گروه (ریاضیات)

در ریاضیات، یک گروه، مجموعه ای است مجهز به عمل دوتایی، به گونه‌ای که این عمل دوتایی هر دو عنصر را که با هم ترکیب کند، عنصر سومی ایجاد کرده، به گونه ای که چهار شرط اصول موضوعه ای گروه ها را ارضاء کند. این اصول شامل بسته بودن، شرکت پذیری، همانی و معکوس پذیری می باشد. یکی از آشنا ترین مثال از گروه ها مجموعه اعداد صحیح با در نظر گرفتن عمل جمع می باشد. گروه ها در قلمروهای متنوعی در داخل و خارج از ریاضیات مشاهده می شوند و کمک کرده تا بر روی جنبه های ساختاری تمرکز شود.^[۱]^[۲]

گروه‌ها ارتباط بنیادینی با مفهوم تقارن دارند. به عنوان مثال در یک گروه تقارنی، ویژگی های تقارن هندسی یک شیء کدگذاری شده است: گروه شامل مجموعه تبدیل هاییست که خود شئ را دستکاری نمی کنند، اعمال دو عدد از این گونه تبدیل ها به طور پیاپی در حقیقت همان عمل ضرب گروهی آن دو عمل بوده که معادل با یک عمل سوم دیگری می شود (ممکن است آن عمل با یکی از همان دو عمل یکی شود، که در حالتی پیش می آید که یکی از آن دو تبدیلات، تبدیل همانی باشد). گروه های لی، گروه های تقارنی هستند که در مدل استاندارد فیزیک ذرات بنیادی از آن ها استفاده شده است؛ گروه های پوانکاره نیز نوعی گروه لی هستند که می توانند تقارن های فیزیکی نظریه نسبیت خاص را بیان کنند و از گروه های نقطه ای برای رسیدن به درک بهتری از پدیده تقارن ملکولی در شیمیایی کمک گرفته می شود.

مفهوم گروه از مطالعه ی معادلات چند جمله ای اواریسته گالوا در دهه ۱۸۳۰ سر برآورد. بعد از کمک هایی که شاخه های دیگر ریاضی چون نظریه اعداد و هندسه جبری کردند، مفهوم گروه تعمیم پیدا کرده و در حدود ۱۸۷۰ میلادی مستحکم گشت. نظریه گروه مدرن، که یک شاخه فعال ریاضیات است، خود گروه ها را به صورت محض مورد مطالعه قرار می دهند.^a[›] ریاضیدانان برای کاوش بیشتر در گروه ها، مفاهیم مختلفی را ایجاد نمودند تا گروه ها را به قطعات کوچکتری مثل زیرگروه ها، گروه های خارج قسمتی و گروه های ساده بشکنند تا بهتر بتوان آن ها را مطالعه نمود. نظریه گروه دانان، علاوه بر مطالعه خواص مجرد گروه ها، گروه ها را از طرق ملموس دیگری نیز توصیف کرده اند، مثل توصیف گروه از دیدگاه نظریه نمایش (یعنی از طریق نمایش های دیگر گروه) و نظریه محاسباتی گروه ها. یک نظریه برای گروه های متناهی توسعه یافته است، که اوج آن دسته بندی گروه های ساده متناهی می باشد. این نظریه در سال ۲۰۰۴ میلادی تکمیل گشته است.^aa[›] از اواسط دهه ۱۹۸۰، نظریه گروه های هندسی، که به مطالعه گروه های متناهیاً تولید شده می پردازد، تبدیل به شاخه فعالی در نظریه گروه ها شده است.

مثال

آشناترین مثال برای یک گروه اعداد صحیح همراه با عمل جمع معمولی است.

مجموع هر دو عدد صحیح یک عدد صحیح است پس اعداد صحیح تحت جمع بسته است.
فرض کنید a, b, c اعداد صحیح باشند. در این صورت جمع a+b با c برابر است با جمع a با b+c و بنابراین مجموعهٔ اعداد صحیح تحت جمع شرکت پذیر است.
همانی جمع صفر است. حاصل جمع هر عدد صحیح با صفر،خودش می‌شود.
وارون جمعی هر عدد صحیح، منفی آن است.

مفاهیم پایه‌ای

زیرگروه

زیرگروه به زبان ساده، گروهی است که زیرمجموعهٔ یک گروه بزرگتر است. به زبان دقیق‌تر، فرض کنید G یک گروه و H زیرمجموعهٔ G باشد. H را زیرگروه G می‌گوییم هرگاه تحدید دامنهٔ عمل دوتایی G به H خود شرایط گروه را برآورده سازد.

همریختی گروه‌ها

هم‌ریختی گروه‌ها تابعی است که ساختار گروه را حفظ می‌کند. به زبان دقیق‌تر، تابع $\alpha :G\to H$ یک همریختی بین دو گروه $(G,*)$ و $(H,\star )$ است هرگاه داشته باشیم: $\forall a,b\in G\rightarrow \alpha (a*b)=\alpha (a)\star \alpha (b)$

همدسته

گروه G و زیرگروه H را در نظر بگیرید. رابطه $\sim _{H}$ را روی G به این صورت تعریف می‌کنیم:

$x\sim _{H}y\leftrightarrow \ \exists h\in H\ ;\ x=yh$

این رابطه بر روی G یک رابطهٔ هم‌ارزی است و G را به رده‌های هم‌ارزی افراز می‌کند. هر ردهٔ هم ارزی را یک همدستهٔ چپ H می‌گویند. کلاس هم‌ارزی شامل عنصر x به این صورت خواهد بود:

$\{xh\ ;\ h\in H\}$

همدسته‌های راست نیز به طور مشابه با ضرب عنصری از H از طرف دیگر تعریف می‌شوند.

تعمیم ها

ساختارهای شبیه گروه
	کلی^α	شرکت‌پذیری	همانی	معکوس‌پذیری	جابجاپذیری
نیم-گروهوار
رسته کوچک
گروهوار
ماگما
شبه گروه
مگامای یکه
لوپ
نیم-گروه
نیم-گروه معکوس
تکوار
تکوار جابجایی
گروه
گروه آبلی
^ بستار، که در بسیاری از منابع استفاده شده است، اصول موضوعه ای معادل با کلی بودن (totality) است، هرچند به صورت متفاوتی تعریف شده است.

در جبر مجرد، ساختار های عمومی تری تعریف شدند که هر کدام برخی از اصول موضوعه های گروه ها را بر می دارند (یعنی ضعیف تر هستند، بجز یکی از آن ها که شرط قوی تری دارد، یعنی گروه های آبلی)^[۳]^[۴]^[۵]. به عنوان مثال، اگر شرط وجود عضو معکوس را برداریم به ساختار مونوید می رسیم. اعداد طبیعی $\mathbb {N}$ (شامل صفر) تحت جمع یک مونوئید تشکیل می دهد، همینطور اعداد صحیح ناصفر تحت ضرب نیز یک مونوید تشکیل می دهند $(\mathbb {Z} \setminus {0})$ به جدول نگاه کنید. روش کلی وجود دارد که به طور صوری عضو های معکوس را به هر مونوید آبلی اضافه می کند، دقیقا همانگونه که $(\mathbb {Q} \setminus {0})$ از $(\mathbb {Z} \setminus {0})$ ساخته می شود. این فرآیند ساخت گروه از مونوید آبلی را گروه گروتندیک می گویند. گروه واره ها مشابه گروه ها هستند با این تفاوت که ترکیب دو عنصر یعنی $a\bullet b$ برای تمام $a$ و $b$ ها تعریف نشده است. این موجودات در مطالعه فرم های پیچیده ی تقارنی که در ساختار های توپولوژی و تحلیلی وجود دارند ظاهر می گردند، مثل گروه واره های بنیادی یا استک ها. در نهایت، امکان تعمیم هر کدام از مفاهیم با جایگزینی عمل دوتایی با یک عمل n-تایی وجود دارد (یعنی یک عمل که $n$ تا ورودی داشته باشد). با تعمیمات مناسب اصول موضوعه های گروه، می توان گروه n-تایی ساخت ^[۶] . جدول فوق لیستی است از چندین ساختار که هر کدام به نوعی گروه ها را تعمیم می دهند.

ارجاعات

↑ Herstein 1975, §2, p. 26
↑ Hall 1967, §1.1, p. 1: "The idea of a group is one which pervades the whole of mathematics both pure and applied."
↑ Mac Lane 1998
↑ Denecke & Wismath 2002
↑ Romanowska & Smith 2002
↑ Dudek 2001

منابع

منابع عمومی

Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-89871-510-1, Chapter 2 contains an undergraduate-level exposition of the notions covered in this article.
Devlin, Keith (2000), The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible, Owl Books, ISBN 978-0-8050-7254-9, Chapter 5 provides a layman-accessible explanation of groups.
Hall, G. G. (1967), Applied group theory, American Elsevier Publishing Co., Inc., New York, MR 0219593, an elementary introduction.
Herstein, Israel Nathan (1996), Abstract algebra (3rd ed.), Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall Inc., ISBN 978-0-13-374562-7, MR 1375019.
Herstein, Israel Nathan (1975), Topics in algebra (2nd ed.), Lexington, Mass.: Xerox College Publishing, MR 0356988.
Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
Lang, Serge (2005), Undergraduate Algebra (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-22025-3.
Ledermann, Walter (1953), Introduction to the theory of finite groups, Oliver and Boyd, Edinburgh and London, MR 0054593.
Ledermann, Walter (1973), Introduction to group theory, New York: Barnes and Noble, OCLC 795613.
Robinson, Derek John Scott (1996), A course in the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6.

منابع تخصصی

Artin, Emil (1998), Galois Theory, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-62342-9.
Aschbacher, Michael (2004), "The Status of the Classification of the Finite Simple Groups" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 51 (7): 736–740.
Becchi, C. (1997), Introduction to Gauge Theories, p. 5211, arXiv:hep-ph/9705211, Bibcode:1997hep.ph....5211B.
Besche, Hans Ulrich; Eick, Bettina; O'Brien, E. A. (2001), "The groups of order at most 2000", Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, 7: 1–4, doi:10.1090/S1079-6762-01-00087-7, MR 1826989.
Bishop, David H. L. (1993), Group theory and chemistry, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-67355-4.
Borel, Armand (1991), Linear algebraic groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 126 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97370-8, MR 1102012.
Carter, Roger W. (1989), Simple groups of Lie type, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50683-6.
Conway, John Horton; Delgado Friedrichs, Olaf; Huson, Daniel H.; Thurston, William P. (2001), "On three-dimensional space groups", Beiträge zur Algebra und Geometrie, 42 (2): 475–507, arXiv:math.MG/9911185, MR 1865535.
Coornaert, M.; Delzant, T.; Papadopoulos, A. (1990), Géométrie et théorie des groupes [Geometry and Group Theory], Lecture Notes in Mathematics (به فرانسوی), vol. 1441, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-52977-4, MR 1075994.
Denecke, Klaus; Wismath, Shelly L. (2002), Universal algebra and applications in theoretical computer science, London: CRC Press, ISBN 978-1-58488-254-1.
Dudek, W.A. (2001), "On some old problems in n-ary groups", Quasigroups and Related Systems, 8: 15–36.
Frucht, R. (1939), "Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe [Construction of Graphs with Prescribed Group]", Compositio Mathematica (به آلمانی), 6: 239–50, archived from the original on 2008-12-01.
Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, vol. 129, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97495-8, MR 1153249
Goldstein, Herbert (1980), Classical Mechanics (2nd ed.), Reading, MA: Addison-Wesley Publishing, pp. 588–596, ISBN 0-201-02918-9.
Hatcher, Allen (2002), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-79540-1.
Husain, Taqdir (1966), Introduction to Topological Groups, Philadelphia: W.B. Saunders Company, ISBN 978-0-89874-193-3
Jahn, H.; Teller, E. (1937), "Stability of Polyatomic Molecules in Degenerate Electronic States. I. Orbital Degeneracy", Proceedings of the Royal Society A, 161 (905): 220–235, Bibcode:1937RSPSA.161..220J, doi:10.1098/rspa.1937.0142.
Kuipers, Jack B. (1999), Quaternions and rotation sequences—A primer with applications to orbits, aerospace, and virtual reality, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-05872-6, MR 1670862.
Kuga, Michio (1993), Galois' dream: group theory and differential equations, Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-3688-3, MR 1199112.
Kurzweil, Hans; Stellmacher, Bernd (2004), The theory of finite groups, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-40510-0, MR 2014408.
Lay, David (2003), Linear Algebra and Its Applications, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-70970-4.
Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98403-2.
Michler, Gerhard (2006), Theory of finite simple groups, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86625-5.
Milne, James S. (1980), Étale cohomology, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08238-7
Mumford, David; Fogarty, J.; Kirwan, F. (1994), Geometric invariant theory, vol. 34 (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56963-3, MR 1304906.
Naber, Gregory L. (2003), The geometry of Minkowski spacetime, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-43235-9, MR 2044239.
Neukirch, Jürgen (1999), Algebraic Number Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 322, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859, Zbl 0956.11021
Romanowska, A.B.; Smith, J.D.H. (2002), Modes, World Scientific, ISBN 978-981-02-4942-7.
Ronan, Mark (2007), Symmetry and the Monster: The Story of One of the Greatest Quests of Mathematics, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-280723-6.
Rosen, Kenneth H. (2000), Elementary number theory and its applications (4th ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-87073-2, MR 1739433.
Rudin, Walter (1990), Fourier Analysis on Groups, Wiley Classics, Wiley-Blackwell, ISBN 0-471-52364-X.
Seress, Ákos (1997), "An introduction to computational group theory" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 44 (6): 671–679, MR 1452069.
Serre, Jean-Pierre (1977), Linear representations of finite groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90190-9, MR 0450380.
Shatz, Stephen S. (1972), Profinite groups, arithmetic, and geometry, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08017-8, MR 0347778
Suzuki, Michio (1951), "On the lattice of subgroups of finite groups", Transactions of the American Mathematical Society, 70 (2): 345–371, doi:10.2307/1990375, JSTOR 1990375.
Warner, Frank (1983), Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90894-6.
Weinberg, Steven (1972), Gravitation and Cosmology, New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-92567-5.
Welsh, Dominic (1989), Codes and cryptography, Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853287-3.
Weyl, Hermann (1952), Symmetry, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-02374-8.

منابع تاریخی

Borel, Armand (2001), Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0288-5
Cayley, Arthur (1889), The collected mathematical papers of Arthur Cayley, vol. II (1851–1860), Cambridge University Press.
O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "The development of group theory", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
Curtis, Charles W. (2003), Pioneers of Representation Theory: Frobenius, Burnside, Schur, and Brauer, History of Mathematics, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2677-5.
von Dyck, Walther (1882), "Gruppentheoretische Studien (Group-theoretical Studies)", Mathematische Annalen (به آلمانی), 20 (1): 1–44, doi:10.1007/BF01443322, archived from the original on 2014-02-22.
Galois, Évariste (1908), Tannery, Jules (ed.), Manuscrits de Évariste Galois [Évariste Galois' Manuscripts] (به فرانسوی), Paris: Gauthier-Villars (Galois work was first published by Joseph Liouville in 1843).
Jordan, Camille (1870), Traité des substitutions et des équations algébriques [Study of Substitutions and Algebraic Equations] (به فرانسوی), Paris: Gauthier-Villars.
Kleiner, Israel (1986), "The Evolution of Group Theory: A Brief Survey", Mathematics Magazine, 59 (4): 195–215, doi:10.2307/2690312, JSTOR 2690312, MR 0863090.
Lie, Sophus (1973), Gesammelte Abhandlungen. Band 1 [Collected papers. Volume 1] (به آلمانی), New York: Johnson Reprint Corp., MR 0392459.
Mackey, George Whitelaw (1976), The theory of unitary group representations, University of Chicago Press, MR 0396826
Smith, David Eugene (1906), History of Modern Mathematics, Mathematical Monographs, No. 1.
Wussing, Hans (2007), The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-45868-7.

[1] Herstein 1975, §2, p. 26

[2] Hall 1967, §1.1, p. 1: "The idea of a group is one which pervades the whole of mathematics both pure and applied."

[MacLane-3] Mac Lane 1998

[4] Denecke & Wismath 2002

[5] Romanowska & Smith 2002

[6] Dudek 2001

[۱]

[۲]

a[›]

aa[›]

α

[۳]

[۴]

[۵]

[۶]

ن ب و جبر
شاخه‌ها	جبر مجرد نظریه رسته‌ها جبر مقدماتی کا-نظریه جبر جابجایی جبر ناجابجایی نظریه ترتیب جبر جهانی
ساختارهای جبری	گروه (نظریه) حلقه (نظریه) مدول (نطریه) میدان حلقه چندجمله‌ای (چندجمله‌ای) جبر ترکیبی
جبر خطی	ماتریس (نظری) فضای برداری (بردار) مدول فضای ضرب داخلی (ضرب نقطه‌ای) فضای هیلبرت
جبر چندخطی	جبر تنسوری جبر خارجی جبر متقارن جبر هندسی (چندبرداری)
لیست موضوعات	جبر مجرد ساختارهای جبری نظریه گروه‌ها جبر خطی
واژه نامه‌ها	جبر خطی نظریه میدان‌ها نظریه حلقه‌ها نظریه ترتیب
مباحث مرتبط	ریاضیات تاریخچه جبر
رده درگاه ریاضیات