CN107633130A - 基于两端压力振幅比的轴对称热声谐振管性能评估方法 - Google Patents
基于两端压力振幅比的轴对称热声谐振管性能评估方法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明公开了一种基于两端压力振幅比的轴对称热声谐振管性能评估方法，包括如下步骤：①、将压力放大比定义为谐振管性能评估指标，压力放大比为谐振管小端压力振幅与大端压力振幅之比，即：该比值只与谐振管形状和工质有关；②、基于转移矩阵，建立谐振管两端压力振幅比的数学模型，计算出压力放大比；③、根据压力放大比的值评估热声谐振管的性能，压力放大比的值越高，热声谐振管的性能越好。本发明定义了谐振管小端压力振幅与大端压力振幅的比值为评估谐振管性能的指标，称之为压力放大比，压力放大比可以在求解谐振频率的同时求出，不需要花费额外的计算量，计算方法简单，计算结果准确，并且独立于其他系统。
Description
技术领域
本发明属于热声热机(包括热声发动机、热声制冷机、热声热泵等)的技术领域，具体涉及一种基于两端压力振幅比的轴对称热声谐振管性能评估方法。
背景技术
目前，在热声热机(包括热声发动机、热声制冷机、热声热泵等)领域中，许多研究结果表明，采用变截面谐振管可以极大地提高压力振幅，产生符合工业要求的大振幅声波，如中国专利申请号01131811.2公开的变截面脉管制冷机、中国专利申请号200810232133.6公开的太阳能驱动的同轴行波发动-驻波制冷装置、中国专利申请号200410098438.4公开的一种带有渐扩截面谐振腔的热声发动机等。因此，如何评估一个谐振管的性能，对谐振管的优化设计有着重要意义。
在谐振管性能评估方面，目前的方法都是根据谐振管压比的大小来衡量谐振管的性能，如文献“Young-Doo Chun etc.Numerical analysis for nonlinear resonantoscillations of gas in axisymmetric closed tubes.Journal of Acoustic societyof America,2000,108(6)：2765-2774”、“Fangli Ning etc.Numerical simulation offinite amplitude standing waves in acoustic resonators using finite volumemethod,Wave Motion 2013,50(2)：135–145”、“冯和英等.指数型热声谐振管的固有频率,声学学报,2017,42(5)：625-632”等。但压比的计算值与谐振管所处的整个系统有关，与谐振管的输入也有非常密切的关系，即压比的计算需要用到外部驱动条件，因此，不能仅以压比作为性能指标而对谐振管进行评价和优化设计。此外，由于数学上不可能解析地写出压比的计算公式，传统方法在评估谐振管性能时需用各种数值方法来计算小端的压比，比如采用有限差分、有限体积、伽辽金有限元等方法或者通过Fluent软件模拟管内流动，这需要较大的计算量。文献“C.Luo etc.Generation of shock-free pressure waves in shapedresonators by boundary driving.Journal of Acoustic society of America,2007,121(5)：2515-2521”的实验显示，对于指数型谐振管，无论驱动条件如何变化，谐振管两端压力振幅的比值大致是一个常数。实验结果还显示：该比值只与谐振管的形状和工质有关。通过分析发现，当大端的压比较小时，该比值与之前方法所用的压比存在正相关的关系,这说明采用大小端的压力放大比来衡量谐振管的性能，是可行的。
发明内容
本发明的目的在于避免现有技术中的不足而提供一种基于两端压力振幅比的轴对称热声谐振管性能评估方法，其可对轴对称热声谐振管的性能进行评价，且计算方法简单，结果准确。
本发明的目的通过以下技术方案实现：
提供一种基于两端压力振幅比的轴对称热声谐振管性能评估方法，包括如下步骤：
①、将压力放大比定义为谐振管性能评估指标，压力放大比为谐振管小端压力振幅与大端压力振幅之比，即：该比值只与谐振管形状和工质有关；
②、基于转移矩阵，建立谐振管两端压力振幅比的数学模型，计算出压力放大比；
③、根据压力放大比的值评估热声谐振管的性能，压力放大比的值越高，热声谐振管的性能越好。
作为进一步的改进，在步骤②中，谐振管压力放大比的计算步骤如下：
S1、根据谐振管内的声压和体积流率的一阶近似，得到描述谐振管内流动的动量方程和连续性方程；
S2、通过转移矩阵表示动量方程和连续性方程的解；
S3、根据边界条件得到关于谐振管基频ω1的非线性方程，以及压力放大比关于基频的函数；
S4、解关于谐振管基频ω1的非线性方程，得到谐振管的基频ω1；
S5、把所得的谐振管基频ω1，代入到S3中所得到的压力放大比关于基频的函数中，得到谐振管的压力放大比。
作为进一步的改进，在步骤S1中，对谐振管内的声压和体积流率进行一阶近似：
p＝pm+Re[p1(x)eiωt]，U＝Re[U1(x)eiωt]
其中，pm为平均压强，ω为谐振频率，体积流率U，p1，U1分别是一阶压力和一阶体积流率振幅，Re是取实部函数，i为虚单位，得到描述谐振管内流动的动量方程和连续性方程(1)：
其中，A为谐振管横截面积函数，γ为管内气体的比热，ρm为管内气体的平均密度，fμ、fκ分别表示粘、热函数，当截面为圆形时为：
当截面为方形时为
其中，分别为粘性渗透深度和热渗透深度，μ,k分别是动力粘性系数和热传导系数，J0,J1为Bessel函数，cp为等压比热容。
作为进一步的改进，所述谐振管横截面积函数A为截面位置x的函数。
作为进一步的改进，在步骤S2中，通过转移矩阵M表示方程(1)的解，即：
作为进一步的改进，在步骤S4中，把求解基频方程
转化为如下优化问题
其中ω0＝c0/2L，L为谐振管长度。[aω0，bω0]为包含基频而不包含其他谐振频率的区间。
作为进一步的改进，通过优化问题(5)通过黄金分割法的免梯度算法求解。
作为进一步的改进，转移矩阵M(xS，xL)计算方法如下：
如果谐振管截面面积函数A(x)是常函数，或者指数型函数，则有：
其中L是谐振管长度， A为谐振管横截面积关于截面位置的函数，γ为管内气体的比热，ρm，pm分别为管内气体的平均密度和平均压强，fμ、fκ分别表示粘、热函数；
如果谐振管截面面积函数A(x)既不是常函数，也不是指数型函数，则采用高阶龙格库塔法数值求出M(xS，xL)，如下是步长为Δx的四阶龙格库塔法求出M(xS，xL)的过程
其中I是二阶单位矩阵，RK1(x)＝C(x)，RK2(x)＝C(x+0.5Δx)(I+0.5ΔxRK1(x))，RK3(x)＝C(x+0.5Δx)(I+0.5ΔxRK2(x))，RK4(x)＝C(x+Δx)(I+ΔxRK3(x))；
设xL＝x0＜…＜xn-1＜xn＝xS，反复利用上式(6)，得到：
M(xS，xL)＝(I+ΔxRK(xn-1))I+ΔxRK(xn-2))…(I+ΔxRK(x0)) (7)。
作为进一步的改进，压力放大比的计算公式为：
本发明定义谐振管小端压力振幅与大端压力振幅的比值为评估谐振管性能的指标，称之为压力放大比，压力放大比可以在求解谐振频率的同时求出，不需要花费额外的计算量，此外，谐振管压力放大比的计算只涉及到谐振管横截面积函数及管内工质的性质，即压力放大比只与谐振管本身的几何特征以及工质有关，与外部驱动条件无关，并且压力放大比结果就包含在转移矩阵之中，计算方法简单，计算结果准确。
附图说明
利用附图对本发明作进一步说明，但附图中的实施例不构成对本发明的任何限制，对于本领域的普通技术人员，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据以下附图获得其它的附图。
图1为轴对称变截面谐振管示意图；
图2为转移矩阵M(xS,xL)计算流程图；
具体实施方式
为了使本领域的技术人员更好地理解本发明的技术方案，下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步详细的描述，需要说明的是，在不冲突的情况下，本申请的实施例及实施例中的特征可以相互组合。
本发明实施例提供的一种基于两端压力振幅比的轴对称热声谐振管性能评估方法，包括如下步骤：
①、将压力放大比定义为谐振管性能评估指标，压力放大比为谐振管小端压力振幅与大端压力振幅之比，即：该比值只与谐振管形状和工质有关；
②、基于转移矩阵，建立谐振管两端压力振幅比的数学模型，计算出压力放大比；
③、根据压力放大比的值评估热声谐振管的性能，压力放大比的值越高，热声谐振管的性能越好。
在步骤②中，谐振管谐振频率数学计算模型的计算步骤如下：
S1、根据Rott的声近似技术，谐振管内的声压和体积流率可以近似写成如下形式
p＝pm+Re[p1(x)eiωt]，U＝Re[U1(x)eiωt]
其中，pm为平均压强，ω为谐振频率，体积流率U,p1，U1分别是一阶压力和一阶体积流率振幅，Re是取实部函数，i为虚单位，得到描述谐振管内流动的动量方程和连续性方程(1)：
其中，A为谐振管横截面积函数，γ为管内气体的比热，ρm为管内气体的平均密度，fμ、fκ分别表示粘、热函数，当截面为圆形时为：
当截面为方形时为
其中，分别为粘性渗透深度和热渗透深度，μ,k分别是动力粘性系数和热传导系数，J0,J1为Bessel函数，cp为等压比热容。
S2、方程(1)的解可以通过一个转移矩阵M表示，
其中谐振管大端及小端的一阶声压和体积流率分别为
S3、把边界条件U1,L＝U1,S＝0代入方程(3)，得
S4、方程(4)有非0解的充要条件是：
S5、方程(5)是关于谐振频率ω的非线性复方程，其任意正解都是谐振管的谐振频率。但只需关心基频，因此只需要方程的最小正解。
下面对转移矩阵的计算作进一步说明。
如图1所示，如果谐振管截面面积函数A(x)是常函数，或者指数型函数，则有：
其中L是谐振管长度， A为谐振管横截面积关于截面位置的函数，γ为管内气体的比热，ρm，pm分别为管内气体的平均密度和平均压强，fμ、fκ分别表示粘、热函数。
如果谐振管截面面积函数A(x)既不是常函数，也不是指数型函数，则采用高阶龙格库塔法数值求出M(xS，xL)，如下是步长为Δx的四阶龙格库塔法求出M(xS，xL)的过程
其中I是二阶单位矩阵，RK1(x)＝C(x)，RK2(x)＝C(x+0.5Δx)(I+0.5ΔxRK1(x))，RK3(x)＝C(x+0.5Δx)(I+0.5ΔxRK2(x))，RK4(x)＝C(x+Δx)(I+ΔxRK3(x))；
设xL＝x0＜…＜xn-1＜xn＝xS，反复利用上式(6)，得到：
M(xS，xL)＝(I+ΔxRK(xn-1))I+ΔxRK(xn-2))…(I+ΔxRK(x0)) (7)
下面对求方程(5)的最小正解，即谐振管的基频，做进一步具体说明。关键是如何确定只包含基频的区间[aω0,bω0]，通过如下一个迭代过程，可求得谐振管基频：
下面对压力放大比的计算和谐振管性能评估原理作进一步说明。
本发明定义谐振管性能评价指标为小端压力振幅与大端压力振幅的比值，即压力放大比
由方程(3)，以及边界条件U1,L＝U1,S＝0，可知有
所以，压力放大比
显然，压力放大比也只与谐振管形状和工质有关，而与驱动条件没有关系。并且压力放大比与传统的压比有一定关系。设谐振管大端、小端压比分别是CRP,L，CRP,S，则
由于CRP,L≥1且比较小时,从式(8)可以看出：谐振管小端的压比，亦即谐振管的压比，与新定义的性能指标压力放大比有正相关的关系，即Rpa值越大，CRP,S值也越大，反之亦然。
在一个实例中，假设某圆形轴对称谐振管的半径函数为如下余弦函数：
取步长Δx＝0.0005。并设工质为一个标准大气压下的理想空气，平均温度Tm＝293.15K.由式(7)可知，转移矩阵是关于ω的函数，用黄金分割法求解式(6)，可得一阶谐振频率ω1＝8632.9rad,压力放大比Rpa＝6.7416。
上面的描述中阐述了很多具体细节以便于充分理解本发明，但是，本发明还可以采用其他不同于在此描述的其他方式来实施，因此，不能理解为对本发明保护范围的限制。
总之，本发明虽然列举了上述优选实施方式，但是应该说明，虽然本领域的技术人员可以进行各种变化和改型，除非这样的变化和改型偏离了本发明的范围，否则都应该包括在本发明的保护范围内。
Claims (9)
1.一种基于两端压力振幅比的轴对称热声谐振管性能评估方法，其特征在于，包括如下步骤：
①、将压力放大比定义为谐振管性能评估指标，压力放大比为谐振管小端压力振幅与大端压力振幅之比，即：该比值只与谐振管形状和工质有关；
②、基于转移矩阵，建立谐振管两端压力振幅比的数学模型，计算出压力放大比；
③、根据压力放大比的值评估热声谐振管的性能，压力放大比的值越高，热声谐振管的性能越好。
2.根据权利要求1所述的基于两端压力振幅比的轴对称热声谐振管性能评估方法，其特征在于，在步骤②中，谐振管压力放大比的计算步骤如下：
S1、根据谐振管内的声压和体积流率的一阶近似，得到描述谐振管内流动的动量方程和连续性方程；
S2、通过转移矩阵表示动量方程和连续性方程的解；
S3、根据边界条件得到关于谐振管基频ω1的非线性方程，以及压力放大比关于基频的函数；
S4、解关于谐振管基频ω1的非线性方程，得到谐振管的基频ω1；
S5、把所得的谐振管基频ω1，代入到S3中所得到的压力放大比关于基频的函数中，得到谐振管的压力放大比。
3.根据权利要求2所述的基于两端压力振幅比的轴对称热声谐振管性能评估方法，其特征在于，在步骤S1中，对谐振管内的声压p和体积流率U进行一阶声近似：
p＝pm+Re[p1(x)eiωt],U＝Re[U1(x)eiωt]
其中，pm为平均压强，ω为谐振频率，p1，U1分别是一阶压力和一阶体积流率振幅，Re是取实部函数，i为虚单位，得到描述谐振管内流动的动量方程和连续性方程(1)：
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其中，A为谐振管横截面积函数，γ为管内气体的比热，ρm为管内气体的平均密度，fμ、fκ分别表示粘、热函数，当谐振管横截面为圆形时为：
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当谐振管横截面为方形时为：
其中，分别为粘性渗透深度和热渗透深度，μ,k分别是动力粘性系数和热传导系数，J0,J1为Bessel函数，cp为等压比热容。
4.根据权利要求3所述的基于两端压力振幅比的轴对称热声谐振管性能评估方法，其特征在于：所述谐振管横截面积函数A为截面位置x的函数。
5.根据权利要求2所述的基于两端压力振幅比的轴对称热声谐振管性能评估方法，其特征在于，在步骤S2中，通过转移矩阵M表示方程(1)的解，即：
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<mo>,</mo>
<mi>L</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>U</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mi>L</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>3</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中下标中的S,L分别表示谐振管的小端、大端。
6.根据权利要求2所述的基于两端压力振幅比的轴对称热声谐振管性能评估方法，其特征在于，在步骤S3中，关于谐振管基频的方程为：
<mrow>
<msubsup>
<mi>m</mi>
<mn>21</mn>
<mrow>
<mi>S</mi>
<mi>L</mi>
</mrow>
</msubsup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&omega;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mn>0.</mn>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>4</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
7.根据权利要求2所述的基于两端压力振幅比的轴对称热声谐振管性能评估方法，其特征在于，在步骤S4中，把求解基频方程(4)转化为如下优化问题：
<mrow>
<msub>
<mi>min</mi>
<mrow>
<msub>
<mi>a&omega;</mi>
<mn>0</mn>
</msub>
<mo>&le;</mo>
<mi>&omega;</mi>
<mo>&le;</mo>
<msub>
<mi>b&omega;</mi>
<mn>0</mn>
</msub>
</mrow>
</msub>
<mi>a</mi>
<mi>b</mi>
<mi>s</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msubsup>
<mi>m</mi>
<mn>21</mn>
<mrow>
<mi>S</mi>
<mi>L</mi>
</mrow>
</msubsup>
<mo>(</mo>
<mi>&omega;</mi>
<mo>)</mo>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>5</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中ω0＝c0/2L,L为谐振管长度，[aω0,bω0]为包含基频而不包含其他谐振频率的区间。
8.根据权利要求2至7中任一项所述的基于两端压力振幅比的轴对称热声谐振管性能评估方法，其特征在于，在步骤S2中，转移矩阵M(xS,xL)计算方法如下：
如果谐振管截面面积函数A(x)是常函数，或者指数型函数，则有：
<mrow>
<mi>M</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mi>S</mi>
</msub>
<mo>,</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mi>L</mi>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mi>h</mi>
</mfrac>
<mfenced open = "(" close = ")">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>b</mi>
<mo>-</mo>
</msub>
<msup>
<mi>e</mi>
<mrow>
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<mi>Lb</mi>
<mo>+</mo>
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<mo>+</mo>
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<mo>+</mo>
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<mrow>
<msub>
<mi>Lb</mi>
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<mi>C</mi>
<mrow>
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<mi>Lb</mi>
<mo>+</mo>
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</msup>
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<msub>
<mi>Lb</mi>
<mo>-</mo>
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</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
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<mi>i</mi>
<mi>D</mi>
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<mo>+</mo>
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<mi>e</mi>
<mrow>
<msub>
<mi>Lb</mi>
<mo>-</mo>
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</mrow>
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</mrow>
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<mtd>
<mrow>
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<mo>+</mo>
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<mi>e</mi>
<mrow>
<msub>
<mi>Lb</mi>
<mo>+</mo>
</msub>
</mrow>
</msup>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>b</mi>
<mo>-</mo>
</msub>
<msup>
<mi>e</mi>
<mrow>
<msub>
<mi>Lb</mi>
<mo>-</mo>
</msub>
</mrow>
</msup>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
</mrow>
其中L是谐振管长度，k2＝CD,
A为谐振管横截面积关于截面位置的函数，γ为管内气体的比热，ρm,pm分别为管内气体的平均密度和平均压强，fμ、fκ分别表示粘、热函数；
如果谐振管截面面积函数A(x)既不是常函数，也不是指数型函数，则采用四阶龙格库塔法数值求出M(xS,xL)，设计算步长为Δx，则有：
<mrow>
<mfenced open = "(" close = ")">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>p</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>+</mo>
<mi>&Delta;</mi>
<mi>x</mi>
<mo>)</mo>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>U</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>+</mo>
<mi>&Delta;</mi>
<mi>x</mi>
<mo>)</mo>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>=</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>I</mi>
<mo>+</mo>
<mi>&Delta;</mi>
<mi>x</mi>
<mi>R</mi>
<mi>K</mi>
<mo>(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>)</mo>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mfenced open = "(" close = ")">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>p</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>)</mo>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>U</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>)</mo>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>6</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中I是二阶单位矩阵， RK1(x)＝C(x)，RK2(x)＝C(x+0.5Δx)(I+0.5ΔxRK1(x))，RK3(x)＝C(x+0.5Δx)(I+0.5ΔxRK2(x))，RK4(x)＝C(x+Δx)(I+ΔxRK3(x))；
设xL＝x0<…<xn-1<xn＝xS，反复利用上式(6)，得到：
M(xS,xL)＝(I+ΔxRK(xn-1))(I+ΔxRK(xn-2))…(I+ΔxRK(x0))。 (7)
9.根据权利要求2至7中任一项所述的基于两端压力振幅比的轴对称热声谐振管性能评估方法，其特征在于，压力放大比的计算公式为：
<mrow>
<msub>
<mi>R</mi>
<mrow>
<mi>p</mi>
<mi>a</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<mi>b</mi>
<mi>s</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msubsup>
<mi>m</mi>
<mn>21</mn>
<mrow>
<mi>S</mi>
<mi>L</mi>
</mrow>
</msubsup>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>&omega;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>)</mo>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>.</mo>
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Citations (3)
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|---|---|---|---|---|
| US4953366A (en) * | 1989-09-26 | 1990-09-04 | The United States Of America As Represented By The United States Department Of Energy | Acoustic cryocooler |
| CN1673649A (zh) * | 2005-04-14 | 2005-09-28 | 中国科学院理化技术研究所 | 一种热声驱动脉冲管制冷机 |
| CN102042846A (zh) * | 2009-10-12 | 2011-05-04 | 中国科学院理化技术研究所 | 热声过程测试系统及其测试方法 |
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- 2017-09-15 CN CN201710833806.2A patent/CN107633130B/zh active Active
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| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
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| 王军等: "《热声谐振管压比影响因素的数值模拟》", 《武汉工程大学学报》 * |
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