Cairat (geometria) : Diferéncia entre lei versions
m Sovenhic a desplaçat la pagina Carrat (geometria) cap a Cairat (geometria) : La forma normala es "cairat", la forma "carrat" es un francisme desconselhat per Lafont e Alibèrt. |
|||
(16 revisions intermediàrias per 14 utilizaires pas afichadas) | |||
Linha 1 : | Linha 1 : | ||
{{Infobox |
|||
[[Imatge:Kvadrato.svg|thumb|Un carrat.]] |
|||
|tematica= |
|||
Un '''carrat''' (var. '''cairat''') es un [[poligòn regular]] de quatre costats. Aquò significa que los seus quatre [[costat]]s an la meteissa longor e los seus quatre [[angle]]s la meteissa mesura. Un carrat es a l'encòp un [[rectangle]] e un [[lausange]]. |
|||
|carta= |
|||
}} |
|||
[[Fichièr:Kvadrato.svg|thumb|Un cairat.]] |
|||
Un '''cairat'''<ref>La forma normala e classica es '''cairat'''. La forma ''carrat'' ven del francés ''carré'' e es desconselhada dins las òbras de Robèrt Lafont e Loís Alibèrt.</ref> es un [[poligòn regular]] de quatre costats. Aquò significa que los seus quatre [[costat]]s an la meteissa longor e los seus quatre [[angle]]s la meteissa mesura. Un cairat es a l'encòp un [[rectangle]] e un [[lausange]]. |
|||
Lo |
Lo cairat possedís fòrça proprietats de [[simetria]] e de regularitat. Tot cairat a quatre axes de simetria e es invariant per de [[rotacion]]s d'[[angle drech]]. Dos costats consecutius d'un cairat son perpendiculars, quitament las diagonalas. Aquelas proprietats son conegudas depuèi la mai nauta [[Antiquitat]]. Las primièras representacions del cairat datan de la [[preïstòria]]. Es, amb lo [[cercle]], l'una de las figuras geometricas remarcables mai estudiadas dempuèi l'Antiquitat, lo problèma de la [[quadratura del cercle]] apeteguèt fòrça matematicians pendent dos millennis. |
||
Lo « [[Carrat (algèbra)| |
Lo « [[Carrat (algèbra)|cairat]] d'un nombre » designa tanben lo [[multiplicacion|produch]] d'aquel nombre per el meteis. Es notat {{nobr|1=''a'' × ''a'' = ''a''<sup>2</sup>}} es vist coma la superfícia d'un cairat de costat lo nombre inicial. |
||
== Proprietats == |
== Proprietats == |
||
Lo |
Lo cairat es a l'encòp un [[lausange]] e un [[rectangle]], possedís doncas las proprietats d'aqueles dos [[quadrilatèr]]s. Pòt tanben èsser vist coma un [[poligòn regular]], çò que permet de desmostrar las seunas proprietats per deduccion d'aquelas d'aqueles poligòns. |
||
=== Angles e costats === |
=== Angles e costats === |
||
Un |
Un cairat possedís quatre [[angle drech|angles dreches]] (coma tot rectangle) e totes los seus costats an la meteissa longor (es un lausange). Los costats oposats d'un cairat son [[parallelisme (geometria)|parallèls]] dos a dos, çò que ne fa un cas particulièr de [[parallelograma]]. |
||
=== Diagonalas === |
=== Diagonalas === |
||
[[ |
[[Fichièr:Carre.svg|thumb|Un cairat notat ABCD amb las diagonalas.]] |
||
Coma |
Coma parallelograma particulièr, tot cairat possedís de [[diagonala]]s que se copan en lor mitan. Aquel punt d'interseccion es nomenat lo ''centre'' del cairat. Lo notam ''O''. |
||
Las diagonalas de tot rectangle — e doncas de tot |
Las diagonalas de tot rectangle — e doncas de tot cairat — an la meteissa longor. Doncas existís un cercle de centre ''O'' passant pels quatre vertèxes del cairat. Lo rai d'aquel cercle es egal a la longor d'una miègdiagonala. |
||
Las diagonalas de tot |
Las diagonalas de tot cairat son perpendicularas, coma aquelas de tot lausange. |
||
Cada diagonala partatge lo |
Cada diagonala partatge lo cairat en dos [[triangle]]s que son a l'encòp rectangles e isocèls. Ambedoas diagonalas delimitan dins lo cairat quatre triangles rectangles isocèls. |
||
=== Mesuras === |
=== Mesuras === |
||
Totes los |
Totes los cairats son [[similitud (geometria)|semblables]]. Aquò significa que, per dos cairats donats, existís totjorn un agrandiment (o una reduccion) permetent de transformar l'un en l'autre en conservant los angles geometrics e las proporcions. |
||
Se pòt doncas definir entièrament un |
Se pòt doncas definir entièrament un cairat per la longor ''c'' dels sèus costats. |
||
L'[[aira]] d'un |
L'[[aira]] d'un cairat es {{nobr|1=''c''×''c'' = ''c''<sup>2</sup>}}. Son [[perimètre]] mesura 4''c'' e cada [[diagonala]] mesura ''c''√2. |
||
Lo |
Lo cairat es, dentre los [[quadrilatèr]]s de meteisse perimètre, aquel que possedís la mai granda superfícia. Aquela figura es la responsa a la question d'[[isoperimetria]] dins los quadrilatèrs. |
||
{|class="wikitable" |
{|class="wikitable" |
||
!colspan=2|'''Dimensions d'un |
!colspan=2|'''Dimensions d'un cairat de costat ''c'' e de diagonala ''d''''' |
||
|- |
|- |
||
| Diagonala |
| Diagonala |
||
Linha 46 : | Linha 50 : | ||
== Simetrias == |
== Simetrias == |
||
Las [[isometria|transformacions]] daissant un |
Las [[isometria|transformacions]] daissant un cairat invariant son de dos tipes: |
||
* las [[simetria axiala|simetrias axialas]], que l'axe es o una diagonala del |
* las [[simetria axiala|simetrias axialas]], que l'axe es o una diagonala del cairat, o una [[mediatritz]] d'un costat; |
||
* las [[rotacion]]s que lo centre es lo centre del |
* las [[rotacion]]s que lo centre es lo centre del cairat e que l'angle es un multiple de l'angle drech. |
||
Vaquí la lista, son uèit e forman un [[grop (matematicas)|grop]] : |
Vaquí la lista, son uèit e forman un [[grop (matematicas)|grop]] : |
||
Linha 55 : | Linha 59 : | ||
{|class="wikitable" border="1" style="text-align:center; margin:0 auto .5em auto;" |
{|class="wikitable" border="1" style="text-align:center; margin:0 auto .5em auto;" |
||
|- |
|- |
||
| [[ |
| [[Fichièr:group D8 id.svg|140px]] <br /> id ([[foncion identitat|identitat]]: cada punt es conservat) || [[Fichièr:group D8 90.svg|140px]] <br /> r<sub>1</sub> (rotacion de 90° cap a drecha) || [[Fichièr:group D8 180.svg|140px]] <br /> r<sub>2</sub> (rotacion de 180°) || [[Fichièr:group D8 270.svg|140px]] <br /> r<sub>3</sub> (rotacion de 270° cap a drecha) |
||
|- |
|- |
||
| [[ |
| [[Fichièr:group D8 fv.svg|140px]] <br /> f<sub>v</sub> (capvirament vertical) || [[Fichièr:group D8 fh.svg|140px]] <br /> f<sub>h</sub> (capvirament orizontal)|| [[Fichièr:group D8 f13.svg|140px]] <br /> f<sub>d</sub> (capvirament seguent la primièra diagonala) || [[Fichièr:group D8 f24.svg|140px]] <br /> f<sub>c</sub> (capvirament seguent la segonda diagonala) |
||
|- |
|- |
||
|style="text-align:left" colspan=4 | Los elements del [[grop de simetria]] (D<sub>4</sub>). Los vertèxes son colorats e numerotats per visualizar las transformacions. |
|style="text-align:left" colspan=4 | Los elements del [[grop de simetria]] (D<sub>4</sub>). Los vertèxes son colorats e numerotats per visualizar las transformacions. |
||
|} |
|} |
||
Tota [[drecha (matematicas)|drecha]] passant per O divisa lo |
Tota [[drecha (matematicas)|drecha]] passant per O divisa lo cairat en doas partidas superposablas. |
||
== Construccion sonque al compàs == |
== Construccion sonque al compàs == |
||
[[ |
[[Fichièr:Square with compass only.svg|right|300px|Dessenh al compàs]] |
||
Se vòl construire lo |
Se vòl construire lo cairat de vertèxes ABCD coneissent sonque los punts A e B. Posam R la distància entre A e B; alara, procedèm atal: |
||
* traçam C<sub>1</sub> lo cercle de centre A e de rai R (que conten alara B)<br />⇒ sus aquel cercle, avèm un tresen punt del |
* traçam C<sub>1</sub> lo cercle de centre A e de rai R (que conten alara B)<br />⇒ sus aquel cercle, avèm un tresen punt del cairat; |
||
* traçam C<sub>2</sub> lo cercle de centre B e de rai R (que conten alara A)<br />⇒ sus aquel cercle, avèm lo quatren punt del |
* traçam C<sub>2</sub> lo cercle de centre B e de rai R (que conten alara A)<br />⇒ sus aquel cercle, avèm lo quatren punt del cairat; |
||
* Pausam G un punt d'interseccion de C<sub>1</sub> amb C<sub>2</sub>; construsèm alara lo punt I, simetric de B al repècte d'A: |
* Pausam G un punt d'interseccion de C<sub>1</sub> amb C<sub>2</sub>; construsèm alara lo punt I, simetric de B al repècte d'A: |
||
** traçam C<sub>3</sub> centrat en G e de rai <math>R</math> ; aquel cercle copa C<sub>1</sub> en B e en un autre punt H, |
** traçam C<sub>3</sub> centrat en G e de rai <math>R</math> ; aquel cercle copa C<sub>1</sub> en B e en un autre punt H, |
||
Linha 80 : | Linha 84 : | ||
== Istòria == |
== Istòria == |
||
[[ |
[[Fichièr:Ybc7289-bw.jpg|thumb|La taulèta d'argila [[YBC 7289]]: una fòrça anciana (prèp de 1700 AbC) representacion d'un cairat amb las seunas diagonalas e una valor aproximativa de √2 (credits: Bill Casselman).]] |
||
De terralhas ornadas de |
De terralhas ornadas de cairats son attestadas dempuèi lo [[Millenni VI abC]] en [[Mesopotamia]]<ref>David Fowler e Eleanor Robson{{en}}David Fowler e Eleanor Robson, « Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context », in Historia Mathematica, vol. 25, 1998, p. 366–378 [https://web.archive.org/web/20120906061637/http://www.hps.cam.ac.uk/people/robson/fowler-square.pdf estudi complèt de la taulèta]</ref>. |
||
De taulètas mòstran la coneissença de las simetrias e rotacions del |
De taulètas mòstran la coneissença de las simetrias e rotacions del cairat vèrs lo [[-XVIII|sègle XVIII]]. La taulèta BM 15285 conten una quarantena de problèmas matematics concernissent d'airas de figuras ligadas a de cairats<ref> id David Fowler e Eleanor Robson</ref>. |
||
== Vejatz tanben == |
== Vejatz tanben == |
||
Linha 91 : | Linha 95 : | ||
[[Categoria:Forma geometrica]] |
[[Categoria:Forma geometrica]] |
||
[[Categoria:Poligòn]] |
|||
[[af:Vierkant]] |
|||
[[als:Quadrat (Geometrie)]] |
|||
[[an:Quadrato]] |
|||
[[ar:مربع]] |
|||
[[arz:مربع]] |
|||
[[as:বৰ্গক্ষেত্ৰ]] |
|||
[[ast:Cuadráu]] |
|||
[[ay:Pusi k'uchuni]] |
|||
[[az:Kvadrat]] |
|||
[[bat-smg:Kvadrots]] |
|||
[[be:Квадрат]] |
|||
[[be-x-old:Квадрат]] |
|||
[[bg:Квадрат]] |
|||
[[bn:বর্গক্ষেত্র]] |
|||
[[br:Karrez]] |
|||
[[bs:Kvadrat]] |
|||
[[ca:Quadrat (polígon)]] |
|||
[[ckb:چوارگۆشە]] |
|||
[[crh:Murabba]] |
|||
[[cs:Čtverec]] |
|||
[[cv:Тăваткал]] |
|||
[[cy:Sgwâr]] |
|||
[[da:Kvadrat]] |
|||
[[de:Quadrat (Geometrie)]] |
|||
[[dsb:Kwadrat]] |
|||
[[el:Τετράγωνο]] |
|||
[[en:Square (geometry)]] |
|||
[[eo:Kvadrato (geometrio)]] |
|||
[[es:Cuadrado]] |
|||
[[et:Ruut]] |
|||
[[eu:Karratu]] |
|||
[[fa:مربع]] |
|||
[[fi:Neliö (geometria)]] |
|||
[[fr:Carré]] |
|||
[[frr:Kwadroot]] |
|||
[[ga:Cearnóg]] |
|||
[[gan:方形]] |
|||
[[gl:Cadrado]] |
|||
[[he:ריבוע]] |
|||
[[hi:वर्गाकार]] |
|||
[[hr:Kvadrat]] |
|||
[[hsb:Kwadrat]] |
|||
[[ht:Kare]] |
|||
[[hu:Négyzet]] |
|||
[[hy:Քառակուսի]] |
|||
[[id:Persegi]] |
|||
[[io:Quadrato]] |
|||
[[is:Ferningur]] |
|||
[[it:Quadrato]] |
|||
[[ja:正方形]] |
|||
[[jv:Pesagi]] |
|||
[[ka:კვადრატი]] |
|||
[[kk:Шаршы]] |
|||
[[km:ការ៉េ]] |
|||
[[ko:정사각형]] |
|||
[[ku:Çarçik]] |
|||
[[la:Quadrum]] |
|||
[[li:Veerkant]] |
|||
[[lo:ຮູບຈັດຕຸລັດ]] |
|||
[[lt:Kvadratas]] |
|||
[[lv:Kvadrāts]] |
|||
[[mg:Efa-joro]] |
|||
[[mk:Квадрат]] |
|||
[[ml:സമചതുരം]] |
|||
[[mn:Квадрат]] |
|||
[[mr:चौरस]] |
|||
[[ms:Segi empat sama]] |
|||
[[ne:वर्ग (आकार)]] |
|||
[[nl:Vierkant (meetkunde)]] |
|||
[[nn:Kvadrat]] |
|||
[[no:Kvadrat]] |
|||
[[os:Квадрат]] |
|||
[[pl:Kwadrat]] |
|||
[[pms:Quadrà]] |
|||
[[pnb:مربع]] |
|||
[[pt:Quadrado]] |
|||
[[qu:T'asra]] |
|||
[[ro:Pătrat]] |
|||
[[ru:Квадрат]] |
|||
[[rue:Квадрат (ґеометрія)]] |
|||
[[scn:Quatratu]] |
|||
[[sco:Squerr]] |
|||
[[sh:Kvadrat]] |
|||
[[simple:Square (geometry)]] |
|||
[[sk:Štvorec]] |
|||
[[sl:Kvadrat (geometrija)]] |
|||
[[sn:Tsazano]] |
|||
[[sr:Квадрат]] |
|||
[[su:Pasagi bener]] |
|||
[[sv:Kvadrat]] |
|||
[[sw:Mraba]] |
|||
[[szl:Kwadrat]] |
|||
[[ta:சதுரம்]] |
|||
[[th:รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส]] |
|||
[[tl:Parisukat]] |
|||
[[tr:Kare]] |
|||
[[tt:Квадрат]] |
|||
[[uk:Квадрат]] |
|||
[[ur:مربع (ہندسہ)]] |
|||
[[uz:Kvadrat]] |
|||
[[vec:Quadrato]] |
|||
[[vi:Hình vuông]] |
|||
[[vls:Vierkant]] |
|||
[[war:Kwadrado]] |
|||
[[yi:קוואדראט]] |
|||
[[yo:Alọ́poméjì]] |
|||
[[zh:正方形]] |
|||
[[zh-yue:正方形]] |
Version actuala en data del 2 julhet de 2024 a 22.16
Un cairat[1] es un poligòn regular de quatre costats. Aquò significa que los seus quatre costats an la meteissa longor e los seus quatre angles la meteissa mesura. Un cairat es a l'encòp un rectangle e un lausange.
Lo cairat possedís fòrça proprietats de simetria e de regularitat. Tot cairat a quatre axes de simetria e es invariant per de rotacions d'angle drech. Dos costats consecutius d'un cairat son perpendiculars, quitament las diagonalas. Aquelas proprietats son conegudas depuèi la mai nauta Antiquitat. Las primièras representacions del cairat datan de la preïstòria. Es, amb lo cercle, l'una de las figuras geometricas remarcables mai estudiadas dempuèi l'Antiquitat, lo problèma de la quadratura del cercle apeteguèt fòrça matematicians pendent dos millennis.
Lo « cairat d'un nombre » designa tanben lo produch d'aquel nombre per el meteis. Es notat a × a = a2 es vist coma la superfícia d'un cairat de costat lo nombre inicial.
Proprietats
[modificar | Modificar lo còdi]Lo cairat es a l'encòp un lausange e un rectangle, possedís doncas las proprietats d'aqueles dos quadrilatèrs. Pòt tanben èsser vist coma un poligòn regular, çò que permet de desmostrar las seunas proprietats per deduccion d'aquelas d'aqueles poligòns.
Angles e costats
[modificar | Modificar lo còdi]Un cairat possedís quatre angles dreches (coma tot rectangle) e totes los seus costats an la meteissa longor (es un lausange). Los costats oposats d'un cairat son parallèls dos a dos, çò que ne fa un cas particulièr de parallelograma.
Diagonalas
[modificar | Modificar lo còdi]Coma parallelograma particulièr, tot cairat possedís de diagonalas que se copan en lor mitan. Aquel punt d'interseccion es nomenat lo centre del cairat. Lo notam O. Las diagonalas de tot rectangle — e doncas de tot cairat — an la meteissa longor. Doncas existís un cercle de centre O passant pels quatre vertèxes del cairat. Lo rai d'aquel cercle es egal a la longor d'una miègdiagonala.
Las diagonalas de tot cairat son perpendicularas, coma aquelas de tot lausange.
Cada diagonala partatge lo cairat en dos triangles que son a l'encòp rectangles e isocèls. Ambedoas diagonalas delimitan dins lo cairat quatre triangles rectangles isocèls.
Mesuras
[modificar | Modificar lo còdi]Totes los cairats son semblables. Aquò significa que, per dos cairats donats, existís totjorn un agrandiment (o una reduccion) permetent de transformar l'un en l'autre en conservant los angles geometrics e las proporcions. Se pòt doncas definir entièrament un cairat per la longor c dels sèus costats.
L'aira d'un cairat es c×c = c2. Son perimètre mesura 4c e cada diagonala mesura c√2.
Lo cairat es, dentre los quadrilatèrs de meteisse perimètre, aquel que possedís la mai granda superfícia. Aquela figura es la responsa a la question d'isoperimetria dins los quadrilatèrs.
Dimensions d'un cairat de costat c e de diagonala d | |
---|---|
Diagonala | |
Costat | |
Perimètre | |
Aira |
Simetrias
[modificar | Modificar lo còdi]Las transformacions daissant un cairat invariant son de dos tipes:
- las simetrias axialas, que l'axe es o una diagonala del cairat, o una mediatritz d'un costat;
- las rotacions que lo centre es lo centre del cairat e que l'angle es un multiple de l'angle drech.
Vaquí la lista, son uèit e forman un grop :
id (identitat: cada punt es conservat) |
r1 (rotacion de 90° cap a drecha) |
r2 (rotacion de 180°) |
r3 (rotacion de 270° cap a drecha) |
fv (capvirament vertical) |
fh (capvirament orizontal) |
fd (capvirament seguent la primièra diagonala) |
fc (capvirament seguent la segonda diagonala) |
Los elements del grop de simetria (D4). Los vertèxes son colorats e numerotats per visualizar las transformacions. |
Tota drecha passant per O divisa lo cairat en doas partidas superposablas.
Construccion sonque al compàs
[modificar | Modificar lo còdi]Se vòl construire lo cairat de vertèxes ABCD coneissent sonque los punts A e B. Posam R la distància entre A e B; alara, procedèm atal:
- traçam C1 lo cercle de centre A e de rai R (que conten alara B)
⇒ sus aquel cercle, avèm un tresen punt del cairat; - traçam C2 lo cercle de centre B e de rai R (que conten alara A)
⇒ sus aquel cercle, avèm lo quatren punt del cairat; - Pausam G un punt d'interseccion de C1 amb C2; construsèm alara lo punt I, simetric de B al repècte d'A:
- traçam C3 centrat en G e de rai ; aquel cercle copa C1 en B e en un autre punt H,
- C4, de centre H e de rai R, copa C1 en G e en un nòu punt I;
- pausam S la distància entre G e I; construsèm alara C5 de centre I e de rai S (contien de segur G);
- C6 s'obten ne prenent per centre B e per rai S (conten de segur H); notam J lo punt d'interseccion entre C6 e C5 ques del meteis costat que G al repècte de la drecha (AB) ;
- se T es la distància entre A e J, construsèm C7 lo cercle de centre A e de rai T (conten de segur J)
⇒ Lo punt C es obtengut per interseccion entre C7 e C2 ; - construsèm alara C8 de centre C e de rai R
⇒ l'interseccion de C8 e C1 es lo punt D.
Istòria
[modificar | Modificar lo còdi]De terralhas ornadas de cairats son attestadas dempuèi lo Millenni VI abC en Mesopotamia[2].
De taulètas mòstran la coneissença de las simetrias e rotacions del cairat vèrs lo sègle XVIII. La taulèta BM 15285 conten una quarantena de problèmas matematics concernissent d'airas de figuras ligadas a de cairats[3].
Vejatz tanben
[modificar | Modificar lo còdi]Notas
[modificar | Modificar lo còdi]- ↑ La forma normala e classica es cairat. La forma carrat ven del francés carré e es desconselhada dins las òbras de Robèrt Lafont e Loís Alibèrt.
- ↑ David Fowler e Eleanor Robson(en)David Fowler e Eleanor Robson, « Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context », in Historia Mathematica, vol. 25, 1998, p. 366–378 estudi complèt de la taulèta
- ↑ id David Fowler e Eleanor Robson