CN109050659B - 一种基于时变动力学模型的四轮转向汽车稳定性控制方法 - Google Patents

Abstract

一种基于时变动力学模型的四轮转向汽车稳定性控制方法，其特征在于，该方法包括参考模型、轮胎数据处理器、MPC控制器、CarSim汽车模型；参考模型用于确定期望的汽车横摆角速度和质心侧偏角；轮胎数据处理器用于确定轮胎的侧偏角、侧向力和侧向力梯度；CarSim汽车模型用于输出汽车的实际运动状态信息，包括汽车纵向速度、横摆角速度、质心侧偏角和路面附着系数；MPC控制器根据期望的汽车横摆角速度、质心侧偏角和汽车的实际运动状态信息，优化求解出汽车的后轮转角，输出给CarSim汽车模型，控制汽车实现稳定性控制。

Description

一种基于时变动力学模型的四轮转向汽车稳定性控制方法

技术领域：

本发明涉及汽车稳定性控制领域，特别是关于一种基于时变动力学模型的四轮转向汽车稳定性控制方法。

背景技术：

随着人们对汽车行驶安全性越来越重视，汽车主动安全系统得到快速发展，其中四轮转向(Four Wheel Steering,4WS)作为一种提高汽车稳定性的有效手段已得到了广泛的认可，运用4WS技术，可以有效地减小低速行驶时汽车的转弯半径，提高高速行驶时汽车的稳定性。

目前，4WS所采用的控制方法主要有PID控制、鲁棒性控制、神经网络控制和模型预测控制(Model Predictive Control,MPC)等，其中模型预测控制因能较好地处理多目标任务以及系统约束，在汽车稳定性控制领域得到了广泛的应用。

根据其采用的预测模型以及优化方法的不同，MPC可分为非线性MPC和线性MPC。非线性MPC的计算负担重，实时性差，很难应用于实际，而线性MPC计算负担小，计算速度快，因而得到了广泛使用。论文[Hang P,Luo F,Fang S,et al.Path Tracking Control of aFour-Wheel-Independent-Steering Electric Vehicle based on Model PredictiveControl[C]//中国控制会议.2017:9360-9366.]假设轮胎侧偏角处于线性区域，将非线性的轮胎模型近似成线性轮胎模型，通过线性MPC实现了四轮转向控制，然而线性MPC不能表征轮胎的非线性特性侧偏特性，因此在极限工况下控制器的控制效果差。论文[陈杰,李亮,宋健.基于LTV-MPC的汽车稳定性控制研究[J].汽车工程，2016，38(3):308-316.]基于线性化的轮胎模型采用线性时变的MPC方法实现了汽车稳定性控制，同时兼顾了系统的非线性特性和计算负担。但是，论文中对轮胎侧向力线性化处理的方法过于简单，无法表征轮胎侧向力的实际变化趋势，在极限工况下控制器的控制效果不理想；此外，该方法采用的预测模型在预测时域里保持不变，在滚动预测过程中不能体现汽车实际的变化趋势。

发明内容：

为了解决现有的线性时变MPC预测模型不能体现汽车的非线性动力学特性，导致极限工况下4WS系统控制效果差的问题。本发明提供一种基于时变动力学模型的四轮转向汽车稳定性控制方法，采用线性时变的方法将非线性预测控制问题转换成线性预测控制问题，并且在预测时域内根据轮胎侧向力的变化趋势自动调节预测模型，在减小系统的计算负担的同时准确表征汽车的非线性动力学特性，保证极限工况下4WS控制器的稳定性，实现汽车的稳定性控制。

本发明解决技术问题所采取的技术方案如下：

一种基于时变动力学模型的四轮转向汽车稳定性控制方法，其特征在于，该方法包括参考模型、轮胎数据处理器、MPC控制器、CarSim汽车模型；参考模型用于确定期望的汽车横摆角速度和质心侧偏角；轮胎数据处理器用于确定轮胎的侧偏角、侧向力和侧向力梯度；CarSim汽车模型用于输出汽车的实际运动状态信息，包括汽车纵向速度、横摆角速度、质心侧偏角和路面附着系数；MPC控制器根据期望的汽车横摆角速度、质心侧偏角和汽车的实际运动状态信息，优化求解出汽车的后轮转角，输出给CarSim汽车模型，控制汽车实现稳定性控制；

该方法包括以下步骤：

步骤1、建立参考模型，确定期望的汽车横摆角速度和质心侧偏角，其过程包括如下子步骤：

步骤1.1、采用线性二自由度汽车模型作为参考模型，其运动微分方程表达式如下：

其中：β是汽车质心侧偏角；γ是汽车横摆角速度；I_z是绕汽车质心铅垂轴的横摆转动惯量；U_x是汽车纵向速度；l_f和l_r分别是汽车质心至前、后轴的距离；C_f和C_r分别是汽车前、后轮轮胎的侧偏刚度；δ_f是驾驶员操纵方向盘产生的汽车前轮转角；

步骤1.2、将公式(1a)转换成传递函数，形式如下式：

基于公式(2)得到期望的汽车横摆角速度：

其中：γ_ref是期望的汽车横摆角速度；w_n是系统的固有频率；ξ是系统阻尼；G_ω(s)是传递函数增益；w_d＝k₁w_n,ξ_d＝k₂ξ,G_kω(s)＝k₃G_ω(s)；k₁、k₂、k₃是改善系统相位延迟和响应速度的参数；

步骤1.3、设定期望的质心侧偏角为：

β_ref＝0 (4)

步骤2、设计轮胎数据处理器，其过程包括如下子步骤：

步骤2.1、设计轮胎侧偏角计算模块，前、后轮轮胎侧偏角通过下式计算获得：

其中：α_f和α_r分别是汽车前、后轮轮胎的侧偏角；δ_f是汽车前轮转角，δ_r是汽车后轮转角；

步骤2.2、设计轮胎侧向力和轮胎侧向力梯度计算模块，为了获得轮胎的非线性特性，基于Pacejka轮胎模型，获取不同路面附着系数下的轮胎侧向力与轮胎侧偏角的关系曲线，得到轮胎侧偏特性三维图；获取不同路面附着系数下的轮胎侧向力对轮胎侧偏角导数的关系曲线，得到轮胎侧向力梯度三维图；轮胎数据处理器将当前时刻实际的轮胎侧偏角和路面附着系数分别输入到轮胎侧偏特性三维图和轮胎侧向力梯度三维图中，通过线性插值法分别获得当前时刻的轮胎侧向力和轮胎侧向力梯度，并输出给MPC控制器；在每个控制周期轮胎数据处理器更新一次轮胎侧向力和轮胎侧向力梯度值；

其中：Pacejka轮胎模型如下：

F_y,j＝μDsin(Catan(Bα_j-E(Bα_j-α_jtan(Bα_j))))

其中：j＝f，r，表示前轮和后轮；F_y,j是轮胎侧向力，α_j是轮胎侧偏角；B，C，D和E取决于车轮垂直载荷F_z；a₀＝1.75；a₁＝0；a₂＝1000；a₃＝1289；a₄＝7.11；a₅＝0.0053；a₆＝0.1925；

步骤3、设计MPC控制器，其过程包括如下子步骤：

步骤3.1、建立预测模型，其过程包括如下子步骤：

步骤3.1.1、线性化轮胎模型，其表达式如下：

其中：

是在当前侧偏角

的轮胎侧向力梯度值；

是轮胎的残余侧向力，通过如下公式计算：

其中：

是基于轮胎侧偏特性三维图，通过线性插值法获得的轮胎侧向力；

是基于轮胎侧偏刚度特性三维图，通过线性插值法获得的轮胎侧向力梯度；

是当前时刻实际的轮胎侧偏角；

基于公式(6)，在滚动预测过程中，设计轮胎侧向力表达式如下：

其中：

其中：P是预测时域；上标“k+i|k”表示在当前时刻k预测的将来第i时刻；ρ^k+i|k和ξ^k+i|k是调节

和

变化的权重因子；

步骤3.1.2、建立预测模型，其运动微分方程表达式为：

将公式(9)带入公式(10)，得到在滚动预测过程中的预测模型为：

步骤3.1.3、建立预测方程，用于预测系统未来输出，将公式(11)写成状态空间方程，用于设计预测方程，具体如下:

其中：

为了实现汽车横摆角速度和质心侧偏角的跟踪控制，将连续时间系统的预测模型转换成离散时间系统的增量式模型：

其中：取样时间k＝int(t/T_s)，t是仿真时间，T_s是仿真步长；

步骤3.2、设计优化目标及约束条件，其过程包括如下子步骤：

步骤3.2.1、用期望的汽车横摆角速度、质心侧偏角和实际的汽车横摆角速度、质心侧偏角误差的二范数作为横摆角速度、质心侧偏角跟踪性能指标，体现汽车的轨迹跟踪特性，其表达式如下：

其中：γ_ref是期望的汽车横摆角速度；γ是实际的汽车横摆角速度；β_ref是期望的汽车质心侧偏角；β是实际的汽车质心侧偏角；P是预测时域；k表示当前时刻；Q₁、Q₂是加权因子；

步骤3.2.2、用控制量变化率的二范数作为转向平滑指标，体现横摆角速度和质心侧偏角跟踪过程中的转向平滑特性，控制量u是汽车后轮转角，建立离散二次型转向平滑指标为：

其中：M是控制时域；△u是控制量的变化量；k表示当前时刻；S是加权因子；

步骤3.2.3、设置执行器物理约束，满足执行器要求：

利用线性不等式限制后轮转角及其变化量的上下限，得到转向执行器的物理约束，其数学表达式为：

其中：δ_rmin是后轮转角下限，δ_rmax是后轮转角上限；△δ_rmin是后轮转角变化量的下限；△δ_rmax是后轮转角变化量的上限；

步骤3.3、求解系统预测输出，其过程包括如下子步骤：

步骤3.3.1、利用线性加权法将步骤3.2.1所述跟踪性能指标和步骤3.2.2所述转向平滑指标转化为单一指标，构建汽车稳定性多目标优化控制问题，该问题要满足转向执行器的物理约束，且输入输出符合预测模型：

服从于

i)预测模型

ii)约束条件为公式(16)

步骤3.3.2、在控制器中，采用二次规划算法，求解多目标优化控制问题(17)，得到最优开环控制序列△δ_r为：

选取当前时刻最优开环控制序列中的第一个元素△δ_r(0)进行反馈，与前一时刻进行线性叠加，输出给CarSim汽车模型，实现汽车的稳定性控制。

本发明的有益效果是：本方法使用线性时变的方法将非线性预测控制问题转换成线性预测控制问题，可以减小系统的计算负担；本方法根据轮胎侧向力的变化趋势在滚动预测过程中自适应调节系统的预测模型，能够达到非线性MPC的控制效果，提升极限工况下4WS的控制效果。

附图说明

图1是本发明的控制系统结构示意图。

图2是线性二自由度汽车模型示意图。

图3是轮胎侧偏特性三维图。

图4是轮胎侧向力梯度三维图。

图5是轮胎模型线性化示意图。

图6是在滚动预测过程中轮胎模型线性化示意图。

图7是四轮转向汽车模型示意图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进行详细的描述。

图1是本发明一种基于时变动力学模型的四轮转向汽车稳定性控制方法的系统结构示意图，该系统主要包括参考模型1、轮胎数据处理器2、MPC控制器3、CarSim汽车模型4；参考模型1用于确定期望的汽车横摆角速度和质心侧偏角；轮胎数据处理器2用于确定轮胎的侧偏角、侧向力和侧向力梯度；CarSim汽车模型4用于输出汽车的实际运动状态信息，包括汽车纵向速度、横摆角速度、质心侧偏角和路面附着系数；MPC控制器3根据期望的汽车横摆角速度、质心侧偏角和汽车的实际运动状态信息，优化求解出汽车的后轮转角，输出给CarSim汽车模型4，控制汽车实现稳定性控制。

下面以CarSim汽车仿真软件某车型为平台，具体说明本发明的方法，其主要参数如表1所示：

表1 CarSim汽车的主要参数

参考模型1的建立包括三部分：1.1建立线性二自由度汽车模型；1.2确定期望的汽车横摆角速度；1.3确定期望的汽车质心侧偏角；

在1.1部分中，线性二自由度汽车模型如图2所示，其运动微分方程表达式如下：

其中：β是汽车质心侧偏角；γ是汽车横摆角速度；I_z是绕汽车质心铅垂轴的横摆转动惯量；U_x是汽车纵向速度；l_f和l_r分别是汽车质心至前、后轴的距离；C_f和C_r分别是汽车前、后轮轮胎的侧偏刚度；δ_f是驾驶员操纵方向盘产生的汽车前轮转角。

在1.2部分中，将公式(1a)转换成传递函数，形式如下式：

基于公式(2)得到期望的汽车横摆角速度：

其中：γ_ref是期望的横摆角速度；w_n是系统的固有频率；ξ是系统阻尼；G_ω(s)是传递函数增益；w_d＝k₁w_n,ξ_d＝k₂ξ,G_kω(s)＝k₃G_ω(s)；k₁、k₂、k₃是改善系统相位延迟和响应速度的参数；w_n、ξ、G_ω(s)、K_ω的计算过程如下：

在1.3部分中，设定期望的质心侧偏角为：

β_ref＝0 (4)

轮胎数据处理器2的设计包括两部分：2.1设计轮胎侧偏角计算模块；2.2设计轮胎侧向力和轮胎侧向力梯度计算模块；

在2.1部分中，前、后轮轮胎侧偏角通过下式计算获得：

其中：α_f和α_r分别是汽车前、后轮轮胎的侧偏角；δ_f是驾驶员操纵方向盘产生的汽车前轮转角，δ_r是控制器优化求解出的汽车后轮转角。

在2.2部分中，为了获得轮胎的非线性特性，基于Pacejka轮胎模型，获取不同路面附着系数下的轮胎侧向力与轮胎侧偏角的关系曲线，得到轮胎侧偏特性三维图，如图3；获取不同路面附着系数下的轮胎侧向力对轮胎侧偏角导数的关系曲线，得到轮胎侧向力梯度三维图，如图4。轮胎数据处理器2将当前时刻实际的轮胎侧偏角和路面附着系数分别输入到轮胎侧偏特性三维图和轮胎侧向力梯度三维图中，通过线性插值法分别获得当前时刻的轮胎侧向力和轮胎侧向力梯度，并输出给MPC控制器3。在每个控制周期轮胎数据处理器2更新一次轮胎侧向力和轮胎侧向力梯度值。

其中：Pacejka轮胎模型如下：

F_y,j＝μDsin(Catan(Bα_j-E(Bα_j-α_jtan(Bα_j))))

其中：j＝f，r，表示前轮和后轮；F_y,j是轮胎侧向力，α_j是轮胎侧偏角；B，C，D和E取决于车轮垂直载荷F_z；a₀＝1.75；a₁＝0；a₂＝1000；a₃＝1289；a₄＝7.11；a₅＝0.0053；a₆＝0.1925。

MPC控制器3的设计包括三部分：3.1建立预测模型及预测方程；3.2设计优化目标及约束条件；3.3求解系统预测输出；

在3.1部分中，预测模型及预测方程的建立包括三部分：3.1.1线性化轮胎模型；3.1.2建立预测模型；3.1.3建立预测方程；

在3.1.1部分中，在当前侧偏角

处，如图5所示，对轮胎模型进行线性化，其表达式如下：

其中：

是在当前侧偏角

的轮胎侧向力梯度值；

是轮胎的残余侧向力，通过如下公式计算：

其中：

是基于轮胎侧偏特性三维图(图3)，通过线性插值法获得的轮胎侧向力；

是基于轮胎侧偏刚度特性三维图(图4)，通过线性插值法获得的轮胎侧向力梯度；

是当前时刻实际的轮胎侧偏角。

基于公式(5)，在滚动预测过程中，如图6，设计轮胎侧向力表达式如下：

其中：

其中：P是预测时域；上标“k+i|k”表示在当前时刻k预测的将来第i时刻；ρ^k+i|k和ξ^k+i|k是调节

和

变化的权重因子。

在3.1.2部分中，预测模型采用图7所示的四轮转向汽车模型，其运动微分方程表达式为：

将公式(9)带入公式(10)，得到在滚动预测过程中的预测模型为：

在3.1.3部分中，将公式(11)写成状态空间方程，用于设计预测方程，具体如下:

其中：

为了实现汽车横摆角速度和质心侧偏角的跟踪控制，将连续时间系统的预测模型转换成离散时间系统的增量式模型：

其中：取样时间k＝int(t/T_s)，t是仿真时间，T_s是仿真步长；

在3.2部分中优化目标及约束条件的设计包括三部分：3.2.1设计横摆角速度和质心侧偏角跟踪性能指标；3.2.2设计转向平滑指标；3.2.3设置执行器物理约束；

在3.2.1部分中，用期望的汽车横摆角速度、质心侧偏角和实际的汽车横摆角速度、质心侧偏角误差的二范数作为横摆角速度、质心侧偏角跟踪性能指标，体现汽车的轨迹跟踪特性，其表达式如下：

其中：γ_ref是期望的汽车横摆角速度；γ是实际的汽车横摆角速度；β_ref是期望的汽车质心侧偏角；β是实际的汽车质心侧偏角；P是预测时域；k表示当前时刻；Q₁、Q₂是加权因子。

在3.2.2部分中，用控制量变化率的二范数作为转向平滑指标，体现横摆角速度和质心侧偏角跟踪过程中的转向平滑特性，控制量u是汽车后轮转角，建立离散二次型转向平滑指标为：

其中：M是控制时域；△u是控制量的变化量；k表示当前时刻；S是加权因子；

在3.2.3部分中，利用线性不等式限制后轮转角及其变化量的上下限，得到转向执行器的物理约束，其数学表达式为：

其中：δ_rmin是后轮转角下限，δ_rmax是后轮转角上限；△δ_rmin是后轮转角变化量的下限；△δ_rmax是后轮转角变化量的上限

在3.3部分中，系统预测输出的求解包括两部分：3.3.1构建汽车稳定性多目标优化控制问题；3.3.2求解多目标优化控制问题；

在3.3.1部分中，利用线性加权法将公式(14)的横摆角速度和质心侧偏角跟踪性能指标和公式(15)的转向平滑指标转化为单一指标，构建汽车稳定性多目标优化控制问题，该问题要满足转向执行器的物理约束，且输入输出符合预测模型：

服从于

i)预测模型

ii)约束条件为公式(16)

在3.3.2部分中，在控制器中，采用二次规划算法，求解多目标优化控制问题(17)，得到最优开环控制序列△δ_r为：

选取当前时刻最优开环控制序列中的第一个元素△δ_r(0)进行反馈，与前一时刻进行线性叠加，输出给CarSim汽车模型4，实现汽车的稳定性控制。

Claims (1)

1.一种基于时变动力学模型的四轮转向汽车稳定性控制方法，其特征在于，该方法包括参考模型、轮胎数据处理器、MPC控制器、CarSim汽车模型；参考模型用于确定期望的汽车横摆角速度和质心侧偏角；轮胎数据处理器用于确定轮胎的侧偏角、侧向力和侧向力梯度；CarSim汽车模型用于输出汽车的实际运动状态信息，包括汽车纵向速度、横摆角速度、质心侧偏角和路面附着系数；MPC控制器根据期望的汽车横摆角速度、质心侧偏角和汽车的实际运动状态信息，优化求解出汽车的后轮转角，输出给CarSim汽车模型，控制汽车实现稳定性控制；

该方法包括以下步骤：

步骤1、建立参考模型，确定期望的汽车横摆角速度和质心侧偏角，其过程包括如下子步骤：

步骤1.1、采用线性二自由度汽车模型作为参考模型，其运动微分方程表达式如下：

其中：β是汽车质心侧偏角；γ是汽车横摆角速度；I_z是绕汽车质心铅垂轴的横摆转动惯量；U_x是汽车纵向速度；l_f和l_r分别是汽车质心至前、后轴的距离；C_f和C_r分别是汽车前、后轮轮胎的侧偏刚度；δ_f是驾驶员操纵方向盘产生的汽车前轮转角；

步骤1.2、将公式(1a)转换成传递函数，形式如下式：

基于公式(2)得到期望的汽车横摆角速度：

其中：γ_ref是期望的汽车横摆角速度；w_n是系统的固有频率；ξ是系统阻尼；G_ω(s)是传递函数增益；w_d＝k₁w_n,ξ_d＝k₂ξ,G_kω(s)＝k₃G_ω(s)；k₁、k₂、k₃是改善系统相位延迟和响应速度的参数；

步骤1.3、设定期望的质心侧偏角为：

β_ref＝0 (4)

步骤2、设计轮胎数据处理器，其过程包括如下子步骤：

步骤2.1、设计轮胎侧偏角计算模块，前、后轮轮胎侧偏角通过下式计算获得：

其中：α_f和α_r分别是汽车前、后轮轮胎的侧偏角；δ_f是汽车前轮转角，δ_r是汽车后轮转角；

步骤2.2、设计轮胎侧向力和轮胎侧向力梯度计算模块，为了获得轮胎的非线性特性，基于Pacejka轮胎模型，获取不同路面附着系数下的轮胎侧向力与轮胎侧偏角的关系曲线，得到轮胎侧偏特性三维图；获取不同路面附着系数下的轮胎侧向力对轮胎侧偏角导数的关系曲线，得到轮胎侧向力梯度三维图；轮胎数据处理器将当前时刻实际的轮胎侧偏角和路面附着系数分别输入到轮胎侧偏特性三维图和轮胎侧向力梯度三维图中，通过线性插值法分别获得当前时刻的轮胎侧向力和轮胎侧向力梯度，并输出给MPC控制器；在每个控制周期轮胎数据处理器更新一次轮胎侧向力和轮胎侧向力梯度值；

其中：Pacejka轮胎模型如下：

F_y,j＝μDsin(Catan(Bα_j-E(Bα_j-α_jtan(Bα_j))))

其中：μ是路面附着系数；j＝f，r，表示前轮和后轮；F_y,j是轮胎侧向力，α_j是轮胎侧偏角；B，C，D和E取决于车轮垂直载荷F_z；a₀＝1.75；a₁＝0；a₂＝1000；a₃＝1289；a₄＝7.11；a₅＝0.0053；a₆＝0.1925；

步骤3、设计MPC控制器，其过程包括如下子步骤：

步骤3.1、建立预测模型，其过程包括如下子步骤：

步骤3.1.1、线性化轮胎模型，其表达式如下：

其中：

是在当前侧偏角

的轮胎侧向力梯度值；

是轮胎的残余侧向力，通过如下公式计算：

其中：

是基于轮胎侧偏特性三维图，通过线性插值法获得的轮胎侧向力；

是基于轮胎侧偏刚度特性三维图，通过线性插值法获得的轮胎侧向力梯度；

是当前时刻实际的轮胎侧偏角；

基于公式(6)，在滚动预测过程中，设计轮胎侧向力表达式如下：

其中：

其中：P是预测时域；上标“k+i|k”表示在当前时刻k预测的将来第i时刻；ρ^k+i|k和ξ^k+i|k是调节

和

变化的权重因子；

步骤3.1.2、建立预测模型，其运动微分方程表达式为：

将公式(9)带入公式(10)，得到在滚动预测过程中的预测模型为：

步骤3.1.3、建立预测方程，用于预测系统未来输出，将公式(11)写成状态空间方程，用于设计预测方程，具体如下:

y(k)＝Cx(t) (12)

其中：

为了实现汽车横摆角速度和质心侧偏角的跟踪控制，将连续时间系统的预测模型转换成离散时间系统的增量式模型：

其中：取样时间k＝int(t/T_s)，t是仿真时间，T_s是仿真步长；

步骤3.2、设计优化目标及约束条件，其过程包括如下子步骤：

步骤3.2.1、用期望的汽车横摆角速度、质心侧偏角和实际的汽车横摆角速度、质心侧偏角误差的二范数作为横摆角速度、质心侧偏角跟踪性能指标，体现汽车的轨迹跟踪特性，其表达式如下：

其中：γ_ref是期望的汽车横摆角速度；γ是实际的汽车横摆角速度；β_ref是期望的汽车质心侧偏角；β是实际的汽车质心侧偏角；P是预测时域；k表示当前时刻；Q₁、Q₂是加权因子；

步骤3.2.2、用控制量变化率的二范数作为转向平滑指标，体现横摆角速度和质心侧偏角跟踪过程中的转向平滑特性，控制量u是汽车后轮转角，建立离散二次型转向平滑指标为：

其中：M是控制时域；Δu是控制量的变化量；k表示当前时刻；S是加权因子；

步骤3.2.3、设置执行器物理约束，满足执行器要求：

利用线性不等式限制后轮转角及其变化量的上下限，得到转向执行器的物理约束，其数学表达式为：

其中：δ_rmin是后轮转角下限，δ_rmax是后轮转角上限；Δδ_rmin是后轮转角变化量的下限；Δδ_rmax是后轮转角变化量的上限；

步骤3.3、求解系统预测输出，其过程包括如下子步骤：

步骤3.3.1、利用线性加权法将步骤3.2.1所述跟踪性能指标和步骤3.2.2所述转向平滑指标转化为单一指标，构建汽车稳定性多目标优化控制问题，该问题要满足转向执行器的物理约束，且输入输出符合预测模型：

服从于

i)预测模型

ii)约束条件为公式(16)

步骤3.3.2、在控制器中，采用二次规划算法，求解多目标优化控制问题(17)，得到最优开环控制序列Δδ_r为：

选取当前时刻最优开环控制序列中的第一个元素Δδ_r(0)进行反馈，与前一时刻进行线性叠加，输出给CarSim汽车模型，实现汽车的稳定性控制。

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