CN105867133A - 一种电液力矩伺服系统自调节误差符号积分鲁棒控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种电液力矩伺服系统自调节误差符号积分鲁棒控制方法。以电液负载模拟器为研究对象，步骤如下：建立电液力矩伺服系统非线性数学模型；设计自调节误差符号积分鲁棒控制器；运用李雅普诺夫稳定性理论对系统进行稳定性证明，并运用Barbalat 引理得到系统的全局渐近稳定的结果。本发明简化了控制器设计，有效地解决了传统RISE 控制方法存在的符号函数增益调节的保守性及潜在的高增益反馈的问题，并且控制器的控制电压连续，便于在工程实际中应用。

Description

一种电液力矩伺服系统自调节误差符号积分鲁棒控制方法

技术领域

本发明属于电液伺服控制领域，特别是一种电液力矩伺服系统自调节误差符号积分鲁棒控制方法。

背景技术

电液负载模拟器是典型的电液力矩伺服系统，主要应用是对飞行器的舵机位置伺服机构进行加载，在地面模拟舵面在飞行过程中所受到的气动力载荷，从而构成飞控系统的半实物仿真。仿真计算机内嵌根据风洞数据和飞行方程建立的飞行器六自由度模型，根据飞行高度、速度、舵面转角以及大气数据等有关的物理量，实时地计算整个飞行过程中的气动铰链力矩载荷，形成力矩载荷谱。负载模拟器的主要作用就是实时接收仿真计算机的载荷指令，并将其准确地施加在舵机伺服机构上。负载模拟器作为一种测试和仿真设备，能够对舵机研制的产品全寿命周期都起到重要作用，它贯穿了舵机的优化设计、性能测试与标定以及故障诊断。所以负载模拟器的设计需求通常很高，尤其是精度和动态特性。

目前针对电液伺服系统的先进控制策略，有反馈线性化、滑模以及误差符号积分鲁棒等控制方法。反馈线性化控制方法不仅设计简单，而且可以保证系统的高性能，但是其要求所建立的系统数学模型必须非常准确，这在实际应用中难以得到保证；滑模控制方法简单实用且对系统的外干扰等有一定的鲁棒性，但是基于一般滑模控制的方法会引起滑模面的抖动，使所设计的控制器不连续，从而使系统的性能恶化，不利于在工程实际中应用；误差符号积分鲁棒(RISE)控制方法也可以有效地处理建模不确定性的问题，而且可以获得连续的控制输入和渐近的跟踪性能，但是该控制方法所设计的控制器中的非线性鲁棒增益的取值需要满足一定的条件，该条件跟系统的建模不确定性对时间的一阶导数和二阶导数的上界密切相关。因此该控制方法存在的问题是：在实际工程应用中，系统建模不确定性对时间的一阶导数和二阶导数的界在大多情况下难以获取，因此对于积分鲁棒项中误差符号函数的增益取值只能尽量取大以获得好的控制性能。由于测量噪声的存在，该增益取得过大往往会导致高增益反馈从而造成控制输入的抖振，进而恶化控制性能，甚至引起系统失稳。故往往需要通过反复试验才能确定一个既能避免控制输入抖振又能保证一定的控制性能的增益值，然而这种调节该增益的方法具有一定的随机性和保守性，且只适用于某一种特定的工况，当系统工况发生变化时，所整定的控制器增益可能并不适用，因而传统RISE控制方法具有很大的工程局限性。总结来说：传统控制方式难以满足不确定非线性的跟踪精度要求；而近年来先进的控制策略控制器设计均比较复杂，不易于工程实现。

发明内容

本发明的目的在于提供一种电液力矩伺服系统自调节误差符号积分鲁棒控制方法，解决了现有电液力矩伺服系统中存在被忽略的模型不确定性、基于传统的滑模的控制方法所设计的控制器不连续、基于传统RISE控制方法存在工程局限性的问题。

本发明为解决上述问题采取的技术方案是：一种电液力矩伺服系统自调节误差符号积分鲁棒控制方法，包括以下步骤：

步骤1、建立电液力矩伺服系统的数学模型；

步骤1-1、建立电液力矩伺服系统的输出力矩动态方程：

$F={\mathrm{AP}}_L-B\stackrel{\·}{y}-f(t,y,\stackrel{\·}{y})---\left(1\right)$

公式(1)中,F为输出力,A为负载液压液压缸的排量,液压液压缸负载压力P_L＝P₁-P₂,P₁为液压缸进油腔的压力,P₂为液压缸出油腔的压力,B为总粘性阻尼系数,y为作动系统产生的运动干扰,为未建模动态；

为提高建模的精度，特别是摩擦效应，采用如下的非线性近似来表征库伦摩擦

$\tilde{f}(t,y,\stackrel{\·}{y})=f(t,y,\stackrel{\·}{y})-A_f{S}_f\left(\stackrel{\·}{y}\right)---\left(2\right)$

式中表征近似的非线性库伦摩擦力，其中A_f为库伦摩擦力的幅值，S_f为形状函数。

因此公式(1)可写成：

$F={\mathrm{AP}}_L-B\stackrel{\·}{y}-A_f{S}_f\left(\stackrel{\·}{y}\right)-\tilde{f}(t,y,\stackrel{\·}{y})---\left(3\right)$

步骤1-3、建立液压缸进油腔和出油腔的压力动态方程：

$\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{P}}_1=\frac{{\mathrm{\β}}_e}{V_1}(-A\stackrel{\·}{y}-C_t{P}_L+Q_1)\\ {\stackrel{\·}{P}}_2=\frac{{\mathrm{\β}}_e}{V_2}(A\stackrel{\·}{y}+C_t{P}_L-Q_2)\end{array}---\left(4\right)$

公式(4)中，β_e为液压油的有效体积模量，进油腔的控制容积V₁＝V₀₁+Ay，V₀₁为进油腔的初始容积，出油腔的控制容积V₂＝V₀₂-Ay，V₀₂为出油腔的初始容积，C_t为液压缸的内泄露系数，Q₁为进油腔的流量，Q₂为回油腔的流量；

Q₁、Q₂与伺服阀阀芯位移x_v有如下关系：

$\left\{\begin{array}{c}{Q}_1=k_q{x}_v\[s\left(x_v\right)\sqrt{P_s-P_1}+s(-x_v)\sqrt{P_1-P_r}\]\\ Q_2=k_q{x}_v\[s\left(x_v\right)\sqrt{P_2-P_r}+s(-x_v)\sqrt{P_s-P_2}\]\end{array}\right.---\left(5\right)$

公式(5)中，阀系数C_d为伺服阀节流孔流量系数，w₀为伺服阀节流孔面积梯度，P_s为供油压力，P_r为回油压力，ρ为液压油的密度，x_v为阀芯位移，s(x_v)为符号函数，且所述符号函数定义为：

$s(\&CenterDot;)=\{\begin{array}{cc}1& \&CenterDot;\&GreaterEqual;0\\ 0& \&CenterDot;<0\end{array}---\left(6\right)$

忽略伺服阀阀芯的动态，假设作用于阀芯的控制输入u和阀芯位移x_v成比例关系，即满足x_v＝k_lu，其中k_l为电压-阀芯位移增益系数，u为输入电压；

因此，公式(5)写为

$\{\begin{array}{c}{Q}_1=gu\&lsqb;s\left(x_v\right)\sqrt{P_s-P_1}+s(-x_v)\sqrt{P_1-P_r}\&rsqb;\\ Q_2=gu\&lsqb;s\left(x_v\right)\sqrt{P_2-P_r}+s(-x_v)\sqrt{P_s-P_2}\&rsqb;\end{array}---\left(7\right)$

其中总伺服阀增益系数g＝k_qk_l；

基于式(3)、(4)、(7)，电液力矩伺服系统的数学模型可表示为：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{F}=(\frac{R_1}{V_1}+\frac{R_2}{V_2}){\mathrm{A\&beta;}}_{e}gu-(\frac{1}{V_1}+\frac{1}{V_2}){\mathrm{\&beta;}}_e{A}^2\stackrel{\&CenterDot;}{y}-(\frac{1}{V_1}+\frac{1}{V_2}){\mathrm{A\&beta;}}_e{C}_t{P}_L\\ -B\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}-A_f{S}_f\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)+d(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})\end{array}---\left(8\right)$

(8)式中，电液力矩伺服系统的模型不确定性R₁和R₂的定义如下：

$\left\{\begin{array}{c}{R}_1=s\left(u\right)\sqrt{P_s-P_1}+s(-u)\sqrt{P_1-P_r}\\ R_2=s\left(u\right)\sqrt{P_2-P_r}+s(-u)\sqrt{P_s-P_2}\end{array}\right.---\left(9\right)$

由公式(9)可知R₁＞0,R₂＞0，R₁和R₂均为中间变量；

步骤2-1、为便于电液力矩伺服系统自调节误差符号积分鲁棒控制器的设计，对于任意的转矩轨迹跟踪，有如下三点合理假设：

假设1：实际的电液力矩伺服系统工作在正常工况下，由于P_r和P_s的影响，P₁和P₂满足条件：0≤P_r＜P₁＜P_s，0≤P_r＜P₂＜P_s，即P₁和P₂都是有界的；

假设2：期望的力指令F_d(t)是一阶连续可微的，并且指令F_d(t)及其一阶导数都是有界的，运动干扰y,也都是有界的；

假设3：不确定性非线性存在2阶导数，且1阶、2阶导数均有界，即有下式成立：

$\begin{array}{c}\left|\stackrel{\&CenterDot;}{d}(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})\right|\&le;{\mathrm{\&delta;}}_1\\ \left|\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{d}(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})\right|\&le;{\mathrm{\&delta;}}_2\end{array}---\left(10\right)$

公式(10)中，δ₁，δ₂都是已知的常数；

步骤2-2、为简化电液力矩伺服系统方程，便于控制器的设计，定义未知常值参数矢量θ＝[θ₁,θ₂,θ₃,θ₄,θ₅,θ₆]^T，其中θ₁＝β_eg，θ₂＝β_e，θ₃＝β_eC_t，θ₄＝B，θ₅＝A_f，因此动态方程(8)写成

$\stackrel{\&CenterDot;}{F}=U-{\mathrm{\&theta;}}_2{f}_2-{\mathrm{\&theta;}}_3{f}_3-{\mathrm{\&theta;}}_4\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}-{\mathrm{\&theta;}}_5{\stackrel{\&CenterDot;}{S}}_f\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)+d(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})---\left(11\right)$

公式(11)中U＝θ₁f₁u，参数函数f₁,f₂,f₃的定义如下：

$\left\{\begin{array}{c}{f}_1(P_1,P_2,y)=A(\frac{R_1}{V_1}+\frac{R_2}{V_2})\\ f_2(y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})=A^2\stackrel{\&CenterDot;}{y}(\frac{1}{V_1}+\frac{1}{V_2})\\ f_3(P_1,P_2,y)={\mathrm{AP}}_L(\frac{1}{V_1}+\frac{1}{V_2})\end{array}\right.---\left(12\right)$

根据公式(12)，实际的控制输入u＝U/θ₁f₁，因此，只需设计自调节误差符号积分鲁棒控制器U来处理参数不确定性和不确定性非线性即可；

步骤2-3、设计电液力矩伺服系统自调节误差符号积分鲁棒控制器：

定义如下误差变量：

$\left\{\begin{array}{c}{z}_1=F-F_d\\ r={\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1+k_1{z}_1\end{array}\right.---\left(13\right)$

式中：F_d为力跟踪指令；z₁为系统跟踪误差；r为辅助误差量；k₁为正的反馈增益；

由(13)式可知：

$\begin{array}{c}r={\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1+k_1{z}_1=U-{\mathrm{\&theta;}}_2{f}_2-{\mathrm{\&theta;}}_3{f}_3-{\mathrm{\&theta;}}_4\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}-{\mathrm{\&theta;}}_5{\stackrel{\&CenterDot;}{S}}_f\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)-\\ {\mathrm{\&theta;}}_6{\stackrel{\&CenterDot;}{P}}_f\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)+d(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})-{\stackrel{\&CenterDot;}{T}}_d+k_1{z}_1\end{array}---\left(14\right)$

设计电液力矩伺服系统自调节误差符号积分鲁棒控制器如下：

$\left\{\begin{array}{c}U=U_a+U_s\\ U_a={\mathrm{\&theta;}}_2{f}_2+{\mathrm{\&theta;}}_3{f}_3+{\mathrm{\&theta;}}_4\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}+{\mathrm{\&theta;}}_5{\stackrel{\&CenterDot;}{S}}_f\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)+{\stackrel{\&CenterDot;}{F}}_d\\ U_s=U_{s1}+U_{s2}\\ U_{s1}=-k_r{z}_1-k_1{z}_1\end{array}\right.---\left(15\right)$

U_a表示模型补偿控制器；k_r为正的反馈增益；U_s1是线性反馈项；U_s2是积分鲁棒项，用于克服模型不确定性对跟踪性能的影响；

将(15)式代入(14)式可得：

$r=-k_r{z}_1+U_{s2}+d(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})---\left(16\right)$

积分鲁棒项U_s2设计为：

$U_{s2}=-{\&Integral;}_0^t{k}_r{k}_1{z}_1+\widehat{\mathrm{\&beta;}}sign\left(z_1\right)d\mathrm{\&nu;}---\left(17\right)$

(17)式中，为控制器增益β的估计值，sign(z₁)是关于z₁的标准符号函数；

转入步骤3。

步骤3、运用李雅普诺夫稳定性理论，对所设计的电液力矩伺服系统自调节误差符号积分鲁棒控制器进行稳定性证明，并运用Barbalat引理得到系统的全局渐近稳定的结果，证明过程如下：

对上述(16)式求导，得：

$\stackrel{\&CenterDot;}{r}=-k_{r}r-\widehat{\mathrm{\&beta;}}sign\left(z_1\right)+\stackrel{\&CenterDot;}{d}(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})---\left(18\right)$

在呈现所设计控制器的性能之前，给出如下引理：

引理1：定义变量L(t)和辅助函数P(t)如下：

$L\left(t\right)=r\&lsqb;\stackrel{\&CenterDot;}{d}-\mathrm{\&beta;}sign\left(z_1\right)\&rsqb;---\left(19\right)$

$P\left(t\right)=\mathrm{\&beta;}\left|z_1\left(0\right)\right|-z_1\left(0\right)\stackrel{\&CenterDot;}{d}\left(0\right)-{\&Integral;}_0^{t}L\left(\mathrm{\&nu;}\right)d\mathrm{\&nu;}---\left(20\right)$

如果鲁棒增益β满足如下不等式：

$\mathrm{\&beta;}\&GreaterEqual;{\mathrm{\&delta;}}_1+\frac{{\mathrm{\&delta;}}_2}{k_1}---\left(21\right)$

则辅助函数P(t)恒为正值；

由引理1可知，辅助函数P(t)的微分为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{P}\left(t\right)=-L\left(t\right)=-r\stackrel{\&CenterDot;}{d}+r\mathrm{\&beta;}sign\left(z_1\right)---\left(22\right)$

定义李雅普诺夫函数V如下：

$V=\frac{1}{2}{z_1}^2+\frac{1}{2}{r}^2+P+\frac{1}{2}{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}{\widetilde{\mathrm{\&beta;}}}^2---\left(23\right)$

式(23)中的是β的估计误差，Γ是可调的正的自调节律增益；

运用李雅普诺夫稳定性理论进行稳定性证明，并运用Barbalat引理得到系统的全局渐近稳定的结果，因此调节增益k1、kr及Γ使系统的跟踪误差在时间趋于无穷的条件下趋于零。

与现有技术相比，本发明的优点在于：

(1)有效地解决了符号函数增益调节的随机性、保守性、局限性以及潜在的高增益反馈的问题；

(2)将参数误差、建模误差、未建模动态及外干扰归入到系统不确定性非线性中，所设计的自调节误差符号积分鲁棒控制器在不使用高增益反馈(Sign function)的条件下也实现了系统的渐进稳定性能，仿真结果验证了该方法的有效性；

(3)简化了控制器设计，并且控制器的控制电压连续，有利于在工程实际中应用，对比仿真结果验证了控制器的有效性。

附图说明

图1为本发明的电液力矩伺服系统原理图。

图2为本发明的电液力矩伺服系统自调节误差符号积分鲁棒控制策略图。

图3为实施例中控制器u随时间变化的曲线图，控制器输入电压满足-10V～+10V的输入范围，符合实际应用。

图4是系统干扰为时控制器增益β估计值随时间变化的曲线图。

图5为实施例中控制器作用下系统输出对期望指令的跟踪过程示意图。

图6为实施例中控制器作用下系统的跟踪误差随时间变化的曲线图。

具体实施方式:

下面结合附图对本发明作进一步详细描述。

本发明公开了一种电液力矩伺服系统自调节误差符号积分鲁棒控制方法。以电液负载模拟器为研究对象，本发明将参数误差、建模误差、未建模动态及外干扰归入到系统不确定性非线性中，基于传统的误差符号积分鲁棒控制方法(RISE)，融合了自适应控制的思想，设计控制器增益自调节律对RISE控制器的积分鲁棒增益取值进行在线调节。本发明简化了控制器设计，有效地解决了传统RISE控制方法存在的符号函数增益调节的保守性及潜在的高增益反馈的问题，并且控制器的控制电压连续，便于在工程实际中应用。

结合图2，一种电液力矩伺服系统自调节误差符号积分鲁棒控制方法，其电液力矩伺服系统原理如图1所示，包括以下步骤：

步骤1、建立电液力矩伺服系统的数学模型；

步骤1-1、建立电液力矩伺服系统的输出力矩动态方程：

$F={\mathrm{AP}}_L-B\stackrel{\&CenterDot;}{y}-f(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})---\left(1\right)$

公式(1)中,F为输出力,A为负载液压液压缸的排量,液压液压缸负载压力P_L＝P₁-P₂,P₁为液压缸进油腔的压力,P₂为液压缸出油腔的压力,B为总粘性阻尼系数,y为作动系统产生的运动干扰,为未建模动态；

为提高建模的精度，特别是摩擦效应，采用如下的非线性近似来表征库伦摩擦

$\tilde{f}(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})=f(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})-A_f{S}_f\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)---\left(2\right)$

式中表征近似的非线性库伦摩擦力，其中库伦摩擦力的幅值A_f可能未知，

但是形状函数S_f是已知的，实施例中给出了A_f和S_f的具体数值。

因此公式(1)可写成：

$F={\mathrm{AP}}_L-B\stackrel{\&CenterDot;}{y}-A_f{S}_f\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)-\tilde{f}(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})---\left(3\right)$

步骤1-3、建立液压缸进油腔和出油腔的压力动态方程：

$\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{P}}_1=\frac{{\mathrm{\&beta;}}_e}{V_1}(-A\stackrel{\&CenterDot;}{y}-C_t{P}_L+Q_1)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{P}}_2=\frac{{\mathrm{\&beta;}}_e}{V_2}(A\stackrel{\&CenterDot;}{y}+C_t{P}_L-Q_2)\end{array}---\left(4\right)$

公式(4)中，β_e为液压油的有效体积模量，进油腔的控制容积V₁＝V₀₁+Ay，V₀₁为进油腔的初始容积，出油腔的控制容积V₂＝V₀₂-Ay，V₀₂为出油腔的初始容积，C_t为液压缸的内泄露系数，Q₁为进油腔的流量，Q₂为回油腔的流量；

Q₁、Q₂与伺服阀阀芯位移x_v有如下关系：

$\left\{\begin{array}{c}{Q}_1=k_q{x}_v\&lsqb;s\left(x_v\right)\sqrt{P_s-P_1}+s(-x_v)\sqrt{P_1-P_r}\&rsqb;\\ Q_2=k_q{x}_v\&lsqb;s\left(x_v\right)\sqrt{P_2-P_r}+s(-x_v)\sqrt{P_s-P_2}\&rsqb;\end{array}\right.---\left(5\right)$

公式(5)中，阀系数C_d为伺服阀节流孔流量系数，w₀为伺服阀节流孔面积梯度，P_s为供油压力，P_r为回油压力，ρ为液压油的密度，x_v为阀芯位移，s(x_v)为符号函数，且所述符号函数定义为：

$s(\&CenterDot;)=\{\begin{array}{cc}1& \&CenterDot;\&GreaterEqual;0\\ 0& \&CenterDot;<0\end{array}---\left(6\right)$

忽略伺服阀阀芯的动态，假设作用于阀芯的控制输入u和阀芯位移x_v成比例关系，即满足x_v＝k_lu，其中k_l为电压-阀芯位移增益系数，u为输入电压；

因此，公式(5)写为

$\{\begin{array}{c}{Q}_1=gu\&lsqb;s\left(x_v\right)\sqrt{P_s-P_1}+s(-x_v)\sqrt{P_1-P_r}\&rsqb;\\ Q_2=gu\&lsqb;s\left(x_v\right)\sqrt{P_2-P_r}+s(-x_v)\sqrt{P_s-P_2}\&rsqb;\end{array}---\left(7\right)$

其中总伺服阀增益系数g＝k_qk_l；

将公式(4)、(7)带入(3)中，电液力矩伺服系统的数学模型可表示为：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{F}=(\frac{R_1}{V_1}+\frac{R_2}{V_2}){\mathrm{A\&beta;}}_{e}gu-(\frac{1}{V_1}+\frac{1}{V_2}){\mathrm{\&beta;}}_e{A}^2\stackrel{\&CenterDot;}{y}-(\frac{1}{V_1}+\frac{1}{V_2}){\mathrm{A\&beta;}}_e{C}_t{P}_L\\ -B\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}-A_f{S}_f\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)+d(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})\end{array}---\left(8\right)$

(8)式中，电液力矩伺服系统的模型不确定性R₁和R₂的定义如下：

$\left\{\begin{array}{c}{R}_1=s\left(u\right)\sqrt{P_s-P_1}+s(-u)\sqrt{P_1-P_r}\\ R_2=s\left(u\right)\sqrt{P_2-P_r}+s(-u)\sqrt{P_s-P_2}\end{array}\right.---\left(9\right)$

由公式(9)可知R₁＞0,R₂＞0，R₁和R₂均为中间变量。

步骤2、对于任意的转矩轨迹跟踪，提出三个合理假设，根据所述合理假设，设计电液力矩伺服系统自调节误差符号积分鲁棒控制器，具体方法如下：

步骤2-1、为便于电液力矩伺服系统自调节误差符号积分鲁棒控制器的设计，对于任意的转矩轨迹跟踪，有如下三点合理假设：

假设1：实际的电液力矩伺服系统工作在正常工况下，由于P_r和P_s的影响，P₁和P₂满足条件：0≤P_r＜P₁＜P_s，0≤P_r＜P₂＜P_s，即P₁和P₂都是有界的。

假设2：期望的力指令F_d(t)是一阶连续可微的，并且指令F_d(t)及其一阶导数都是有界的，运动干扰y,也都是有界的。

假设3：不确定性非线性存在2阶导数，且1阶、2阶导数均有界，即有下式成立：

$\begin{array}{c}\left|\stackrel{\&CenterDot;}{d}(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})\right|\&le;{\mathrm{\&delta;}}_1\\ \left|\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{d}(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})\right|\&le;{\mathrm{\&delta;}}_2\end{array}---\left(10\right)$

公式(10)中，δ₁，δ₂都是已知的常数。

步骤2-2、为简化电液力矩伺服系统方程，便于控制器的设计，定义未知常值参数矢量θ＝[θ₁,θ₂,θ₃,θ₄,θ₅,θ₆]^T，其中θ₁＝β_eg，θ₂＝β_e，θ₃＝β_eC_t，θ₄＝B，θ₅＝A_f，因此动态方程(8)写成

$\stackrel{\&CenterDot;}{F}=U-{\mathrm{\&theta;}}_2{f}_2-{\mathrm{\&theta;}}_3{f}_3-{\mathrm{\&theta;}}_4\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}-{\mathrm{\&theta;}}_5{\stackrel{\&CenterDot;}{S}}_f\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)+d(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})---\left(11\right)$

公式(11)中U＝θ₁f₁u，参数函数f₁,f₂,f₃的定义如下：

$\left\{\begin{array}{c}{f}_1(P_1,P_2,y)=A(\frac{R_1}{V_1}+\frac{R_2}{V_2})\\ f_2(y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})=A^2\stackrel{\&CenterDot;}{y}(\frac{1}{V_1}+\frac{1}{V_2})\\ f_3(P_1,P_2,y)={\mathrm{AP}}_L(\frac{1}{V_1}+\frac{1}{V_2})\end{array}\right.---\left(12\right)$

根据公式(12)，实际的控制输入u＝U/θ₁f₁，因此，只需设计自调节误差符号积分鲁棒控制器U来处理参数不确定性和不确定性非线性即可。

步骤2-3、设计电液力矩伺服系统自调节误差符号积分鲁棒控制器：

定义如下误差变量：

$\left\{\begin{array}{c}{z}_1=F-F_d\\ r={\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1+k_1{z}_1\end{array}\right.---\left(13\right)$

式中：F_d为力跟踪指令；z₁为系统跟踪误差；r为辅助误差量；k₁为正的反馈增益；

由(13)式可知：

$\begin{array}{c}r={\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1+k_1{z}_1=U-{\mathrm{\&theta;}}_2{f}_2-{\mathrm{\&theta;}}_3{f}_3-{\mathrm{\&theta;}}_4\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}-{\mathrm{\&theta;}}_5{\stackrel{\&CenterDot;}{S}}_f\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)-\\ {\mathrm{\&theta;}}_6{\stackrel{\&CenterDot;}{P}}_f\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)+d(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})-{\stackrel{\&CenterDot;}{T}}_d+k_1{z}_1\end{array}---\left(14\right)$

设计电液力矩伺服系统自调节误差符号积分鲁棒控制器如下：

$\left\{\begin{array}{c}U=U_a+U_s\\ U_a={\mathrm{\&theta;}}_2{f}_2+{\mathrm{\&theta;}}_3{f}_3+{\mathrm{\&theta;}}_4\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}+{\mathrm{\&theta;}}_5{\stackrel{\&CenterDot;}{S}}_f\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)+{\stackrel{\&CenterDot;}{F}}_d\\ U_s=U_{s1}+U_{s2}\\ U_{s1}=-k_r{z}_1-k_1{z}_1\end{array}\right.---\left(15\right)$

U_a表示模型补偿控制器；k_r为正的反馈增益；U_s1是线性反馈项；U_s2是积分鲁棒项，用于克服模型不确定性对跟踪性能的影响。

将(15)式代入(14)式可得：

$r=-k_r{z}_1+U_{s2}+d(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})---\left(16\right)$

积分鲁棒项U_s2设计为：

$U_{s2}=-{\&Integral;}_0^t{k}_r{k}_1{z}_1+\widehat{\mathrm{\&beta;}}sign\left(z_1\right)d\mathrm{\&nu;}---\left(17\right)$

(17)式中，为控制器增益β的估计值，sign(z₁)是关于z₁的标准符号函数；转入步骤3。

步骤3、运用李雅普诺夫稳定性理论，对所设计的电液力矩伺服系统自调节误差符号积分鲁棒控制器进行稳定性证明，并运用Barbalat引理得到系统的全局渐近稳定的结果，证明过程如下：

对上述(16)式求导，得：

$\stackrel{\&CenterDot;}{r}=-k_{r}r-\widehat{\mathrm{\&beta;}}sign\left(z_1\right)+\stackrel{\&CenterDot;}{d}(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})---\left(18\right)$

在呈现所设计控制器的性能之前，给出如下引理：

引理1：定义变量L(t)和辅助函数P(t)如下：

$L\left(t\right)=r\&lsqb;\stackrel{\&CenterDot;}{d}-\mathrm{\&beta;}sign\left(z_1\right)\&rsqb;---\left(19\right)$

$P\left(t\right)=\mathrm{\&beta;}\left|z_1\left(0\right)\right|-z_1\left(0\right)\stackrel{\&CenterDot;}{d}\left(0\right)-{\&Integral;}_0^{t}L\left(\mathrm{\&nu;}\right)d\mathrm{\&nu;}---\left(20\right)$

如果鲁棒增益β满足如下不等式：

$\mathrm{\&beta;}\&GreaterEqual;{\mathrm{\&delta;}}_1+\frac{{\mathrm{\&delta;}}_2}{k_1}---\left(21\right)$

则辅助函数P(t)恒为正值；

由引理1可知，辅助函数P(t)的微分为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{P}\left(t\right)=-L\left(t\right)=-r\stackrel{\&CenterDot;}{d}+r\mathrm{\&beta;}sign\left(z_1\right)---\left(22\right)$

定义李雅普诺夫函数V如下：

$V=\frac{1}{2}{z_1}^2+\frac{1}{2}{r}^2+P+\frac{1}{2}{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}{\widetilde{\mathrm{\&beta;}}}^2---\left(23\right)$

式(23)中的是β的估计误差，Γ是可调的正的自调节律增益；

运用李雅普诺夫稳定性理论进行稳定性证明，并运用Barbalat引理得到系统的全局渐近稳定的结果，因此调节增益k1、kr及Γ使系统的跟踪误差在时间趋于无穷的条件下趋于零。对式(23)求导并将式(13)、(18)、(22)带入可得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}=z_1(r-k_1{z}_1)+r\&lsqb;-k_{r}r-\widehat{\mathrm{\&beta;}}sign\left(z_1\right)+\stackrel{\&CenterDot;}{d}\&rsqb;-r\stackrel{\&CenterDot;}{d}+r\mathrm{\&beta;}sign\left(z_1\right)+{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\&beta;}}\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&beta;}}}\\ =-k_1{z_1}^2-k_r{r}^2+z_{1}r-r\widetilde{\mathrm{\&beta;}}sign\left(z_1\right)+{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\&beta;}}\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&beta;}}}\\ =-k_1{z_1}^2-k_r{r}^2+z_{1}r\end{array}---\left(24\right)$

式中由于r是不可测得的信号，因此自调节律的等价表示形式如下：

$\begin{array}{c}\widehat{\mathrm{\&beta;}}={\mathrm{\&Gamma;z}}_{1}sign\left(z_1\right)+\mathrm{\&Gamma;}\mathrm{\&zeta;}\\ \stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&zeta;}}=k_1{z}_{1}sign\left(z_1\right)\end{array}---\left(25\right)$

式(25)中Γ是可调的正的自调节律增益，ζ是一个辅助变量，通过引入ζ可使自调节律的计算只需用到可测的信号。

定义：Z＝[z₁,r]^T (26)

$\mathrm{\&Lambda;}=\left[\begin{array}{cc}{k}_1& -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& k_r\end{array}\right]---\left(27\right)$

通过调整参数k₁,k_r可使对称矩阵Λ为正定，则有：

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}=-Z^T\mathrm{\&Lambda;}Z\&le;-{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left(\mathrm{\&Lambda;}\right)({z_1}^2+r^2)=-W\&le;0---\left(28\right)$

(式)28中λ_min(Λ)为对称正定矩阵Λ的最小特征值。

由式(28)可知因此可得V有界，进而可得z₁,r,均有界。

对式(28)积分可得：

${\&Integral;}_0^{t}W\left(\mathrm{\&nu;}\right)d\mathrm{\&nu;}\&le;{\&Integral;}_0^t\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(\mathrm{\&nu;}\right)d\mathrm{\&nu;}=V\left(0\right)-V\left(t\right)\&le;V\left(0\right)---\left(29\right)$

由式(29)可知z₁,r∈L₂范数，且根据式(13)、(18)和假设3可得：范数，因此W是一致连续的，由Barbalat引理可知：t→∞时，W→0。故有t→∞时，z₁→0。

实施例：

为考核所设计的控制器性能，在仿真中取如下参数对电液力矩伺服系统进行建模：

A＝2×10^-4m³/rad,V₀₁＝V₀₂＝1.7×10^-4m³B＝80N·m·s/rad,β_e＝2×10⁸Pa,C_t＝9×10^-12m⁵/(N·s)，P_s＝21×10⁶Pa，P_r＝0Pa，J＝0.32kg·m²,A_f＝80Nm,

设计的控制器参数选取为：k₁＝900，k_r＝0.001，自调节律增益Γ＝5。系统时变外干扰选取为d＝200sint，运动轨迹为系统期望跟踪的力指令为曲线

控制律作用效果：

图3为实施例中控制器u随时间变化的曲线图，控制器输入电压满足-10V～+10V的输入范围，符合实际应用。

图4是系统干扰为时控制器增益β估计值随时间变化的曲线图。从图中可以看出，该增益的初始值虽是人为随意给定的，但是由于自调节律的作用，随着时间的变化该增益值将自动收敛到一个合适的值，因此避免了传统RISE控制器对于该参数调节的随机性和保守性。

图5为实施例中控制器作用下系统输出对期望指令的跟踪过程示意图。

图6为实施例中控制器作用下系统的跟踪误差随时间变化的曲线图。

结合图5和图6，可以看出指令信号和跟踪误差曲线可以看出跟踪误差是有界收敛的，并且这个界相对于指令的振幅来说是很小的。由上图可知，本发明提出的算法在仿真环境下能够处理模型不确定性，相比于传统PID控制，本发明设计的控制器能够极大的提高存在参数不确定性及不确定性非线性系统的控制精度。研究结果表明在不确定非线性和参数不确定性影响下，本文提出的方法能够满足性能指标。

Claims (4)

1.一种电液力矩伺服系统自调节误差符号积分鲁棒控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、建立电液力矩伺服系统的数学模型；

步骤2、对于任意的转矩轨迹跟踪，提出三个合理假设，根据所述合理假设，设计电液力矩伺服系统自调节误差符号积分鲁棒控制器；

步骤3、运用李雅普诺夫稳定性理论，对所设计的电液力矩伺服系统自调节误差符号积分鲁棒控制器进行稳定性证明，并运用Barbalat引理得到系统的全局渐近稳定的结果。

2.根据权利要求1所述的电液力矩伺服系统自调节误差符号积分鲁棒控制方法，其特征在于，步骤1中，建立电液力矩伺服系统的数学模型，具体方法为：

步骤1-1、建立电液力矩伺服系统的输出力矩动态方程：

$F={\mathrm{AP}}_L-B\stackrel{\&CenterDot;}{y}-f(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})---\left(1\right)$

公式(1)中,F为输出力,A为负载液压液压缸的排量,液压液压缸负载压力P_L＝P₁-P₂,P₁为液压缸进油腔的压力,P₂为液压缸出油腔的压力,B为总粘性阻尼系数,y为作动系统产生的运动干扰,为未建模动态；

为提高建模的精度，特别是摩擦效应，采用如下的非线性近似来表征库伦摩擦

$\tilde{f}(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})=f(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})-A_f{S}_f\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)---\left(2\right)$

式中表征近似的非线性库伦摩擦力，其中A_f为库伦摩擦力的幅值，S_f为形状函数；

因此公式(1)可写成：

$F={\mathrm{AP}}_L-B\stackrel{\&CenterDot;}{y}-A_f{S}_f\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)-\tilde{f}(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})---\left(3\right)$

步骤1-2、建立液压缸进油腔和出油腔的压力动态方程：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{P}}_1=\frac{{\mathrm{\&beta;}}_e}{V_1}(-A\stackrel{\&CenterDot;}{y}-C_t{P}_L+Q_1)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{P}}_2=\frac{{\mathrm{\&beta;}}_e}{V_2}(A\stackrel{\&CenterDot;}{y}+C_t{P}_L-Q_2)\end{array}\right.---\left(4\right)$

公式(4)中，β_e为液压油的有效体积模量，进油腔的控制容积V₁＝V₀₁+Ay，V₀₁为进油腔的初始容积，出油腔的控制容积V₂＝V₀₂-Ay，V₀₂为出油腔的初始容积，C_t为液压缸的内泄露系数，Q₁为进油腔的流量，Q₂为回油腔的流量；

Q₁、Q₂与伺服阀阀芯位移x_v有如下关系：

$\left\{\begin{array}{c}{Q}_1=k_q{x}_v\&lsqb;s\left(x_v\right)\sqrt{P_s-P_1}+s\left(-x_v\right)\sqrt{P_1-P_r}\&rsqb;\\ Q_2=k_q{x}_v\&lsqb;s\left(x_v\right)\sqrt{P_2-P_r}+s\left(-x_v\right)\sqrt{P_s-P_2}\&rsqb;\end{array}\right.---\left(5\right)$

公式(5)中，阀系数C_d为伺服阀节流孔流量系数，w₀为伺服阀节流孔面积梯度，P_s为供油压力，P_r为回油压力，ρ为液压油的密度，x_v为阀芯位移，s(x_v)为符号函数，且所述符号函数定义为：

$s(\&CenterDot;)=\left\{\begin{array}{cc}1& \&CenterDot;\&GreaterEqual;0\\ 0& \&CenterDot;<0\end{array}\right.---\left(6\right)$

忽略伺服阀阀芯的动态，假设作用于阀芯的控制输入u和阀芯位移x_v成比例关系，即满足x_v＝k_lu，其中k_l为电压-阀芯位移增益系数，u为输入电压；

因此，公式(5)写为

$\left\{\begin{array}{c}{Q}_1=gu\&lsqb;s\left(x_v\right)\sqrt{P_s-P_1}+s(-x_v)\sqrt{P_1-P_r}\&rsqb;\\ Q_2=gu\&lsqb;s\left(x_v\right)\sqrt{P_2-P_r}+s(-x_v)\sqrt{P_s-P_2}\&rsqb;\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中总伺服阀增益系数g＝k_qk_l；

基于式(3)、(4)、(7)，电液力矩伺服系统的数学模型可表示为：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{F}=\left(\frac{R_1}{V_1}+\frac{R_2}{V_2}\right){\mathrm{A\&beta;}}_{e}gu-\left(\frac{1}{V_1}+\frac{1}{V_2}\right){\mathrm{\&beta;}}_e{A}^2\stackrel{\&CenterDot;}{y}-\left(\frac{1}{V_1}+\frac{1}{V_2}\right){\mathrm{A\&beta;}}_e{C}_t{P}_L\\ -B\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}-A_f{S}_f\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)+d\left(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)\end{array}---\left(8\right)$

(8)式中，电液力矩伺服系统的模型不确定性R₁和R₂的定义如下：

$\left\{\begin{array}{c}{R}_1=s\left(u\right)\sqrt{P_s-P_1}+s\left(-u\right)\sqrt{P_1-P_r}\\ R_2=s\left(u\right)\sqrt{P_2-P_r}+s\left(-u\right)\sqrt{P_s-P_2}\end{array}\right.---\left(9\right)$

由公式(9)可知R₁＞0,R₂＞0，R₁和R₂均为中间变量。

3.根据权利要求1所述的电液力矩伺服系统自调节误差符号积分鲁棒控制方法，其特征在于，步骤2中对于任意的转矩轨迹跟踪，提出三个合理假设，根据所述合理假设，设计电液力矩伺服系统自调节误差符号积分鲁棒控制器，具体步骤如下：

步骤2-1、为便于电液力矩伺服系统自调节误差符号积分鲁棒控制器的设计，对于任意的转矩轨迹跟踪，有如下三点合理假设：

假设1：实际的电液力矩伺服系统工作在正常工况下，由于P_r和P_s的影响，P₁和P₂满足条件：0≤P_r＜P₁＜P_s，0≤P_r＜P₂＜P_s，即P₁和P₂都是有界的；

假设2：期望的力指令F_d(t)是一阶连续可微的，并且指令F_d(t)及其一阶导数都是有界的，运动干扰y,也都是有界的；

假设3：不确定性非线性存在2阶导数，且1阶、2阶导数均有界，即有下式成立：

$\begin{array}{c}\left|\stackrel{\&CenterDot;}{d}\left(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)\right|\&le;{\mathrm{\&delta;}}_1\\ \left|\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{d}\left(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)\right|\&le;{\mathrm{\&delta;}}_2\end{array}---\left(10\right)$

公式(10)中，δ₁，δ₂都是已知的常数；

步骤2-2、为简化电液力矩伺服系统方程，便于控制器的设计，定义未知常值参数矢量θ＝[θ₁,θ₂,θ₃,θ₄,θ₅,θ₆]^T，其中θ₁＝β_eg，θ₂＝β_e，θ₃＝β_eC_t，θ₄＝B，θ₅＝A_f，因此动态方程(8)写成

$\stackrel{\&CenterDot;}{F}=U-{\mathrm{\&theta;}}_2{f}_2-{\mathrm{\&theta;}}_3{f}_3-{\mathrm{\&theta;}}_4\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}-{\mathrm{\&theta;}}_5{\stackrel{\&CenterDot;}{S}}_f\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)+d(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})---\left(11\right)$

公式(11)中U＝θ₁f₁u，参数函数f₁,f₂,f₃的定义如下：

$\left\{\begin{array}{c}{f}_1(P_1,P_2,y)=A(\frac{R_1}{V_1}+\frac{R_2}{V_2})\\ f_2(y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})=A^2\stackrel{\&CenterDot;}{y}(\frac{1}{V_1}+\frac{1}{V_2})\\ f_3(P_1,P_2,y)={\mathrm{AP}}_L(\frac{1}{V_1}+\frac{1}{V_2})\end{array}\right.---\left(12\right)$

根据公式(12)，实际的控制输入u＝U/θ₁f₁，因此，只需设计自调节误差符号积分鲁棒控制器U来处理参数不确定性和不确定性非线性即可；

步骤2-3、设计电液力矩伺服系统自调节误差符号积分鲁棒控制器：

定义如下误差变量：

$\left\{\begin{array}{c}{z}_1=F-F_d\\ r={\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1+k_1{z}_1\end{array}\right.---\left(13\right)$

式中：F_d为力跟踪指令；z₁为系统跟踪误差；r为辅助误差量；k₁为正的反馈增益；

由(13)式可知：

$\begin{array}{c}r={\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1+k_1{z}_1=U-{\mathrm{\&theta;}}_2{f}_2-{\mathrm{\&theta;}}_3{f}_3-{\mathrm{\&theta;}}_4\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}-{\mathrm{\&theta;}}_5{\stackrel{\&CenterDot;}{S}}_f\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)-\\ {\mathrm{\&theta;}}_6{\stackrel{\&CenterDot;}{P}}_f\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)+d\left(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)-{\stackrel{\&CenterDot;}{T}}_d+k_1{z}_1\end{array}---\left(14\right)$

设计电液力矩伺服系统自调节误差符号积分鲁棒控制器如下：

$\left\{\begin{array}{c}U=U_a+U_s\\ U_a={\mathrm{\&theta;}}_2{f}_2+{\mathrm{\&theta;}}_3{f}_3+{\mathrm{\&theta;}}_4\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}+{\mathrm{\&theta;}}_5{\stackrel{\&CenterDot;}{S}}_f\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)+{\stackrel{\&CenterDot;}{F}}_d\\ U_s=U_{s1}+U_{s2}\\ U_{s1}=-k_r{z}_1-k_1{z}_1\end{array}\right.---\left(15\right)$

U_a表示模型补偿控制器；k_r为正的反馈增益；U_s1是线性反馈项；U_s2是积分鲁棒项，用于克服模型不确定性对跟踪性能的影响；

将(15)式代入(14)式可得：

$r=-k_r{z}_1+U_{s2}+d(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})---\left(16\right)$

积分鲁棒项U_s2设计为：

$U_{s2}=-{\&Integral;}_0^t{k}_r{k}_1{z}_1+\widehat{\mathrm{\&beta;}}sign\left(z_1\right)d\mathrm{\&nu;}---\left(17\right)$

(17)式中，为控制器增益β的估计值，sign(z₁)是关于z₁的标准符号函数；

转入步骤3。

4.根据权利要求1或3所述的所述的电液力矩伺服系统自调节误差符号积分鲁棒控制方法，其特征在于，运用李雅普诺夫稳定性理论，对所设计的电液力矩伺服系统自调节误差符号积分鲁棒控制器进行稳定性证明，并运用Barbalat引理得到系统的全局渐近稳定的结果，证明过程如下：

对上述(16)式求导，得：

$\stackrel{\&CenterDot;}{r}=-k_{r}r-\widehat{\mathrm{\&beta;}}sign\left(z_1\right)+\stackrel{\&CenterDot;}{d}(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})---\left(18\right)$ 在呈现所设计控制器的性能之前，给出如下引理：

引理1：定义变量L(t)和辅助函数P(t)如下：

$L\left(t\right)=r\&lsqb;\stackrel{\&CenterDot;}{d}-\mathrm{\&beta;}sign\left(z_1\right)\&rsqb;---\left(19\right)$

$P\left(t\right)=\mathrm{\&beta;}\left|z_1\left(0\right)\right|-z_1\left(0\right)\stackrel{\&CenterDot;}{d}\left(0\right)-{\&Integral;}_0^{t}L\left(\mathrm{\&nu;}\right)d\mathrm{\&nu;}---\left(20\right)$

如果鲁棒增益β满足如下不等式：

$\mathrm{\&beta;}\&GreaterEqual;{\mathrm{\&delta;}}_1+\frac{{\mathrm{\&delta;}}_2}{k_1}---\left(21\right)$

则辅助函数P(t)恒为正值；

由引理1可知，辅助函数P(t)的微分为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{P}\left(t\right)=-L\left(t\right)=-r\stackrel{\&CenterDot;}{d}+r\mathrm{\&beta;}sign\left(z_1\right)---\left(22\right)$

定义李雅普诺夫函数V如下：

$V=\frac{1}{2}{z_1}^2+\frac{1}{2}{r}^2+P+\frac{1}{2}{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}{\widetilde{\mathrm{\&beta;}}}^2---\left(23\right)$

式(23)中的是β的估计误差，Γ是可调的正的自调节律增益；

运用李雅普诺夫稳定性理论进行稳定性证明，并运用Barbalat引理得到系统的全局渐近稳定的结果，因此调节增益k₁、k_r及Γ使系统的跟踪误差在时间趋于无穷的条件下趋于零。