CN107092921A - 基于k最近邻滤波的高光谱图像分类方法 - Google Patents
基于k最近邻滤波的高光谱图像分类方法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明公开了一种基于k最近邻算法的高光谱图像分类方法。该分类过程主要包括：(1)支持向量机分类：利用支持向量机SVM分类器对高光谱图像进行粗分类，得到初始概率图。(2)主成分分析降维：主成分分析法对高光谱图像降维得到的第一主成分图像(3)K最近邻滤波：基于非局部K最近邻滤波器，在第一主成分图像的引导下提取高光谱图像的空间信息，对初始概率图进行优化。(4)根据优化后的概率图，获取高光谱图像的准确分类。本发明与传统的高光谱分类算法相比，最大的优势是，不用去求解复杂的全局能量最优化问题，就能提取高光谱图像的非局部空间信息去优化分类，因而分类速度快，并且精度高。
Description
技术领域
本发明属于图像处理技术领域，具体涉及一种基于K最近邻滤波的高光谱分类方法。
背景技术
20世纪60年代，遥感成像技术得到了快速发展，光谱分辨率不断的提高，从黑白成像，彩色摄影，到多光谱扫描成像，再到1980年，高光谱遥感成像技术诞生。高光谱遥感利用很窄而连续的光谱通道(一般波段宽小于10nm)对地物持续遥感成像的技术，其与常规遥感的主要区别是，高光谱成像光谱仪能为每个像元提供数十个至数百个窄波段的光谱信息，每个像元都能产生一条完整和连续的光谱曲线。
高光谱图像实质上是一个三维的数据矩阵。高光谱图像包含地物目标的二维空间几何和一维的光谱信息，将成像技术和光谱技术相结合，实现了图谱合一。正因为高光谱图像具有图谱合一的特点，包含更多地物的特征信息，对于分析地球地物信息有明显的优势，所以在很多方面都有重大应用价值。在海洋遥感方面，高光谱图像不仅可以用于海水中叶绿素的浓度某些污染物和表层水温的探测，也可以用于海冰，海岸带等的探测。在植被研究方面，有很多成功的实例，如作物类别识别，森林树种识别和植物荒漠化研究。另外，还可利用高光谱图像定量分析植冠的化学成分，监测由于环境和大气引起的植物功能的变化。在军事侦察和识别伪装方面，可以根据目标光谱和伪装材料光谱特征的不同，利用高光谱技术从伪装的物体发现目标。还可以对军工厂产生烟雾的光谱特征，直接识别出生产出来的武器材料，然后判断武器的种类。
近年来，研究人员发现，在高光谱图像分类中，融合光谱信息和空间信息能大大改善分类结果。基于特征提取的高光谱图像空谱分类，是高光谱图像空谱分类相对成熟的方法之一。实验已经证明该类方法能在实际高光谱图像分类取得相对好得分类精度。然而这类分类方法，一般只考虑相邻像元的局部空间信息，即使用于提取空间信息的滤波器可以定义不同尺度的滤波操作，获取相邻像元不同范围的空间信息，但还是不能很好地利用整幅高光谱图像像元间的全局空间信息。另一类结合光谱信息和空间信息进行分类方法就是基于分割的高光谱图像分类，这类方法一般先把高光谱图像进行分割成无重叠的各向同性区域(基于纹理或者灰度)，接着根据高光谱图像的光谱信息对高光谱图像进行粗分类，最后利用粗分类结果进行投票决定各向同性区域的类别得到高光谱图像最终的分类结果。这类方法利用分割对高光谱图像提取像元间领域空间信息，分割算法的好坏对于最终分类精度至关重要。该类方法虽然能取得很好分类结果，但一般都比较耗时。
发明内容
本发明的目的在于克服已有技术的不足，即传统的高光谱图像空谱分类方法不能很好地利用整幅高光谱图像像元间的全局空间信息以及基于分割的高光谱图像分类太过依赖分割算法的好坏和分类速度比较慢的缺点，提取一种基于K最近邻滤波的高光谱分类方法，即通过基于k最近邻的滤波器提取高光谱图像的全局空间信息，并结合支持向量机获取的高光谱分类结果相结合，实现高光谱图像的快速高精度分类。
为达到上述目的，本发明的技术方案：
如图1，一种基于K最近邻滤波的高光谱分类方法，，包括如下过程：
(1)支持向量机对高光谱图像进行粗分类：利用支持向量机分类器，根据光谱信息，对高光谱图像进行粗分类，得到各个类别的初始概率图。
(2)主成分分析对高光谱图像进行降维：主成分分析法降维得到第一主成分图像，第一主成分更好地保留了高光谱图像的光谱信息和空间信息，将其作为用于引导滤波的图像。
(3)K最近邻滤波：基于K最近邻的滤波器在第一主成分图像的引导下，对每一幅不同类别的初始概率图进行滤波，得到优化后的概率图。
(4)获取高光谱图像的分类结果：根据滤波后的优化概率图，得到每个像元的类别概率，类别概率最大的，就给像元分配该类别的标记，得到最后的分类结果。
步骤(1)按照如下步骤进行：令一幅d维n个像元的高光谱图像x＝(x1，...，xi...，xn)∈Rd×n和τ个标记训练样本Tτ≡{(x1，y1)，...，(xi，yi)，...，(xτ，yτ)}∈(Rd×Lc).其中xi为高光谱图像第i个像元点，yi为高光谱像元i的类别标识，Rd表示高光谱图像的维数为d,Lc＝{1，...，L}是各个类别的标记，L是类别的总数；
(a):首先，利用高光谱图像的标记训练样本对支持向量机进行训练：其训练的过程可以转化为解决如下最优化问题得到支持向量机模型的最佳参数：
其中，αi为支持向量机的模型参数，xi为高光谱图像第i个像元点，yi为高光谱像元点i的标识，N为有标识像元点的个数。核函数K(xi，xj)把低维特征空间的点乘映射到高维空间的点乘，实现了特征向量在高维空间线性可分，核函数采用高斯径向基核函数(RBF核函数)；
K(xi，x)＝exp(-γ||xi-x||2)
参数γ为高斯径向基核函数的宽度参数，控制了函数的径向作用范围；
(b):接着，利用训练好的支持向量机对高光谱图像进行分类，其分类的相应的决策函数为
通过决策函数可以得到高光谱图像的初始概率图P，其中b为决策函数的偏移量。
步骤(3)按照如下步骤进行：
(a)首先，定义高光谱图像包含光谱信息和空间信息的特征向量f(x)：
f(x)＝(I(i)，λ·l(i)，λ·h(i))
其中I(i)代表高光谱图像像元i的像素值，I(i)和h(i)表示高光谱图像像元i的经度和维度，即像元在图像的空间坐标，参数λ用于控制像素值与坐标空间之间平衡的。
(b)接着，利用K最近邻算法找出降维后的高光谱第一主成分图像I每个像元i的K个近邻像元，搜索k个近邻点，利用如下特征空间的距离公式
li(x)＝mink||f(x)-f(xn)||，n＝1，...，N
其中N为像元点的个数，||·||表示某种距离(相似度)度量，一般采用欧式距离作为度量；
(c)最后，利用基于K最近邻滤波器对初始概率图P进行滤波，得到优化分类概率图O；根据以上步骤得到的支持向量机得到的初始概率图P和每个像元i的k个近邻像元，基于K最近邻的非局部滤波器可以被定义为：
其中ωi表示在特征空间f(x)中，像元i的k个最近邻点。
步骤(4)，按照如下步骤进行：
(a)得到滤波后的优化概率图像后O(i)，高光谱影像中像素i的类别就可以通过简单的概率最大化的准则选择：
该步骤的目的是将概率图像O(i)转化为最终的分类结果图像c(i)；
(b)衡量高光谱图像分类精度，本发明采用：总精度、平均精度和Kappa系数三个指标；
总精度(Over Accuracy,OA)反映一个随机样本的分类类别与真实类别一致的概率，其可由混淆矩阵计算求得：
上式N是样本的类别总数，mii是第i类正确分类的样本数，通过各类别的正确率相加除以总类别得到该指标；
平均精度(Average Accuracy,AA)是指研究目标中各类别间被正确分类的平均值，反映了每个类别精度的平均值：
其中种类精度反映了每一类别被正确分类的概率。
Kappa系数需要根据混淆矩阵中所有因子计算，不仅考虑了对角线上像元数量，还考虑了不在对角线上漏分错分误差，能综合和全面地反映高光谱图像分类情况；
其中mki表示应属于第i类的样本被分为第k类的样本数量。
本发明与现有的技术相比具有以下优点：
1.通过基于k最近邻的滤波优化策略，克服了传统的空谱分类方法需要求解复杂的全局能量最优化问题。直接利用基于k最近邻的滤波器对由支持向量机得到的高光谱图像初分类概率图进行滤波优化，即可得到高精度的分类结果，速度快。
2.高光谱图像样本的特征空间的定义，包括高光谱图像的全局空间信息，克服了基于特征提取的高光谱图像空谱分类方法不能很好地利用整幅高光谱图像像元间的全局空间信息的问题，能更好的对高光谱图像进行分类。
3.结合高光谱图像的空间信息和光谱信息进行分类，精度提高大。
本发明利用高光谱图像空间信息和光谱信息相结合进行分类的技术，相比于传统分类技术，高光谱的分类精度明显提高，分类速度快。这将在后面的结果进行说明。
附图说明
图1是一种基于K最近邻滤波的高光谱分类方法的过程示意图；
图2是本发明用于演示的印度松图像(IndiaP)原始图和参考分类图；
图3是本发明用于演示的博茨瓦纳草原湿地植被图像(Botswana)原始图和参考分类图。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
本发明中使用到的两个高光谱图像分别是印度松图像(IndiaP)和博茨瓦纳草原湿地植被图像(Botswana)。如图2所示，印度松图像(IndiaP)涵盖了森林区和混合农业区，玉米耕地和大豆耕地占了大部分区域，包含16个类别，其大小为145×145像素，空间分辨率为20m每像素，包含了220个光谱通道，覆盖了0.4到2.5um的波段范围。如图3所示，高光谱图像(Botswana)，大小为1476×256像素，空间分辨率为30米每像素，拥有242个波段，覆盖了从0.4um到2.5um的波长范围。包含14个类别：河道与涝原上生长的芦苇(Reeds)与河草(Grasses)也包含热带草原上生长的阿拉伯胶树(Acacia)与其他密度分布不均的树种。
本发明的实施过程如下：
步骤(1)：令一幅d维n个像元的高光谱图像x＝(x1，...，xi...，xn)∈Pd×n和τ个标记训练样本Tτ≡{(x1，y1)，...，(xi，yi)，...，(xτ，yτ)}∈(Rd×Lc).其中xi为高光谱图像第i个像元点，yi为高光谱像元i的类别标识，Rd表示高光谱图像的维数为d,Lc＝{1，...,L}是各个类别的标记，L是类别的总数；
(a):首先，利用高光谱图像的标记训练样本对支持向量机进行训练：其训练的过程可以转化为解决如下最优化问题得到支持向量机模型的最佳参数：
其中，αi为支持向量机的模型参数，xi为高光谱图像第i个像元点，yi为高光谱像元点i的标识，N为有标识像元点的个数。核函数K(xi，xj)把低维特征空间的点乘映射到高维空间的点乘，实现了特征向量在高维空间线性可分，核函数采用高斯径向基核函数(RBF核函数)；
K(xi，x)＝exp(-γ||xi-x||2)
参数γ为高斯径向基核函数的宽度参数，控制了函数的径向作用范围；
(b):接着，利用训练好的支持向量机对高光谱图像进行分类，其分类的相应的决策函数为
通过决策函数可以得到高光谱图像的初始概率图P，其中b为决策函数的偏移量。
步骤(2)：主成分分析对高光谱图像进行降维：主成分分析法降维得到第一主成分图像I，第一主成分更好地保留了高光谱图像的光谱信息和空间信息，将其作为用于引导滤波的图像。
步骤(3)：
(a)首先，定义高光谱图像包含光谱信息和空间信息的特征向量f(x)：
f(x)＝(I(i)，λ·l(i)，λ·h(i))
其中I(i)代表高光谱图像像元i的像素值，I(i)和h(i)表示高光谱图像像元i的经度和维度，即像元在图像的空间坐标，参数λ用于控制像素值与坐标空间之间平衡的。
(b)接着，利用K最近邻算法找出降维后的高光谱第一主成分图像I每个像元i的K个近邻像元，搜索k个近邻点，利用如下特征空间的距离公式
li(x)＝mink||f(x)-f(xn)||，n＝1，...，N
其中N为像元点的个数，||·||表示某种距离(相似度)度量，一般采用欧式距离作为度量；
(c)最后，利用基于K最近邻滤波器对初始概率图P进行滤波，得到优化分类概率图O；根据以上步骤得到的支持向量机得到的初始概率图P和每个像元i的k个近邻像元，基于K最近邻的非局部滤波器可以被定义为：
其中ωi表示在特征空间f(x)中，像元i的k个最近邻点。
步骤(4)：
(a)得到滤波后的优化概率图像后O(i)，高光谱影像中像素i的类别就可以通过简单的概率最大化的准则选择：
该步骤的目的是将概率图像O(i)转化为最终的分类结果图像c(i)；
(b)衡量高光谱图像分类精度，本发明采用：总精度、平均精度和Kappa系数三个指标；
总精度(Over Accuracy,OA)反映一个随机样本的分类类别与真实类别一致的概率，其可由混淆矩阵计算求得：
上式N是样本的类别总数，mii是第i类正确分类的样本数，通过各类别的正确率相加除以总类别得到该指标；
平均精度(Average Accuracy,AA)是指研究目标中各类别间被正确分类的平均值，反映了每个类别精度的平均值：
其中种类精度反映了每一类别被正确分类的概率。
Kappa系数需要根据混淆矩阵中所有因子计算，不仅考虑了对角线上像元数量，还考虑了不在对角线上漏分错分误差，能综合和全面地反映高光谱图像分类情况；
其中mki表示应属于第i类的样本被分为第k类的样本数量。
本发明提供的基于K最近邻滤波的高光谱分类方法，克服了传统的空谱分方法需要求解复杂的全局能量最优化问题，直接利用基于k最近邻的滤波器对由支持向量机得到的高光谱图像初分类概率图进行滤波优化，速度快。并且该方法结合高光谱图像的全局空间信息和光谱信息对高光谱图像进行分类，精度高。
参照图2，图3，本发明的效果由以下仿真进一步说明：
1.仿真条件
(1)本发明分别在两幅高光谱图像：印度松图像(IndiaP)和博茨瓦纳草原湿地植被图像(Botswana)作了仿真，并与其他三种方法支持向量机(SVM)、基于利用多层逻辑模型作为先验知识和多项式逻辑回归分类器的算法(LMLL)、基于置信度传播的分类算法(LBP)和基于边缘保持滤波的分类算法(EPF)四种方法作比较。本发明的方法用KNN表示。
(2)对于每幅高光谱图像，每种分类方法随机地从参考标记样本挑选10％作为训练样本，并通过10次实验求平均值的方式，获得各个的分类精度。
2.仿真内容与结果：
表一，给出了在印度松图像(IndiaP)数据五种分类方法的每类平均正确率(AA)，总体正确率(OA)和Kappa系数。可以看到，相较于对比方法，本发明的分类算法(KNN)几乎提高了所有类别的分类精度，例如玉米未耕地的分类精度由75.01％提升到100％。对比EMP、LMLL、LBP和EPF算法，本发明的分类算法(KNN)在OA，AA和Kappa指标上达到96.23％，95.65％，95.66％，有相对的优势。这表明，本发明的分类算法(KNN)能有效地的提升高光谱图像的分类精度，速度快。
表二，给出了在博茨瓦纳草原湿地植被图像(Botswana)数据上五种分类方法的每类平均正确率(AA)，总体正确率(OA)和Kappa系数。可以看出，基于非局部最近邻的分类算法在OA、AA和Kappa这三个指标上达到98.81％，98.91％，98.71％，相比其他几个分类方法，具有更出色的表现。
综上所述，无论从算法的运行速度和分类精度，本发明的基于K最近邻滤的高光谱图像分类方法，与其它四种图像分类方法相比，效果都是最好的。
以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。因此，本发明的保护范围应所述以权利要求的保护范围为准。
表一
表二
Claims (4)
1.一种基于K最近邻滤波的高光谱分类方法，其特征在于，包括如下过程：
(1)支持向量机对高光谱图像进行粗分类：利用支持向量机分类器，根据光谱信息，对高光谱图像进行粗分类，得到各个类别的初始概率图；
(2)主成分分析法对高光谱图像进行降维：主成分分析法降维得到第一主成分图像，第一主成分更好地保留了高光谱图像的光谱信息和空间信息，将其作为用于引导滤波的图像；
(3)K最近邻滤波：基于K最近邻的滤波器在第一主成分图像的引导下，对每一幅不同类别的初始概率图进行滤波，得到优化后的概率图；
(4)获取高光谱图像的分类结果：根据滤波后的优化概率图，得到每个像元的类别概率，类别概率最大的，就给像元分配该类别的标记，得到最后的分类结果。
2.根据权利要求1所述的基于K最近邻滤波的高光谱分类方法，其特征在于，步骤(1)按照如下步骤进行：令一幅d维的高光谱图像x＝(x1，...xi)∈Rd×i和τ个标记训练样本
Tτ≡{(x1，y1)，...，(xi，yi)，...，(xτ，yτ)}∈(Rd×Lc).其中xi为高光谱图像第i个像元点，yi为高光谱像元i的类别标识，Rd表示高光谱图像的维数为d,Lc＝{1，...，L}是各个类别的标记，L是类别的总数；
(a):首先，利用高光谱图像的标记训练样本对支持向量机进行训练：其训练的过程可以转化为解决如下最优化问题得到支持向量机模型的最佳参数：
其中，αi为支持向量机的模型参数，xi为高光谱图像第i个像元点，yi为高光谱像元点i的标识，N为有标识像元点的个数；核函数K(xi，xj)把低维特征空间的点乘映射到高维空间的点乘，实现了特征向量在高维空间线性可分，核函数采用高斯径向基核函数(RBF核函数)；
K(xi，x)＝exp(-γ||xi-x||2)
参数γ为高斯径向基核函数的宽度参数，控制了函数的径向作用范围；
(b):接着，利用训练好的支持向量机对高光谱图像进行分类，其分类的相应的决策函数为
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<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>&Element;</mo>
<mi>S</mi>
</mrow>
</munder>
<msub>
<mi>&alpha;</mi>
<mi>i</mi>
</msub>
<msub>
<mi>y</mi>
<mi>i</mi>
</msub>
<mi>K</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mi>i</mi>
</msub>
<mo>,</mo>
<mi>x</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi>
</mrow>
通过决策函数可以得到高光谱图像的初始概率图P，其中b为决策函数的偏移量。
3.根据权利要求1所述的基于K最近邻滤波的高光谱分类方法，其特征在于步骤(3)按照如下步骤进行：
(a)首先，定义高光谱图像包含光谱信息和空间信息的特征向量f(x)：
f(x)＝(I(i)，λ·l(i)，λ·h(i))
其中I(i)代表高光谱图像像元i的像素值，I(i)和h(i)表示高光谱图像像元i的经度和维度，即像元在图像的空间坐标，参数λ用于控制像素值与坐标空间之间平衡的；
(b)接着，利用K最近邻算法找出降维后的高光谱第一主成分图像I每个像元i的K个近邻像元，搜索k个近邻点，利用如下特征空间的距离公式
li(x)＝mink||f(x)-f(xn)||，n＝1，...，N
其中N为像元点的个数，||·||表示某种距离(相似度)度量，一般采用欧式距离作为度量；
(c)最后，利用基于K最近邻滤波器对初始概率图P进行滤波，得到优化分类概率图O；根据以上步骤得到的支持向量机得到的初始概率图P和每个像元i的k个近邻像元，基于K最近邻的非局部滤波器可以被定义为：
<mrow>
<mi>O</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>i</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>&Sigma;</mi>
<mi>P</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>j</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mi>K</mi>
</mfrac>
<mo>,</mo>
<mi>j</mi>
<mo>&Element;</mo>
<msub>
<mi>&omega;</mi>
<mi>i</mi>
</msub>
</mrow>
其中ωi表示在特征空间f(x)中，像元i的k个最近邻点。
4.根据权利要求1所述的基于K最近邻滤波的高光谱分类方法，其特征在于步骤(4)，按照如下步骤进行：
(a)得到滤波后的优化概率图像后O(i)，高光谱影像中像素i的类别就可以通过简单的概率最大化的准则选择：
<mrow>
<mi>c</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>i</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<mi>r</mi>
<mi>g</mi>
<munder>
<mrow>
<mi>m</mi>
<mi>a</mi>
<mi>x</mi>
</mrow>
<mi>n</mi>
</munder>
<mi>O</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>i</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
该步骤的目的是将概率图像O(i)转化为最终的分类结果图像c(i)；
(b)衡量高光谱图像分类精度，本发明采用：总精度、平均精度和Kappa系数三个指标；
总精度(Over Accuracy,OA)反映一个随机样本的分类类别与真实类别一致的概率，其可由混淆矩阵计算求得：
<mrow>
<mi>O</mi>
<mi>A</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msubsup>
<mi>&Sigma;</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mi>n</mi>
</msubsup>
<msub>
<mi>m</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
</mrow>
<mi>N</mi>
</mfrac>
</mrow>
上式N是样本的类别总数，mii是第i类正确分类的样本数，通过各类别的正确率相加除以总类别得到该指标；
平均精度(Average Accuracy,AA)是指研究目标中各类别间被正确分类的平均值，反映了每个类别精度的平均值：
<mrow>
<mi>A</mi>
<mi>A</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msubsup>
<mi>&Sigma;</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mi>n</mi>
</msubsup>
<msub>
<mi>CA</mi>
<mi>i</mi>
</msub>
</mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
</mrow>
其中种类精度反映了每一类别被正确分类的概率；
Kappa系数需要根据混淆矩阵中所有因子计算，不仅考虑了对角线上像元数量，还考虑了不在对角线上漏分错分误差，能综合和全面地反映高光谱图像分类情况；
<mrow>
<mi>K</mi>
<mi>a</mi>
<mi>p</mi>
<mi>p</mi>
<mi>a</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msubsup>
<mi>N&Sigma;</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mi>n</mi>
</msubsup>
<msub>
<mi>m</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>-</mo>
<msubsup>
<mi>&Sigma;</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mi>n</mi>
</msubsup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msubsup>
<mi>&Sigma;</mi>
<mrow>
<mi>j</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mi>n</mi>
</msubsup>
<msub>
<mi>m</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
<msubsup>
<mi>&Sigma;</mi>
<mrow>
<mi>k</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mi>n</mi>
</msubsup>
<msub>
<mi>m</mi>
<mrow>
<mi>k</mi>
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mrow>
<msup>
<mi>N</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>-</mo>
<msubsup>
<mi>&Sigma;</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mi>n</mi>
</msubsup>
<msubsup>
<mi>&Sigma;</mi>
<mrow>
<mi>j</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mi>n</mi>
</msubsup>
<msub>
<mi>m</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
<msubsup>
<mi>&Sigma;</mi>
<mrow>
<mi>k</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mi>n</mi>
</msubsup>
<msub>
<mi>m</mi>
<mrow>
<mi>k</mi>
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
其中mki表示应属于第i类的样本被分为第k类的样本数量。
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