JP2001243215A - ２次元電磁界シミュレーション方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【課題】誘電率が空間内で不連続的に変化する場合の２
次元電磁界シミュレーションを高い精度で行う方法を提
供すること。 【解決手段】平面内に誘電率ε_１の第１の媒質と、誘電
率ε_２の第２の媒質とが直線を境界として接し、そこに
２次元電磁波が存在する場合に、格子点を前記境界に平
行及び垂直に２次元配置し、前記境界に平行（垂直）な
電界成分が割り当てられる格子点に割り当てる誘電率ε
_ｐ（ε_Ｏ）を、ε_ｐ＝(ｒ_１ε_１＋ｒ _２ε_２)/(ｒ_１＋ｒ
_２）と１/ε_Ｏ＝(ｓ_１/ε_１＋ｓ_２/ε_２)/(ｓ_１＋ｓ_２)
とで表されるものとし、このε_ｐ（ε_Ｏ）を用いて前記
境界に平行（垂直）な電界成分の時間変化を計算する２
次元電磁界シミュレーション方法を構成する。ここに、
ｒ_１とｒ_２（ｓ_１とｓ_２）は前記格子点を中心とする、
前記境界に平行あるいは垂直な辺のみを持つ４辺形の単
位格子中の第１の媒質と第２の媒質の面積である。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は電磁波の電磁界を計
算によって求める電磁界シミュレーション方法に関し、
特に２次元電磁波の２次元電磁界シミュレーション方法
に関する。

【０００２】

【従来の技術】近年、“社会の情報化”が著しく進展し
ている。その中で、情報のキャリアとしての電磁波の利
用は、ますます、高度化している。具体的には、光導波
路やアンテナをそれぞれの目的に合わせ、精密に設計す
ることが必要とされるようになってきている。

【０００３】上記の設計を遂行するに際して、複雑な環
境の中での電磁界の時間変化を詳細にシミュレーション
することが求められている。そのような目的の為に使用
される手法の一つとして時間領域差分法（Yee, K. S.,
“Numerical solution of initial boundary value pro
blems involving Maxwell's equations in isotropicme
dia,”IEEE Transactions on Antennas and Propagatio
n, Vol. Ap-14, pp. 302-307, 1966 に記載)がある。こ
の手法は、電磁界の時間変化を記述する基本方程式であ
るマクスウェル（Maxwell）の方程式を、イー格子（Yee
格子）と呼ばれる格子を用いて空間的に差分化し、電
磁界の時間変化を追跡しようとするものである。この手
法を用いて空間の離散化に用いる格子点間隔を十分小さ
くすることにより、電磁界の時間変化の詳細なシミュレ
ーションが可能である。

【０００４】図７はコンピュータにより電磁界シミュレ
ーションを行う装置主要部の機能ブロック図である。図
において、１はシミュレーション用基礎データと各種パ
ラメタを入力するための入力装置であり、３は電磁界シ
ミュレーションを行う演算装置であり、２は入力装置１
からの入力情報や演算装置３からの演算結果等を記憶す
る記憶装置であり、４は記憶装置２の記憶情報をシミュ
レーション結果として出力するための出力装置である。
図中、太い矢印はデータの流れを示している。

【０００５】シミュレーションする領域の誘電率分布、
初期の電磁界成分や計算に必要な時間ステップ等のパラ
メタが入力装置１から入力され、記憶装置２に記憶され
る。演算装置３において、記憶装置２に記憶されている
電磁界成分のデータと誘電率分布のデータから次の時間
ステップでの電磁界成分データが求められる。求められ
た電磁界成分データは再び記憶装置２に記憶され、さら
に次の時間ステップの電磁界成分を求めるために使用さ
れる。記憶装置２に記憶された電磁界成分データは、必
要に応じて、出力装置４から出力させることができる。

【０００６】従来技術において、上記イー格子を用いる
２次元電磁界シミュレーション方法に従って、１つの平
面に平行な交流磁界成分を持たない２次元電磁波が該平
面に存在する場合に、該電磁波の該平面における電磁界
が、数値計算によって求められている。この場合の「２
次元電磁波」は、電磁波そのものが前記の平面内に限ら
れているものを意味するのではなく、その電磁界の振動
が該平面に垂直な方向の距離には依存していないような
３次元電磁波を意味している。

【０００７】

【発明が解決しようとする課題】上記従来技術における
２次元電磁界シミュレーション方法において、シミュレ
ーション領域の誘電率が空間的に一様な場合は、シミュ
レーションの誤差は、空間離散化に用いるセル幅（たと
えば、イー格子の格子定数）の２乗に比例して減少す
る。このことは、時間領域差分法は“二次精度”と表現
される。

【０００８】一方、誘電率が空間内で不連続的に変化す
る場合、上記時間領域差分法は一般に“二次精度”とは
ならない。そこで、セル幅を順次小さくしてシミュレー
ションを行っても、結果が一定の値に収束するのに時間
がかかり、シミュレーションの精度が向上しにくい。

【０００９】本発明は、この点に鑑みてなされたもので
あり、誘電率が空間内で不連続的に変化する場合の２次
元電磁界シミュレーションを高い精度で行う方法を提供
することを目的とする。

【００１０】

【課題を解決するための手段】上記目的を達成するため
に、本発明においては、請求項１に記載のように、１つ
の平面内に、透磁率μ、誘電率ε_１を有する第１の媒質
と、透磁率μ、誘電率ε_２を有する第２の媒質とが１つ
の直線を境界として接し、前記平面内に、前記平面に平
行な交流磁界成分を持たない電磁波が存在する場合に、
前記平面と等価な仮想平面を前記平面と同一視し、前記
仮想平面内に、格子点を前記境界に平行な方向及び垂直
な方向に２次元配置して２次元格子を形成し、前記格子
点に、それぞれの格子点における、前記境界に平行な電
界成分及び該電界成分の時間変化の計算に用いる誘電
率、前記境界に垂直な電界成分及び該電界成分の時間変
化の計算に用いる誘電率、前記平面に垂直な磁界成分の
うちの１つ以上を割り当て、前記電磁波の電磁界の時間
変化を数値計算によって求める２次元電磁界シミュレー
ション方法であって、前記境界に平行な電界成分が割り
当てられる格子点及び前記境界に垂直な電界成分が割り
当てられる格子点が、それぞれ、前記２次元格子の、前
記境界に平行あるいは垂直な辺のみを持つ４辺形単位格
子の中心となるようにし、前記境界に平行な電界成分が
割り当てられる格子点が中心となっている前記単位格子
中の前記第１の媒質及び前記第２の媒質の面積を、それ
ぞれ、ｒ_１及びｒ _２とし、前記境界に垂直な電界成分が
割り当てられる格子点が中心となっている前記単位格子
中の前記第１の媒質及び前記第２の媒質の面積を、それ
ぞれ、ｓ_１及びｓ_２とし、前記境界に平行な電界成分が
割り当てられる格子点に割り当てられる、該電界成分の
時間変化の計算に用いる誘電率として、 ε_ｐ ＝(ｒ_１ε_１＋ｒ_２ε_２)/(ｒ_１＋ｒ_２) で表されるε_ｐを用い、前記境界に垂直な電界成分が割
り当てられる格子点に割り当てられる、該電界成分の時
間変化の計算に用いる誘電率として、 １/ε_Ｏ ＝(ｓ_１/ε_１＋ｓ_２/ε_２)/(ｓ_１＋ｓ_２) で表されるε_Ｏを用いることを特徴とする２次元電磁界
シミュレーション方法を構成する。

【００１１】また、本発明においては、請求項２に記載
のように、１つの平面内に、透磁率μ、誘電率ε_１を有
する第１の媒質と、透磁率μ、誘電率ε_２を有する第２
の媒質とが１つの直線を境界として接し、前記平面内
に、前記平面に平行な交流磁界成分を持たない電磁波が
存在する場合に、前記平面と等価な仮想平面を前記平面
と同一視し、前記仮想平面内に、前記境界に平行なｙ軸
と前記境界に垂直なｘ軸とを設け、ｉ、ｊを整数とし、
Δｘ、Δｙを正の定数とし、前記仮想平面内に、ｘ座標
がｉΔｘでありｙ座標がｊΔｙである第一のタイプの格
子点（ｉ，ｊ）、ｘ座標がｉΔｘでありｙ座標が(ｊ＋
１/２）Δｙである第二のタイプの格子点（ｉ，ｊ＋１/
２）、及び、ｘ座標が（ｉ＋１/２）Δｘでありｙ座標
がｊΔｙである第三のタイプの格子点（ｉ＋１/２，
ｊ）を配置し、前記第一のタイプの格子点（ｉ，ｊ）
に、該格子点における、ｘ方向とｙ方向とに垂直な磁界
成分Ｈ_ｚ(ｉ，ｊ）を割り当て、前記第二のタイプの格
子点（ｉ，ｊ＋１/２）に、該格子点におけるｘ方向電
界成分Ｅ_ｘ(ｉ，ｊ＋１/２）及び該電界成分の時間変化
の計算に用いる誘電率ε(ｉ，ｊ＋１/２）を割り当て、
前記第三のタイプの格子点（ｉ＋１/２，ｊ）に、該格
子点におけるｙ方向電界成分Ｅ_ｙ(ｉ＋１/２，ｊ）及び
該電界成分の時間変化の計算に用いる誘電率ε(ｉ＋１/
２，ｊ）を割り当て、前記２次元電磁波の電磁界の時間
変化を数値計算によって求める２次元電磁界シミュレー
ション方法において、前記第三のタイプの格子点（ｉ＋
１/２，ｊ）のうちで前記境界までの距離が最小である
格子点を近傍平行電界格子点と呼び、その最小である距
離をｄ_ｐとし、前記第二のタイプの格子点（ｉ，ｊ＋１
/２）のうちで前記境界までの距離が最小である格子点
を近傍垂直電界格子点と呼び、その最小である距離をｄ
_Ｏとし、前記近傍平行電界格子点（ｉ＋１/２，ｊ）に
割り当てる誘電率ε(ｉ＋１/２，ｊ）として、 ε_ｐ ＝((２ｄ_ｐ＋ｄ_Ｏ)ε_ｉ＋ｄ_Ｏε_ｅ)/(２(ｄ_ｐ＋ｄ
_Ｏ)) （ここに、ε_ｉは前記近傍平行電界格子点が配置されて
いる媒質の誘電率であり、ε_ｅはε_ｉと異なる誘電率、
すなわち、ε_ｉがε_１と等しければε_２、ε_ｉがε_２と
等しければε_１である）で表されるε_ｐを用い、前記近
傍垂直電界格子点（ｉ，ｊ＋１/２）に割り当てる誘電
率ε(ｉ，ｊ＋１/２）として、 １/ε_Ｏ ＝((２ｄ_Ｏ＋ｄ_ｐ)/ε_ｉ＋ｄ_ｐ/ε_ｅ)/(２(ｄ
_ｐ＋ｄ_Ｏ)) （ここに、ε_ｉは前記近傍垂直電界格子点が配置されて
いる媒質の誘電率であり、ε_ｅはε_ｉと異なる誘電率、
すなわち、ε_ｉがε_１と等しければε_２、ε_ｉがε_２と
等しければε_１である）で表されるε_Ｏを用い、前記近
傍平行電界格子点と前記近傍垂直電界格子点とを除く第
二のタイプの格子点（ｉ，ｊ＋１/２）及び第三のタイ
プの格子点（ｉ＋１/２，ｊ）のそれぞれに割り当てる
誘電率ε(ｉ，ｊ＋１/２）及びε(ｉ＋１/２，ｊ）とし
て、該格子点のそれぞれが配置されている媒質の誘電率
を用いることを特徴とする２次元電磁界シミュレーショ
ン方法を構成する。

【００１２】また、本発明においては、請求項３に記載
のように、前記Ｈ_ｚ(ｉ，ｊ）、Ｅ_ｘ(ｉ，ｊ＋１/
２）、ε(ｉ，ｊ＋１/２）、Ｅ_ｙ(ｉ＋１/２，ｊ）及び
ε(ｉ＋１/２，ｊ）を、コンピュータハードウエア資源
であるメモリに、数値として蓄え、該数値を引き出して
計算に用いることを特徴とする請求項２に記載の２次元
電磁界シミュレーション方法を構成する。

【００１３】

【発明の実施の形態】本発明においては、１つの平面内
に透磁率μ、誘電率ε_１を有する第１の媒質と、透磁率
μ、誘電率ε_２を有する第２の媒質とが１つの直線を境
界として接し、前記平面内に、電界の振動が前記平面内
にある２次元電磁波が存在する場合を対象とし、前記平
面と等価な（すなわち、２点間の距離を不変とする写像
の像となる）仮想平面を前記平面と同一視し、前記仮想
平面内に、格子点を、前記境界に平行な方向及び垂直な
方向に２次元配置して２次元格子を形成し、前記格子点
に、それぞれの格子点における、前記境界に平行な電界
成分及び該電界成分の時間変化の計算に用いる誘電率、
前記境界に垂直な電界成分及び該電界成分の時間変化の
計算に用いる誘電率、前記平面に垂直な磁界成分のうち
の１つ以上を割り当て、前記２次元電磁波の電磁界の時
間変化を数値計算によって求める。 （実施の形態１）つぎに、請求項１に係る発明の１つの
実施の形態を説明する。

【００１４】この場合に、上記の２次元格子として用い
る格子を図３に示す。この格子は、ＮａＣｌ（１００）
面型格子であり、図３に示したように、タイプａの格子
点とタイプｂの格子点とが媒質境界に平行な方向及び垂
直な方向に沿って、交互に、２次元配置されて構成され
ている。

【００１５】この格子面内に、媒質境界に平行なｙ軸と
垂直なｘ軸とを設け、両軸の交点（座標の原点）をタイ
プａの格子点の１つに一致させ、ｉ、ｊを整数あるいは
半整数（整数に１/２を加えた数）とし、Δｘ、Δｙを
正の定数とすれば、タイプａの格子点は格子点（ｉ，
ｊ）（ただし、ｉ＋ｊは整数）と表され、タイプｂの格
子点は格子点（ｉ，ｊ）（ただし、ｉ＋ｊは半整数）と
表され、いずれの格子点のｘ座標及びｙ座標も、それぞ
れ、ｉΔｘ及びｊΔｙと表される。

【００１６】本実施の形態においては、タイプａの格子
点（ｉ，ｊ）には、該格子点におけるｘ方向電界成分Ｅ
_ｘ（ｉ，ｊ）及び該電界成分の時間変化の計算に用いる
誘電率ε_ｘ(ｉ，ｊ）と、該格子点におけるｙ方向電界
成分Ｅ_ｙ（ｉ，ｊ）及び該電界成分の時間変化の計算に
用いる誘電率ε_ｙ(ｉ，ｊ）とを割り当て、タイプｂの
格子点（ｉ，ｊ）には、該格子点における磁界のｘ軸と
ｙ軸とに垂直な成分Ｈ _ｚ（(ｉ，ｊ）を割り当てる。

【００１７】なお、ｚ方向（ｘ方向とｙ方向とに垂直な
方向）の電界成分Ｅ_ｚ、ｘ方向の磁界成分Ｈ_ｘとｙ方向
の磁界成分Ｈ_ｙ（より正確には、それぞれの交流成分）
は常に０とする。

【００１８】以上のように、電磁界成分は空間的に異な
った位置に割り当てられるが、時間的にも、前記仮想平
面に時間の次元を加えてなる仮想３次元空間中の異なっ
た位置に割り当てられる。例えば、磁界が、離散化され
た時刻ｔ^１、ｔ^２、…ｔ^{ｎ− １}、ｔ^ｎ、ｔ^ｎ＋１、…に
割り当てられるとすると、電界はｔ^１／２、ｔ^{１＋１
／２}、ｔ^{２＋１／２}、…ｔ^{ｎ−１／２}、ｔ^{ｎ＋１／２}、
ｔ^{ｎ＋３／２}、…というように、磁界は、電界成分が割
り当てられた時刻の中間の時刻に割り当てられる。

【００１９】電磁界成分のデータは、記憶装置２中の、
格子点と離散化された時刻の組に対応するメモリ領域に
記憶される。記憶された電磁界成分から次の時刻の電磁
界は次の演算式（マクスウェルの方程式における微分演
算を差分演算に置き換えたものから導かれる）により求
められる。

【００２０】

【数１】 ここで、△ｔは時間ステップ間隔であり、電磁界成分の
肩に付けられたｎ−１/２、ｎ、ｎ＋１/２、ｎ＋１は、
その電磁界成分が、それぞれ、時刻ｔ^{ｎ−１／ ２}、
ｔ^ｎ、ｔ^{ｎ＋１／２}、ｔ^ｎ＋１において各格子点に割り
当てられるものであることを示す。また、分母に現れる
Δｘ及びΔｙは、その上にある分子における２つの電磁
界成分が割り当てられている２格子点間のｘ座標差の絶
対値及びｙ座標差の絶対値である。

【００２１】演算後の結果は再び記憶装置２に記憶され
るが、前の時刻の電界データを次の時刻の電界データで
置き換えても、或いは、前の時刻の磁界データを次の時
刻の磁界データで置き換えても、以後の時刻の電磁界の
計算には支障はない。それは、式(１）、(２）、(３）
で示されるように、電界の計算と磁界の計算が交互に行
われているからである。

【００２２】本実施の形態においては、媒質境界線に平
行な電界成分が割り当てられる格子点と媒質境界線に垂
直な電界成分が割り当てられる格子点とは一致してタイ
プａの格子点であり、それは図３に示してあるように、
必ず、前記２次元格子の、媒質境界線に平行あるいは垂
直な辺のみを持つ４辺形単位格子の中心となっている。

【００２３】一般に、図１に示すように、媒質境界線に
平行あるいは垂直な辺のみを持つ４辺形単位格子の中心
が媒質境界線に平行な電界成分が割り当てられる格子点
あるいは媒質境界線に垂直な電界成分が割り当てられる
格子点となっているとき、媒質境界線に平行な電界成分
が割り当てられる格子点が中心となっている第１の単位
格子中で、誘電率ε_１を有する第１の媒質が占める面積
をｒ_１、誘電率ε_２を有する第２の媒質が占める面積を
ｒ_２とし、媒質境界線に垂直な電界成分が割り当てられ
る格子点が中心となっている第２の単位格子中で、誘電
率ε_１を有する第１の媒質が占める面積をｓ_１、誘電率
ε_２を有する第２の媒質が占める面積をｓ_２とすると、
第１の単位格子中の媒質の、媒質境界線に平行な電界に
対する平均誘電率ε_ｐは、式 ε_ｐ ＝(ｒ_１ε_１＋ｒ_２ε_２)/(ｒ_１＋ｒ_２) （４） を満足し、第２の単位格子中の媒質の、媒質境界線に垂
直な電界に対する平均誘電率ε_Ｏは、式 １/ε_Ｏ ＝(ｓ_１/ε_１＋ｓ_２/ε_２)/(ｓ_１＋ｓ_２) （５ ） を満足する。そこで、請求項１の記載に従って、第１の
単位格子の中心、すなわち、媒質境界線に平行な電界成
分が割り当てられる格子点（本実施の形態においては、
タイプａの格子点（ｉ，ｊ））に、式（４）で表される
ε_ｐを（本実施の形態においては、ε_ｙ(ｉ，ｊ）とし
て）割り当て、第２の単位格子の中心、すなわち、媒質
境界線に垂直な電界成分が割り当てられる格子点（本実
施の形態においては、タイプａの格子点（ｉ，ｊ））
に、式（５）で表されるε_Ｏを（本実施の形態において
は、ε_ｘ(ｉ，ｊ）として）割り当てることは、きわめ
て妥当なことであり、これが本発明の特徴となってい
る。

【００２４】なお、本実施の形態においては、上記第１
及び第２の単位格子は同じものであり、ｒ_１＝ｓ_１、ｒ
_２＝ｓ_２である。

【００２５】また、一般に、上記第１及び第２の単位格
子の大多数において、ｒ_１あるいはｒ_２は０に等しく、
ｓ_１あるいはｓ_２は０に等しく、したがって、ε_ｐ及び
ε_Ｏの大多数はε_１あるいはε_２に等しい。 （実施の形態２）つぎに、請求項２に係る発明の１つの
実施の形態を説明する。

【００２６】この場合、上記仮想平面内設ける格子の格
子点として３種類が存在する。それらの格子点を図８に
示す。図に示したように、上記仮想平面内に、直交座標
軸として、ｘ軸、ｙ軸を設定し、ｙ軸を媒質境界に平行
なものとする。そして、ｙ軸に平行・等間隔（間隔△
ｘ）な直線（ｙライン）を設け、そのｙラインに、ｘ座
標の小さい方から１、２、３、…ｉ、ｉ＋１、…（ｉは
整数）と番号を付ける。そして、番号ｉのｙラインのｘ
座標がｉ△ｘとなるように、座標の原点をとるものとす
る。また、ｘ軸に平行・等間隔（間隔△ｙ）な直線（ｘ
ライン）を設け、そのｘラインに、ｙ座標の小さい方か
ら１、２、３、…ｊ、ｊ＋１、…（ｊは整数）と番号を
付ける。そして、番号ｊのｘラインのｙ座標がｊ△ｙと
なるよう座標の原点をとるものとする。

【００２７】第一のタイプの格子点はこれらのラインの
交点であり、それがｙラインｉとｘラインｊの交点の場
合、その格子点を（ｉ，ｊ）と示すこととする。

【００２８】第二のタイプの格子点は第一のタイプの格
子点をｙ方向にライン間隔△ｙの半分だけ移動した格子
点で、（ｉ，ｊ＋１/２）のように記述される。

【００２９】第３のタイプの格子点は第一のタイプの格
子点をｘ方向にライン間隔△ｘの半分だけ移動した格子
点で、（ｉ＋１/２，ｊ）のように記述される。

【００３０】第一のタイプの格子点（ｉ，ｊ）に、該格
子点における、ｘ方向とｙ方向とに垂直な磁界成分Ｈ_ｚ
(ｉ，ｊ）を割り当て、第二のタイプの格子点（ｉ，ｊ
＋１/２）に、該格子点におけるｘ方向電界成分Ｅ
_ｘ(ｉ，ｊ＋１/２）と、該電界成分の時間変化の計算に
使用する誘電率ε(ｉ，ｊ＋１/２）とを割り当て、第三
のタイプの格子点（ｉ＋１/２，ｊ）に、該格子点にお
けるｙ方向電界成分Ｅ_ｙ(ｉ＋１/２，ｊ）と、該電界成
分の時間変化の計算に使用する誘電率ε(ｉ＋１/２，
ｊ）とを割り当てる。

【００３１】なお、ｚ方向（ｘ方向とｙ方向とに垂直な
方向）の電界成分Ｅ_ｚ、ｘ方向の磁界成分Ｈ_ｘとｙ方向
の磁界成分Ｈ_ｙ（より正確には、それぞれの交流成分）
は常に０とする。

【００３２】実施の形態１の場合と同様に、電磁界成分
のデータは、記憶装置２中の、格子点と離散化された時
刻の組に対応するメモリ領域に記憶され、記憶された電
磁界成分から次の時刻の電磁界は次の演算式（マクスウ
ェルの方程式における微分演算を差分演算に置き換えた
ものから導かれる）により求められる。

【００３３】

【数２】 ここで、△ｔは時間ステップ間隔であり、電磁界成分の
肩に付けられたｎ−１/２、ｎ、ｎ＋１/２、ｎ＋１は、
その電磁界成分が、それぞれ、時刻ｔ^{ｎ−１／ ２}、
ｔ^ｎ、ｔ^{ｎ＋１／２}、ｔ^ｎ＋１において各格子点に割り
当てられるものであることを示す。また、分母に現れる
Δｘ及びΔｙは、その上にある分子における２つの電磁
界成分が割り当てられている２格子点間のｘ座標差の絶
対値及びｙ座標差の絶対値である。

【００３４】すでに図８に示してあるように、媒質境界
に平行な電界成分が割り当てられる格子点（いまの場
合、第三のタイプの格子点(ｉ＋１/２，ｊ））のうちで
媒質境界までの距離が最小である格子点を近傍平行電界
格子点と呼び、その最小である距離をｄ_ｐとし、媒質境
界に垂直な電界成分が割り当てられる格子点（いまの場
合、第二のタイプの格子点（ｉ，ｊ＋１/２））のうち
で媒質境界までの距離が最小である格子点を近傍垂直電
界格子点と呼び、その最小である距離をｄ_Ｏとする。

【００３５】前記近傍平行電界格子点における媒質境界
に平行な電界成分の時間変化を計算する場合に使用する
誘電率として、下記の式で表されるε_ｐを用いる。

【００３６】 ε_ｐ ＝((２ｄ_ｐ＋ｄ_Ｏ)ε_ｉ＋ｄ_Ｏε_ｅ)/(２(ｄ_ｐ＋ｄ_Ｏ)) （９ ） ここに、ε_ｉは前記近傍平行電界格子点が配置されてい
る媒質の誘電率（図８においてはε_１）であり、ε_ｅは
ε_ｉと異なる誘電率（ε_ｉがε_１と等しければε _２、ε
_ｉがε_２と等しければε_１、図８においてはε_２）であ
る。このようなε _ｐの設定は、従来技術においても行わ
れている。

【００３７】さらに、前記近傍垂直電界格子点における
媒質境界に垂直な電界成分の時間変化を計算する場合に
使用する誘電率として、下記の式で表されるε_Ｏを用い
る。 １/ε_Ｏ ＝((２ｄ_Ｏ＋ｄ_ｐ)/ε_ｉ＋ｄ_ｐ/ε_ｅ)/(２(ｄ_ｐ＋ｄ_Ｏ)) （１ ０） ここに、ε_ｉは前記近傍垂直電界格子点が配置されてい
る媒質の誘電率（図８においてはε_２）であり、ε_ｅは
ε_ｉと異なる誘電率（ε_ｉがε_１と等しければε _２、ε
_ｉがε_２と等しければε_１、図８においてはε_１）であ
る。

【００３８】従来技術においては、式（１０）ではな
く、下記の２式のうちのいずれかで表されるε_Ｏを用い
ている。

【００３９】 ε_Ｏ ＝((２ｄ_Ｏ＋ｄ_ｐ)ε_ｉ＋ｄ_ｐε_ｅ)/(２(ｄ_ｐ＋ｄ_Ｏ)) （１ １） または ε_Ｏ ＝ε_ｉ （１２） ここに、ε_ｉは考察している前記近傍垂直電界格子点が
配置されている媒質の誘電率（図８においてはε_２）で
あり、ε_ｅはε_ｉと異なる誘電率（ε_ｉがε_１と等しけ
ればε_２、ε_ｉがε_２と等しければε_１、図８において
はε_１）である。

【００４０】上記の、ε_Ｏに関する本発明と従来技術と
の相違が、本発明が従来技術よりも優れた効果を生み出
す原因となっている。

【００４１】本実施の形態においても、実施の形態１に
おける第１の単位格子及び第２の単位格子（図１に示
す）と同じ条件を満足するものが存在する。それらを、
図８に示した場合について、図２に示す。図２と図１と
を比較すれば、(２ｄ_ｐ＋ｄ_Ｏ)：ｄ_Ｏ＝ｒ_１：ｒ_２、
(２ｄ_Ｏ＋ｄ_ｐ)：ｄ_ｐ＝ｓ_２：ｓ_１であることが分か
り、したがって、式（９）（いまの場合、ε_ｉ＝ε_１、
ε_ｅ＝ε_２）及び（１０）（いまの場合、ε_ｉ＝ε_２、
ε_ｅ＝ε_１）が表すε_ｐ及びε_Ｏは式（４）及び（５）
が表すε_ｐ及びε_Ｏと同じであることが分かる。すでに
説明したように、式（４）及び（５）の妥当性が示され
ているので、それらと同等な式（９）及び（１０）の妥
当性も示されたことになる。

【００４２】本実施の形態において、前記近傍平行電界
格子点と前記近傍垂直電界格子点とを除く第二及び第三
のタイプの格子点のそれぞれに割り当てる誘電率とし
て、該格子点が配置されている媒質の誘電率を使用す
る。これは、式（４）においてｒ _１＝０あるいはｒ_２＝
０、式（５）においてｓ_１＝０あるいはｓ_２＝０とおい
たことに相当する。

【００４３】本実施の形態と従来技術との相違を明確に
するために、本実施の形態と同じ仮想２次空間と格子を
用い、誘電率の設定のみを従来技術によった場合と本実
施の形態とを、誘電率の設定に関して比較して表１ａ及
び表１ｂに示す。

【００４４】

【表１】 表中、φ＝ｄ_ｐ/(２(ｄ_ｐ＋ｄ_Ｏ)）とする。

【００４５】上記実施の形態において、図７に示した電
磁界シミュレーションを行う装置主要部を用いて行うこ
とができる。このとき、実施の形態２においては、前記
Ｈ_ｚ(ｉ，ｊ）、Ｅ_ｘ(ｉ，ｊ＋１/２）、ε(ｉ，ｊ＋１
/２）、Ｅ_ｙ(ｉ＋１/２，ｊ）及びε(ｉ＋１/２，ｊ）
を、コンピュータハードウエア資源であるメモリに数値
として蓄え、該数値を引き出して計算に用いる。さら
に、図９に示したシステムを用いて、シミュレーション
用基礎データと各種パラメタの入力、シミュレーション
計算、シミュレーション結果のディスプレイと蓄積と出
力などを行うことができる。図９において、メインメモ
リ、周辺機器インタフェイス、ポータブルストレージメ
ディアドライブ、マスストレージデバイス、ＲＯＭ、Ｃ
ＰＵ、入力デバイス、グラフィックインタフェイス、出
力ディスプレイがバスによってリンクされ、上記の機能
を発揮する。 （応用例）本発明の応用例として、誘電率ε_１の媒質と
誘電率ε_２の媒質とが１つ直線を境界として接している
場合に、イー格子のｙ軸をその境界に平行として、請求
項２に記載の２次元電磁界シミュレーション方法に従っ
てシミュレーションを行い、電磁波の反射率を計算する
場合を説明する。

【００４６】この場合に用いる仮想平面を図４に示す。
時間領域差分法で計算される媒質境界での反射率Ｒ
_{ｎｕｍｅｒｉｃａｌ}は、ε_ｐとε_Ｏを用い、φ＝ｄ_ｐ/
(２(ｄ_ｐ＋ｄ_Ｏ)）として、下式によって求められる。

【００４７】

【数３】 ここで、△ｘはｘ方向のセル幅（セルのｘ方向に平行な
辺の長さ、格子定数）、ｋ_ｘ，１は入射波の波数ベクト
ルのｘ成分、ｋ_ｘ，２は透過波の波数ベクトルのｘ成
分、Θ_１はシミュレートされた入射波の電界に垂直な方
向と媒質境界法線の間の角度、Θ_２はシミュレートされ
た透過波の電界に垂直な方向と媒質境界法線の間の角
度、Ｗはωをシミュレートする波の角周波数また△ｔを
シミュレーションの時間ステップとして Ｗ＝ｓｉｎ(ω△ｔ/２)/(△ｔ/２)、 （１４） Ｋ_ｙはｋ_ｙを入射波の波数ベクトルのｙ成分また△ｙを
ｙ方向のセル幅（セルのｙ方向に平行な辺の長さ、格子
定数）として、 Ｋ_ｙ ＝ｓｉｎ(ｋ_ｙ△ｙ/２)/(△ｙ/２) （１５） である。

【００４８】解析的に求められる反射率（真値）をＲ
_{ａｎａｌｙｔｉｃａｌ}と記述する。式（１３）における
ε_ｐ及びε_Ｏを請求項２に記述されたように設定した場
合、Ｒ _{ｎｕｍｅｒｉｃａｌ}とＲ_{ａｎａｌｙｔｉｃａｌ}の
差は△ｘの二乗に比例して減少するが、それとは異なる
設定を行った場合には、Ｒ_{ｎｕｍｅｒｉｃａｌ}とＲ_{ａｎ
ａｌｙｔｉｃａｌ}の差は△ｘに比例して減少することが
示される。即ち、ε_ｐ及びε_Ｏを本発明が開示した方法
に従って設定した場合、セル幅を順次小さくしてシミュ
レーションを行った場合、速やかに一定値に収束し、ま
た、誤差は最も小さくなる。すなわち、本発明は、２次
元電磁波時間領域差分法において、誘電率が不連続に変
化する場合、異なる誘電率の媒質の境界がイーセル（Ye
eセル）の辺と平行な場合に、“二次精度”となるよう
な誘電率の設定法を開示する。したがって、本発明を実
施して、セル幅を順次小さくしてシミュレーションを行
った場合、得られる計算値は速やかに一定値に収束す
る。

【００４９】つぎに、半導体導波路の端面に形成された
２層膜にその導波路の基本モードが垂直に入射する場合
の反射率の計算に、上記本発明に係るミュレーション方
法を適用する。

【００５０】図５は、シミュレーション状況の模式図で
ある。屈折率 3.175 の半導体中に屈折率 3.403 の導波
路が形成され、導波路端面に、屈折率 2.257 厚さ 0.12
5μｍのＡＲ膜Ｉと屈折率 1.455 厚さ 0.175μｍのＡＲ
膜II からなる二層ＡＲ膜が形成されている。自由空間
波長 1.5 μｍの平面波を二層膜の手前 1.5μｍから二
層膜に向かって入射線（incident line）から、二層膜
に垂直に入射させた。計算領域境界にはＰＭＬ吸収領域
を設定し、反射率を 10^−１２ ％以下に抑えた。セルは
屈折率が異なる媒質の境界は総てセルの辺方向と平行と
なるよう配置し、さらに、屈折率が異なる媒質の境界上
にその境界に垂直な電界成分の配置点が存在するように
した。即ち、総ての媒質境界において、総ての近接垂直
電界成分はその境界上に有る。即ち、ｄ_Ｏは０である。
また、これはφ＝１/２の場合とも言える。ε_Ｏを本発
明の手法（式(１０））を用いて設定した場合と従来法
（式(１１)）を用いて、設定した場合の誤差の比較を行
った。両手法とも、セル幅を0.0125μｍ、0.00625μ
ｍ、0.003125μｍと減少した場合の反射率のセル幅 0μ
ｍの場合の外挿値は一致して 0.01545％となり、この外
挿値を真値とみなすことができる。

【００５１】図６に反射率誤差の導波路内波長（0.4407
8754μｍ）当たりのセル数依存性を示した。表示したど
のセル数においても本発明の方法の誤差は従来法の方法
の誤差より小さい。また、本発明の手法の誤差はセル幅
の二乗に比例し、“二次精度”特性を示している。本発
明の手法では、セル幅を順次小さくしてシミュレーショ
ンを行った場合、速やかに一定値に収束する。この実施
例は、本手法の高精度特性を示している。

【００５２】

【発明の効果】以上説明したように、本発明によれば、
誘電率が空間内で不連続的に変化する場合の２次元電磁
界シミュレーションを高い精度で行うことが出来る。

【図面の簡単な説明】

【図１】請求項１に記載のｒ_１、ｒ_２、ｓ_１、ｓ_２を説
明する図である。

【図２】請求項１に記載のｒ_１、ｒ_２、ｓ_１、ｓ_２と、
請求項２に記載のｄ_ｏｄ_ｐとの関係を説明する図であ
る。

【図３】実施の形態１における格子点の配置を示す図で
ある。

【図４】本発明の応用例を説明するための電界成分・磁
界成分配置点と媒質境界線の関係を示す模式図である。

【図５】本発明の応用対象例を説明する模式図である。

【図６】本発明の応用例の結果を示す図である。

【図７】電磁界シミュレーション装置の機能ブロック図
である。

【図８】二次元時間領域差分法で用いられる格子点の説
明図である。

【図９】本発明の実施に用いるシステムの一例を示すブ
ロック図である。

【符号の説明】

１…入力装置、２…記憶装置、３…演算装置、４…出力
装置。

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (72)発明者 ルイ ウェイン 東京都千代田区大手町二丁目３番１号 日 本電信電話株式会社内 (72)発明者 関 俊司 東京都千代田区大手町二丁目３番１号 日 本電信電話株式会社内 (72)発明者 吉國 裕三 東京都千代田区大手町二丁目３番１号 日 本電信電話株式会社内 Ｆターム(参考） 2G017 AC07 AD63 CB23 CD04 5B049 AA02 AA04 EE01 EE41 GG07 5B056 AA04 BB03 BB71 9A001 GG13 HH32 KK15

Claims (3)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】１つの平面内に、透磁率μ、誘電率ε_１を
   有する第１の媒質と、透磁率μ、誘電率ε_２を有する第
   ２の媒質とが１つの直線を境界として接し、前記平面内
   に、前記平面に平行な交流磁界成分を持たない電磁波が
   存在する場合に、 前記平面と等価な仮想平面を前記平面と同一視し、前記
   仮想平面内に、格子点を前記境界に平行な方向及び垂直
   な方向に２次元配置して２次元格子を形成し、前記格子
   点に、それぞれの格子点における、前記境界に平行な電
   界成分及び該電界成分の時間変化の計算に用いる誘電
   率、前記境界に垂直な電界成分及び該電界成分の時間変
   化の計算に用いる誘電率、前記平面に垂直な磁界成分の
   うちの１つ以上を割り当て、前記電磁波の電磁界の時間
   変化を数値計算によって求める２次元電磁界シミュレー
   ション方法であって、 前記境界に平行な電界成分が割り当てられる格子点及び
   前記境界に垂直な電界成分が割り当てられる格子点が、
   それぞれ、前記２次元格子の、前記境界に平行あるいは
   垂直な辺のみを持つ４辺形単位格子の中心となるように
   し、 前記境界に平行な電界成分が割り当てられる格子点が中
   心となっている前記単位格子中の前記第１の媒質及び前
   記第２の媒質の面積を、それぞれ、ｒ_１及びｒ _２とし、
   前記境界に垂直な電界成分が割り当てられる格子点が中
   心となっている前記単位格子中の前記第１の媒質及び前
   記第２の媒質の面積を、それぞれ、ｓ_１及びｓ_２とし、 前記境界に平行な電界成分が割り当てられる格子点に割
   り当てられる、該電界成分の時間変化の計算に用いる誘
   電率として、 ε_ｐ ＝(ｒ_１ε_１＋ｒ_２ε_２)/(ｒ_１＋ｒ_２) で表されるε_ｐを用い、 前記境界に垂直な電界成分が割り当てられる格子点に割
   り当てられる、該電界成分の時間変化の計算に用いる誘
   電率として、 １/ε_Ｏ ＝(ｓ_１/ε_１＋ｓ_２/ε_２)/(ｓ_１＋ｓ_２) で表されるε_Ｏを用いることを特徴とする２次元電磁界
   シミュレーション方法。
2. 【請求項２】１つの平面内に、透磁率μ、誘電率ε_１を
   有する第１の媒質と、透磁率μ、誘電率ε_２を有する第
   ２の媒質とが１つの直線を境界として接し、前記平面内
   に、前記平面に平行な交流磁界成分を持たない電磁波が
   存在する場合に、 前記平面と等価な仮想平面を前記平面と同一視し、前記
   仮想平面内に、前記境界に平行なｙ軸と前記境界に垂直
   なｘ軸とを設け、ｉ、ｊを整数とし、Δｘ、Δｙを正の
   定数とし、前記仮想平面内に、ｘ座標がｉΔｘでありｙ
   座標がｊΔｙである第一のタイプの格子点（ｉ，ｊ）、
   ｘ座標がｉΔｘでありｙ座標が(ｊ＋１/２）Δｙである
   第二のタイプの格子点（ｉ，ｊ＋１/２）、及び、ｘ座
   標が（ｉ＋１/２）Δｘでありｙ座標がｊΔｙである第
   三のタイプの格子点（ｉ＋１/２，ｊ）を配置し、 前記第一のタイプの格子点（ｉ，ｊ）に、該格子点にお
   ける、ｘ方向とｙ方向とに垂直な磁界成分Ｈ_ｚ(ｉ，
   ｊ）を割り当て、前記第二のタイプの格子点（ｉ，ｊ＋
   １/２）に、該格子点におけるｘ方向電界成分Ｅ_ｘ(ｉ，
   ｊ＋１/２）及び該電界成分の時間変化の計算に用いる
   誘電率ε(ｉ，ｊ＋１/２）を割り当て、前記第三のタイ
   プの格子点（ｉ＋１/２，ｊ）に、該格子点におけるｙ
   方向電界成分Ｅ_ｙ(ｉ＋１/２，ｊ）及び該電界成分の時
   間変化の計算に用いる誘電率ε(ｉ＋１/２，ｊ）を割り
   当て、前記２次元電磁波の電磁界の時間変化を数値計算
   によって求める２次元電磁界シミュレーション方法にお
   いて、 前記第三のタイプの格子点（ｉ＋１/２，ｊ）のうちで
   前記境界までの距離が最小である格子点を近傍平行電界
   格子点と呼び、その最小である距離をｄ_ｐとし、前記第
   二のタイプの格子点（ｉ，ｊ＋１/２）のうちで前記境
   界までの距離が最小である格子点を近傍垂直電界格子点
   と呼び、その最小である距離をｄ_Ｏとし、 前記近傍平行電界格子点（ｉ＋１/２，ｊ）に割り当て
   る誘電率ε(ｉ＋１/２，ｊ）として、 ε_ｐ ＝((２ｄ_ｐ＋ｄ_Ｏ)ε_ｉ＋ｄ_Ｏε_ｅ)/(２(ｄ_ｐ＋ｄ
   _Ｏ)) （ここに、ε_ｉは前記近傍平行電界格子点が配置されて
   いる媒質の誘電率であり、ε_ｅはε_ｉと異なる誘電率、
   すなわち、ε_ｉがε_１と等しければε_２、ε_ｉがε_２と
   等しければε_１である）で表されるε_ｐを用い、 前記近傍垂直電界格子点（ｉ，ｊ＋１/２）に割り当て
   る誘電率ε(ｉ，ｊ＋１/２）として、 １/ε_Ｏ ＝((２ｄ_Ｏ＋ｄ_ｐ)/ε_ｉ＋ｄ_ｐ/ε_ｅ)/(２(ｄ
   _ｐ＋ｄ_Ｏ)) （ここに、ε_ｉは前記近傍垂直電界格子点が配置されて
   いる媒質の誘電率であり、ε_ｅはε_ｉと異なる誘電率、
   すなわち、ε_ｉがε_１と等しければε_２、ε_ｉがε_２と
   等しければε_１である）で表されるε_Ｏを用い、 前記近傍平行電界格子点と前記近傍垂直電界格子点とを
   除く第二のタイプの格子点（ｉ，ｊ＋１/２）及び第三
   のタイプの格子点（ｉ＋１/２，ｊ）のそれぞれに割り
   当てる誘電率ε(ｉ，ｊ＋１/２）及びε(ｉ＋１/２，
   ｊ）として、該格子点のそれぞれが配置されている媒質
   の誘電率を用いることを特徴とする２次元電磁界シミュ
   レーション方法。
3. 【請求項３】前記Ｈ_ｚ(ｉ，ｊ）、Ｅ_ｘ(ｉ，ｊ＋１/
   ２）、ε(ｉ，ｊ＋１/２）、Ｅ_ｙ(ｉ＋１/２，ｊ）及び
   ε(ｉ＋１/２，ｊ）を、コンピュータハードウエア資源
   であるメモリに、数値として蓄え、該数値を引き出して
   計算に用いることを特徴とする請求項２に記載の２次元
   電磁界シミュレーション方法。