CN104018513B - 采煤沉陷区防护板基础挠曲变形和截面弯矩的计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了采煤沉陷区输电铁塔防护板基础的挠曲变形和截面弯矩的计算方法，在弹性地基的假定条件下，将四边自由复合板基础简化为单向等效梁；将独立基础及其上部铁塔的竖向荷载等效转换为竖向分布荷载；建立采煤沉陷区内沉陷地基与复合防护板基础的协同作用简化计算模型，提出基础挠曲变形微分平衡方程；结合计算模型需满足的边界条件，得到解的线性方程组；解线性方程组，得到挠曲变形和截面弯矩的函数表达式；确定复合防护板基础的控制截面，以截面弯矩设计值进行等效梁截面的配筋计算，最终确定基础的截面配筋。本发明的有益效果是为采煤沉陷区内大量使用的铁塔复合防护板基础，提供一种关于基础挠曲变形和截面弯矩的理论计算方法。

Description

采煤沉陷区防护板基础挠曲变形和截面弯矩的计算方法

技术领域

本发明属于采煤影响区内输电线路的设计和保护技术领域，涉及采煤沉陷区输电铁塔防护板基础的挠曲变形和截面弯矩的计算方法。

背景技术

煤炭资源的大量开采，在我国的煤炭主产区内造成了大量的采煤沉陷区。同时，随着“变输煤为输电”能源方针的深入实施，越来越多的电厂将建设在煤矿附近。因此，造成大量的新建输电线路不可避免的要建设在采煤沉陷区内。近年来，针对原有的铁塔独立长柱独立基础不利抵抗采动地表变形的缺点，我国电力建设部门和相关高校提出了复合防护板基础这一新型的抗变形基础，并在工程实践中进行了成功应用，取得了良好的效果。但已有的工程实践主要依赖于工程经验，对于复合防护板基础的内力计算尤其是截面弯矩的计算，尚未提出科学系统的计算方法。总体来说，我国关于采动区输电铁塔复合防护板基础的设计和应用仍处于尝试性的阶段，这就为已建和新建的输电线路工程的安全和长期稳定运行埋下了巨大的安全隐患，极易发生因抗变形基础的设计承载力不足导致铁塔变形严重甚至倒塌的严重事故。因此，迫切需要提出一种采煤沉陷区内复合防护板基础的截面弯矩的计算方法，为我国采动区输电铁塔复合防护板基础的设计和工程实践提供理论依据。

发明内容

本发明的目的在提供采煤沉陷区输电铁塔防护板基础的挠曲变形和截面弯矩的计算方法。

本发明在弹性地基的假定条件下，将四边自由复合板基础简化为沿沉陷盆地移动方向的单向等效梁；将独立基础及其上部铁塔的竖向荷载转换为竖向等效分布荷载；考虑地基与基础的共同作用，建立采煤沉陷区内沉陷地基与复合防护板基础的协同作用简化计算模型；结合计算模型需满足的边界条件，得到相应的关于模型解的线性方程组；提出复合防护板基础设计控制截面及相应截面控制弯矩值的选择和截面设计的方法。该计算方法，其理论依据明确，使用方便，计算结果完全能满足工程设计的要求，具有广泛的适用性。

本发明所采用的技术方案是按照以下步骤进行：

步骤1：在弹性地基的假定条件下，将四边自由复合板基础简化为单向等效梁；

步骤2：将独立基础及其上部铁塔的竖向荷载等效转换为竖向分布荷载；

步骤3：考虑地基与基础的共同作用，建立采煤沉陷区内沉陷地基与复合防护板基础的协同作用简化计算模型，

步骤4：根据以上的采煤沉陷区内沉陷地基与复合防护板基础的协同作用简化计算模型，提出基础挠曲变形微分平衡方程；

步骤5：结合计算模型需满足的边界条件，得到解的线性方程组；

步骤6：满足边界条件的情况下求解线性方程组，得到挠曲变形和截面弯矩的函数表达式；

步骤7：确定复合防护板基础的控制截面，分析沉陷盆地移动过程中截面弯矩的设计值，以截面弯矩设计值进行等效梁截面的配筋计算，结合混凝土基础的构造要求，最终确定基础的截面配筋。

进一步，所述步骤2中，分段均布荷载各段计算公式为：

$q_{\mathrm{JC}}=q_1+{\mathrm{\γ}}_{m1}\·d\·1=\frac{F_{\mathrm{NV}}}{b}+{\mathrm{\γ}}_{m1}\·d\·1,$ q_KZ＝γ_m2·d·1。

进一步，所述步骤3中，下沉曲线模型w(x)可由式表示：

$w\left(x\right)=w_0(1-\frac{x+s}{L}+\frac{1}{2\mathrm{\π}}\sin 2\mathrm{\π}\frac{x+s}{L}).$

进一步，所述步骤4中，基础挠曲变形微分平衡方程建立过程，由于复合板所受荷载情况从左往右分为3种情况，故分为3段进行求解，从x₀＝0到x₁＝b区段的复合板截面位移记为y₁(x)；x₁＝b到x₂＝l-b段记为y₂(x)；而x₂＝l-b到x₃＝l段记为y₃(x)；同时，假定3段区间内由上部铁塔、基础和填土自重引起的沿X方向的线荷载分别为q₁+γ_m1·d、γ_m2·d和q₁+γ_m1·d，如果假定沉陷区地基土体的抗力系数为k，则在3个区段内，复合板在弹性地基上的变形微分方程及一般解可分别表示为：

1)x₀到x₁段：

$\mathrm{EI}\frac{d^4{y}_1}{d{x}^4}+k{y}_1=(q_1+{\mathrm{\γ}}_{m1}\·\mathrm{bd})+k{w}_0(1-\frac{x+s}{L}+\frac{1}{2\mathrm{\π}}\·\sin 2\mathrm{\π}\frac{x+s}{L}),$

相应的y₁一般解为：

$\begin{array}{c}{y}_1\left(x\right)=e^{-\mathrm{\αx}}(A_1\sin \mathrm{\αx}+A_2\cos \mathrm{\αx})+e^{\mathrm{\αx}}(A_3\sin \mathrm{\αx}+A_4\cos \mathrm{\αx})\\ +\frac{q_1+{\mathrm{\γ}}_{m1}d}{k}+w_0-\frac{w_0}{L}(x+s)+m\sin \frac{2\mathrm{\π}(x+s)}{L}\end{array},$

2)x₁到x₂段：

$\mathrm{EI}\frac{d^4{y}_2}{d{x}^4}+k{y}_2={\mathrm{\γ}}_{m2}\·\mathrm{bd}+k{\mathrm{\ω}}_0(1-\frac{x+s}{L}+\frac{1}{2\mathrm{\π}}\·\sin 2\mathrm{\π}\frac{x+s}{L}),$

相应的y₂的一般解为：

$\begin{array}{c}{y}_2\left(x\right)=e^{-\mathrm{\αx}}(A_5\sin \mathrm{\αx}+A_6\cos \mathrm{\αx})+e^{\mathrm{\αx}}(A_7\sin \mathrm{\αx}+A_8\cos \mathrm{\αx})\\ +\frac{{\mathrm{\γ}}_{m2}d}{k}+w_0-\frac{w_0}{L}(x+s)+m\sin \frac{2\mathrm{\π}(x+s)}{L}\end{array},$

3)x₂到x₃段：

$\mathrm{EI}\frac{d^4{y}_3}{d{x}^4}+k{y}_3=(q_2+{\mathrm{\γ}}_{m1}\·\mathrm{bd})+k(1-\frac{x+s}{L}+\frac{1}{2\mathrm{\π}}\·\sin 2\mathrm{\π}\frac{x+s}{L}),$

相应的y₃的一般解为：

$\begin{array}{c}{y}_3\left(x\right)=e^{-\mathrm{\αx}}(A_9\sin \mathrm{\αx}+A_{10}\cos \mathrm{\αx})+e^{\mathrm{\αx}}(A_{11}\sin \mathrm{\αx}+A_{12}\cos \mathrm{\αx})\\ +\frac{q_1+{\mathrm{\γ}}_{m1}d}{k}+w_0-\frac{w_0}{L}(x+s)+m\sin \frac{2\mathrm{\π}(x+s)}{L}\end{array},$

上述各式中：A₁～A₁₂均为待定常数，

$\mathrm{\α}=\sqrt[4]{\frac{k}{4\mathrm{EI}}},m=\frac{k{w}_0}{2\mathrm{\π}(\frac{16{\mathrm{\π}}^4\mathrm{EI}}{L^4}+k)},$

其中，EI是单位宽度的防护板的截面抗弯刚度。

本发明的有益效果是为采煤沉陷区内大量使用的铁塔复合防护板基础，提供一种关于基础挠曲变形和截面弯矩的理论计算方法。

附图说明

图1是复合防护板基础平面布置及其等效梁单元的范围示意图；

图2是典型复合防护板基础竖向布置示意图；

图3是自重作用下复合防护板基础的简化计算模型；

图4是防护板基础在沉降前后的位移和变形示意图；

图5是防护板计算截面的布置示意图；

图6是位于盆地内不同位置时防护板各截面的竖向位移图；

图7是各截面的弯矩分布情况图；

图8是防护板基础的基底反力分布图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明进行详细说明。

鉴于已有技术存在的不足，本发面专利的目的是提供一种具有明确理论依据、应用简便且满足工程实践需求的采煤沉陷区输电铁塔复合防护板基础挠曲变形和截面弯矩的计算方法。

本发明所涉及的采煤沉陷区输电铁塔复合防护板基础挠曲变形和截面弯矩的计算方法，包括采动区复合防护板基础等效计算单元的确定、考虑地基基础共同作用时复合防护板基础的计算模型及其微分方程、边界条件的确定、待定常数的求解、控制截面的选择和截面弯矩设计值的确定等主要内容。本发明专利最适用于采煤沉陷区发生有限连续地表变形的输电铁塔复合防护板基础工程的设计和分析。本发明专利所使用的计算方法，其计算理论依据充分，过程简捷，结果可靠。

本发明方法计算的输电铁塔是四个独立基础的，本发明针对的是四个独立基础的情况。下面将结合附图对本发明专利的实施作进一步的描述，具体分为以下几个步骤：

步骤1：在弹性地基的假定条件下，将四边自由复合板基础简化为单向等效梁；

如图1所示为典型复合防护板基础平面布置及其等效梁单元的范围示意图，其中阴影部分为等效梁单元的平面范围；图2为典型复合防护板基础布置示意图(单位：mm)，以沉陷盆地沿垂直线路方向移动为例；图1和图2中，A、B分别为垂直线路和顺线路方向铁塔基础根开值；E、F分别为垂直线路和顺线路方向的复合防护板的总长度；C为上部长柱独立基础底阶宽度的0.5倍；H为复合防护板的厚度。

针对具体的计算对象，确定图1和图2中A、C和E等几何尺寸的数值，其中A为两个独立长柱基础中心之间的距离，C为独立长柱基础边长的0.5倍，E为防护板边长；

本发明算法不考虑图1和图2中的端部500mm的构造突出部分，以l＝E-500-500为简化模型的实际计算长度，并取单位宽度进行计算；

步骤2：将独立基础及其上部铁塔的竖向荷载等效转换为竖向分布荷载；即把集中力换算为均布力。

将单位宽度内防护板基础上方的独立长柱基础和土体自重以及铁塔下传的竖向荷载等效转换为等效梁上部的分段均布荷载，如图3所示为自重作用下复合防护板基础的简化计算模型(单位宽度)，分段均布荷载各段计算公式为： $q_{\mathrm{JC}}=q_1+{\mathrm{\γ}}_{m1}\·d\·1=\frac{F_{\mathrm{NV}}}{b}+{\mathrm{\γ}}_{m1}\·d\·1,$ q_KZ＝γ_m2·d·1。其中：γ_m1、γ_m2分别为各区段内上部土体的等效容重，单位kN/m³；F_NV为上部铁塔的竖向作用力(下压力)；q₁为铁塔作用在基础底部的等效均部线荷载，单位kN/m；b为上部长柱独立基础的底阶宽度，单位m；d为独立基础埋深，m。

步骤3：考虑地基与基础的共同作用，建立采煤沉陷区内沉陷地基与复合防护板基础的协同作用简化计算模型；

仅考虑自重的作用，得到防护板基础在地基沉降前后的位移和变形以及计算坐标的示意图如图4所示防护板基础在沉降前后的位移和变形示意图。图4中，设w(x)为地表沉陷曲线；y(x)为复合板变形后任一截面的竖向位移值；l为复合板等效梁的计算长度，b为上部长柱独立基础的底阶宽度。

以图4所示的计算直角坐标系，根据经典沉陷预计理论，假定充分采动后移动盆地的下沉曲线模型w(x)可由式(1)表示。

$w\left(x\right)=w_0(1-\frac{x+s}{L}+\frac{1}{2\mathrm{\π}}\sin 2\mathrm{\π}\frac{x+s}{L})---\left(1\right)$

其中：L——下沉盆地的半盆地长，即盆地边界点与最大下沉点的水平距离，m；

w₀——沉陷盆地的最大下沉值，m；

s——复合防护板左端距最大下沉点的水平距离，m；

x——复合防护板任一截面到其左端截面的水平距离，m。

步骤4：根据以上的采煤沉陷区内沉陷地基与复合防护板基础的协同作用简化计算模型，提出基础挠曲变形微分平衡方程。

由于复合板所受荷载情况从左往右分为3种情况，故分为3段进行求解。从x₀＝0到x₁＝b区段的复合板截面位移记为y₁(x)；x₁＝b到x₂＝l-b段记为y₂(x)；而x₂＝l-b到x₃＝l段记为y₃(x)。

同时，假定3段区间内由上部铁塔、基础(包括复合板)和填土自重引起的沿X方向的线荷载分别为q₁+γ_m1·d、γ_m2·d和q₁+γ_m1·d。其中q₁为铁塔作用在基础底部的等效局部线荷载，kN；b为等效板带宽度，m；d为基础埋深，m。

如果假定沉陷区地基土体的抗力系数为k，则在3个区段内，复合板在弹性地基上的变形微分方程及一般解可分别表示为：

1)x₀到x₁段：

$\mathrm{EI}\frac{d^4{y}_1}{d{x}^4}+k{y}_1=(q_1+{\mathrm{\γ}}_{m1}\·\mathrm{bd})+k{w}_0(1-\frac{x+s}{L}+\frac{1}{2\mathrm{\π}}\·\sin 2\mathrm{\π}\frac{x+s}{L})---\left(2\right)$

式中，y₁为第1区段内的板的挠曲变形函数y₁(x)，下同。

相应的y₁一般解为：

$\begin{array}{c}{y}_1\left(x\right)=e^{-\mathrm{\αx}}(A_1\sin \mathrm{\αx}+A_2\cos \mathrm{\αx})+e^{\mathrm{\αx}}(A_3\sin \mathrm{\αx}+A_4\cos \mathrm{\αx})\\ +\frac{q_1+{\mathrm{\γ}}_{m1}d}{k}+w_0-\frac{w_0}{L}(x+s)+m\sin \frac{2\mathrm{\π}(x+s)}{L}\end{array}---\left(3\right)$

2)x₁到x₂段：

$\mathrm{EI}\frac{d^4{y}_2}{d{x}^4}+k{y}_2={\mathrm{\γ}}_{m2}\·\mathrm{bd}+k{\mathrm{\ω}}_0(1-\frac{x+s}{L}+\frac{1}{2\mathrm{\π}}\·\sin 2\mathrm{\π}\frac{x+s}{L})---\left(4\right)$

式中，y₂为第2区段内的板的挠曲变形函数y₂(x)，下同。

相应的y₂的一般解为：

$\begin{array}{c}{y}_2\left(x\right)=e^{-\mathrm{\αx}}(A_5\sin \mathrm{\αx}+A_6\cos \mathrm{\αx})+e^{\mathrm{\αx}}(A_7\sin \mathrm{\αx}+A_8\cos \mathrm{\αx})\\ +\frac{{\mathrm{\γ}}_{m2}d}{k}+w_0-\frac{w_0}{L}(x+s)+m\sin \frac{2\mathrm{\π}(x+s)}{L}\end{array}---\left(5\right)$

3)x₂到x₃段：

$\mathrm{EI}\frac{d^4{y}_3}{d{x}^4}+k{y}_3=(q_2+{\mathrm{\γ}}_{m1}\·\mathrm{bd})+k(1-\frac{x+s}{L}+\frac{1}{2\mathrm{\π}}\·\sin 2\mathrm{\π}\frac{x+s}{L})---\left(6\right)$

式中，y₃为第3区段内的板的挠曲变形函数y₃(x)，下同。

相应的y₃的一般解为：

$\begin{array}{c}{y}_3\left(x\right)=e^{-\mathrm{\αx}}(A_9\sin \mathrm{\αx}+A_{10}\cos \mathrm{\αx})+e^{\mathrm{\αx}}(A_{11}\sin \mathrm{\αx}+A_{12}\cos \mathrm{\αx})\\ +\frac{q_1+{\mathrm{\γ}}_{m1}d}{k}+w_0-\frac{w_0}{L}(x+s)+m\sin \frac{2\mathrm{\π}(x+s)}{L}\end{array}---\left(7\right)$

上述各式中：A₁～A₁₂均为待定常数；

$\mathrm{\α}=\sqrt[4]{\frac{k}{4\mathrm{EI}}},m=\frac{k{w}_0}{2\mathrm{\π}(\frac{16{\mathrm{\π}}^4\mathrm{EI}}{L^4}+k)}$

其中，EI是单位宽度的防护板的截面抗弯刚度。

步骤5：结合计算模型需满足的边界条件，得到解的线性方程组：

考虑边界条件，求解方程(3)、(5)、(7)中的待定常数A₁～A₁₂。边界条件下有：

1)在x＝0处(复合板基础左端)

$M=0\⇒\mathrm{EI}{\frac{d^2{y}_1}{d{x}^2}|}_{x=0}=0---\left(8\right)$

$Q=0\⇒\mathrm{EI}{\frac{d^3{y}_1}{d{x}^3}|}_{x=0}=0---\left(9\right)$

这里，M、Q分别为对应x坐标处截面的弯矩值和剪力值，下同。

2)在x＝b处(左独立基础的内边缘)

$y_1=y_2\⇒y_1{|}_{x=b}=y_2{|}_{x=b}---\left(12\right)$

${\mathrm{\θ}}_1={\mathrm{\θ}}_2\⇒\frac{{\mathrm{dy}}_1}{\mathrm{dx}}{|}_{x=b}=\frac{{\mathrm{dy}}_2}{\mathrm{dx}}{|}_{x=b}---\left(13\right)$

θ为对应x坐标处的截面转角值，下同。

3)在x＝x₂＝l-b处(右独立基础的内边缘)

$y_2=y_3\⇒y_2{|}_{x=l-b}=y_3{|}_{x=l-b}---\left(16\right)$

${\mathrm{\θ}}_3={\mathrm{\θ}}_3\⇒\frac{{\mathrm{dy}}_2}{\mathrm{dx}}{|}_{x=l-b}=\frac{{\mathrm{dy}}_3}{\mathrm{dx}}{|}_{x=l-b}---\left(17\right)$

4)在x＝l处(复合板基础的右端)

$M=0\⇒\mathrm{EI}\frac{d^2{y}_3}{d{x}^2}{|}_{x=l}=0---\left(18\right)$

$Q=0\⇒\mathrm{EI}\frac{d^3{y}_3}{d{x}^3}{|}_{x=l}=0---\left(19\right)$

步骤6：满足边界条件的情况下求解线性方程组，得到挠曲变形和截面弯矩的函数表达式：

将式(3)、(5)和(7)分别代入相应的边界条件式(8)～式(19)，得到关于待定常数A₁，A₂，……，A₁₂的一阶线性方程组，见式(20)～(31)所示。

$-A_1+A_3=\frac{m}{2{\mathrm{\α}}^2}\·{\left(\frac{2\mathrm{\π}}{L}\right)}^2\·\sin \frac{2\mathrm{\π}\·s}{L}---\left(20\right)$

$A_1+A_2+A_3-A_4=\frac{m}{2{\mathrm{\α}}^3}\·{\left(\frac{2\mathrm{\π}}{L}\right)}^3\·\cos \frac{2\mathrm{\π}\·s}{L}---\left(21\right)$

-e^-αbcos(αb)·A₁+e^-αbsin(αb)·A₂+e^αbcos(αb)·A₃-e^αbsin(αb)·A₄(22)

+e^-αbcos(αb)·A₅-e^-αbsin(αb)·A₆-e^αbcos(αb)·A₇+e^αbsin(αb)·A₈

＝0

e^-αb(sinαb+cosαb)·A₁+e^-αb(-sinαb+cosαb)·A₂+e^αb(-sinαb+cosαb)·A₃(23)

-e^αb(sinαb+cosαb)·A₄-e^-αb(sinαb+cosαb)·A₅-e^-αb(-sinαb+cosαb)·A₆

-e^αb(-sinαb+cosαb)·A₇+e^αb(sinαb+cosαb)·A₈

＝0

$\begin{array}{c}{e}^{-\mathrm{\αb}}\sin \left(\mathrm{\αb}\right)\·A_1+e^{-\mathrm{\αb}}\cos \left(\mathrm{\αb}\right)\·A_2+e^{\mathrm{\αb}}\sin \left(\mathrm{\αb}\right)\·A_3+e^{\mathrm{\αb}}\cos \left(\mathrm{\αb}\right)\·A_4\\ -e^{-\mathrm{\αb}}\sin \left(\mathrm{\αb}\right)\·A_5-e^{-\mathrm{\αb}}\cos \left(\mathrm{\αb}\right)\·A_6-e^{\mathrm{\αb}}\sin \left(\mathrm{\αb}\right)\·A_7-e^{\mathrm{\αb}}\cos \left(\mathrm{\αb}\right)\·A_8\\ =\frac{({\mathrm{\γ}}_{m2}-{\mathrm{\γ}}_{m1})d-q_1}{k}\end{array}---\left(2\right)$

$\begin{array}{c}{e}^{-\mathrm{\αb}}[-\sin \left(\mathrm{\αb}\right)+\cos \left(\mathrm{\αb}\right)]\·A_1-e^{-\mathrm{\αb}}[\sin \left(\mathrm{\αb}\right)+\cos \left(\mathrm{\αb}\right)]\·A_2\\ +e^{\mathrm{\αb}}[\sin \left(\mathrm{\αb}\right)+\cos \left(\mathrm{\αb}\right)]\·A_3+e^{\mathrm{\αb}}[-\sin \left(\mathrm{\αb}\right)+\cos \left(\mathrm{\αb}\right)]\·A_4\\ {-e}^{-{\mathrm{\αb}}_1}[-\sin \left(\mathrm{\αb}\right)+\cos \left(\mathrm{\αb}\right)]\·A_5+e^{-\mathrm{\αb}}[\sin \left(\mathrm{\αb}\right)+\cos \left(\mathrm{\αb}\right)]\·A_6\\ {-e}^{\mathrm{\αb}}[\sin \left(\mathrm{\αb}\right)+\cos \left(\mathrm{\αb}\right)]\·A_7-e^{\mathrm{\αb}}[-\sin \left(\mathrm{\αb}\right)+\cos \left(\mathrm{\αb}\right)]\·A_8\\ =0\end{array}---\left(25\right)$

-e^-α(l-b)cos[α(l-b)]A₅+e^-α(l-b)sin[α(l-b)]·A₆+e^α(l-b)cos[α(l-b)]·A₇(26)

-e^α(l-b)sin[α(l-b)]·A₈+e^-α(l-b)cos[α(l-b)]·A₉-e^-α(l-b)sin[α(l-b)]·A₁₀

-e^α(l-b)cos[α(l-b)]·A₁₁+e^α(l-b)sin[α(l-b)]·A₁₂

＝0

e^-α(l-b){sin[α(l-b)]+cos[α(l-b)]}·A₅+e^-α(l-b){-sin[α(l-b)]+cos[α(l-b)]}·A₆

+e^α(l-b){-sin[α(l-b)]+cos[α(l-b)]}·A₇-e^α(l-b){sin[α(l-b)]+cos[α(l-b)]}·A₈(27)

-e^-α(l-b){sin[α(l-b)]+cos[α(l-b)]}·A₉-e^-α(l-b){-sin[α(l-b)]+cos[α(l-b)]}·A₁₀

-e^α(l-b){-sin[α(l-b)]+cos[α(l-b)]}·A₁₁+e^α(l-b){sin[α(l-b)]+cos[α(l-b)]}·A₁₂

＝0

$\begin{array}{c}{e}^{-\mathrm{\α}(l-b)}\sin \left[\mathrm{\α}(l-b)\right]\·A_5+e^{-\mathrm{\α}(l-b)}\cos \left[\mathrm{\α}(l-b)\right]\·A_6+e^{\mathrm{\α}(l-b)}\sin \left[\mathrm{\α}(l-b)\right]\·A_7\\ +e^{\mathrm{\α}(l-b)}\cos \left[\mathrm{\α}(l-b)\right]\·A_8-e^{-\mathrm{\α}(l-b)}\sin \left[\mathrm{\α}(l-b)\right]\·A_9-e^{-\mathrm{\α}(l-b)}\cos \left[\mathrm{\α}(l-b)\right]\·A_{10}\\ -e^{\mathrm{\α}(l-b)}\sin \left[\mathrm{\α}(l-b)\right]\·A_{11}-e^{\mathrm{\α}(l-b)}\cos \left[\mathrm{\α}(l-b)\right]\·A_{12}\\ =\frac{q_2+({\mathrm{\γ}}_{m1}-{\mathrm{\γ}}_{m2})d}{k}\end{array}---\left(28\right)$

e^-α(l-b)[-sinα(l-b)+cosα(l-b)]·A₅-e^-α(l-b)[sinα(l-b)+cosα(l-b)]·A₆(29)

+e^α(l-b)[sinα(l-b)+cosα(l-b)]·A₇+e^α(l-b)[-sinα(l-b)+cosα(l-b)]·A₈

-e^-α(l-b)[-sinα(l-b)+cosα(l-b)]·A₉+e^-α(l-b)[sinα(l-b)+cosα(l-b)]·A₁₀

-e^α(l-b)[sinα(l-b)+cosα(l-b)]·A₁₁-e^α(l-b)[-sinα(l-b)+cosα(l-b)]·A₁₂

＝0

$\begin{array}{c}-e^{-\mathrm{\αl}}\cos \left(\mathrm{\αl}\right)\·A_9+e^{-\mathrm{\αl}}\sin \left(\mathrm{\αl}\right)\·A_{10}+e^{\mathrm{\αl}}\cos \left(\mathrm{\αl}\right)\·A_{11}-e^{\mathrm{\αl}}\sin \left(\mathrm{\αl}\right)\·A_{12}\\ =\frac{m}{2{\mathrm{\α}}^2}\·{\left(\frac{2\mathrm{\π}}{L}\right)}^2\·\sin \frac{2\mathrm{\π}(l+s)}{L}\end{array}---\left(30\right)$

$\begin{array}{c}{e}^{-\mathrm{\αl}}[\sin \left(\mathrm{\αl}\right)+\cos \left(\mathrm{\αl}\right)]\·A_9+e^{-\mathrm{\αl}}[-\sin \left(\mathrm{\αl}\right)+\cos \left(\mathrm{\αl}\right)]\·A_{10}\\ +e^{\mathrm{\αl}}[-\sin \left(\mathrm{\αl}\right)+\cos \left(\mathrm{\αl}\right)]\·A_{11}-e^{\mathrm{\αl}}[\sin \left(\mathrm{\αl}\right)+\cos \left(\mathrm{\αl}\right)]\·A_{12}\\ =\frac{m}{2{\mathrm{\α}}^3}\·{\left(\frac{2\mathrm{\π}}{L}\right)}^3\·\cos \frac{2\mathrm{\π}(l+s)}{L}\end{array}---\left(31\right)$

采用消元法求解方程(20)～(31)，得到待定A₁，A₂，……，A₁₂的数值。将待定常数分别代入式(3)、(5)和(7)，得到各区段内的复合防护板基础的挠曲变形表达式y₁(x)、y₂(x)和y₃(x)。即复合板各截面位移函数；

求出复合板各截面位移函数后，即可根据等效弹性扁梁的截面弯矩与挠曲变形函数的微分关系式(32)，求得复合板基础各区间内相应截面的弯矩表达式分别如式(33)、(34)和(35)所示。

M＝EIy″(32)

这里，y″为各区段内挠曲变形函数y的二阶导数。

$\begin{array}{c}{M}_1=\mathrm{EI}\·2{\mathrm{\α}}^2{e}^{-\mathrm{\αx}}(A_2\sin \mathrm{\αx}-A_1\cos \mathrm{\αx})+\mathrm{EI}\·2{\mathrm{\α}}^2{e}^{\mathrm{\αx}}(A_3\cos \mathrm{\αx}-A_4\sin \mathrm{\αx})\\ -\mathrm{EI}\·m\·{\left(\frac{2\mathrm{\π}}{L}\right)}^2\sin \frac{2\mathrm{\π}(x+s)}{L}\end{array}---\left(33\right)$

$\begin{array}{c}{M}_2=\mathrm{EI}\·2{\mathrm{\α}}^2{e}^{-\mathrm{\αx}}(A_6\sin \mathrm{\αx}-A_5\cos \mathrm{\αx})+\mathrm{EI}\·2{\mathrm{\α}}^2{e}^{\mathrm{\αx}}(A_7\cos \mathrm{\αx}-A_8\sin \mathrm{\αx})\\ -\mathrm{EI}\·m\·{\left(\frac{2\mathrm{\π}}{L}\right)}^2\sin \frac{2\mathrm{\π}(x+s)}{L}\end{array}---\left(34\right)$

$\begin{array}{c}{M}_3=\mathrm{EI}\·2{\mathrm{\α}}^2{e}^{-\mathrm{\αx}}(A_{10}\sin \mathrm{\αx}-A_9\cos \mathrm{\αx})+\mathrm{EI}\·2{\mathrm{\α}}^2{e}^{\mathrm{\αx}}(A_{11}\cos \mathrm{\αx}-A_{12}\sin \mathrm{\αx})\\ -\mathrm{EI}\·m\·{\left(\frac{2\mathrm{\π}}{L}\right)}^2\sin \frac{2\mathrm{\π}(x+s)}{L}\end{array}---\left(35\right)$

步骤7：确定复合防护板基础的控制截面，分析沉陷盆地移动过程中截面弯矩的设计值，进行基础截面配筋计算和构造处理：

在完成挠曲函数表达式和截面弯矩函数表达式求解后，以跨中截面为控制截面，跨中截面指防护板基础的中间截面，控制截面是指在设计是已改截面的内力为最大值，决定整个防护板基础的钢筋计算值，求出防护板基础在沉陷盆地中不同位置时的截面最大弯矩值，这里的不同位置指的是平面位置，也就是不同的S的取值，并以当复合防护板基础处于盆地半长的0.25倍和0.75倍，也就是假定盆地板厂为L的话，那么0.25倍的位置为从最大下沉点往右0.25L的位置，0.75倍的位置为从最大下沉点往右0.75L的位置，在经典的采煤沉陷理论里，这两个点是最大曲率的作用点，正弯矩的较大值为复合防护板基础的控制弯矩设计值，正弯矩的较大值即0.25倍和0.75倍两个位置中的弯矩的较大值，肯定是整个板的最大值，但是弯矩有正负，对于两个位置，正负弯矩值各有大小，故取两者中较大值进行计算。以截面弯矩设计值进行等效梁截面的配筋计算，结合混凝土基础的构造要求，最终确定基础的截面配筋。

下面列举具体实施例对本发明进行说明：

实施例1：为验证上述模型和方法的可行性，选择某采煤沉陷区内输电铁塔的复合防护板进行计算。该采煤沉陷区内的最大地表沉陷值w₀＝2m，下沉盆地半盆地长L＝200m。输电铁塔的复合防护板的长度l＝20m，厚度h＝0.6m，上部独立基础边长b＝5m，基础埋深d＝3m。上部铁塔下传的等效线荷载q₁＝5kN/m。基础和覆土的加权平均容重γ_m1＝20kN/m³，填土容重γ_m2＝17kN/m³。基础混凝土弹性模量E＝2.55×10¹⁰Pa。地基系数取k＝3×10⁴kN/m³。

为便于分析和讨论当铁塔基础位于沉陷区内不同位置的受力和变形情况，本文将大板沿盆底移动方向划分为12段(每个区段内又各等分为4小段)，其控制截面布置和编号如图5所示。分别计算了当大板中心距离最大下沉点距离分别为0、L/8、2L/8、3L/8、4L/8、5L/8、6L/8、7L/8、L时的各控制点挠曲变形和弯矩值。其中对于距离为L的情况，实际计算的情况为大板最右端与沉陷区边界重合(此时实际距离最大下沉点水平距离为L-l)，而对于距离为0的情况实际取大板左端与最大下沉点重合即s为0。因此，对应的s取值分别为0m、15m、40m、65m、90m、115m、140m、165m和180m。

采用本发明提出的上述模型和求解方法对该防护板基础进行计算，得到了s取不同值时对应的待定常数A1～A12，见表1，待定常数A₁～A₁₂(板厚0.6m)。

表1

为验证上述解的正确性，以s＝0时的求解结果为例，将相应的待定常数分别代入式(3)、(5)和(7)，得到复合板的挠曲变形函数表达式，如式(36)～(38)所示。

$y_1=\left\{\begin{array}{c}{e}^{-0.357530x}(-0.000034\sin 0.357530x+0.000131\cos 0.357530x)\\ +e^{0.357530x}(-0.000034\sin 0.357530x+0.000008\cos 0.357530x)\\ +2.4997\×{10}^{-3}+1.0-0.005x+0.159153\sin \frac{\mathrm{\πx}}{100}\end{array}\right\}---\left(36\right)$

$y_2=\left\{\begin{array}{c}{e}^{-0.357530x}(-0.001181\sin 0.357530x-0.000137\cos 0.357530x)\\ +e^{0.357530x}(-0.000034\sin 0.357530x+0.000131\cos 0.357530x)\\ +1.8333\×{10}^{-3}+1.0-0.005x+0.159153\sin \frac{\mathrm{\πx}}{100}\end{array}\right\}---\left(37\right)$

$y_3=\left\{\begin{array}{c}{e}^{-0.357530x}(-0.000034\sin 0.357530x+0.000008\cos 0.357530x)\\ +e^{0.357530x}(0.001181\sin 0.357530x-0.000137\cos 0.357530x)\\ +2.4997\×{10}^{-3}+1.0-0.005x+0.159153\sin 0.03142x\end{array}\right\}---\left(38\right)$

然后，对大板基础的板底反力(取单位宽度1m)进行积分求和，求板底反力的合力，如式(39)所示。

$\mathrm{\Σ}\∫\mathrm{\σdx}=\underset{0}{\overset{b}{\∫}}{\mathrm{\σ}}_1\mathrm{dx}+\underset{b}{\overset{l-b}{\∫}}{\mathrm{\σ}}_2\mathrm{dx}+\underset{l-b}{\overset{l}{\∫}}{\mathrm{\σ}}_3\mathrm{dx}---\left(39\right)$

其中：和可分别由式(40)～式(42)求出。

$\begin{array}{c}\underset{0}{\overset{b}{\∫}}{\mathrm{\σ}}_1\mathrm{dx}\\ =k[-\frac{A_1}{2\mathrm{\α}}{e}^{-\mathrm{\αx}}(\sin \mathrm{\αx}+\cos \mathrm{\αx})-\frac{A_2}{2\mathrm{\α}}{e}^{-\mathrm{\αx}}(\cos \mathrm{\αx}-\sin \mathrm{\αx})+\frac{A_3}{2\mathrm{\α}}{e}^{\mathrm{\αx}}(\sin \mathrm{\αx}-\cos \mathrm{\αx})\\ +\frac{A_4}{2\mathrm{\α}}{e}^{\mathrm{\αx}}(\sin \mathrm{\αx}+\cos \mathrm{\αx})+\left(\frac{q_1+{\mathrm{\γ}}_{m1}\·d}{k}\right)\·x-\frac{L}{2\mathrm{\π}}(m-\frac{w_0}{2\mathrm{\π}})\cos \frac{2\mathrm{\π}(x+s)}{L}+C]{|}_0^b\\ =k[-\frac{A_1}{2\mathrm{\α}}{e}^{-\mathrm{\αb}}(\sin \mathrm{\αb}+\cos \mathrm{\αb})-\frac{A_2}{2\mathrm{\α}}{e}^{-\mathrm{\αb}}(\cos \mathrm{\αb}-\sin \mathrm{\αb})+\frac{A_3}{2\mathrm{\α}}{e}^{\mathrm{\αb}}(\sin \mathrm{\αb}-\cos \mathrm{\αb})\\ +\frac{A_4}{2\mathrm{\α}}{e}^{\mathrm{\αb}}(\sin \mathrm{\αb}+\cos \mathrm{\αb})+\left(\frac{q_1+{\mathrm{\γ}}_{m1}\·d}{k}\right)\·b-\frac{L}{2\mathrm{\π}}(m-\frac{w_0}{2\mathrm{\π}})\cos \frac{2\mathrm{\π}(b+s)}{L}\\ +\frac{A_1}{2\mathrm{\α}}+\frac{A_2}{2\mathrm{\α}}+\frac{A_3}{2\mathrm{\α}}-\frac{A_4}{2\mathrm{\α}}+\frac{L}{2\mathrm{\π}}(m-\frac{w_0}{2\mathrm{\π}})\cos \frac{2\mathrm{\πs}}{L}]\end{array}---\left(40\right)$

$\begin{array}{c}\underset{b}{\overset{l-b}{\∫}}{\mathrm{\σ}}_2\mathrm{dx}\\ =k[-\frac{A_5}{2\mathrm{\α}}{e}^{-\mathrm{\αx}}(\sin \mathrm{\αx}+\cos \mathrm{\αx})-\frac{A_6}{2\mathrm{\α}}(\cos \mathrm{\αx}-\sin \mathrm{\αx})+\frac{A_7}{2\mathrm{\α}}{e}^{\mathrm{\αx}}(\sin \mathrm{\αx}-\cos \mathrm{\αx})\\ +\frac{A_8}{2\mathrm{\α}}{e}^{\mathrm{\αx}}(\sin \mathrm{\αx}+\cos \mathrm{\αx})+\left(\frac{{\mathrm{\γ}}_{m2}\·d}{k}\right)\·x-\frac{L}{2\mathrm{\π}}(m-\frac{w_0}{2\mathrm{\π}})\cos \frac{2\mathrm{\π}(x+s)}{L}+C]{|}_b^{l-b}\\ =k\{-\frac{A_5}{2\mathrm{\α}}{e}^{-\mathrm{\α}(l-b)}[\sin \mathrm{\α}(l-b)+\cos \mathrm{\α}(l-b)]-\frac{A_6}{2\mathrm{\α}}{e}^{-\mathrm{\α}(l-b)}[\cos (l-b)-\sin \mathrm{\α}(l-b)]\\ +\frac{A_7}{2\mathrm{\α}}{e}^{\mathrm{\α}(l-b)}[\sin (l-b)-\cos (l-b)]+\frac{A_8}{2\mathrm{\α}}{e}^{\mathrm{\α}(l-b)}[\sin \mathrm{\α}(l-b)+\cos \mathrm{\α}(l-b)]\\ +\left(\frac{{\mathrm{\γ}}_{m2}\·d}{k}\right)\·(l-b)-\frac{L}{2\mathrm{\π}}(m-\frac{w_0}{2\mathrm{\π}})\cos \frac{2\mathrm{\π}(l-b+s)}{L}+\frac{A_5}{2\mathrm{\α}}{e}^{-\mathrm{\αb}}(\sin \mathrm{\αb}+\cos \mathrm{\αb})\\ +\frac{A_6}{2\mathrm{\α}}{e}^{-\mathrm{\αb}}(\cos \mathrm{\αb}-\sin \mathrm{\αb})-\frac{A_7}{2\mathrm{\α}}{e}^{\mathrm{\αb}}(\sin \mathrm{\αb}-\cos \mathrm{\αb})-\frac{A_8}{2\mathrm{\α}}{e}^{\mathrm{\αb}}(\sin \mathrm{\αb}+\cos \mathrm{\αb})\\ -\left(\frac{{\mathrm{\γ}}_{m2}\·d}{k}\right)\·b+\frac{L}{2\mathrm{\π}}(m-\frac{w_0}{2\mathrm{\π}})\cos \frac{2\mathrm{\π}(b+s)}{L}\}\end{array}---\left(41\right)$

$\begin{array}{c}\underset{l-b}{\overset{l}{\∫}}{\mathrm{\σ}}_3\mathrm{dx}\\ =k[-\frac{A_9}{2\mathrm{\α}}{e}^{-\mathrm{\αx}}(\sin \mathrm{\αx}+\cos \mathrm{\αx})-\frac{A_{10}}{2\mathrm{\α}}{e}^{-\mathrm{\αx}}(\cos \mathrm{\αx}-\sin \mathrm{\αx})+\frac{A_{11}}{2\mathrm{\α}}{e}^{\mathrm{\αx}}(\sin \mathrm{\αx}-\cos \mathrm{\αx})\\ +\frac{A_{12}}{2\mathrm{\α}}{e}^{\mathrm{\αx}}(\sin \mathrm{\αx}+\cos \mathrm{\αx})+\left(\frac{q_1+{\mathrm{\γ}}_{m1}\·d}{k}\right)\·x-\frac{L}{2\mathrm{\π}}(m-\frac{w_0}{2\mathrm{\π}})\cos \frac{2\mathrm{\π}(x+s)}{L}+C]{|}_{l-b}^l\\ =k\{-\frac{A_9}{2\mathrm{\α}}{e}^{-\mathrm{\αl}}(\sin \mathrm{\αl}+\cos \mathrm{\αl})-\frac{A_{10}}{2\mathrm{\α}}{e}^{-\mathrm{\αl}}(\cos \mathrm{\αl}-\sin \mathrm{\αl})+\frac{A_{11}}{2\mathrm{\α}}{e}^{\mathrm{\αl}}(\sin \mathrm{\αl}-\cos \mathrm{\αl})\\ +\frac{A_{12}}{2\mathrm{\α}}{e}^{\mathrm{\αl}}(\sin \mathrm{\αl}+\cos \mathrm{\αl})+\left(\frac{q_1+{\mathrm{\γ}}_{m1}\·d}{k}\right)\·l-\frac{L}{2\mathrm{\π}}(m-\frac{w_0}{2\mathrm{\π}})\cos \frac{2\mathrm{\π}(l+s)}{L}\\ +\frac{A_9}{2\mathrm{\α}}{e}^{-\mathrm{\α}(l-b)}[\sin \mathrm{\α}(l-b)+\cos (l-b)]+\frac{A_{10}}{2\mathrm{\α}}{e}^{-\mathrm{\α}(l-b)}[\cos \mathrm{\α}(l-b)-\sin \mathrm{\α}(l-b)]\\ -\frac{A_{11}}{2\mathrm{\α}}{e}^{\mathrm{\αx}}[\sin \mathrm{\α}(l-b)-\cos \mathrm{\α}(l-b)]-\frac{A_{12}}{2\mathrm{\α}}{e}^{\mathrm{\α}(l-b)}[\sin \mathrm{\α}(l-b)+\cos (l-b)]\\ -\left(\frac{q_1+{\mathrm{\γ}}_{m1}\·d}{k}\right)\·(l-b)+\frac{L}{2\mathrm{\π}}(m-\frac{w_0}{2\mathrm{\π}})\cos \frac{2\mathrm{\π}(l-b+s)}{L}\}\end{array}---\left(42\right)$

将本文算例的各项已知参数α、l、b、m、s、q₁、q₂、γ_m1、γ_m2、d和k等代入式(40)～(42)可求得防护板的基底反力的总和为：

Σ∫σdx＝332.41+565.57+330.74＝1229.72kN

而上部荷载的合力(1m宽度内)为：

Σ∫qdx＝1224.98kN

因此，采用本方法求得的基底反力合力与上部荷载合力的比值为：

$\frac{\mathrm{\Σ}\∫\mathrm{\σdx}}{\mathrm{\Σ}\∫\mathrm{qdx}}=\frac{\underset{0}{\overset{b}{\∫}}{\mathrm{\σ}}_1\mathrm{dx}+\underset{b}{\overset{l-b}{\∫}}{\mathrm{\σ}}_2\mathrm{dx}+\underset{l-b}{\overset{l}{\∫}}{\mathrm{\σ}}_3\mathrm{dx}}{\mathrm{\Σ}\∫\mathrm{qdx}}=\frac{1229.72}{1224.98}=1.004$

两者仅相差4‰，可见上述解满足静力平衡条件，这表明本文的求解方法是正确可信的。

求解结果：图6～图8分别示出了防护板位于沉陷区内不同位置时(即当s从0m到180m时)基础各截面竖向位移、各截面弯矩值和基底反力的分布情况。

由图7可知，在整个沉陷盆地的动态地表变形过程中，防护板基础受力将经历从负曲率到正曲率的变形过程，其中负曲率阶段应以靠近盆地边缘的独立基础内边缘处的大板截面为控制截面进行设计，而正曲率作用阶段应以复合板的跨中截面为控制截面进行设计。在整个动态地表变形阶段的设计内力应以负曲率阶段为最不利状况进行取值。同时，在整个地表变形过程中，大板弯矩经历正负交替变化的过程，因此大板应按上下双层钢筋布置方案进行基础结构设计，并以对称配筋截面为宜。

结论：上述算例的分析表面，本发明专利的计算结果是正确可信的，完全适用于采煤沉陷区内输电铁塔防护板基础的计算分析。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种采煤沉陷区输电铁塔复合防护板基础挠曲变形和截面弯矩的计算方法，其特征在于按照以下步骤进行：

步骤1：将采煤沉陷区输电铁塔的四边自由复合防护板基础简化为弹性地基上的单向等效梁；

步骤2：将上部铁塔的竖向荷载等效转换为作用在复合防护板基础上表面的竖向分布荷载，即把集中力换算为均布力：将单位宽度内复合防护板基础上方的独立基础和土体自重以及铁塔下传的竖向荷载，等效转换为单向等效梁上部的分段均布荷载，分段均布荷载各段计算公式为：

$q_{JC}=q_1+{\mathrm{\γ}}_{m1}\·d=\frac{F_{NV}}{b}+{\mathrm{\γ}}_{m1}\·d;$

q_kz＝γ_m2·d；

其中：q_JC—独立基础下方对应区段内的均布荷载，单位：kN/m；

q_KZ—独立基础之间的跨中区段内的均布荷载，单位：kN/m；

γ_m1、γ_m2—各区段内上部土体的等效容重，含混凝土独立基础自重，单位：kN/m³；

F_NV—上部铁塔的竖向作用力，单位：kN；

q₁—铁塔作用在基础底部的分段均布荷载，单位：kN/m；

b—上部独立基础的底阶宽度，单位：m；

d—独立基础埋深，单位：m；

步骤3：考虑地基与复合防护板基础的共同作用，建立采煤沉陷区内沉陷地基与复合防护板基础的协同作用简化计算模型——下沉曲线模型w(x)，其表达式为：

$w\left(x\right)=w_0(1-\frac{x+s}{L}+\frac{1}{2\mathrm{\π}}sin2\mathrm{\π}\frac{x+s}{L})$

其中：w(x)—沉陷盆地前进方向上与坐标原点的水平距离为x处的地表的下沉值，坐标原点即复合防护板的左端点，单位：m；

w₀—沉陷盆地的最大下沉值，单位：m；

L—下沉盆地的半盆地长，即盆地边界点与最大下沉点的水平距离，单位：m；

s—复合防护板左端距最大下沉点的水平距离，单位：m；

x—复合防护板任一截面到其左端截面的水平距离，单位：m；

步骤4：根据以上的采煤沉陷区内沉陷地基与复合防护板基础的协同作用简化计算模型，提出基础挠曲变形微分平衡方程：

基础挠曲变形微分平衡方程建立过程，由于复合防护板基础所受荷载情况从左往右分为3种情况，故分为3段进行求解：从x₀＝0到x₁＝b区段的复合防护板基础截面位移记为y₁(x)；x₁＝b到x₂＝l-b段记为y₂(x)；而x₂＝l-b到x₃＝l段记为y₃(x)；3段区间内由上部铁塔、独立基础和填土自重引起的沿x轴方向的分段均布荷载分别为q₁+γ_m1·d、γ_m2·d和q₁+γ_m1·d；

则在3个区段内，复合防护板基础在弹性地基上的变形微分方程及一般解可分别表示为：

1)x₀到x₁段：

$EI\frac{d^4{y}_1\left(x\right)}{{\mathrm{dx}}^4}+{\mathrm{ky}}_1\left(x\right)=(q_1+{\mathrm{\γ}}_{m1}\·bd)+{\mathrm{kw}}_0(1-\frac{x+s}{L}+\frac{1}{2\mathrm{\π}}\·sin2\mathrm{\π}\frac{x+s}{L})$

相应的y₁(x)一般解为：

$\begin{array}{c}{y}_1\left(x\right)=e^{-\mathrm{\α}x}\left(A_1\sin \mathrm{\α}x+A_2\cos \mathrm{\α}x\right)+e^{\mathrm{\α}x}\left(A_3\sin \mathrm{\α}x+A_4\cos \mathrm{\α}x\right)\\ +\frac{{\mathrm{\γ}}_{m2}d}{k}+w_0-\frac{w_0}{L}\left(x+s\right)+m\sin \frac{2\mathrm{\π}\left(x+s\right)}{L}\end{array}$

2)x₁到x₂段：

$EI\frac{d^4{y}_2\left(x\right)}{{\mathrm{dx}}^4}+{\mathrm{ky}}_2\left(x\right)={\mathrm{\γ}}_{m2}\·bd+{\mathrm{kw}}_0(1-\frac{x+s}{L}+\frac{1}{2\mathrm{\π}}\·sin2\mathrm{\π}\frac{x+s}{L})$

相应的y₂(x)的一般解为：

$\begin{array}{c}{y}_2\left(x\right)=e^{-\mathrm{\α}x}\left(A_5\sin \mathrm{\α}x+A_6\cos \mathrm{\α}x\right)+e^{\mathrm{\α}x}\left(A_7\sin \mathrm{\α}x+A_8\cos \mathrm{\α}x\right)\\ +\frac{{\mathrm{\γ}}_{m2}d}{k}+w_0-\frac{w_0}{L}\left(x+s\right)+m\sin \frac{2\mathrm{\π}\left(x+s\right)}{L}\end{array}$

3)x₂到x₃段：

$EI\frac{d^4{y}_3\left(x\right)}{{\mathrm{dx}}^4}+{\mathrm{ky}}_3\left(x\right)=(q_2+{\mathrm{\γ}}_{m1}\·bd)+{\mathrm{kw}}_0(1-\frac{x+s}{L}+\frac{1}{2\mathrm{\π}}\·sin2\mathrm{\π}\frac{x+s}{L})$

相应的y₃(x)的一般解为：

$\begin{array}{c}{y}_3\left(x\right)=e^{-\mathrm{\α}x}\left(A_9\sin \mathrm{\α}x+A_{10}\cos \mathrm{\α}x\right)+e^{\mathrm{\α}x}\left(A_{11}\sin \mathrm{\α}x+A_{12}\cos \mathrm{\α}x\right)\\ +\frac{q_2+{\mathrm{\γ}}_{m1}d}{k}+w_0-\frac{w_0}{L}\left(x+s\right)+m\sin \frac{2\mathrm{\π}\left(x+s\right)}{L}\end{array}$

上述各式中：

x—复合防护板任一截面到其左端截面的水平距离，单位：m；

x₀—复合防护板的左端点截面的x坐标值，单位：m；

x₁—与左侧独立基础的右边缘对应的复合防护板计算截面的x坐标值，左侧即靠近最大下沉点一侧，单位：m；

x₂—与右侧独立基础的左边缘对应的复合防护板计算截面的x坐标值，右侧即靠近沉陷盆地边界点一侧，单位：m；

x₃—复合防护板的右端点截面的x坐标值，单位：m；

L—下沉盆地的半盆地长，即盆地边界点与最大下沉点的水平距离，单位：m；

l—复合防护板沿着下沉盆地移动方向上的长度，单位：m；

s—复合防护板左端距最大下沉点的水平距离，单位：m；

A₁～A₁₂均为待定常数；

α，m—中间系数，

EI—单位宽度的复合防护板基础的等效截面抗弯刚度，单位：10⁶N·m²；

k—地基土体的抗力系数，单位：kN/m³；

γ_m1、γ_m2—各区段内上部土体的等效容重，含混凝土独立基础自重，单位：kN/m³；

F_NV—上部铁塔的竖向作用力，单位：kN；

q₁—铁塔作用在基础底部的分段均布荷载，单位：kN/m；

b—上部独立基础的底阶宽度，单位：m；

d—独立基础埋深，单位：m；

步骤5：结合采煤沉陷区内沉陷地基与复合防护板基础的协同作用简化计算模型需满足的边界条件，得到解的线性方程组；

步骤6：满足边界条件的情况下求解线性方程组，得到挠曲变形和截面弯矩的函数表达式：

复合防护板各区段内的挠曲变形表达式即为y₁(x)、y₂(x)和y₃(x)；

复合防护板各区间内相应截面弯矩表达式分别为：

$\begin{array}{c}{M}_1=EI\·2{\mathrm{\α}}^2{e}^{-\mathrm{\α}x}\left(A_2\sin \mathrm{\α}x-A_1\cos \mathrm{\α}x\right)+EI\·2{\mathrm{\α}}^2{e}^{\mathrm{\α}x}\left(A_3\cos \mathrm{\α}x-A_4\sin \mathrm{\α}x\right)\\ -EI\·m\·{\left(\frac{2\mathrm{\π}}{L}\right)}^2\sin \frac{2\mathrm{\π}\left(x+s\right)}{L}\end{array}$

$\begin{array}{c}{M}_2=EI\·2{\mathrm{\α}}^2{e}^{-\mathrm{\α}x}\left(A_6\sin \mathrm{\α}x-A_5\cos \mathrm{\α}x\right)+EI\·2{\mathrm{\α}}^2{e}^{\mathrm{\α}x}\left(A_7\cos \mathrm{\α}x-A_8\sin \mathrm{\α}x\right)\\ -EI\·m\·{\left(\frac{2\mathrm{\π}}{L}\right)}^2\sin \frac{2\mathrm{\π}\left(x+s\right)}{L}\end{array}$

$\begin{array}{c}{M}_3=EI\·2{\mathrm{\α}}^2{e}^{-\mathrm{\α}x}\left(A_{10}\sin \mathrm{\α}x-A_9\cos \mathrm{\α}x\right)+EI\·2{\mathrm{\α}}^2{e}^{\mathrm{\α}x}\left(A_{11}\cos \mathrm{\α}x-A_{12}\sin \mathrm{\α}x\right)\\ -EI\·m\·{\left(\frac{2\mathrm{\π}}{L}\right)}^2\sin \frac{2\mathrm{\π}\left(x+s\right)}{L}\end{array}$

步骤7：确定复合防护板基础的控制截面，分析沉陷盆地移动过程中截面弯矩的设计值，以截面弯矩设计值进行等效梁截面的配筋计算，结合混凝土基础的构造要求，最终确定基础的截面配筋。