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CN102982550A - 利用正五棱台求解摄像机内参数 - Google Patents

利用正五棱台求解摄像机内参数 Download PDF

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CN102982550A
CN102982550A CN2012105420062A CN201210542006A CN102982550A CN 102982550 A CN102982550 A CN 102982550A CN 2012105420062 A CN2012105420062 A CN 2012105420062A CN 201210542006 A CN201210542006 A CN 201210542006A CN 102982550 A CN102982550 A CN 102982550A
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徐丽敏
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Yunnan University YNU
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Abstract

本发明是由底边是正五边形的正棱台构成的用于摄像机自标定的靶标。具体的步骤包括：从图像上提取正五棱台的上底面和两个侧面上的特征点，根据两平行直线的交点是无穷远点，而无穷远点的像称为隐消点，以及共线四点交比的性质，得出图像平面上隐消点坐标，根据正交隐消点对绝对二次曲线的约束,实现对摄像机内参数的线性求解。对靶标从不同方向拍摄两幅图像，提取每幅图像上的特征点坐标，计算正五棱台上底面和两个侧面上的正交隐消点，建立正交隐消点关于摄像机内参数的约束方程，线性求解摄像机内参数矩阵。利用本发明中的靶标可实现全自动标定，减少了标定过程中由测量引起的误差。隐消点是一种更简洁更全局化的基元，在标定过程中提高了精度。

Description

利用正五棱台求解摄像机内参数
技术领域
本发明属于计算机研究领域，涉及一种用于求解摄像机内参数的一个底边是正五边形的正棱台靶标，利用平面上任意一个正五棱台作为标定模板，通过求解两幅图像上的正交隐消点的坐标，线性确定摄像机的内参数。
背景技术
计算机视觉的基本任务之一，就是从摄像机获得的二维图像信息出发恢复物体在三维空间中的几何信息，从而识别和重建三维空间中物体的几何形状。在此过程中必须确定空间物体点的三维几何位置与其图像中的对应点之间的相互关系，而这种关系又由摄像机成像的几何模型决定的，这些几何模型的参数就是摄像机参数。在大多数条件下，这些参数都是通过实验得到的，这就是摄像机标定。它一般分为传统标定和自标定两种方法，无论哪种标定方法，标定物体都是采用一些特殊的几何模型，例如：平面正方形、三角形、圆、空间立方体及圆柱等等，如何建立这些几何模型与摄像机参数之间的关系尤其是某种线性的关系，是目前摄像机标定所追求的目标，也是目前计算机视觉领域研究的热点之一。
   传统的摄像机标定方法虽然可以获得较高的精度，但是标定块制作困难，不便于操作，针对这一问题文献“A flexible new technique for camera calibration”, （Zhengyou　Zhang , IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 22, no. 11, pp. 1330-1334, 2000.）提出了用平面模板代替传统标定块的方法，这种方法简单方便，成本低，并且能获得较高的精度，但需要精确定位模板上点阵的物理坐标，由于隐消点是一种更简洁更全局化的基元，因而可以进一步提高方法的稳定性，于是用隐消点解决标定问题被广泛使用，文献”Criminisi A, Reid I. and A. Zisserman. Single View Metrology，International Journal of Computer Vision, 2000, 40 (2) ，pp. 123- 148.”利用隐消点的属性,从单一投影图像中计算摄像机的内参数，该方法首次将射影几何中的隐消点融入到摄像机标定中，于是隐消点成了摄像机自标定方法的理论基础。
隐消点是像平面上一个特殊的点，平面上某个方向上的所有平行直线都交于一个无穷远点，无穷远点在像平面上的投影称为隐消点。文献（王年，范益政，梁栋，韦穗,“一种基于等腰梯形的摄像机自标定方法”, 东南大学学报（ 自然科学版）, vol. 35, no.2, pp. 195-198, 2005.）根据等腰梯形的性质和交比不变性计算图像中的隐消点，文献（胡培成, 黎宁, 赵亮亮,“一种新的基于消失点的摄像机标定方法”, 第十三届全国图像图形学学术会议, pp. 1-5, 2006.）利用隐消点标定摄像机的方法，根据两条平行线的交点是无穷远点，直接求解两个平行线的像的交点来完成标定。
发明内容
本发明提供了一种制作简单，适用广泛，稳定性好的用于求解摄像机内参数的靶标。该靶标是一个底边的是正五边形的正棱台，在求解摄像机内参数的过程中，只需摄像机从不同方位拍摄2幅图像就可以线性求解出摄像机的5个内参数。
本发明采用如下技术方案：
本发明是由底边是正五边形的正棱台构成的用于摄像机自标定的靶标。具体的步骤包括：从图像上提取正五棱台的上底面和两个侧面上的特征点，根据两平行直线的交点是无穷远点，而无穷远点的像称为隐消点，以及共线四点交比的性质，得出图像平面上隐消点坐标，根据两幅图像上正交隐消点对绝对二次曲线的约束,线性求解摄像机的内参数。
1.提取图像中的特征点
在Matlab软件中利用Harris角点检测提取出每个图像平面特征点的坐标。
2.求隐消点的坐标
(1)  计算正五棱台上底面的隐消点
在世界坐标系的一个平面上，存在一个正五棱台(如图1)，正五棱台的上、下底面是一个正五边形(如图2)，它上底面的角点为                                                
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE001
，下底面的部分角点为, 
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE003
是五边形内切圆的圆心。
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE004
是线段
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE005
的中点, 
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE006
垂直于
Figure 169790DEST_PATH_IMAGE005
,
Figure 804165DEST_PATH_IMAGE006
方向上的无穷远点设为
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE007
；
Figure 543450DEST_PATH_IMAGE005
方向上的无穷远点设为
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE008
.则
Figure 43702DEST_PATH_IMAGE007
与正交。上底面的投影如图3所示，
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE009
分别是
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE010
的像，
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE011
分别是
Figure 310790DEST_PATH_IMAGE007
，
Figure 706130DEST_PATH_IMAGE008
的像，根据共线四点交比的性质有：
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE012
 ，
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE013
，根据射影变换中对应点的射影不变性，有：
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE014
，
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE015
。从而可以求得
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE016
的坐标。
(2)  计算正五棱台侧面的隐消点
在正五棱台的一幅图片中，我们至少可以看到它的两个侧面是两个全等的等腰梯形，如图4所示，
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE017
平行于
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE018
，
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE019
分别是和
Figure 373446DEST_PATH_IMAGE018
的中点，并连接
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE020
，
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE021
是
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE022
的中点,设
Figure 808844DEST_PATH_IMAGE017
，
Figure 624353DEST_PATH_IMAGE018
上的无穷远点为
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE023
，方向上的无穷远点是
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE024
，如图5，
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE025
分别是
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE026
的像，
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE027
是无穷远点
Figure 736983DEST_PATH_IMAGE023
的像点，即：
Figure 701921DEST_PATH_IMAGE017
，
Figure 422752DEST_PATH_IMAGE018
方向上的隐消点，
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE028
是无穷远点
Figure 384892DEST_PATH_IMAGE024
的像点，即：
Figure 232893DEST_PATH_IMAGE022
方向上的隐消点。因为
Figure 862458DEST_PATH_IMAGE023
是
Figure 488611DEST_PATH_IMAGE017
和
Figure 656156DEST_PATH_IMAGE018
的交点，所以，根据射影变换中对应点的射影不变性，有：
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE030
，根据射影几何中调和共轭理论，得： 
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE031
，根据射影变换中的交比不变性，得
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE032
，从而解得的坐标。在另一个等腰梯形
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE033
中也存在着一组正交隐消点，记为
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE034
，，计算公式为
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE036
，
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE037
。
 3.求解摄像机内参数
利用在两幅图像中所求的六组正交隐消点对绝对二次曲线的约束可以列出六个方程，线性求解出摄像机的5个内参数，即矩阵
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE038
，
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE039
为图像的畸变因子，
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE040
为图像坐标系中轴
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE042
轴的尺度因子，
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE043
是主点坐标，为摄像机的5个内参数。
本发明优点：
（1）该靶标制作简单，将一个正五棱锥平行于底面切割，就可以得出一个正五棱台。
（2）只需用摄像机从不同方位拍摄两幅图像便可线性求解出摄像机的5个内参数。
（3）方法容易移植到底边是奇数正多边形的正棱台上。
附图说明
图1用于求解摄像机内参数的靶标结构示意图。
图2 是靶标上底面结构示意图。
图3 是靶标顶面的平面隐消点求解原理图。
图4 是靶标侧面结构示意图。
图5 是靶标侧面隐消点的求解原理图。
具体实施方式
一种用于求解摄像机内参数的靶标，它是由空间中的一个底边是正五边形的正棱台构成的，如图1。用此新型靶标完成摄像机内参数的求解需要经过以下步骤：正交隐消点的摄像机标定方法采用的实验模板是空间中的任意的一个正五棱台，如图1所示。其上底面是一个正五边形，侧面是五个全等的等腰梯形，利用本发明中的方法对用于实验的摄像机进行标定，具体步骤如下：
1．拟合图像中的特征点
在Matlab软件中利用Harris角点检测法提取出图像特征点的坐标。
2. 计算隐消点
(1)  计算五棱台上底面的隐消点
在世界坐标系的一个平面上，存在一个正五棱台(如图1)，正五棱台的上、下底面是一个正五边形(如图2)，它上底面的角点为
Figure 106434DEST_PATH_IMAGE001
，下底面的部分角点为
Figure 434647DEST_PATH_IMAGE002
，
Figure 823909DEST_PATH_IMAGE003
是五边形内切圆的圆心。
Figure 262980DEST_PATH_IMAGE004
是线段
Figure 804820DEST_PATH_IMAGE005
的中点, 
Figure 303935DEST_PATH_IMAGE006
垂直于
Figure 665646DEST_PATH_IMAGE005
,方向上的无穷远点设为
Figure 55487DEST_PATH_IMAGE007
；方向上的无穷远点设为
Figure 574510DEST_PATH_IMAGE008
.则
Figure 595863DEST_PATH_IMAGE007
与
Figure 112295DEST_PATH_IMAGE008
正交。上底面的投影如图3所示，
Figure 687633DEST_PATH_IMAGE009
分别是
Figure 289515DEST_PATH_IMAGE010
的像，
Figure 874080DEST_PATH_IMAGE011
分别是
Figure 995751DEST_PATH_IMAGE007
，
Figure 741990DEST_PATH_IMAGE008
的像，根据共线四点交比的性质有： ，
Figure 953846DEST_PATH_IMAGE013
，根据射影变换中对应应点的射影不变性，有
Figure 428559DEST_PATH_IMAGE014
，
Figure 611278DEST_PATH_IMAGE015
，从而求得
Figure 187753DEST_PATH_IMAGE016
的坐标。
（2）计算正五棱台侧面上的隐消点                             
在正五棱台的一幅图片中，至少可以看到它的两个侧面是两个全等的等腰梯形，如图4所示，
Figure 114121DEST_PATH_IMAGE017
平行于
Figure 928493DEST_PATH_IMAGE018
，
Figure 298426DEST_PATH_IMAGE019
分别是
Figure 96617DEST_PATH_IMAGE017
和
Figure 826676DEST_PATH_IMAGE018
的中点，并连接
Figure 761134DEST_PATH_IMAGE019
，
Figure 803433DEST_PATH_IMAGE021
是
Figure 823341DEST_PATH_IMAGE022
的中点,设
Figure 91511DEST_PATH_IMAGE017
，
Figure 146055DEST_PATH_IMAGE018
上的无穷远点为，
Figure 99416DEST_PATH_IMAGE022
方向上的无穷远点是
Figure 905698DEST_PATH_IMAGE024
，如图5，
Figure 80327DEST_PATH_IMAGE025
分别是
Figure 946652DEST_PATH_IMAGE026
的像，是无穷远点的像点，即：
Figure 829529DEST_PATH_IMAGE017
，方向上的隐消点，
Figure 348552DEST_PATH_IMAGE028
是无穷远点
Figure 512949DEST_PATH_IMAGE024
的像点，即：
Figure 396591DEST_PATH_IMAGE022
方向上的隐消点。因为
Figure 604718DEST_PATH_IMAGE023
是
Figure 573811DEST_PATH_IMAGE017
和
Figure 260008DEST_PATH_IMAGE018
的交点，所以
Figure 515933DEST_PATH_IMAGE029
 ，根据射影变换中相应点的对应性，有：
Figure 894962DEST_PATH_IMAGE030
，根据射影几何中调和共轭理论，得： 
Figure 148089DEST_PATH_IMAGE031
，根据射影变换中的交比不变性，得
Figure 388708DEST_PATH_IMAGE032
，从而解得
Figure 246943DEST_PATH_IMAGE028
的坐标。同理，在另一个等腰梯形
Figure 62452DEST_PATH_IMAGE033
中也能找到一组正交隐消点，记为
Figure 6137DEST_PATH_IMAGE034
，
Figure 34136DEST_PATH_IMAGE035
。计算公式为
Figure 996145DEST_PATH_IMAGE036
，得到
Figure 413537DEST_PATH_IMAGE034
，
Figure 510806DEST_PATH_IMAGE035
。
3. 求解摄像机内参数
获取两幅图像，利用正交隐消点对绝对二次曲线的约束，线性求解出摄像机的5个内参数，即矩阵
Figure 359944DEST_PATH_IMAGE038
，
Figure 517256DEST_PATH_IMAGE039
为图像的畸变因子，
Figure 435533DEST_PATH_IMAGE040
为图像坐标系中
Figure 323111DEST_PATH_IMAGE041
、
Figure 620232DEST_PATH_IMAGE042
轴的尺度因子，
Figure 948445DEST_PATH_IMAGE043
是主点坐标。
实施例
本发明提出了利用平面上任意一个底边为正五边形的正棱台作为靶标线性确定摄像机的内参数，本发明采用的实验模块是正五棱台，结构示意图如图1所示，下面以一实例对本发明的实施方案做出更为详细的描述。
利用正五棱台求解摄像机内参数采用的实验模板是平面上任意一个正五棱台，如图1所示，利用本发明中的方法对用于实验的摄像机进行标定，具体步骤如下：
（1）拟合图像中的特征点
本发明采用的图像分辨率为640×480个像素，用摄像机从不同方向拍摄多幅实验图片，选取两幅较为清晰的图片，读入图像在Matlab中利用Harris角点检测提取出图像特征点的坐标。 
第一幅图像上的特征点如下，
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE044
为
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE045
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE046
的像:
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE047
第二副图像上的特征点如下，
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE048
为
Figure 727920DEST_PATH_IMAGE045
Figure 183303DEST_PATH_IMAGE046
的像：
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE049
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE051
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE052
（2）计算正五棱台上底面图像的隐消点
在世界坐标系的一个平面上，存在一个正五棱台(如图1)，正五棱台的上、下底面是一个正五边形(如图2)，它上底面的角点为
Figure 582534DEST_PATH_IMAGE001
，下底面的部分角点为
Figure 81648DEST_PATH_IMAGE002
,是五边形内切圆的圆心。
Figure 686122DEST_PATH_IMAGE004
是线段
Figure 833201DEST_PATH_IMAGE005
的中点, 
Figure 503217DEST_PATH_IMAGE006
垂直于
Figure 617803DEST_PATH_IMAGE005
,
Figure 398677DEST_PATH_IMAGE006
方向上的无穷远点设为
Figure 164377DEST_PATH_IMAGE007
；
Figure 739715DEST_PATH_IMAGE005
方向上的无穷远点设为
Figure 341597DEST_PATH_IMAGE008
.则
Figure 926162DEST_PATH_IMAGE007
与
Figure 297101DEST_PATH_IMAGE008
正交。上底面的投影如图3所示，
Figure 794073DEST_PATH_IMAGE009
分别是
Figure 617672DEST_PATH_IMAGE010
的像，
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE053
分别是，
Figure 496952DEST_PATH_IMAGE008
，的像，根据共线四点交比的性质有：
Figure 931869DEST_PATH_IMAGE012
 ，
Figure 508344DEST_PATH_IMAGE013
，根据射影变换中对应点的射影不变性，有：
Figure 434712DEST_PATH_IMAGE014
，
Figure 514663DEST_PATH_IMAGE015
。从而可以求得
Figure 619017DEST_PATH_IMAGE011
的坐标。第二副图像上底面的一组正交隐消点记为：
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE054
。计算公式为，
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE056
，可得
Figure 259951DEST_PATH_IMAGE054
。
由以上方法可以计算出两幅图像上底面的隐消点，计算结果分别如下：
第一幅图像，上底面中的一组正交隐消点：
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE057
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE058
；
第二幅图像，上底面的一组正交隐消点：
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE059
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE060
。
（3）计算正五棱台侧面图像的隐消点
在正五棱台的一幅图片中，至少可以看到它的两个侧面是两个全等的等腰梯形，如图4所示，平行于
Figure 268676DEST_PATH_IMAGE018
，
Figure 58777DEST_PATH_IMAGE019
分别是
Figure 78686DEST_PATH_IMAGE017
和
Figure 864632DEST_PATH_IMAGE018
的中点，并连接
Figure 919176DEST_PATH_IMAGE019
，是
Figure 121804DEST_PATH_IMAGE022
的中点,设
Figure 193666DEST_PATH_IMAGE017
，
Figure 853448DEST_PATH_IMAGE018
上的无穷远点为
Figure 719773DEST_PATH_IMAGE023
，
Figure 714274DEST_PATH_IMAGE022
方向上的无穷远点是
Figure 589826DEST_PATH_IMAGE024
，如图5，
Figure 353383DEST_PATH_IMAGE025
分别是
Figure 639876DEST_PATH_IMAGE026
的像，
Figure 387252DEST_PATH_IMAGE027
是无穷远点
Figure 800916DEST_PATH_IMAGE023
的像点，即：
Figure 684559DEST_PATH_IMAGE017
，
Figure 643418DEST_PATH_IMAGE018
方向上的隐消点，
Figure 346932DEST_PATH_IMAGE028
是无穷远点
Figure 564287DEST_PATH_IMAGE024
的像点，即：
Figure 302436DEST_PATH_IMAGE022
方向上的隐消点。因为
Figure 199241DEST_PATH_IMAGE023
是
Figure 655630DEST_PATH_IMAGE017
和
Figure 145517DEST_PATH_IMAGE018
的交点，所以 ，根据射影变换中相应点的对应性，有：
Figure 819261DEST_PATH_IMAGE030
，根据射影几何中调和共轭理论，得： 
Figure 982520DEST_PATH_IMAGE031
，根据射影变换中的交比不变性，得
Figure 541678DEST_PATH_IMAGE032
，从而解得
Figure 988840DEST_PATH_IMAGE028
的坐标。同理，在另一个等腰梯形中也能找到一组正交隐消点，记为
Figure 140652DEST_PATH_IMAGE034
，
Figure 487189DEST_PATH_IMAGE035
，计算公式为
Figure 54436DEST_PATH_IMAGE036
，
Figure 946169DEST_PATH_IMAGE037
。第二副图像两个侧面的两组正交隐消点分别记为：
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE061
和
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE062
，计算公式分别为,
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE064
；
Figure DEST_PATH_IMAGE065
,
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE066
。
由以上方法计算出两幅图像侧面的隐消点，计算结果分别如下：
第一幅图像两侧面的两组正交隐消点：
Figure DEST_PATH_IMAGE067
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE068
Figure DEST_PATH_IMAGE069
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE070
第二副图像两侧面上的两组正交隐消点：
Figure DEST_PATH_IMAGE071
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE072
Figure DEST_PATH_IMAGE073
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE074
（4）求解出摄像机内参数
 经过以上步骤得到的两幅图像上的共六组正交隐消点的坐标，可线性地求解出摄像机内参数矩阵
 
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE076
五个内参数（单位：像素）分别为： 
Figure DEST_PATH_IMAGE077
，，
Figure DEST_PATH_IMAGE079
，
Figure 2012105420062100002DEST_PATH_IMAGE080
和
Figure DEST_PATH_IMAGE081
。

Claims (1)

1.一种用于求解摄像机内参数的靶标，其特征在于此靶标是将空间中任意一个正五棱锥平行于底面切割得到；具体的步骤包括：
（1）计算正五棱台上底面的隐消点
在世界坐标系的一个平面上，存在一个正五棱台，正五棱台的上、下底面是一个正五边形，它上底面的角点为                                                
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE001
，下底面的对应上底面
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE002
角点为
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE003
, 
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE004
是五边形内切圆的圆心；
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE005
是线段
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE006
的中点, 垂直于,
Figure 315803DEST_PATH_IMAGE007
方向上的无穷远点设为；
Figure 892278DEST_PATH_IMAGE006
方向上的无穷远点设为.则与
Figure 681953DEST_PATH_IMAGE009
正交；上底面的投影中，
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE010
分别是
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE011
的像，
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE012
分别是
Figure 363470DEST_PATH_IMAGE008
，
Figure 912394DEST_PATH_IMAGE009
的像，根据共线四点交比的性质有：
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE013
 ，，根据射影变换中对应点的射影不变性，有：
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE015
，
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE016
；从而可以求得
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE017
的坐标；
（2） 计算正五棱台侧面的隐消点
在正五棱台的一幅图片中，我们至少可以看到它的两个侧面是两个全等的等腰梯形，
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE018
平行于
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE019
，
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE020
分别是
Figure 360562DEST_PATH_IMAGE018
和
Figure 560599DEST_PATH_IMAGE019
的中点，并连接
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE021
，
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE022
是
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE023
的中点,设
Figure 653496DEST_PATH_IMAGE018
，
Figure 938984DEST_PATH_IMAGE019
上的无穷远点为
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE024
，
Figure 472733DEST_PATH_IMAGE023
方向上的无穷远点是
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE025
，
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE026
分别是
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE027
的像，
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE028
是无穷远点
Figure 386331DEST_PATH_IMAGE024
的像点，即：
Figure 81755DEST_PATH_IMAGE018
，
Figure 854539DEST_PATH_IMAGE019
方向上的隐消点，是无穷远点的像点，即：
Figure 851762DEST_PATH_IMAGE023
方向上的隐消点；因为是和
Figure 322561DEST_PATH_IMAGE019
的交点，所以
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE030
 ，根据射影变换中对应点的射影不变性，有：
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE031
，根据射影几何中调和共轭理论，得： 
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE032
，根据射影变换中的交比不变性，得
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE033
，从而解得
Figure 462948DEST_PATH_IMAGE029
的坐标；在另一个等腰梯形
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE034
中也存在着一组正交隐消点，记为
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE035
，
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE036
，计算公式为
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE037
，
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE038
，可以求出
Figure 687125DEST_PATH_IMAGE035
，
Figure 168922DEST_PATH_IMAGE036
；
 （3）求解摄像机内参数
利用在两幅图像中所求的六组正交隐消点对绝对二次曲线的约束可以列出六个方程，线性求解出摄像机的5个内参数，即矩阵，
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE040
为图像的畸变因子，
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE041
为图像坐标系中
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE042
轴
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE043
轴的尺度因子，
Figure 2012105420062100001DEST_PATH_IMAGE044
是主点坐标，为摄像机的5个内参数。
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