, statystyce oraz w teorii równań różniczkowych cząstkowych. Jest zdefiniowana jako

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t.}$

Funkcja ${\displaystyle \operatorname {erf} }$ jest ściśle związana z uzupełniającą funkcją błędu ${\displaystyle \operatorname {erfc} {:}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} (x)&\equiv 1-\operatorname {erf} (x)\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}$

Definiuje się także zespoloną funkcję błędu ${\displaystyle w(x),}$ nazywaną także funkcją Faddiejewej:

${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}\operatorname {erfc} (-ix).}$

Funkcja błędu jest nieparzysta:

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)=-\operatorname {erf} (-z).}$

Ponadto należy zauważyć, że prawdziwe jest równanie:

${\displaystyle \operatorname {erf} (z^{*})=(\operatorname {erf} (z))^{*},}$

gdzie ${\displaystyle z^{*}}$ oznacza sprzężenie zespolone liczby ${\displaystyle z.}$

Dla osi rzeczywistej funkcja błędu przyjmuje następujące granice:

${\displaystyle \operatorname {erf} (\pm \infty )=\pm 1,}$

natomiast dla osi urojonej:

${\displaystyle \operatorname {erf} (\pm i\infty )=\pm i\infty .}$

Funkcja błędu jest ściśle związana z rozkładem normalnym Gaussa. Można to zauważyć, wyliczając pochodną i funkcję pierwotną funkcji błędu:

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}},}$

${\displaystyle F(z)=z\,\operatorname {erf} (z)+{\frac {e^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.}$

Przez zapisanie prawej strony definicji jako szereg Taylora i całkowanie, można dowieść, że

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (x)&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)n!}}\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{10}}-{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{9}}{216}}-\ \ldots \right)\end{aligned}}}$

dla każdego rzeczywistego ${\displaystyle x.}$

Dla ${\displaystyle |x|\ll 1,}$ wartość funkcji błędu można wygodnie wyliczyć z rozwinięcia

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (x)&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-x^{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}}{(2n+1)!!}}x^{2n+1}\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-x^{2}}\left(x+{\frac {2x^{3}}{1\cdot 3}}+{\frac {4x^{5}}{1\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {8x^{7}}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}}+\ldots \right),\end{aligned}}}$

gdzie ${\displaystyle k!!}$ oznacza silnię podwójną liczby ${\displaystyle k.}$

Dla ${\displaystyle |x|\gg 1,}$ wygodne jest następujące rozwinięcie

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (x)&=1-{\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n-1)!!}{2^{n}}}x^{-2n-1)}\\&=1-{\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {1}{2x^{3}}}+{\frac {1\cdot 3}{4x^{5}}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{8x^{7}}}+\ldots \right).\end{aligned}}}$

Jak można łatwo sprawdzić graficznie funkcje błędu można dobrze i zwięźle przybliżyć przez podobnie wyglądające i trochę zdeformowane funkcje cyklometryczne i funkcje hiperboliczne typu tangens, tzn. ${\displaystyle \operatorname {arctg} (x)}$ i ${\displaystyle \operatorname {tgh} (x){:}}$

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx {\frac {2}{\pi }}\operatorname {arctg} [2x(1+x^{4})]}$

i

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx \operatorname {sgn}(x)\operatorname {tgh} [1{,}152|x|+0{,}064|x|^{4}].}$

Są one więc także odwracalne poprzez rozwiązanie zredukowanego równania czwartego i piątego stopnia.

Także bardzo dokładne i odwracalne przybliżenie funkcji błędu (błąd poniżej 0,00035) można uzyskać poprzez deformacje odjęcia funkcji Gaussa od jedynki:

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx \operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-e^{-\alpha (x)x^{2}}}},}$

gdzie:

${\displaystyle \alpha (x)={\frac {{\frac {4}{\pi }}+ax^{2}}{1+ax^{2}}}}$

jest przybliżeniem Padégo rzędu ${\displaystyle (2,2)}$ z

${\displaystyle a={\frac {8(\pi -3)}{3\pi (4-\pi )}}\approx 0{,}140012}$

zmieniającej się szerokości funkcji Gaussa.

Przybliżenie to można jeszcze poprawić, redukując błąd do ${\displaystyle 1{,}5\times 10^{-5}}$

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx \operatorname {sgn}(x)\left[{\sqrt {1-e^{-\alpha (x)x^{2}}}}-0{,}0026P(7{,}13|x|+0{,}0001,\lambda )\right],}$

gdzie ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle (x>0)}$ jest uciąglonym przy pomocy wzoru Stirlinga rozkładem Poissona dla ${\displaystyle \lambda =10{,}2}$

${\displaystyle P(x,\lambda )=e^{-{\lambda }}\lambda ^{x}{\frac {1}{\sqrt {2\pi x}}}\left({\frac {e}{x}}\right)^{x}.}$

x	erf(x)	erfc(x)		x	erf(x)	erfc(x)
0,00	0,0000000	1,0000000		1,30	0,9340079	0,0659921
0,05	0,0563720	0,9436280		1,40	0,9522851	0,0477149
0,10	0,1124629	0,8875371		1,50	0,9661051	0,0338949
0,15	0,1679960	0,8320040		1,60	0,9763484	0,0236516
0,20	0,2227026	0,7772974		1,70	0,9837905	0,0162095
0,25	0,2763264	0,7236736		1,80	0,9890905	0,0109095
0,30	0,3286268	0,6713732		1,90	0,9927904	0,0072096
0,35	0,3793821	0,6206179		2,00	0,9953223	0,0046777
0,40	0,4283924	0,5716076		2,10	0,9970205	0,0029795
0,45	0,4754817	0,5245183		2,20	0,9981372	0,0018628
0,50	0,5204999	0,4795001		2,30	0,9988568	0,0011432
0,55	0,5633234	0,4366766		2,40	0,9993115	0,0006885
0,60	0,6038561	0,3961439		2,50	0,9995930	0,0004070
0,65	0,6420293	0,3579707		2,60	0,9997640	0,0002360
0,70	0,6778012	0,3221988		2,70	0,9998657	0,0001343
0,75	0,7111556	0,2888444		2,80	0,9999250	0,0000750
0,80	0,7421010	0,2578990		2,90	0,9999589	0,0000411
0,85	0,7706681	0,2293319		3,00	0,9999779	0,0000221
0,90	0,7969082	0,2030918		3,10	0,9999884	0,0000116
0,95	0,8208908	0,1791092		3,20	0,9999940	0,0000060
1,00	0,8427008	0,1572992		3,30	0,9999969	0,0000031
1,10	0,8802051	0,1197949		3,40	0,9999985	0,0000015
1,20	0,9103140	0,0896860		3,50	0,9999993	0,0000007

• rozkład normalny

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Erf, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-05-31].
• Probability integral (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-05-31].