CN103235888B - 一种精确计算双各向异性介质球电磁散射的方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种精确计算双各向异性介质球电磁散射的方法。本发明步骤如下：1.利用无源麦克斯韦方程组和双各向异性媒介的本征方程推导磁感应强度<b>B</b>的微分方程；2.将微分方程中和<b>B</b>相关的因子以球矢量波函数的形式表达，然后利用球矢量波函数<b>M,N</b>的正交性质得出一个含参的矩阵方程，先利用矩阵方程满足非零解的条件计算出该矩阵方程的参数，再将参数代回到含参数的矩阵方程中得到矩阵方程的非零解；3.构造一个新的函数，用新函数重新表示磁感应强度<b>B，</b>进而求出介质球内部的电磁场，然后把介质球内的电磁场和球外的入射电磁场、散射电磁场代入到边界条件中，得出散射矩阵。本发明适用于求解电尺寸较小的双各向异性介质球的电磁散射。

Description

一种精确计算双各向异性介质球电磁散射的方法

技术领域

本发明属于电磁散射理论计算领域，具体涉及一种精确计算双各向异性介质球电磁散射的方法。

背景技术

求解电磁散射比较传统的研究方法就是解析法，这一直是科学家追求的目标。所谓解析研究法是一种封闭形式的数学解答的方法，是直接求由麦克斯韦方程组导出的各种数学方程。对于某些边界条件规则的电磁问题非常有效。解析解可以为其他数值计算提供比较有效的数据，对数值计算结果的正确性进行验证，并能给出清晰的物理概念，因而具有非常重要的指导性意义。

恒定磁场作用下的等离子体和铁氧体等媒质，它们的电磁特性要分别用张量介电常数和张量磁导率来描述，即，它们具有各向异性的性质，称为各向异性煤质。

对于各向异性介质球电磁散射解析解的研究现在开展得比较广泛，用不同的解析方法也能计算出球的雷达散射截面。

双各向异性媒介使得提供的电场与磁场之间的交叉耦合，对于求解此种介质球的解析解变的很困难。所以双各向异性介质球电磁散射解析解的研究很少几乎没有。

发明内容

本发明的目的在于针对现有技术的不足，提出一种精确计算双各向异性介质球电磁散射的方法，同时证明球矢量波函数适用于双各向异性介质。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案如下：

步骤1.利用无源麦克斯韦方程组和双各向异性媒介的本征方程推导出关于磁感应强度B的微分方程；

步骤2.将微分方程中和B相关的因子以球矢量波函数的形式表达出来，然后利用球矢量波函数M,N的正交性质得出一个含参数的矩阵方程，先利用矩阵方程满足非零解的条件计算出该矩阵方程的参数，再将参数代回到含参数的矩阵方程中得到矩阵方程的非零解；

步骤3.构造一个新的函数，用新函数重新表示磁感应强度B，进而求出介质球内部的电磁场，然后把介质球内的电磁场和球外的入射电磁场、散射电磁场代入到边界条件中，得出散射矩阵。

如步骤1所述，将各向异性媒介本征方程中添加一项变为双各向异性媒介，双各向异性媒介的本征方程具体如下：

(1)

其中，电位移矢量D、电场强度E、磁场强度H和磁感应强度B都是矢量，以黑色粗体来表示矢量；表示虚数单位；是用来衡量媒介电磁特性的参数；

无源麦克斯韦方程组具体如下：

(2a)

(2b)

(2c)

(2d)

把式1代入到式2a、2b、2c、2d中，推导出磁感应强度B的微分方程如下：

(3)

其中，符号▽×表示对一个矢量求旋度；ω为电磁波的频率；为的逆；；

如步骤2所述，将式3中写成球矢量波函数的形式，具体如下：

(4)

(5)

(6)

其中， 与表示一样表示球矢量波函数，上标(1)表示矢量波函数由第一类球贝塞尔函数构成，下标表示球矢量波函数中的参数；表示一个待定量，表示球坐标系中的一个矢量；球矢量波函数前面的系数由媒介本征方程中的张量决定的，且，表示入射电场的场强。

矢量波函数函数前面的系数定义具体如下：

，(7)

，(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

其中：，当时，；当时，，；

，(14)

，(15)

(16)

，(17)

(18)

其中，在本发明中，表示同一个量，下标的不同是在不同的表达式中用以区分；同理、、均表示同一个量。

将式4、5、6代入到式3中得：

(19)

利用球矢量波函数的性质可得：

用矩阵的形式表示如下：

(20)

式20转变为如下形式：

(21)

其中，I是单位矩阵，式21表达的含义是：存在这样的参数k使得方程有非零解，通过矩阵知识知道只需令式21的行列式为零，解出参数，参数记解为，再用代入式20求出方程不为零的解，记，

所述的步骤3中构造一新的矢量函数，具体如下：

其中为待定系数，由介质球体表面的边界条件决定；

令(22)

(23)

(24)

式22、23、24中矢量波函数前面的系数多出的下标l是将解代入式7、8、9、16中引起的；、、都是不为零的数，并且只在对它们求旋度的时候变为零。

其中的参数具体如下：

，；

球外部的散射场和入射场分别定义为：E _I ，H _I 和Es，Hs,表达式如下(参看：Z.F.LinandS.T.Chui.“Electromagneticscatteringbyopticallyanisotropicmagneticparticle。”PhysicalReviewE,vol.69,pp.056624-2-056624-24,2004)

(25)

(26)

(27)

(28)

其中，，为真空中的介电常数，为真空中的磁导率；表示入射波方向、极化特性等量；式27、28中上标(3)表示球矢量波函数是由第三类贝塞尔函数构成；球体内部介质和球外介质都为理想介质，所以球体表面不存在面电荷和面电流，所以球体表面上任意一点的电场和磁场的切向分量是连续的，即：

(29)

(30)

将式23～28代入到上式29、30化简得到：

其中，，为球体的半径；，为球贝塞尔函数，为第一类球汉克尔函数。表示对求导数，同理。

将上式写成矩阵的形式:

(31)

(32)

解方程组31、32得到：

用雷达散射截面(radarcrosssection．RCS)表征目标反射雷达波散射率的特征，把它作为评价目标电磁散射特性的最基本的参数，具体如下(参看：Z.F.LinandS.T.Chui.“Electromagneticscatteringbyopticallyanisotropicmagneticparticle”PhysicalReviewE,vol.69,pp.056624-2-056624-24,2004)：

(33)

(34)

(35)

把式27代入到式35中得到：

(36)

本发明的有益效果如下：

以球矢量波函数为基础提出了双各向异性介质球电磁散射的解析解。第一次给出计算结果。需要求解含参量的矩阵方程的行列式，由行列式解出参量，再得到矩阵方程的非零解。由于计算电尺寸较大的球体时需要高阶的矩阵，而高阶的含参数的矩阵方程的参数计算机不容易算出。所以本方法比较适用于求解电尺寸较小的双各向异性介质球的电磁散射。

附图说明

图1是本发明实施例1给出了介质球的雷达散射截面与散射角对应关系

图2是本发明实施例2给出了介质球的雷达散射截面与散射角对应关系

图3是本发明实施例3给出了介质球的雷达散射截面与散射角对应关系图4是本发明实施例4给出了介质球的雷达散射截面与散射角对应关系

图5是本发明实施例5主要参数和例4中一样，研究变化时对E面雷达散射截面的影响：

图6是本发明实施例6主要参数和例4中一样，研究变化时对H面雷达散射截面的影响：

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明。

一种精确计算双各向异性介质球电磁散射的方法，包括以下步骤：

对媒介本征方程各张量进行赋值：

通过fortran计算出，并输出这两个矩阵到MATLAB

在MATLAB中计算行列式

。得出关于k的一个方程，解出这个方程的未知量k。得到的解记为，将代入方程中求出。然后通过和计算。

综上所述，介质球内部的都能够计算得出，且入射场是已知的，通过边界条件将入射场和散射场能够算出介质球的散射场，进而通过由散射场就得到雷达散射截面(RCS)

。

如图1所示，图中为本发明实施例1给出了介质球的雷达散射截面与散射角对应关系，其参数为，，，，，，所对比的数据来自于文献(You-LinGeng.“Scatteringofaplanewavebyananisotropicferrite-coatedconductingsphere”IETMicrow.AntennasPropag,2008,2,(2),pp.158-162.)。

如图2所示，图中为本发明实施例2给出了介质球的雷达散射截面与散射角对应关系，其参数为，，，，。

如图3所示，图中为本发明实施例3给出了介质球的雷达散射截面与散射角对应关系，其参数为。

如图4所示，图中为本发明实施例4给出了介质球的雷达散射截面与散射角对应关系，其参数为 。

如图5所示，图中为本发明实施例5主要参数和例4中一样，研究变化时对E面雷达散射截面的影响：

如图6所示，图中为本发明实施例6主要参数和例4中一样，研究变化时对H面雷达散射截面的影响。

Claims (1)

1.一种精确计算双各向异性介质球电磁散射的方法，其特征在于包括如下步骤：

步骤1.利用无源麦克斯韦方程组和双各向异性媒介的本征方程推导出关于磁感应强度B的微分方程；

步骤2.将微分方程中和B相关的因子以球矢量波函数的形式表达出来，然后利用球矢量波函数M,N的正交性质得出一个含参数的矩阵方程，先利用矩阵方程满足非零解的条件计算出该矩阵方程的参数，再将参数代回到含参数的矩阵方程中得到矩阵方程的非零解；

步骤3.构造一个新的函数，用新函数V_l重新表示磁感应强度B，进而求出介质球内部的电磁场，然后把介质球内的电磁场和球外的入射电磁场、散射电磁场代入到边界条件中，得出散射矩阵；

所述步骤1中，将各向异性媒介本征方程中添加一项变为双各向异性媒介，双各向异性媒介的本征方程具体如下：

$\begin{array}{cc}D=\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}\&CenterDot;E+\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&xi;}}\&CenterDot;H& B=\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&mu;}}\&CenterDot;H---\end{array}\left(1\right)$

$\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}={\mathrm{\&epsiv;}}_s\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\&epsiv;}}_t& -{\mathrm{i\&epsiv;}}_g& 0\\ {\mathrm{i\&epsiv;}}_g& {\mathrm{\&epsiv;}}_t& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&xi;}}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& \mathrm{\&xi;}\end{array}\right],\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&mu;}}={\mathrm{\&mu;}}_s\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\&mu;}}_t& -{\mathrm{i\&mu;}}_g& 0\\ {\mathrm{i\&mu;}}_g& {\mathrm{\&mu;}}_t& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

其中，电位移矢量D、电场强度E、磁场强度H和磁感应强度B都是矢量，以黑色粗体来表示矢量；i表示虚数单位；ε_s,ε_t,ε_g,μ_s,μ_t,μ_g是用来衡量媒介电磁特性的参数；

无源麦克斯韦方程组具体如下：

$\&dtri;\&times;E=i\mathrm{\&omega;}B---\left(2a\right)$

$\&dtri;\&times;H=-i\mathrm{\&omega;}D---\left(2b\right)$

$\&dtri;\&CenterDot;B=0---\left(2c\right)$

$\&dtri;\&CenterDot;D=0---\left(2d\right)$

把式1代入到式2a、2b、2c、2d中，推导出磁感应强度B的微分方程如下：

$\&dtri;\&times;\&lsqb;{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}^{-1}{\mathrm{\&epsiv;}}_s\&CenterDot;(\&dtri;\&times;{\mathrm{\&mu;}}_s{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&mu;}}}^{-1}\&CenterDot;B)\&rsqb;+i\mathrm{\&omega;}\&dtri;\&times;\&lsqb;\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&xi;}}\&CenterDot;B\&rsqb;-k_s^{2}B=0---\left(3\right)$

其中，符号×表示对一个矢量求旋度；ω为电磁波的频率；为的逆； $k_s^2={\mathrm{\&omega;}}^2{\mathrm{\&epsiv;}}_s{\mathrm{\&mu;}}_s;$

所述步骤2中，将式3中 B写成球矢量波函数的形式，具体如下：

$B=\underset{n=1}{\overset{+\mathrm{\&infin;}}{\&Sigma;}}\underset{m=-n}{\overset{+n}{\&Sigma;}}{\stackrel{\&OverBar;}{E}}_{mn}\&lsqb;d_{mn}{M}_{mn}^{\left(1\right)}(k,r)+c_{mn}{N}_{mn}^{\left(1\right)}(k,r)\&rsqb;---\left(4\right)$

${\mathrm{\&epsiv;}}_s{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}^{-1}\&CenterDot;(\&dtri;\&times;{\mathrm{\&mu;}}_s{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&mu;}}}^{-1}\&CenterDot;B)=k\underset{n=0}{\overset{+\mathrm{\&infin;}}{\&Sigma;}}\underset{m=-n}{\overset{+n}{\&Sigma;}}{\stackrel{\&OverBar;}{E}}_{mn}({\stackrel{\&OverBar;}{\stackrel{\&OverBar;}{c}}}_{mn}{M}_{mn}^{\left(1\right)}+{\stackrel{\&OverBar;}{\stackrel{\&OverBar;}{d}}}_{mn}{N}_{mn}^{\left(1\right)}+{\stackrel{\&OverBar;}{\stackrel{\&OverBar;}{w}}}_{mn}{L}_{mn}^{\left(1\right)})---\left(5\right)$

$\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&xi;}}\&CenterDot;B=\underset{n=0}{\overset{+\mathrm{\&infin;}}{\&Sigma;}}\underset{m=-n}{\overset{+n}{\&Sigma;}}{\stackrel{\&OverBar;}{E}}_{mn}({\hat{d}}_{mn}{M}_{mn}^{\left(1\right)}+{\hat{c}}_{mn}{N}_{mn}^{\left(1\right)}+{\hat{w}}_{mn}{L}_{mn}^{\left(1\right)})---\left(6\right)$

(4-6)式中的展开系数分别是：

$\begin{array}{cc}{\stackrel{\&OverBar;}{\stackrel{\&OverBar;}{d}}}_{mn}=\underset{q,p}{\mathrm{\&Sigma;}}\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{E}}_{pq}}{{\stackrel{\&OverBar;}{E}}_{mn}}({\stackrel{\&OverBar;}{p}}_{mn}^{pq}{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_{pq}+{\tilde{p}}_{mn}^{pq}{\stackrel{\&OverBar;}{c}}_{pq}),& {\stackrel{\&OverBar;}{\stackrel{\&OverBar;}{c}}}_{mn}=\underset{q,p}{\mathrm{\&Sigma;}}\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{E}}_{pq}}{{\stackrel{\&OverBar;}{E}}_{mn}}({\stackrel{\&OverBar;}{O}}_{mn}^{pq}{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_{pq}+{\tilde{O}}_{mn}^{pq}{\stackrel{\&OverBar;}{c}}_{pq})\end{array}---\left(7\right)$

$\begin{array}{cc}{\stackrel{\&OverBar;}{\stackrel{\&OverBar;}{w}}}_{mn}=\underset{q,p}{\mathrm{\&Sigma;}}\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{E}}_{pq}}{{\stackrel{\&OverBar;}{E}}_{mn}}({\stackrel{\&OverBar;}{q}}_{mn}^{pq}{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_{pq}+{\tilde{q}}_{mn}^{pq}{\stackrel{\&OverBar;}{c}}_{pq}),& {\stackrel{\&OverBar;}{d}}_{mn}=\underset{v=1}{\overset{+\mathrm{\&infin;}}{\&Sigma;}}\underset{u=-v}{\overset{+v}{\&Sigma;}}\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{E}}_{uv}}{{\stackrel{\&OverBar;}{E}}_{mn}}({\tilde{g}}_{mn}^{uv}{d}_{uv}+{\stackrel{\&OverBar;}{g}}_{mn}^{uv}{c}_{uv})\end{array}---\left(8\right)$

${\stackrel{\&OverBar;}{c}}_{mn}=\underset{v=1}{\overset{+\mathrm{\&infin;}}{\&Sigma;}}\underset{u=-v}{\overset{+v}{\&Sigma;}}\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{E}}_{uv}}{{\stackrel{\&OverBar;}{E}}_{mn}}({\tilde{e}}_{mn}^{uv}{d}_{uv}+{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_{mn}^{uv}{c}_{uv})---\left(9\right)$

${\tilde{g}}_{pq}^{mn}={\mathrm{\&sigma;}}_{nq}{\mathrm{\&sigma;}}_{mp}+\&lsqb;\frac{(n^2+n-m^2){\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&mu;}}}_t^{\&prime;}+{\mathrm{m\&mu;}}_g^{\&prime;}}{n(n+1)}\&rsqb;{\mathrm{\&sigma;}}_{nq}{\mathrm{\&sigma;}}_{mp}---\left(10\right)$

${\tilde{e}}_{pq}^{mn}=\frac{i(n+m)\&lsqb;m{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&mu;}}}_t^{\&prime;}-(n+1){\mathrm{\&mu;}}_g^{\&prime;}\&rsqb;{\mathrm{\&sigma;}}_{n-1,q}{\mathrm{\&sigma;}}_{mp}}{n(2n+1)}+\frac{i(n-m+1)\&lsqb;m{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&mu;}}}_t^{\&prime;}+{\mathrm{n\&mu;}}_g^{\&prime;}\&rsqb;{\mathrm{\&sigma;}}_{n+1,q}{\mathrm{\&sigma;}}_{mp}}{(n+1)(2n+1)}---\left(11\right)$

${\stackrel{\&OverBar;}{g}}_{pq}^{mn}=-\frac{i(n+m)(n+1)\&lsqb;m{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&mu;}}}_t^{\&prime;}+(n-1){\mathrm{\&mu;}}_g^{\&prime;}\&rsqb;{\mathrm{\&sigma;}}_{n-1,q}{\mathrm{\&sigma;}}_{mp}}{n(n-1)(2n-1)}-\frac{in(n-m+1)\&lsqb;m{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&mu;}}}_t^{\&prime;}-(n+2){\mathrm{\&mu;}}_g^{\&prime;}\&rsqb;{\mathrm{\&sigma;}}_{n+1,q}{\mathrm{\&sigma;}}_{mp}}{(n+1)(n+2)(2n+1)}---\left(12\right)$

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_{pq}^{mn}=\&lsqb;1+\frac{(4n^2+4n-3){\mathrm{m\&mu;}}_g^{\&prime;}}{n(n+1)(2n-1)(2n+3)}\&rsqb;{\mathrm{\&sigma;}}_{nq}{\mathrm{\&sigma;}}_{mp}+\frac{\&lsqb;(2n^2+2n+3)m^2+(2n^2+2n-3)n(n+1)\&rsqb;{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&mu;}}}_t^{\&prime;}}{n(n+1)(2n-1)(2n+3)}{\mathrm{\&sigma;}}_{nq}{\mathrm{\&sigma;}}_{mp}\\ -\frac{(n+1)(n+m)(n+m-1)}{(n-1)(2n-1)(2n+1)}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&mu;}}}_t^{\&prime;}{\mathrm{\&sigma;}}_{n-2,q}{\mathrm{\&sigma;}}_{mp}-\frac{n(n-m+2)(n-m+1)}{(n+2)(2n+1)(2n+3)}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&mu;}}}_t^{\&prime;}{\mathrm{\&sigma;}}_{n+2,q}{\mathrm{\&sigma;}}_{mp}\end{array}---\left(13\right)$

其中：当n＝q时，δ_nq＝1；当n≠q时，δ_nq＝0，

${\mathrm{\&mu;}}_t^{\&prime;}=\frac{{\mathrm{\&mu;}}_t}{{\mathrm{\&mu;}}_t^2-{\mathrm{\&mu;}}_g^2},{\mathrm{\&mu;}}_g^{\&prime;}=-\frac{{\mathrm{\&mu;}}_g}{{\mathrm{\&mu;}}_t^2-{\mathrm{\&mu;}}_g^2},{\mathrm{\&epsiv;}}_t^{\&prime;}=\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_t}{{\mathrm{\&epsiv;}}_t^2-{\mathrm{\&epsiv;}}_g^2},{\mathrm{\&epsiv;}}_g^{\&prime;}=-\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_g}{{\mathrm{\&epsiv;}}_t^2-{\mathrm{\&epsiv;}}_g^2}$

$\begin{array}{cc}{\stackrel{\&OverBar;}{p}}_{pq}^{mn}={\stackrel{\&OverBar;}{e}}_{pq}^{mn}{|}_{{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_t^{\&prime;}={\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&mu;}}}_t^{\&prime;},{\mathrm{\&epsiv;}}_g={\mathrm{\&mu;}}_g},& {\tilde{p}}_{pq}^{mn}={\tilde{e}}_{pq}^{mn}{|}_{{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_t^{\&prime;}={\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&mu;}}}_t^{\&prime;},{\mathrm{\&epsiv;}}_g={\mathrm{\&mu;}}_g}\end{array}---\left(14\right)$

$\begin{array}{cc}{\stackrel{\&OverBar;}{O}}_{pq}^{mn}={\stackrel{\&OverBar;}{g}}_{pq}^{mn}{|}_{{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_t^{\&prime;}={\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&mu;}}}_t^{\&prime;},{\mathrm{\&epsiv;}}_g={\mathrm{\&mu;}}_g},& {\tilde{O}}_{pq}^{mn}={\tilde{g}}_{pq}^{mn}{|}_{{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_t^{\&prime;}={\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&mu;}}}_t^{\&prime;},{\mathrm{\&epsiv;}}_g={\mathrm{\&mu;}}_g}\end{array}---\left(15\right)$

${\hat{d}}_{mn}=\underset{v=1}{\overset{+\mathrm{\&infin;}}{\&Sigma;}}\underset{u=-v}{\overset{+v}{\&Sigma;}}\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{E}}_{uv}}{{\stackrel{\&OverBar;}{E}}_{mn}}({\tilde{r}}_{mn}^{uv}{d}_{uv}+{\stackrel{\&OverBar;}{r}}_{mn}^{uv}{c}_{uv}),{\hat{c}}_{mn}=\underset{v=1}{\overset{+\mathrm{\&infin;}}{\&Sigma;}}\underset{u=-v}{\overset{+v}{\&Sigma;}}\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{E}}_{uv}}{{\stackrel{\&OverBar;}{E}}_{mn}}({\tilde{s}}_{mn}^{uv}{d}_{uv}+{\stackrel{\&OverBar;}{s}}_{mn}^{uv}{c}_{uv})---\left(16\right)$

$\begin{array}{cc}{\tilde{r}}_{pq}^{mn}={\tilde{g}}_{pq}^{mn}\&CenterDot;\mathrm{\&xi;}{|}_{{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&mu;}}}_r^{\&prime;}=-1,{\mathrm{\&mu;}}_k^{\&prime;}=0},& {\tilde{s}}_{pq}^{mn}={\tilde{e}}_{pq}^{mn}\&CenterDot;\mathrm{\&xi;}{|}_{{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&mu;}}}_r^{\&prime;}=-1,{\mathrm{\&mu;}}_k^{\&prime;}=0}\end{array}---\left(17\right)$

${\stackrel{\&OverBar;}{r}}_{pq}^{mn}={\stackrel{\&OverBar;}{g}}_{pq}^{mn}\&CenterDot;\mathrm{\&xi;}{|}_{{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&mu;}}}_r^{\&prime;}=-1,{\mathrm{\&mu;}}_k^{\&prime;}=0},{\stackrel{\&OverBar;}{s}}_{pq}^{mn}={\stackrel{\&OverBar;}{e}}_{pq}^{mn}\&CenterDot;\mathrm{\&xi;}{|}_{{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&mu;}}}_r^{\&prime;}=-1,{\mathrm{\&mu;}}_k^{\&prime;}=0}---\left(18\right)$

其中，与表示一样，表示球矢量波函数，上标(1)表示矢量波函数由第一类球贝塞尔函数构成，下标mn表示球矢量波函数中的参数；(4)式中的d_mn、c_mn是双各向异性介质中磁通密度B的展开系数，是待求量，同时k也是一个待定量，r表示球坐标系中的一个矢量；球矢量波函数前面的系数由媒介本征方程中的张量决定的，且E₀表示入射电场的场强；

$C_{mn}={\&lsqb;\frac{2n+1}{n(n+1)}\frac{(n-m)!}{(n+m)!}\&rsqb;}^{\frac{1}{2}}$

利用球矢量波函数的性质可得：

$k^2{\stackrel{\&OverBar;}{\stackrel{\&OverBar;}{d}}}_{mn}-k_s^2{d}_{mn}+i\mathrm{\&omega;}\hat{c}=0$

$k^2{\stackrel{\&OverBar;}{\stackrel{\&OverBar;}{c}}}_{mn}-k_s^2{c}_{mn}+i\mathrm{\&omega;}\hat{d}=0$

用矩阵的形式表示如下：

$\left[\begin{array}{cc}{k}^2& 0\\ 0& k^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\stackrel{\&OverBar;}{\stackrel{\&OverBar;}{d}}\\ \stackrel{\&OverBar;}{\stackrel{\&OverBar;}{c}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& i\mathrm{\&omega;}k\\ i\mathrm{\&omega;}k& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\hat{d}\\ \hat{c}\end{array}\right]-k_s^2\left[\begin{array}{c}d\\ c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]---\left(20\right)$

其中，I是单位矩阵；表示其他类似；d,c表示为待求量d_mn,c_mn的矩阵，m,n,u,v,p,q表示整数；表达式如下，

$\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{c}\hat{d}\\ \hat{c}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\tilde{R}& \stackrel{\&OverBar;}{R}\\ \tilde{S}& \stackrel{\&OverBar;}{S}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}d\\ c\end{array}\right]& \left[\begin{array}{c}\stackrel{\&OverBar;}{\stackrel{\&OverBar;}{d}}\\ \stackrel{\&OverBar;}{\stackrel{\&OverBar;}{c}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\tilde{p}& \stackrel{\&OverBar;}{p}\\ \widetilde{\mathrm{\&theta;}}& \stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}d\\ c\end{array}\right]\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\tilde{R}}_{mn,uv}=\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{E}}_{uv}}{{\stackrel{\&OverBar;}{E}}_{mn}}{\tilde{r}}_{mn}^{uv}& {\tilde{S}}_{mn,uv}=\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{E}}_{uv}}{{\stackrel{\&OverBar;}{E}}_{mn}}{\tilde{S}}_{mn}^{uv}\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\stackrel{\&OverBar;}{R}}_{mn,uv}=\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{E}}_{uv}}{{\stackrel{\&OverBar;}{E}}_{mn}}{\stackrel{\&OverBar;}{r}}_{mn}^{uv}& {\stackrel{\&OverBar;}{S}}_{mn,uv}=\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{E}}_{uv}}{{\stackrel{\&OverBar;}{E}}_{mn}}{\stackrel{\&OverBar;}{s}}_{mn}^{uv}\end{array}$

${\tilde{p}}_{mn,uv}=\underset{p,q}{\mathrm{\&Sigma;}}\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{E}}_{uv}}{{\stackrel{\&OverBar;}{E}}_{mn}}({\stackrel{\&OverBar;}{p}}_{mn}^{pq}{\tilde{g}}_{pq}^{uv}+{\tilde{p}}_{mn}^{pq}{\tilde{e}}_{pq}^{uv}),{\stackrel{\&OverBar;}{p}}_{mn,uv}=\underset{p,q}{\mathrm{\&Sigma;}}\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{E}}_{uv}}{{\stackrel{\&OverBar;}{E}}_{mn}}({\stackrel{\&OverBar;}{p}}_{mn}^{pq}{\stackrel{\&OverBar;}{g}}_{pq}^{uv}+{\tilde{p}}_{mn}^{pq}{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_{pq}^{uv})$

${\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_{mn,uv}=\underset{p,q}{\mathrm{\&Sigma;}}\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{E}}_{uv}}{{\stackrel{\&OverBar;}{E}}_{mn}}({\stackrel{\&OverBar;}{o}}_{mn}^{pq}{\tilde{g}}_{pq}^{uv}+{\tilde{o}}_{mn}^{pq}{\tilde{e}}_{pq}^{uv}),{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_{mn,uv}=\underset{p,q}{\mathrm{\&Sigma;}}\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{E}}_{uv}}{{\stackrel{\&OverBar;}{E}}_{mn}}({\stackrel{\&OverBar;}{o}}_{mn}^{pq}{\stackrel{\&OverBar;}{g}}_{pq}^{uv}+{\tilde{o}}_{mn}^{pq}{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_{pq}^{uv})$

式20转变为如下形式：

$(\left[\begin{array}{cc}{k}^2& 0\\ 0& k^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\tilde{p}& \stackrel{\&OverBar;}{p}\\ \widetilde{\mathrm{\&theta;}}& \stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& i\mathrm{\&omega;}k\\ i\mathrm{\&omega;}k& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\tilde{R}& \stackrel{\&OverBar;}{R}\\ \tilde{S}& \stackrel{\&OverBar;}{S}\end{array}\right]-k_s^{2}I)\left[\begin{array}{c}d\\ c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]---\left(21\right)$

式(21)表达的含义是：存在这样的参数k使得方程有非零解，通过矩阵知识知道只需令式(21)的行列式为零，解出参数k，参数k记解为k_l,(l＝1,2,3…)，再用k_l代入式21求出方程不为零的解[d_mn,lc_mn,l]^-1，

所述的步骤3中构造新的函数V_l具体如下：

$V_l=-\frac{k_l}{\mathrm{\&omega;}}\underset{n=1}{\overset{+\mathrm{\&infin;}}{\&Sigma;}}\underset{m=-n}{\overset{+n}{\&Sigma;}}{\stackrel{\&OverBar;}{E}}_{mn}\&lsqb;d_{mn,l}{M}_{mn}^{\left(1\right)}(k_l,r)+c_{mn,l}{N}_{mn}^{\left(1\right)}(k_l,r)\&rsqb;$

其中α_l为待定系数，由介质球体表面的边界条件决定；

令其中a_l为表示V_l的权重；相应得到球内部的磁场电场把球外部的入射电场E_I，磁场H_I、散射电场E_s、磁场H_s代入到如下边界条件中：

[E_I+E_s]×e_r＝E_l×e_r[H_I+H_s]×e_r＝H_l×e_r

其中e_r为电磁波传播的方向矢量；

化简整理后得出散射矩阵(21)式，这样就计算出雷达散射截面。