CN114047694B - 一种针对单连杆机械臂的自适应输出反馈控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种针对单连杆机械臂的自适应输出反馈控制方法。该方法为：首先，对单连杆机械臂进行建模，得到机械臂的状态空间模型；然后针对系统不可量测的状态构造相应的状态补偿器，引入一个自适应动态高增益，对系统状态进行估计；接着对系统进行坐标变换，引入一个可调的常增益，得到变换后的新系统；再基于双重控制法对新系统设计自适应输出反馈控制器；最后利用李雅普诺夫稳定性理论，确定可调的常增益的取值范围，实现全局镇定闭环系统。本发明能在单连杆机械臂存在不确定参数下，基于自适应思想很好的估计系统的未知状态，并且实现对非线性机械臂系统的有效控制，使其能在随机扰动的影响下趋于稳定。

Description

一种针对单连杆机械臂的自适应输出反馈控制方法

技术领域

本发明属于机器人技术领域，特别涉及一种针对单连杆机械臂的自适应输出反馈控制方法。

背景技术

随着科学技术不断向智能化方向发展，机器人已成为了一种综合计算机、信息和传感技术、控制论、人工智能等多学科的高新技术产业，为提升工业自动化水平发挥了巨大作用。机械臂作为工业机器人的一种典型代表，能模仿人手和臂的某些动作功能，是一种以按固定程序抓取、搬运物件或操作工具的自动操作装置。它可代替人的繁重劳动，以实现生产的机械化和自动化，能在有害环境下操作以保障人身安全，因而广泛应用于机械制造、冶金、电子、轻工等部门。

单连杆机械臂可建模为一类非线性系统。由于传感器的测量以及信号传输的延迟，往往导致系统出现时滞现象，这对系统的性能会造成很大的影响，因此，如何对单连杆机械臂设计一个能够抵消系统时滞影响的控制器显得越来越重要。在非线性时滞系统的分析过程中，最常用的工具就是Lyapunov–Krasovskii泛函，借助于此工具产生了很多非线性时滞系统的分析方法。目前，针对时变时滞的导数上界已知的研究已相当成熟。然而，当上界信息无法得到时，相关研究还涉及不多，亟待解决。

在实际应用中，存在环境因素、气候因素、机械故障、元器件老化、电子噪声等很多随机不确定性因素，单连杆机械臂可进一步建模为一类随机不确定非线性时滞系统，国内外诸多学者开始致力于相关控制方法的研究。不确定因素是客观存在且难以避免的，会对系统产生重大影响。自适应控制是研究不确定非线性系统的有效方法之一。自适应控制器能修正自己的特性以适应对象和扰动的动态特性的变化，通过时变的动态增益来解决系统中的“不确定性”。

另一方面，由于量测技术和量测工具的有限性使得传感器无法准确地检测系统状态，则系统真实输出和状态之间的精确关系很难得到。因此，用于设计控制器的系统量测输出和系统状态之间的函数关系往往是未知的，这种输出函数的未知性给控制器设计带来了极大的挑战。现有的一些研究依赖于系统输出函数处处可微或局部Lipschitz连续，但在许多实际系统中难以满足。

发明内容

本发明的目的在于提供一种针对单连杆机械臂的自适应输出反馈控制方法，能够估计系统的未知状态，并且实现对非线性机械臂系统的有效控制，使其能在随机扰动的影响下趋于稳定。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种针对单连杆机械臂的自适应输出反馈控制方，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、对单连杆机械臂进行建模，得到具有随机扰动影响的不确定非线性系统模型，不确定因素包含未知增长率、未知控制方向、未知输出和未知时滞；

步骤2、针对不可量测的系统状态，设计动态补偿器对系统状态进行估计；

步骤3、基于估计的状态和系统输出，设计自适应输出反馈控制器；

步骤4、利用李雅普诺夫稳定性理论，确定坐标变换中引入的可调常增益M的范围，对单连杆机械臂进行控制。

本发明与现有技术相比，其显著优点在于：(1)对单连杆机械臂进行了建模，得到了随机非线性时滞系统的模型，并针对该模型设计了动态补偿器及自适应输出反馈控制器；(2)极大的放松了施加在未知输出函数上的限制条件，即输出函数既不需要可微也无需Lipschitz连续；(3)无需已知施加在未知非线性函数上的增长率和时变时滞的导数上界信息；(4)利用李雅普诺夫稳定性理论确定了参数的取值范围，能够很好地估计系统的未知状态，并全局镇定闭环系统。

附图说明

图1是本发明针对单连杆机械臂的自适应输出反馈控制方法的流程示意图。

图2是本发明中单连杆机械臂模型的系统结构示意图。

图3是本发明中单连杆机械臂的系统结构示意图。

图4是本发明中系统输出y(t)的轨迹曲线图。

图5是本发明中自适应动态增益L(t)的轨迹曲线图。

图6是本发明中系统补偿器误差e₁(t),e₂(t),e₃(t)的变化曲线图。

图7是本发明中系统状态x₁(t),x₂(t),x₃(t)的变化曲线图。

图8是本发明中系统控制输入u(t)的变化曲线图。

具体实施方式

本发明一种针对单连杆机械臂的自适应输出反馈控制方法，包括以下步骤：

步骤1、对单连杆机械臂进行建模，得到具有随机扰动影响的不确定非线性系统模型，不确定因素包含未知增长率、未知控制方向、未知输出和未知时滞；

步骤2、针对不可量测的系统状态，设计动态补偿器对系统状态进行估计；

步骤3、基于估计的状态和系统输出，设计自适应输出反馈控制器；

步骤4、利用李雅普诺夫稳定性理论，确定坐标变换中引入的可调常增益M的范围，对单连杆机械臂进行控制。

进一步地，步骤1中建立的系统模型具体如下：

步骤1.1、一类单连杆机械臂的系统动态为：

其中，q、分别表示连杆的位置、速度和加速度；τ_r为电气系统产生的转矩；u为控制输入，用于表示机电转矩；/>为系统中定义的具有时变延迟d(t)和扭矩随机干扰ω；D为机械惯性；B为关节处粘滞摩擦系数；N为与负载质量和重力系数有关的正常数；M为电枢电感；H为电枢电阻；K_m为反电动势系数；

令将单连杆机械臂建模为：

进一步转换为：

dx₁＝x₂dt

y＝h(x₁)

上述系统表示为一类特殊的系统，即具有未知输出函数的随机非线性时滞系统：

y＝h(x₁)

式中，x₁,x₂和x₃为系统状态，u和y分别为系统的输入和输出；未知函数φ_i(·)和/>为初值为0的连续的非线性函数；h(·)为系统的输出函数；d(t)为系统的时滞环节；ω是概率空间/>上的标准维纳过程；

步骤1.2、对于步骤1.1建立的系统模型，假设如下：

假设1、存在未知正常数d和τ使得时变时滞d(t)满足0d(t)＜d和

假设2、对于系统中的未知非线性函数φ_i(·)和存在未知正常数θ₁和θ₂使得下式成立：

式中‖*‖表示*的范数；

假设3、连续输出函数hs)满足h(0)＝0，并且存在常数ρ₁≥0和ρ₂≥0使得|hs)|≤ρ₁s+ρ₂。

进一步地，步骤2中所述的动态补偿器，具体设计如下：

步骤2.1、基于步骤1.1中所建立的系统模型，设计动态补偿器为：

式中，为补偿器状态，L为动态高增益且L(0)＝1，参数a_i＞0，i＝1，2，3，存在l＞0使得A^TP+PA≤-(l+2)I，其中P为正定矩阵，/>

步骤2.2、对步骤1.1中所建立的系统模型进行如下坐标变换：

式中e_i,i＝1,2,3，表示估计误差；z_i,i＝1,2,3，表示系统坐标变换之后的状态；v表示系统坐标变换之后的输入，M≥1表示可调的常高增益，σ≥0是任意常数；

则系统变换为如下形式：

其中

e＝[e₁,e₂,e₃]^T,Z＝[Z₁,Z₂,z₃]^T,B₁＝[a₁,a₂,a₃]^T,B₂＝[0,0,1]^T,B₃＝[1,0,0]^T,

进一步地，步骤3中所述的设计自适应输出反馈控制器，其形式为：

v＝-L^-σb₃y-b₂z₂-b₁z₃

式中，b_i＞0，i＝1，2，3，为系统控制系数使得其中P_z为正定矩阵，/>

进一步地，步骤4中可调常增益M的选取方法为：

首先选择李雅普诺夫函数，然后利用李雅普诺夫稳定性理论，在步骤2和步骤3设计的动态补偿器和自适应输出反馈控制器的基础上，选择可调常增益M使得系统稳定，即对于所设计的李雅普诺夫函数V，其伊藤微分满足其中c₁和c₂为正常数。

下面结合附图及具体实施例对本发明作进一步的详细说明。

实施例

结合图1，本发明针对单连杆机械臂的自适应输出反馈控制方法，包括以下步骤：

步骤1、建立单连杆机械臂模型，得到随机非线性时滞系统模型，结合图2～图3，具体如下：

步骤1.1、一类单连杆机械臂的系统动态为：

其中，q、分别表示连杆的位置、速度和加速度；τ_r为电气系统产生的转矩；为系统中定义的具有时变延迟d(t)和扭矩随机干扰ω；u为控制输入，用于表示机电转矩；D为机械惯性；B为关节处粘滞摩擦系数；N为与负载质量和重力系数有关的正常数；M为电枢电感；H为电枢电阻；K_m为反电动势系数。

令可将单连杆机械臂建模为：

进一步可转换为：

通过上述转变，可得出具有未知控制方向的系统(1)等价于具有未知输出函数的系统(2)。上述系统(2)可表示为一类特殊的系统，即具有未知输出函数的随机非线性时滞系统：

y＝h(x₁)

式中，x₁,x₂和x₃为系统状态，u和y分别为系统的输入和系统的输出；φ₁＝0，/> h(·)为系统的输出函数；d(t)为系统的时滞环节。

控制器的设计目标为：设计自适应输出反馈控制器，使得系统几乎处处全局有界：

v＝-L^-σb₃y-b₂z₂-b₁z₃

式中，b_i＞0，i＝1，2，3，为系统控制系数使得其中P_z为正定矩阵，/>

步骤1.2、对系统进行如下假设，简化控制器的设计流程：

假设1、存在未知正常数d和τ使得时变时滞d(t)满足0d(t)＜d和

假设2、对于系统中的未知非线性函数φ_i(·)和存在未知正常数θ₁和θ₂使得如下式子成立：

式中‖*‖表示*的范数。

假设3、连续未知的输出函数hs)满足h(0)＝0，并且存在常数ρ₁≥0和ρ₂≥0使得|hs)|≤ρ₁s+ρ₂。

步骤2中所述的动态补偿器，具体设计如下：

步骤2.1、针对不可量测的系统状态，设计动态补偿器对其进行估计，具体如下：

式中，为补偿器状态，L为动态可调增益且L(0)＝1，参数a_i＞0，i＝1，2，3，存在l＞0使得A^TP+PA≤-(l+2)I，其中P为正定矩阵，/>

步骤2.2、对步骤1.1中所建立的系统模型进行如下坐标变换：

式中e_i，i＝1，2，3，表示估计误差，z_i，i＝1，2，3，和v分别表示系统坐标变换之后的状态和输入，M≥1表示可调的常高增益，σ≥0是任意常数。

则系统变换为如下形式：

其中

e＝[e₁,e₂,e₃]^T,z＝[z₁,z₂,z₃]^T,B₁＝[a₁,a₂,a₃]^T,B₂＝[0,0,1]^T,B₃＝[1,0,0]^T,

步骤3、基于估计的状态和系统输出，设计自适应输出反馈控制器，具体如下：

v＝-L^-σb₃y-b₂z₂-b₁z₃

式中，b_i＞0，i＝1，2，3，为系统控制系数使得其中P_z为正定矩阵，/>

步骤4、利用李雅普诺夫稳定性理论确定了参数的取值范围，能够很好地估计系统的未知状态，并全局镇定了闭环系统，具体如下：

首先选择李雅普诺夫函数，然后利用李雅普诺夫稳定性理论，在步骤2和步骤3设计的动态补偿器和自适应输出反馈控制器的基础上，选择可调常增益M使得系统稳定，即对于所设计的李雅普诺夫函数V，其伊藤微分满足其中c₁和c₂为正常数。

步骤4.1、构造李雅普诺夫-克罗夫斯基泛函，通过李雅普诺夫稳定性理论确定可调高增益M的取值范围，对单连杆机械臂进行自适应输出反馈控制，具体如下：

步骤4.1.1、选择李雅普诺夫-克罗夫斯基泛函：

式中

对上述泛函求解伊藤微分可得：

由杨氏不等式可以得到：

根据假设3，有：

步骤4.1.2、选择将上述不等式带入到/>中可得：

其中，γ＝1-(3+2ρ₁)b₃‖P_z‖，m₄＝4‖P_z‖²+4‖P_z‖²‖B₁‖²+2‖P_z‖‖B₁‖，m₆＝m₄+4‖P‖²‖B₁‖²，/>

步骤4.1.3、利用确定的参数M，对单连杆机械臂的自适应输出反馈进行控制。

利用反证法证明系统的几乎处处稳定性。分析可得若动态增益L几乎处处有界，则系统状态e和z几乎处处有界，因此，只需证明L的几乎处处有界性，即可得出系统是几乎处处全局有界的。利用反证法，假设lim_t→+∞sup‖L(t),e(t),z(t)‖＝+∞。根据此假设，可以得出当t＜t_f时，任意变量都是几乎处处有界的，因此，很容易找到一个有限时间t₁和一个有限正常数a使得其中inf(*)表示*的下确界。由L的导数可得，L是初值为1的非递减函数，则必存在一个有限时间t₂使得

此时，对/>在[t₂,∞)上积分得

因此，L是几乎处处全局有界的，立即可得系统状态e和z几乎处处有界，所以，闭环系统是全局几乎处处有界的。

下面通过单连杆机械臂模型对本发明中的设计方法的有效性进行验证。

假设各参数的取值为D＝1,N＝6,B＝1,M＝0.5,H＝0.5,K_m＝1，进一步可转换为：

dx₁＝x₂dt

dx₂＝x₃dt-(0.5x₂+3sin(x₁))dt+0.5x₁(t-d(t))dω

dx₃＝udt-(x₂+x₃)dt

其中，非线性函数φ₁＝0，φ₂＝-(0.5x₂+3sin(x₁))，/>φ₃＝-(x₂+x₃)，/>选择θ₁＝3，θ₂＝1以满足假设1。

所设计动态补偿器为

坐标转换为：

控制律为：

u＝L^3+σM³v＝-L^2+σM³b₃y-L^3+σM³b₂z₂-L^3+σM³b₁z₃

相关参数选择为：a₁＝1.5，a₂＝2，a₃＝1，σ＝0.4，M＝2.32，b₁＝0.5，b₂＝3.1，b₃＝1.4，d(t)＝1+0.3sin(t)，系统输出y(t)随时间的变化曲线如图4所示，系统的自适应动态可调参数L(t随时间的变化曲线如图5所示，系统补偿器误差e₁(t)，e₂(t)，e₃(t)随时间的变化曲线如图6所示，系统状态x₁(t)，x₂(t)，x₃(t)随时间的变化曲线如图7所示，系统控制输入u(t)随时间的变化曲线如图8所示，从图中可以看出在本实施例所设计的控制器的作用下，系统能够保持稳定，并且观测器能够很好地估计系统的未知状态。

Claims (2)

1.一种针对单连杆机械臂的自适应输出反馈控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、对单连杆机械臂进行建模，得到具有随机扰动影响的不确定非线性系统模型，不确定因素包含未知增长率、未知控制方向、未知输出和未知时滞；

步骤2、针对不可量测的系统状态，设计动态补偿器对系统状态进行估计；

步骤3、基于估计的状态和系统输出，设计自适应输出反馈控制器；

步骤4、利用李雅普诺夫稳定性理论，确定坐标变换中引入的可调常增益M的范围，对单连杆机械臂进行控制；

步骤1中建立的系统模型具体如下：

步骤1.1、一类单连杆机械臂的系统动态为：

其中，q、分别表示连杆的位置、速度和加速度；τ_r为电气系统产生的转矩；u为控制输入，用于表示机电转矩；/>为系统中定义的具有时变延迟d(t)和扭矩随机干扰ω；D为机械惯性；B为关节处粘滞摩擦系数；N为与负载质量和重力系数有关的正常数；M为电枢电感；H为电枢电阻；K_m为反电动势系数；

令将单连杆机械臂建模为：

进一步转换为：

dx₁＝x₂dt

y＝h(x₁)

上述系统表示为一类特殊的系统，即具有未知输出函数的随机非线性时滞系统：

y＝h(x₁)

式中，x₁,x₂和x₃为系统状态，u和y分别为系统的输入和输出；未知函数φ_i(·)和/>为初值为0的连续的非线性函数；h(·)为系统的输出函数；d(t)为系统的时滞环节；ω是概率空间/>上的标准维纳过程；

步骤1.2、对于步骤1.1建立的系统模型，假设如下：

假设1、存在未知正常数d和τ使得时变时滞d(t)满足0<d(t)<d和

假设2、对于系统中的未知非线性函数φ_i(·)和存在未知正常数θ₁和θ₂使得下式成立：

式中||*||表示*的范数；

假设3、连续输出函数h(s)满足h(0)＝0，并且存在常数ρ₁≥0和ρ₂≥0使得|h(s)|≤ρ₁s+ρ₂；

步骤2中所述的动态补偿器，具体设计如下：

步骤2.1、基于步骤1.1中所建立的系统模型，设计动态补偿器为：

式中，为补偿器状态，L为动态高增益且L(0)＝1，参数a_i>0，i＝1，2，3，存在l>0使得A^TP+PA≤-(l+2)I，其中P为正定矩阵，/>

步骤2.2、对步骤1.1中所建立的系统模型进行如下坐标变换：

式中e_i,i＝1,2,3，表示估计误差；z_i,i＝1,2,3，表示系统坐标变换之后的状态；v表示系统坐标变换之后的输入，M≥1表示可调的常高增益，σ≥0是任意常数；

则系统变换为如下形式：

其中

e＝[e₁,e₂,e₃]^T,z＝[z₁,z₂,z₃]^T,B₁＝[a₁,a₂,a₃]^T,B₂＝[0,0,1]^T,B₃＝[1,0,0]^T,

步骤3中所述的设计自适应输出反馈控制器，其形式为：

v＝-L^-σb₃y-b₂z₂-b₁z₃

式中，b_i>0，i＝1，2，3，为系统控制系数使得其中P_z为正定矩阵，

所述步骤4具体如下：

步骤4.1、构造李雅普诺夫-克罗夫斯基泛函，通过李雅普诺夫稳定性理论确定可调高增益M的取值范围，对单连杆机械臂进行自适应输出反馈控制，具体如下：

步骤4.1.1、选择李雅普诺夫-克罗夫斯基泛函：

式中

对上述泛函求解伊藤微分得：

由杨氏不等式得到：

根据假设3，有：

步骤4.1.2、选择将上述不等式带入到/>中得：

其中，γ＝1-(3+2ρ₁)b₃||P_z||，m₄＝4||P_z||²+4||P_z||²||B₁||²+2||P_z||||B₁||，m₆＝m₄+4||P||²||B₁||²，/>

步骤4.1.3、利用确定的参数M，对单连杆机械臂的自适应输出反馈进行控制；

利用反证法证明系统的几乎处处稳定性，分析得若动态增益L几乎处处有界，则系统状态e和z几乎处处有界，因此，只需证明L的几乎处处有界性，即得出系统是几乎处处全局有界的；利用反证法，假设lim_t→+∞sup||L(t),e(t),z(t)||＝+∞，根据此假设，得出当t<t_f时，任意变量都是几乎处处有界的，因此，找到一个有限时间t₁和一个有限正常数a使得其中inf(*)表示*的下确界；由L的导数得，L是初值为1的非递减函数，则必存在一个有限时间t₂使得

此时，对/>在[t₂,+∞)上积分得

2.根据权利要求1所述的针对单连杆机械臂的自适应输出反馈控制方法，其特征在于，步骤4中可调常增益M的选取方法为：

首先选择李雅普诺夫函数，然后利用李雅普诺夫稳定性理论，在步骤2和步骤3设计的动态补偿器和自适应输出反馈控制器的基础上，选择可调常增益M使得系统稳定，即对于所设计的李雅普诺夫函数V，其伊藤微分满足其中c₁和c₂为正常数。