CN108466289B - 一种考虑关节摩擦的并联机器人的动力学建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于工业机器人建模与仿真技术领域，公开了一种考虑关节摩擦的并联机器人的动力学建模方法，包括：获取二自由度冗余并联机器人的平面结构，将其分为三个开式支链子系统，建立每个开式支链子系统的动力学解析模型；获取末端执行器的约束关系，建立与基座断开连接的二自由度冗余并联机器人的动力学模型；获取每个子系统中主动关节与基座之间的运动约束关系，建立二自由度冗余并联机器人的整体动力学模型；基于摩擦力经典模型建立二自由度冗余并联机器人在每个主动关节处的摩擦力模型，得到考虑主动关节摩擦的并联机器人的动力学模型，解决对于非线性并联机器人，传统动力学建模方法很难获得并联机器人关节摩擦力精确解析模型的问题。

Description

一种考虑关节摩擦的并联机器人的动力学建模方法

技术领域

本发明属于工业机器人建模与仿真技术领域，尤其涉及一种考虑关节摩擦的并联机器人的动力学建模方法。

背景技术

由于并联机器人关节运动副的实际接触方式，即关节之间间隙的存在，导致关节间无可避免的会产生摩擦接触现象，影响机器人系统的动力学行为，特别是主动关节的摩擦力和控制力矩耦合，当控制输入增大时更无法忽略其关节摩擦力对系统的干扰。并联机器人关节摩擦力具有高度的非线性，会使机器人在控制时产生控制误差，影响控制精度和响应特性，因此，对其关节产生的摩擦力进行精确分析，建立并联机器人摩擦力的精确解析模型，消除由关节摩擦力产生的控制误差在对机器人进行控制时具有重要意义。

关于机器人摩擦力的补偿一直是机器人控制领域内的重要课题，在各种摩擦力模型的基础上，各国研究学者提出了的许多基于摩擦力模型的主动补偿方法，其中应用较多的摩擦力模型包括经典的库伦摩擦、Stribeck摩擦或这两者的组合以及其他摩擦力模型。

目前，关于机器人的摩擦力补偿控制大多采用具有参数离线辨识的摩擦力模型，该模型将机器人在摩擦接触面的正向压力视为常值，即取一个定值的正向压力来线性化摩擦力模型，这对于很多机械系统，尤其像并联机器人这样典型的非线性系统是不准确的。

发明内容

针对上述技术问题，本发明的目的在于提供一种考虑关节摩擦的并联机器人的动力学建模方法，能够解决对于非线性并联机器人，传统动力学建模方法很难获得并联机器人关节摩擦力精确解析模型的问题。

摩擦力为一种非理想约束，而Udwadia-Kalaba理论能够得到非理想约束条件下多体系统的运动方程及约束力。因此，采用基于Udwadia-Kalaba理论的层级堆聚建模方法对并联机器人约束力的解析表达式进行分析是一个可行的方法，而正向压力属于约束力的一部分，因此可以借助该建模方法获得并联机器人关节摩擦力解析模型，解决了传统动力学建模方法很难得到摩擦力解析模型的难题。

为达到上述目的，本发明采用如下技术方案予以实现。

一种考虑关节摩擦的并联机器人的动力学建模方法，所述方法包括：

步骤1，获取二自由度冗余并联机器人的平面结构，将二自由度冗余并联机器人分为三个开式支链子系统，利用拉格朗日方程建立每个开式支链子系统的动力学解析模型；其中，每个开式支链子系统为包含主动关节和被动关节的二杆机构，且主动关节与基座断开连接；

步骤2，获取二自由度冗余并联机器人末端执行器的约束关系，根据所述约束关系建立与基座断开连接的二自由度冗余并联机器人的动力学模型；

步骤3，获取每个子系统中主动关节与基座之间的运动约束关系，根据所述每个主动关节与基座之间的运动约束关系建立二自由度冗余并联机器人的整体动力学模型；

步骤4，基于摩擦力经典模型建立二自由度冗余并联机器人在每个主动关节处的摩擦力模型；根据二自由度冗余并联机器人的整体动力学模型以及二自由度冗余并联机器人在每个主动关节处的摩擦力模型，得到考虑主动关节摩擦的并联机器人的动力学模型，其中，摩擦力经典模型为库伦摩擦力模型或者Stribeck摩擦力模型。

本发明技术方案的特点和进一步的改进为：

(1)步骤1具体包括如下子步骤：

(1a)确定每个开式支链子系统的拉格朗日函数L_i＝E_ai+E_bi；

其中，E_ai表示第i个子系统中主动杆的动能，E_bi表示第i个子系统中被动杆的动能；

(1b)根据拉格朗日-欧拉动力学方程：

得到每个开式支链子系统的动力学解析模型

其中，M_i(q_i,t)表示第i个子系统的质量惯性矩阵，

表示第i个子系统的科式力矩阵，τ_i(t)表示第i个子系统的关节力矩τ_i(t)＝[τ_ai τ_bi]^T，q_i表示第i个子系统的转动角度，q_i＝[q_ai q_bi]^T，

表示第i个子系统的转动角速度，

表示第i个子系统的转动角加速度，

(2)步骤2具体包括如下子步骤：

(2a)获取二自由度冗余并联机器人末端执行器的约束关系：

得到具有二阶矩形式的约束方程：

其中，(x_a1，y_a1)表示第一个主动关节处的坐标，(x_a2，y_a2)表示第二个主动关节处的坐标，(x_a3，y_a3)表示第三个主动关节处的坐标；l表示主动杆或被动杆的长度，q＝[q_a1 q_b1q_a2 q_b2 q_a3 q_b3]^T，

(2b)与基座断开连接的二自由度冗余并联机器人的动力学模型为：

其中，B₁(q,t)＝A₁(q,t)M^-1/2(q,t)，上标+表示Moor-Penrose广义逆，

表示由二自由度冗余并联机器人末端执行器的约束关系所引起的约束力；

M(q,t)∈R^6×6为并联机器人的质量矩阵，

为并联机器人的科氏力矩阵，q∈R⁶为并联机器人的关节角向量，τ(t)∈R⁶为并联机器人的关节力矩，其定义分别为

(3)步骤3具体包括如下子步骤：

(3a)获取每个子系统中主动关节与基座之间的运动约束关系：

得到所述运动约束关系的二阶形式：

其中，(A_1x，A_1y)表示第一个主动关节处的坐标，(A_2x，A_2y)表示第二个主动关节处的坐标，(A_3x，A_3y)表示第三个主动关节处的坐标;

(3b)根据所述每个主动关节与基座之间的运动约束关系建立二自由度冗余并联机器人的整体动力学模型：

其中，B₂(q,t)＝A₂(q,t)M^-1/2(q,t)，

表示由每个子系统中主动关节与基座之间的运动约束关系所引起的约束力；

(4)步骤4中，当所述摩擦力经典模型为库伦摩擦力模型时，步骤4具体包括如下子步骤：

(4a1)获取库伦摩擦力矩模型：

(4a2)根据库伦摩擦力矩模型确定主动关节处的库伦摩擦力矩解耦模型为：

其中，F_c表示由约束力产生的库伦摩擦力，R表示轴颈半径，I∈R^6×6为单位矩阵，A(q,t)＝A₂(q，t)；

(4a3)根据主动关节处的库伦摩擦力矩解耦模型以及二自由度冗余并联机器人的整体动力学模型，得到考虑主动关节库伦摩擦的并联机器人的动力学模型：

(5)步骤4中，当所述摩擦力经典模型为Stribeck摩擦力模型时，步骤4具体为：

(4b1)获取Stribeck摩擦力矩模型：

其中，

为主动关节的角，

主动关节处的Stribeck速度，T_c为库伦摩擦力矩，T_s为静摩擦力矩。

(4b2)根据Stribeck摩擦力矩模型确定主动关节处的Stribeck摩擦力矩解耦模型为：

此处A(q,t)＝A₂(q，t)。

(4b3)根据主动关节处的Stribeck摩擦力矩解耦模型以及二自由度冗余并联机器人的整体动力学模型，得到考虑主动关节Stribeck摩擦的并联机器人的动力学模型：

本发明技术方案提供了一种新的方法(Udwaida-Kalaba方法)来构造冗余驱动并联机器人的动力学模型，此方法具有如下三个优点：(1)将并联机器人分割成多个子系统，通过机构运动学上的约束关系，将各子系统的动力学模型堆聚在一起，由于Udwaida-Kalaba理论的层叠和堆聚特征，使得所提出的方法具有通用性、系统性和简洁性；(2)本发明方法构造的并联机器人的动力学模型不包含任何辅助变量(如拉格朗日乘子)，适合于后续的控制设计；(3)本发明方法建立了闭链形式的关节摩擦模型，利用运动方程中关节的显式约束力计算出不同摩擦模型中的法向力，推导出的关节摩擦力与约束力解耦模型，可用于今后的摩擦补偿控制。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明实施例提供的二自由度冗余驱动并联机器人的平面结构示意图；

图2为本发明实施例提供的一种考虑关节摩擦的并联机器人的动力学建模方法的流程示意图；

图3为本发明实施例提供的并联机器人虚拟切割示意图；

图4为本发明实施例提供的并联机器人子系统结构示意图；

图5为本发明实施例提供的未消除数值浮差的约束误差仿真结果示意图；

图6为本发明实施例提供的消除数值浮差后的约束误差仿真结果示意图；

图7为本发明实施例提供的主动关节1的角度仿真结果示意图；

图8为本发明实施例提供的主动关节1的角速度仿真结果示意图；

图9为本发明实施例提供的主动关节2的角度仿真结果示意图；

图10为本发明实施例提供的主动关节2的角速度仿真结果示意图；

图11为本发明实施例提供的主动关节3的角度仿真结果示意图；

图12为本发明实施例提供的主动关节3的角速度仿真结果示意图；

图13为本发明实施例提供的被动关节1的角度仿真结果示意图；

图14为本发明实施例提供的被动关节1的角速度仿真结果示意图；

图15为本发明实施例提供的被动关节2的角度仿真结果示意图；

图16为本发明实施例提供的被动关节2的角速度仿真结果示意图；

图17为本发明实施例提供的被动关节3的角度仿真结果示意图；

图18为本发明实施例提供的被动关节3的角速度仿真结果示意图；

图19为本发明实施例提供的不同控制力矩下主动关节1的库伦摩擦力矩仿真结果示意图；

图20为本发明实施例提供的不同控制力矩下主动关节1的关节角速度仿真结果示意图一；

图21为本发明实施例提供的不同控制力矩下主动关节2的库伦摩擦力矩仿真结果示意图；

图22为本发明实施例提供的不同控制力矩下主动关节2的关节角速度仿真结果示意图；

图23为本发明实施例提供的不同控制力矩下主动关节3的库伦摩擦力矩仿真结果示意图；

图24为本发明实施例提供的不同控制力矩下主动关节3的关节角速度仿真结果示意图；

图25为本发明实施例提供的不同控制力矩下主动关节1的Stribeck摩擦力矩仿真结果示意图；

图26为本发明实施例提供的不同控制力矩下主动关节1的关节角速度仿真结果示意图二；

图27为本发明实施例提供的不同控制力矩下主动关节2的Stribeck摩擦力矩仿真结果示意图；

图28为本发明实施例提供的不同控制力矩下主动关节2的关节角速度仿真结果示意图二；

图29为本发明实施例提供的不同控制力矩下主动关节3的Stribeck摩擦力矩仿真结果示意图；

图30为本发明实施例提供的不同控制力矩下主动关节3的关节角速度仿真结果示意图二。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

本发明实施例采用一种十分常见的少自由度并联机器人——固高科技GPM2012系列的平面二自由度冗余驱动并联机器人作为研究对象进行分析。如图1所示为二自由度冗余驱动并联机器人在工作平面内的结构示意简图。在工作空间内建立图1所示的直角坐标系，其中A₁、A₂、A₃表示并联机器人的主动关节，在直角坐标系中的坐标分别为A₁(0,0.250)，A₂(0.433,0)，A₃(0.433,0.500)，单位为m，q_a1、q_a2、q_a3表示三个主动关节的转角。B₁、B₂、B₃表示并联机器人的被动关节，q_b1、q_b2、q_b3表示三个被动关节的转角。并联机器人的末端工作装置位于图中的C点，其坐标表示为(x,y)。各连杆长度相等，即L₁₁＝L₁₂＝L₂₁＝L₂₂＝L₃₁＝L₃₂＝l＝0.244m。

本发明实施例对以下描述所提到的Udwadia-Kalaba方程进行说明：

对于机械系统，任意时间t下的广义坐标向量表示为q∈Rⁿ，

表示系统的广义速度向量，则系统的动能T可以表示为：

其中，M(q,t)＝M^T(q,t)∈R^n×n为质量矩阵(或惯性矩阵)，N(q,t)∈R^1×n，P(q,t)∈R。

在系统不受外界约束的条件下可以得到该系统的运动方程为：

其中，

为外力。

式(2)可以改写为一个无约束的机械系统在任意时间t的运动方程：

其中，

这里

包括重力、外力和离心力或科式力等。

假设该系统受到一组约束，约束方程为：

其中，A_li(·)：Rⁿ×R→R和A_l(·)：Rⁿ×R→R是一阶连续。该约束可以是完整约束，也可以是非完整约束，其Pfaffian形式为：

其中，q_i是q的第i项。改写约束方程(5)，得到约束方程的矩阵形式：

其中，A(q,t)＝[A_li]_m×n，c(q,t)＝[c₁ c₂ … c_m]^T。通过对式(6)微分，可以得到该约束的二阶形式为：

将上式改写为矩阵形式为：

其中，

假设1质量矩阵非奇异(或可逆)：对于任意(q,t)∈Rⁿ×R，M^-1(q,t)都存在。

假设2约束方程式(9)是非空的：rank[A(q,t)]≥1。

假设3约束方程式(9)是相容的，对于任意A(q,t)和

至少存在一个

满足方程式(9)。

由于该系统受到约束，系统除了要受到主动力的作用外，还会受到额外的约束力——Q^c∈Rⁿ来保证约束方程成立，系统在它们共同作用下进行期望的运动。因此，具有约束的系统运动方程变为：

假设约束力所做的虚功总和为零，通过高斯定理、达朗贝尔原理和扩展的达朗贝尔原理可以推导出受约束的机械系统的运动方程为：

式中：B(q,t)：＝A(q,t)M^-1/2(q,t)，上标“+”表示Moor-Penrose广义逆。式(11)则被称之为Udwadia-Kalaba动力学方程。

通过式(10)和(11)，可以推导出由外加约束产生的约束力Q^c为：

本发明实施例提供一种考虑关节摩擦的并联机器人的动力学建模方法，如图2所示，所述方法包括：

步骤1，获取二自由度冗余并联机器人的平面结构，将二自由度冗余并联机器人分为三个开式支链子系统，利用拉格朗日方程建立每个开式支链子系统的动力学解析模型；其中，每个开式支链子系统为包含主动关节和被动关节的二杆机构，且主动关节与基座断开连接；

步骤2，获取二自由度冗余并联机器人末端执行器的约束关系，根据所述约束关系建立与基座断开连接的二自由度冗余并联机器人的动力学模型；

步骤3，获取每个子系统中主动关节与基座之间的运动约束关系，根据所述每个主动关节与基座之间的运动约束关系建立二自由度冗余并联机器人的整体动力学模型；

步骤4，基于摩擦力经典模型建立二自由度冗余并联机器人在每个主动关节处的摩擦力模型；根据二自由度冗余并联机器人的整体动力学模型以及二自由度冗余并联机器人在每个主动关节处的摩擦力模型，得到考虑主动关节摩擦的并联机器人的动力学模型，其中，摩擦力经典模型为库伦摩擦力模型或者Stribeck摩擦力模型。

具体的，并联机器人整体系统的动力学模型为：

二自由度冗余驱动并联机器人在三个主动关节处输入驱动力矩，其被动关节无力矩输入，而关节摩擦力与控制力矩具有耦合关系，不同的控制力矩对摩擦力会产生不同的影响，因此，本发明忽略并联机器人被动关节的摩擦力，主要建立三个主动关节处的摩擦力模型。将并联机器人的三个主动关节与三个基座进行虚拟切割，如图3所示，然后通过主动关节与基座之间的约束关系，进行约束力的求解。

图中A′_i(i＝1,2,3)为基座位置，A_i(i＝1,2,3)为与基座断开的主动关节。首先建立与基座断开的并联机器人的动力学模型。与基座断开的并联机器人的动力学模型可以看成是由三条结构相同的开式支链在末端C处联结而成。将这三个开式支链分别作为并联机器人分割出来的三个子系统，采用传统的拉格朗日动力学建模方法可以很容易建立3个子系统的动力学模型，然后通过末端C处的约束关系，利用层级堆聚建模方法先建立与基座断开的并联机器人的动力学模型。

二自由度冗余驱动并联机器人的子系统可以看成为一个二杆机构，如图4所示。定义主动连杆和被动连杆的质量分别为m_a、m_b，长度均为1。质心位置分别在距主动关节A与被动关节B的r_a、r_b处，主动连杆和被动连杆相对于连杆质心的惯性力矩为I_a、I_b。由于去除了主动关节与基座的固定关系，令主动关节在平面上可以自由运动，在z方向固定，取主动关节的横坐标x_a和纵坐标y_a为变量，则子系统的广义坐标变为q_i＝[q_ai q_bi x_ai y_ai]^T(i＝1,2,3)。利用拉格朗日法可以容易的建立子系统，即主动关节未固定时开式支链的动力学模型。

子系统的动能表示为：

其中，E_ai是第i个子系统中的主动杆的动能，E_bi是第i个子系统中的被动杆的动能，加点表示求导数，在这里q表示角度，那么加上点表示角速度。同理，x或y表示位末端执行器位置，那么加点表示末端执行器速度；

将上式对时间求导得：

将式(5)带入到式(1)中，得：

则在忽略势能的条件下拉格朗日函数L_i＝E_ai+E_bi，根据拉格朗日-欧拉动力学方程：

其中，L_i是拉格朗日函数，等于系统动能减去势能，但是在本发明实施例中，该机器人的势能视为0，所以拉格朗日函数直接等于子系统中主动杆的动能加上被动杆的势能，τ_i表示第i个子系统中电机对杆的驱动力矩，可以得到并联机器人主动关节未固定时子系统开式支链的动力学模型为：

其中，M_i为质量矩阵，C_i为科式力矩阵，τ_i为驱动力矩，q不加点表示角度，加一个点表示角速度，加两个点表示角加速度。其定义分别为：

矩阵M_i具体表达式为：

M_{i_13}＝M_{i_31}＝-(m_air_ai+m_bil)sinq_ai-m_bir_bisin(q_ai+q_bi)，

M_{i_14}＝M_{i_41}＝(m_air_ai+m_bil)cosq_ai+m_bir_bicos(q_ai+q_bi)，

M_{i_23}＝M_{i_32}＝-m_bir_bisin(q_ai+q_bi)，

M_{i_24}＝M_{i_42}＝m_bir_bicos(q_ai+q_bi)，

M_{i_33}＝M_{i_44}＝m_ai+m_bi，

M_{i_34}＝M_{i_43}＝0，

科式力矩阵Ci的具体表达式：

C_{i_31}＝-(m_air_ai+m_bil)sinq_ai-m_bir_bisin(q_ai+q_bi)，

C_{i_13}＝C_{i_14}＝C_{i_22}＝C_{i_23}＝C_{i_24}＝C_{i_33}＝C_{i_34}＝C_{i_43}＝C_{i_44}＝0。

由于并联机器人三个子系统的结构相似，因此，三个子系统的动力学模型也是相似的。

根据与基座断开的并联机器人的三条开式支链在末端处联结，因此，通过并联机器人的运动学关系可以很容易得到该并联机器人的约束方程：

对上述约束方程(11)进行时间t的二阶导，得到具有二阶形式的约束方程，即：

其中，矩阵A₁为：(4行12列)

矩阵b₁为：(4行1列)

可以将该约束方程(12)作为并联机器人系统的第一层约束。将式(12)代入到Udwadia-Kalaba方程中，则与基座断开的并联机器人的动力学模型可以表示为：

其中，M^1/2是M矩阵的二分之一次方，+号表示Moor-Penrose广义逆，A1没有什么含义，它代表约束方程写成二阶导的时候的一个矩阵，

然后求主动关节与基座之间的约束力，因为主动关节与基座相连，即主动关节与基座在广义坐标中的横坐标和纵坐标相等，则主动关节与基座之间的运动约束关系可以表示为：

其中，(A_ix,A_iy)(i＝1,2,3)分别表示三个基座的坐标。由于三个基座的坐标固定，则将上述约束方程(18)进行时间t的二阶导，得到约束方程的二阶形式为：

其中，

把式(15)当作一个“无约束系统”，将约束方程(19)作为并联机器人系统的第二层约束，利用基于Udwadia-Kalaba理论的层级堆聚建模方法，引入第二层的约束，建立该并联机器人整体系统的动力学模型为：

式中，

为系统所受的约束力。

一、本发明实施例提供的基于库伦摩擦的机器人动力学建模过程：

二自由度冗余驱动并联机器人的主动关节与基座之间的连接方式为平面旋转铰接。当主动关节与基座发生相对转动时，主动关节处便会产生摩擦力矩。由于该并联机器人在平面上运动，则Z方向的力F_az为0。

在主动关节处，由系统约束反力等效出的正向压力为：

其中，F_ax和F_ay分别为主动关节处X方向和Y方向上的约束力。

并联机器人主动关节处摩擦力与关节角速度相对运动方向相反，则由约束力产生的库伦摩擦力为：

其中，μ_d为并联机器人各关节处的库伦摩擦系数，

为各个主动关节的角速度矢量，

为各个主动关节的角速度。

并联机器人的库伦摩擦力矩为：

其中，R为轴颈半径。

由于并联机器人摩擦力矩中的正向压力是机器人约束力等效得到的，而从式(22)可知，约束力是关于机器人所有外力的函数，而摩擦力矩作为机器人的外力，与约束力存在着耦合关系，因此，在对机器人的摩擦力进行建模时，需要将摩擦力与约束力之间的耦合关系进行消除。该并联机器人在主动关节处的摩擦力矩解耦模型为：

对摩擦力矩模型进行解耦后，将解耦后的摩擦力矩带入到该并联机器人的动力学模型(20)中，可得到并联机器人考虑库伦摩擦力的动力学模型为：

式中，

二、本发明实施例提供的基于Stribeck摩擦的机器人动力学建模过程：

采用Stribeck摩擦力描述并联机器人主动关节处的摩擦力时，选取Stribeck摩擦力矩模型为：

其中，

为主动关节的角速度，

主动关节处的Stribeck速度，T_c为库伦摩擦力矩，T_s为静摩擦力矩。

将Stribeck摩擦力矩模型与并联机器人的约束力进行解耦，得到解耦后的Stribeck摩擦力矩模型为：

然后将解耦后的Stribeck摩擦力矩模型代入到并联机器人的动力学模型(20)中，得到并联机器人考虑Stribeck摩擦力的动力学模型为：

式中，

三、数值仿真

(一)消除浮差

在对机械系统进行计算机数值仿真时，约束的数值浮差是一个无法避免的问题。约束的数值浮差会导致计算精度的降低，严重时甚至会影响仿真结果的正确性。学者Baumgarte提出了一种数值稳定方法，以提高计算机数值运算的精确性。对于一个受到m个完整约束的系统，约束方程可以表示为：

C_m(q,t)＝0，C_m∈R^m。 (35)

对其进行时间t的二阶导，得到二阶形式的约束方程，然后使用Baumgarte型约束方程如下：

其中，α，β∈R^h×h是具有严格正实数部特征值的常数矩阵。对于m个约束方程，对时间t进行二阶求导后得到二阶形式的约束方程：

将式(36)代入到式(37)中，得到Baumgarte型稳定约束方程的方法，即：

即将

代替式(37)中的

进行约束数值浮差的消除。

并联机器人的初始位置选为q_a1＝78.08°，q_a2＝164.14°，q_a3＝275.09°，q_b1＝-125.18°，q_b2＝-78.42°，q_b3＝-107.65°，基座坐标A₁(0,0.250)，A₂(0.433,0)，A₃(0.433,0.500)，单位为m。设并联机器人初始速度为0，初始加速度为0，令输入力矩τ₁＝[0.02cos(πt),0,0,0,0.02cos(πt),0,0,0,0,0,0,0]^T。对于约束方程(12)，令约束误差error为：

error＝[error1；error2；error3；error4]^T, (39)

其中，erroe1和error2表示由并联机器人运动支链1得到的末端位置减去运动支链2得到的末端位置之差，error3和error4表示由并联机器人运动支链1得到的末端位置减去运动支链3得到的末端位置之差，其值分别定义为：

error1＝x_a1+lcosq_a1+lcos(q_a1+q_b1)-x_a2-lcosq_a2-lcos(q_a2+q_b2)， (40)

error2＝y_a1+lsinq_a1+lsin(q_a1+q_b1)-y_a2-lsinq_a2-lsin(q_a2+q_b2)， (41)

error3＝x_a1+lcosq_a1+lcos(q_a1+q_b1)-x_a3-lcosq_a3-lcos(q_a3+q_b3)， (42)

error4＝y_a1+lsinq_a1+lsin(q_a1+q_b1)-y_a3-lsinq_a3-lsin(q_a3+q_b3)。 (43)

未采用数值浮差消除时的各个约束方程的约束误差如图5所示。从图中我们可以观察到，随着仿真时间的增加，约束误差的值也在不断上升，并且呈现发散趋势。如果不对其进行误差消除处理，在长时间的数值仿真中，误差的累积会影响仿真结果的正确性。取系数α＝1000，β＝1000，图6所示为进行数值浮差消除后的约束误差效果图。从图中可以看出，对数值浮差进行消除后各个约束方程的约束误差大小得到了明显的降低，误差的精度由原来的10^-3数量级提高到10^-6，并且随着仿真时间的增加，约束误差越来越小，直到将误差减小到一个很小的范围，由此可见，该数值浮差消除方法能够有效地消除数值误差，保证仿真结果的正确性。

(二)考虑关节摩擦力的动力学模型仿真

利用MATLAB，分别对基于库伦摩擦力和Stribeck摩擦力模型的并联机器人动力学模型进行数值仿真，并将仿真结果与不考虑关节摩擦力的动力学模型仿真结果进行对比。并联机器人的相关动力学参数值如表1所示，设定该并联机器人的初始位置为q_a1＝78.08°，q_a2＝164.14°，q_a3＝275.09°，q_b1＝-125.18°，q_b2＝-78.42°，q_b3＝-107.65°，基座坐标A₁(0,0.250)，A₂(0.433,0)，A₃(0.433,0.500)，单位为m。令并联机器人的初始速度为

初始加速度为

对于库伦摩擦力模型和Stribeck摩擦力模型，取库伦摩擦系数μ_d＝0.1，静摩擦系数μ_s＝0.2，Stribeck速度

观察在摩擦力的影响下，并联机器人关节角度和角速度的变化情况，令控制力矩τ＝[0.2sin(πt),0,0,0,0.2cos(πt),0,0,0,0.2sin(πt),0,0,0]^T。仿真结果如图7-18所示。

表1 GPM2002并联机器人各连杆的动力学参数

图7/9/11/13/15/17表示并联机器人各个关节角度在不同条件下(有摩擦和无摩擦)随时间的变化曲线。图8/10/12/14/16/18为并联机器人的各个关节角速度在不同条件下(有摩擦和无摩擦)的变化情况。从仿真结果中可以观察到，不考虑摩擦和考虑摩擦以及摩擦力模型选取的不同所得到的关节角度和角速度只在较短时间内保持一致或有较小差别，随后开始产生较大的差别，并且随着仿真时间的增加，差别更加明显。与库仑摩擦相比，由于粘性的存在，Stribeck摩擦所造成的影响随着速度的增加而增大。因此，在高速工作条件下，并联机器人必须建立精确的关节摩擦动力学模型。

(三)关节摩擦力模型仿真

在MATLAB环境中对该并联机器人的关节摩擦力进行数值仿真，观察并联机器人主动关节在不同输入力矩条件下库伦摩擦矩和Stribeck摩擦力矩的变化。该仿真的初始条件、库伦摩擦力模型参数和Stribeck摩擦力模型参数与前面取值一致，通过输入不同的力矩，观察库伦摩擦力和Stribeck摩擦力的变化。

取三组不同的输入力矩：

τ₁＝[0.1sin(πt),0,0,0,0.1cos(πt),0,0,0,0.1sin(πt),0,0,0]^T

τ₂＝[0.3sin(πt),0,0,0,0.3cos(πt),0,0,0,0.3sin(πt),0,0,0]^T

τ₃＝[0.5sin(πt),0,0,0,0.5cos(πt),0,0,0,0.5sin(πt),0,0,0]^T

通过数值仿真，得到在不同力矩下并联机器人的库伦摩擦力大小和Stribeck摩擦力的大小，如图19-30所示。

图19、21、23为不同控制力矩下各主动关节的库仑摩擦力矩随时间变化的曲线。此时其对应的各关节角速度为图20、22、24。图25、27、29为不同控制力矩下各主动关节的Stribeck摩擦力矩随时间变化的曲线。此时其对应的各关节角速度为图26、28、30。

由图19-24可知：(1)库仑摩擦力矩的方向随主动关节角速度方向的变化而变化，满足库仑摩擦动力学模型。(2)对比图19与图23，库伦摩擦力矩的数值在不同控制力矩τ₁和τ₃下，相差近十倍。由图25-29可知，Stribeck摩擦力矩的数值在不同控制力矩τ₁和τ₃下，相差近十一倍。结果表明，主动关节的摩擦力矩与控制力矩有关，控制幅值的增大会增加对摩擦力矩的影响。仿真结果表明，在控制成本较高的重载条件下，关节摩擦的动力学是不可忽视的。

本领域普通技术人员可以理解：实现上述方法实施例的全部或部分步骤可以通过程序指令相关的硬件来完成，前述的程序可以存储于计算机可读取存储介质中，该程序在执行时，执行包括上述方法实施例的步骤；而前述的存储介质包括：ROM、RAM、磁碟或者光盘等各种可以存储程序代码的介质。

以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。因此，本发明的保护范围应以所述权利要求的保护范围为准。

Claims (3)

1.一种考虑关节摩擦的并联机器人的动力学建模方法，其特征在于，所述方法包括：

步骤1，获取二自由度冗余并联机器人的平面结构，将二自由度冗余并联机器人分为三个开式支链子系统，利用拉格朗日方程建立每个开式支链子系统的动力学解析模型；其中，每个开式支链子系统为包含主动关节和被动关节的二杆机构，且主动关节与基座断开连接；

步骤1具体包括如下子步骤：

(1a)确定每个开式支链子系统的拉格朗日函数值L_i＝E_ai+E_bi；

其中，E_ai表示第i个子系统中主动杆的动能，E_bi表示第i个子系统中被动杆的动能；

(1b)根据拉格朗日-欧拉动力学方程：

得到每个开式支链子系统的动力学解析模型

其中，M_i(q_i,t)表示第i个子系统的质量惯性矩阵，

表示第i个子系统的科式力矩阵，τ_i(t)表示第i个子系统的关节力矩τ_i(t)＝[τ_ai τ_bi]^T，q_i表示第i个子系统的转动角度，q_i＝[q_ai q_bi]^T，q_ai表示第i个子系统中的主动关节的转动角度；q_bi表示第i个子系统中的被动关节的转动角度；

表示第i个子系统的转动角速度，

表示第i个子系统中的主动关节的转动角速度，

表示第i个子系统中的被动关节的转动角速度；

表示第i个子系统的转动角加速度，

表示第i个子系统中的主动关节的转动角加速度，

表示第i个子系统中的被动关节的转动角加速度；

步骤2，获取二自由度冗余并联机器人末端执行器的约束关系，根据所述约束关系建立与基座断开连接的二自由度冗余并联机器人的动力学模型；

步骤2具体包括如下子步骤：

(2a)获取二自由度冗余并联机器人末端执行器的约束关系：

得到具有二阶矩形式的约束方程：

其中，(x_a1，y_a1)表示第一个主动关节处的坐标，(x_a2，y_a2)表示第二个主动关节处的坐标，(x_a3，y_a3)表示第三个主动关节处的坐标；l表示主动杆或被动杆的长度，q＝[q_a1 q_b1 q_a2q_b2 q_a3 q_b3]^T，

(2b)与基座断开连接的二自由度冗余并联机器人的动力学模型为：

其中，B₁(q,t)＝A₁(q,t)M^-1/2(q,t)，上标+表示Moor-Penrose广义逆，

表示由二自由度冗余并联机器人末端执行器的约束关系所引起的约束力，

表示包括关节力矩、科式力矩阵的参数矩阵，M^1/2(q,t)表示质量矩阵的1/2次方，M^-1(q,t)表示质量矩阵的逆矩阵，A₁(q,t)表示第一层约束下具有二阶形式的约束方程系数矩阵，A₂(q,t)表示第二层约束下具有二阶形式的约束方程系数矩阵，M^-1/2(q,t)表示质量矩阵的-1/2次方；

M(q,t)∈R^6×6为并联机器人的质量矩阵，

为并联机器人的科氏力矩阵，q∈R⁶为并联机器人的关节角向量，τ(t)∈R⁶为并联机器人的关节力矩，其定义分别为

步骤3，获取每个开式支链子系统中主动关节与基座之间的运动约束关系，根据所述主动关节与基座之间的运动约束关系建立二自由度冗余并联机器人的整体动力学模型；

步骤3具体包括如下子步骤：

(3a)获取每个子系统中主动关节与基座之间的运动约束关系：

得到所述运动约束关系的二阶形式：

其中，(A_1x，A_1y)表示第一个主动关节处的坐标，(A_2x，A_2y)表示第二个主动关节处的坐标，(A_3x，A_3y)表示第三个主动关节处的坐标；

(3b)根据每个主动关节与基座之间的运动约束关系建立二自由度冗余并联机器人的整体动力学模型：

其中，B₂(q,t)＝A₂(q,t)M^-1/2(q,t)，

表示由每个子系统中主动关节与基座之间的运动约束关系所引起的约束力；

步骤4，基于摩擦力经典模型建立二自由度冗余并联机器人在每个主动关节处的摩擦力模型；根据二自由度冗余并联机器人的整体动力学模型以及二自由度冗余并联机器人在每个主动关节处的摩擦力模型，得到考虑主动关节摩擦的并联机器人的动力学模型，其中，摩擦力经典模型为库伦摩擦力模型或者Stribeck摩擦力模型。

2.根据权利要求1所述的一种考虑关节摩擦的并联机器人的动力学建模方法，其特征在于，步骤4中，当所述摩擦力经典模型为库伦摩擦力模型时，步骤4具体包括如下子步骤：

(4a1)获取库伦摩擦力矩模型：

(4a2)根据库伦摩擦力矩模型确定主动关节处的库伦摩擦力矩解耦模型为：

其中，F_c表示由约束力产生的库伦摩擦力，R表示轴颈半径，I∈R^6×6为单位矩阵，A(q,t)＝A₂(q，t)；

(4a3)根据主动关节处的库伦摩擦力矩解耦模型以及二自由度冗余并联机器人的整体动力学模型，得到考虑主动关节库伦摩擦的并联机器人的动力学模型：

3.根据权利要求1所述的一种考虑关节摩擦的并联机器人的动力学建模方法，其特征在于，步骤4中，当所述摩擦力经典模型为Stribeck摩擦力模型时，步骤4具体为：

(4b1)获取Stribeck摩擦力矩模型：

其中，

为主动关节的角，

主动关节处的Stribeck速度，T_c为库伦摩擦力矩，T_s为静摩擦力矩；

(4b2)根据Stribeck摩擦力矩模型确定主动关节处的Stribeck摩擦力矩解耦模型为：

(4b3)根据主动关节处的Stribeck摩擦力矩解耦模型以及二自由度冗余并联机器人的整体动力学模型，得到考虑主动关节Stribeck摩擦的并联机器人的动力学模型：

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