Grupa (matematyka)

Grupa jest jednym z prostszych przykładów struktury algebraicznej. W grupie określone jest tylko jedno działanie, które jest abstrakcyjnym odpowiednikiem dodawania liczb rzeczywistych.

Grupą nazywamy parę (G,*), gdzie G jest dowolnym zbiorem niepustym, a * działaniem dwuargumentowym (* : G x G → G) spełniającym następujące warunki:
1. dla dowolnych a, b, c należących do G zachodzi równość:

(a * b) * c = a * (b * c)   (łączność działania)

2. istnieje w G taki element e, że dla każdego a należącego do G zachodzi równość:

e * a = a * e = a   (gdzie e nazywamy elementem neutralnym grupy)

3. dla każdego a należącego do G istnieje w G element a^-1 taki, że:

a * a^-1 = a^-1 * a = e   (gdzie a^-1 nazywamy elementem odwrotnym do a)

Jeżeli oprócz powyższych aksjomatów grupy, działanie w grupie G spełnia dodatkowo warunek przemienności:

4. dla dowolnych a, b w G zachodzi równość:

a * b = b * a,

to grupę G nazywamy grupą przemienną lub grupą abelową.

Jeśli zbiór G jest skończony, to liczbę jego elementów nazywamy rzędem grupy G i oznaczamy rzG, |G| lub #G. Jeśli zaś zbiór G jest nieskończony, to mówimy, że grupa G ma rząd nieskończony i piszemy rzG = ∞

• Czasem grupę G postaci (G, *) opisujemy jako (G, *, e) aby wyróżnić element neutralny - tutaj jest nim e.
• Ze względu na znaczenie tradycyjnych grup liczb całkowitych, liczb rzeczywistych, Z modulo n i innych, działanie w grupie często nazywa się mnożeniem lub dodawaniem, przy czym o dodawaniu mówi się raczej w odniesieniu do grup abelowych. W grupie abelowej element odwrotny nazywa się elementem przeciwnym.

zapis addytywny	zapis multiplikatywny
${\displaystyle \forall a,b,c\in G}$
( a + b ) + c = a + ( b + c )	( a b ) c = a ( b c )
${\displaystyle \exists 0\in G:\forall a\in G}$ a + 0 = 0 + a = a	${\displaystyle \exists 1\in G:\forall a\in G}$ a1 = 1a = a
${\displaystyle \forall a\in G\exists -a\in G:}$ a - a = -a + a = 0	${\displaystyle \forall a\in G\exists a^{-1}\in G:}$ a a-1 = a-1 a = 1
dla grupy abelowej
a + b = b + a	ab = ba

• Warunek łączności pozwala pomijać nawiasy w wyrażeniach postaci a*b*c. Niezależnie bowiem od tego jak je wstawimy, wynik działania jest ten sam.
• Każdy element w grupie ma tylko jeden element odwrotny.

Gdyby bowiem a'   oraz a"   były elementami odwrotnymi do a, to (z war. 3) mamy aa' = e oraz a"a = e.

Mnożąc aa' = e lewostronnie przez a"   otrzymujemy:

a"(aa') = a"e   ==>   (a"a)a' = a"   ==>   ea' = a"   ==>   a' = a"

Elementem odwrotnym do niego jest element dany: (a ^-1)^-1 = a.

• W grupie nie może być dwóch elementów neutralnych – jedyność elementu neutralnego wynika z aksjomatów grupy.

Gdyby bowiem e'   było drugim obok e elementem neutralnym, to z war. 2. dla e'   wynikałoby: e * e' = e ,  a z war. 2. dla e wynikałoby: e * e' = e   ==>   e = e' .

• Dla każdego a, b należącego do G zachodzi: (ab)^-1 = (b^-1a^-1)   bo (ab)(b^-1a^-1) = ((ab)b^-1)a^-1 = (a(bb^-1))a^-1 = aa^-1 = e

Potęgą aⁿ elementu a nazywamy n-krotne mnożenie elementu a przez siebie: aⁿ = a*a*...*a. W przypadku grupy abelowej mówi się raczej o krotności na elementu a.

• Dla każdego m, n należącego do zbioru liczb całkowitych zachodzi: a^m+n = a^maⁿ   oraz (a^m)ⁿ = a^mn
• Jeśli G jest grupa przemienną to dla każdego a, b należącego do G oraz n należącego do zbioru liczb całkowitych zachodzi: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ   bo np. (ab)² = abab = aabb = a²b²

1. Zbiór liczb całkowitych z działaniem dodawania. Grupę tę oznaczamy symbolem (Z,+).
2. Zbiór liczb wymiernych (rzeczywistych, zespolonych) z działaniem dodawania. Grupę tę nazywamy grupą addytywną ciała liczb wymiernych (rzeczywistych, zespolonych) i oznaczamy symbolem (W,+) (odpowiednio: (R,+), (C,+))
3. Grupa Z_n z działaniem dodawania modulo n
4. Zbiór liczb wymiernych (rzeczywistych, zespolonych) różnych od 0 z działaniem mnożenia i liczbą 1 jako elementem neutralnym. Grupę tę nazywamy grupą multiplikatywną zbioru liczb wymiernych i oznaczamy symbolem (W,*) (odpowiednio: (R,*), (C,*))
5. Ogólniej, niech (K, +, *) będzie dowolnym ciałem. Grupę (K, +) nazywamy grupą addytywną ciała K, a grupę grupą multiplikatywną ciała K.
6. Zbiór liczb wymiernych (rzeczywistych) dodatnich z działaniem mnożenia
7. Zbiór {-1, 1} z działaniem mnożenia
8. Zbiór wektorów na płaszczyźnie z działaniem dodawania wektorów
9. Zbiór izometrii płaszczyzny z działaniem składania przekształceń
10. Grupa permutacji danego zbioru.

Podgrupą grupy G nazywamy podzbiór H grupy G, który sam jest grupą ze względu na istniejące w grupie działanie. Formalnie zapisujemy, że H < G gdy spełnione są następujące warunki:

1. e należy do H
2. dla dowolnych a, b należących do H ab również należy do H
3. dla każdego a należącego do H a^-1 także należy do H

Często dla uproszczenia powyższe warunki zastępuje sie jednym:

1. dla każdego a, b należącego do H zachodzi: ab^-1 należy do H

Uwagi

• Element neutralny podgrupy jest identyczny z elementem neutralnym całej grupy.
• Element odwrotny a^-1 do dowolnego elementu a podgrupy jest równocześnie elementem odwrotnym do a w grupie.
• Podgrupą jest zawsze jednoelementowy podzbiór złożony z elementu neutralnego, także cała grupa jest swoją własna podgrupą. Są to tak zwane grupy niewłaściwe lub trywialne.

Przykłady:

1. Zbiór liczb rzeczywistych dotatnich tworzy pogrupę grupy liczb rzeczywystych różnych od 0 z działaniem mnożenia.
2. Zbiór liczb wymiernych tworzy pogrupę grupy liczb rzeczywistych z działaniem dodawania.
3. Zbiór liczb całkowitych tworzy pogrupę grupy liczb wymiernych z działaniem dodawania.
4. Zbiór liczb całkowitych parzystych tworzy pogrupę grupy liczb całkowitych z działaniem dodawania.
5. Zbiór obrotów tworzy pogrupę grupy wszystkich izometrii danej przestrzeni euklidesowej z działaniem składania przekształceń.
6. Zbiór macierzy kwadratowych o wyznaczniku równym 1 tworzy podgrupę grupy wszysktkich macierzy kwadratowych danego stopnia o wyznaczniku różnym od 0 z działaniem mnożenia macierzy.
7. Zbiór wszystkich potęg danego elementu ${\displaystyle \{\ldots ,a^{-2},a^{-1},a^{0}=e,a^{1},a^{2}\ldots \}}$, skończony lub nie, jest podgrupą. Jest to grupa cykliczna – nazywamy ją podgrupą generowaną przez element a. Jeśli rząd tej grupy jest skończony, to nazywamy go rzędem elementu a.

Każda grupa jest izomorficzna z podgrupą pewnej grupy permutacji.

warstwa prawostronna Ha

zbiór wszystkich elementów grupy, będących iloczynem elementu a przez dowolny element podgrupy H.

warstwa lewostronna aH

zbiór wszystkich elementów grupy, będących iloczynem dowolnego elementu podgrupy H przez element a.

Podgrupa niezmiennicza to podgrupa, w której dla dowolnego elementu a zachodzi: aH = Ha i a^-1H = Ha^-1

Niech H będzie podgrupą grupy G. Indeksem podgrupy H w grupie G nazywamy liczbę (moc zbioru) warstw lewostronnych grupy G względem H i oznaczamy (G:H).

Jeżeli (G:H) = 2 to H jest dzielnikiem normalnym G.

Niech (G, *, e_G) będzie grupą z działaniem * i elementem neutralnym e_G, a (H, &, e_H) grupą z działaniem & i elementem neutralnym e_H.

Homomorfizm grupy G w grupę H to odwzorowanie h:G→H takie, że dla dowolnych elementów a i b grupy G zachodzi:

h(a*b) = h(a)&h(b).

Homomorfizm grupy abelowej w grupę multiplikatywną ciała liczb zespolonych nazywamy charakterem grupy.

1. Niech <R, ·, 1> oznacza grupę liczb rzeczywistych różnych od zera z działaniem mnożenia. Odwzorowanie | . | : R→R, które każdej liczbie z tego zbioru przypisuje jej wartość bezwzględną jest homomorfizmem tej grupy w siebie.
2. W sytuacji jak wyżej, odwzorowanie ${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$ również jest homomorfizmem grupy ${\displaystyle R}$ w siebie.

Jądro homomorfizmu h:G→H (ozn. Ker (h) z ang. kernel) to zbiór wszystkich elementów a z grupy G, które poprzez odwzorowanie h przechodzą w element neutralny grupy H. Jądro homomorfizmu jest podgrupą grupy G i jako takie zawsze zawiera element neutralny grupy G.

1. Jądrem homomorfizmu z przykładu 1. powyżej jest zbiór {-1, 1}. Ten sam zbiór jest jądrem homomorfizmu z przykładu 2.

Obraz homomorfizmu h:G→H (ozn. Im (h) z ang. image) to zbiór wszystkich elementów grupy H, które są obrazami choc jednego elementu grupy G. Obraz homomorfizmu jest podgrupą grupy H.

jest to homomorfizm h:G→H, w którym każdej parze różnych elementó grupy G odpowiada para różnych elementów grupy H, tzn. a≠b (a,b należą do G) ==> h(a)≠h(b) (tzn. monomorfizm jest homomorfizmem, w którym odwzorowanie jest injekcją (jest różnowartościowe)).

jest to homomorfizm h:G→H, w którym h jest odwzorowaniem grupy G na całą grupę H (tzn. epimorfizm jest homomorfizmem, w którym odwzorowanie jest surjekcją (jest odwzorowaniem "na" cały zbiór).

jest to homomorfizm h:G→H, który jest jednocześnie epimorfizmem i monomorfizmem. h jest wówczas odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym (jest injekcją (różnowartościowość) ze względu na monomorfizm oraz jest suriekcją ("na") ze względu na epimorfizm - daje nam to bijekcję, czyli odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne) grupy G na grupę H. Odwzorowanie odwrotne h^-1 jest również izomorfizmem.

Grupę G nazywamy izomorficzną z H (zapisujemy: G ~ H) jeśli istnieje izomorfizm h:G→H. Przykłady zastosowań pojęcia grupy oraz opis jego wpływu na rozwój matematyki można znaleźć w artykule teoria grup.

Zobacz też: centralizator, dzielnik normalny, grupa ilorazowa, grupa permutacji, grupa wolna, iloczyn prosty grup, komutant grupy, monoid, normalizator, półgrupa, struktura algebraiczna, struktura matematyczna, p-grupa, podstawowe zagadnienia z zakresu matematyki, twierdzenie Cayley'a, twierdzenie Lagrange'a_(teoria grup), twierdzenie Sylowa