Permittivitet

Permittivitet (latin: permittere = tillate, la gå gjennom) uttrykker hvor mye et dielektrisk materiale lar seg polarisere av et elektrisk felt. Tidligere ble denne størrelsen omtalt som «dielektrisitetskonstant», men dette navnet er man nå gått bort fra.

Det er i dag vanlig å betegne permittiviteten med den greske bokstaven ε. Ved bruk av måleenhetene i SI-systemet skrives den som

${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}$

hvor ε₀ er den elektriske konstanten og det dimensjonsløse tallet ε_r  kalles den «relative permittiviteten». Det er den som inneholder informasjon om materialets fysiske egenskaper.

Tidligere mente man at det tomme rom eller vakuumet også var et slags medium eller materiale som ble kalt for eter. Den elektriske konstanten gikk derfor også under navnet «vakuumpermittiviteten». Begrepet elektrisk permittivitet ble innført av Oliver Heaviside rundt 1880 i analogi med magnetisk permeabilitet som William Thomson hadde innført noen år tidligere.^[1]

Den relative permittiviteten til forskjellige materialer spiller en viktig rolle i praktiske anvendelser av elektromagnetisk teori og optikk. Moderne elektronikk benytter komponenter med spesielle, dielektriske egenskaper som enklest kan illustreres ved konstruksjon av kondensatorer og lignende, elektriske kretselement.^[2]

Gasser og væsker kan polariseres av elektriske felt og vil derfor ha en viss permittivitet. Den statiske verdien for vann er spesiell høy og tilsvarer ε_r  = 79. Dette er en grunn til at denne væsken har en slik viktig rolle i naturen og mange kjemiske sammenhenger. Disse stoffene er vanligvis transparente slik at lys kan gå gjennom dem. De har en brytningsindeks n  som er gitt ved kvadratroten av ε_r . Da for eksempel vann har n = 1.3, betyr det at den relative permittiviteten må være avhengig av frekvensen til det elektriske feltet. Denne effekten ligger også bak dispersjon i optikken og er derfor grunnen til at regnbuer oppstår.^[3]

Et konstant, elektrisk felt skapes av elektriske ladninger i ro. Hvis de er beskrevet ved en ladningstetthet ρ, skaper de et elektrisk forskyvningsfelt D som kan beregnes fra Gauss' lov ∇⋅D = ρ. Det virker på atomene og molekylene i et materiale og gi opphav til et resulterende, elektrisk feltet E. Er materialet homogent og isotropt, defineres dets permittivitet ved sammenhengen

${\displaystyle \mathbf {E} ={\mathbf {D} \over \varepsilon }={\mathbf {D} \over \varepsilon _{0}}\cdot {1 \over \varepsilon _{r}}}$

Den første faktoren her representerer det elektriske feltet som ville forefinnes uten materiale. Da polarisasjonen av dets bestandeler virker i motsatt retning av det ytre feltet D, vil E-feltet reduseres som betyr at den relative permittiviteten ε_r  > 1. Typiske verdier ligger mellom 1 og 10.

Et uttrykk for polarisasjonen P av materialet kan finnes ved skrive den relative permittiviteten som

${\displaystyle \varepsilon _{r}=1+\chi _{e}}$

hvor det dimensjonsløse tallet χ_e  kalles for den elektriske susceptibiliteten til materialet. Dermed er

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} (1+\chi _{e})=\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }$

når dets polarisjon defineres som ${\displaystyle \mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} }$. Den beskriver hvordan materialet responderer på det elektriske feltet som går gjennom det.^[4]

Når det ytre feltet D varierer med tiden, vil også det elektriske feltet E i materialet variere på samme måte. Denne variasjonen er enklest å beskrive når tidsvariasjonen er periodisk med en fast vinkelfrekvens ω som for elektromagnetisk stråling. Det elektriske feltet vil da variere som den reelle delen av E(t) = E(ω)e ^-iωt når man beskriver en slik bølge på kompleks form. Det vil gi opphav til en frekvensavhengig permittivitet ε(ω) er definert ved

${\displaystyle \mathbf {D} (\omega )=\varepsilon (\omega )\mathbf {E} (\omega )}$

Den statiske permittiviteten er da ε = ε(0). Hvordan den forandrer seg med økende frekvens, avhenger helt av de atomære egenskapene til materialet. Direkte målinger viser at den vanligvis langsomt blir mindre, men kan også øke igjen over kortere frekvensinterval. Dette skjer ved at det påtrykte feltet virker på molekylene i materialet og etterhvert også på elektronene som de inneholder. En del av energien i det påtrykte feltet kan derved absorberes av materialet.^[3]

Formelt kan det beskrives ved at permittiviteten går fra å være et reelt tall til et komplekst tall. For frekvenser som tilsvarer synlig lys, betyr det at brytningsindeksen får et imaginært bidrag. Den frekvensavhengige permittiviteten skriver man derfor generelt som ${\displaystyle \varepsilon (\omega )=\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}(\omega )}$. Den relative permittiviteten er nå

${\displaystyle \varepsilon _{r}(\omega )=\varepsilon _{1}(\omega )+i\varepsilon _{2}(\omega )}$

hvor ε₁  er den reelle og ε₂  den imaginære delen. De vil inngå i den komplekse brytningsindeksen

${\displaystyle n(\omega )={\sqrt {\varepsilon _{r}(\omega )}}=n_{1}(\omega )+in_{2}(\omega )}$

hvor n₁  og n₂  kan uttrykkes ved ε₁  og ε₂. Den imaginære delen sier hvor raskt den påtrykte strålingen avtar innover i materialet på grunn av absorpsjon.

Begge disse frekvensavhengige funksjonene kan beregnes utfra en detaljert kjennskap til materialets oppbygning. Den eldste og mest kjente fremgangsmåten er basert på Lorentz-oscillatoren hvor man antar at elektronene i molekylene er bundet med harmoniske krefter og kan beskrives ved klassisk fysikk. Mer realistisk må man benytte kvantemekanikk, men kommer likevel frem til resultat for permittiviteten som har mange likhetspunkter med hva denne enkle modellen gir.^[5]

En kompleks verdi for permittiviteten til et materiale kan mange ganger forklares ved at det har en viss elektrisk ledningsevne σ. Et elektrisk felt vil da gi opphav til en strømtetthet J = σ E. Denne kommer i tillegg til Maxwells forskyvningsstrøm som inngår i Ampères sirkulasjonslov

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\partial \mathbf {D} \over \partial t}}$

for magnetfeltet H. Det elektriske forskyvningsfeltet er D = ε₀ε_∞ E hvor størrelsen ε_∞ er den relative permittiviteten som ikke skyldes at materialet er elektrisk ledende. Nå er den tidsderiverte ∂E/∂t = - iω E slik at denne Maxwell-ligningen tar den nye formen

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {H} =\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}(\omega ){\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$

hvor

${\displaystyle \varepsilon _{r}(\omega )=\varepsilon _{\infty }+{\frac {i\sigma }{\varepsilon _{0}\omega }}}$

er en effektiv, kompleks permittivitet som materialet nå har på grunn av dets ledningsevne. I mange sammenhenger er det vanskelig å skille denne delen fra andre effekter som bidrar til absorpsjon av stråling.^[5]

Avhengig av hva et materiale består av, vil det ofte polariseres lettere i en retning enn i andre retninger. Det er da anistropt og polariseringen P vil ikke lenger være parallell med det elektriske feltet E. Det gjelder derfor også for forskyvningsfeltet D hvor dets komponenter nå må skrives på den mer generelle formen

${\displaystyle D_{i}=\varepsilon _{ix}E_{x}+\varepsilon _{iy}E_{y}+\varepsilon _{iz}E_{z}}$

Permittiviteten til materialet må derfor i utgangspunktet angis ved 3×3 = 9 komponenter ε_ik. Men bruk av Maxwells ligninger og kravet om at den totale, elektromagnetiske energien skal være konstant, krever at komponentene er symmetriske på den måten at ε_ik = ε_ki. Andre egenskaper følger av krystallstrukturen til materialet.^[6]

Komponentene til permittiviteten kan grupperes i en 3×3 symmetrisk matrise. Den har generelt tre egenverdier ε_x, ε_y og ε_z som tilsvarer brytningsindekser i tre forskjellige hovedretninger. De optiske egenskapene til slike materialer blir derfor spesielt kompliserte og studeres innen krystalloptikken. Det enkleste og mest kjente fenomen her er dobbeltbrytning.^[7]

• Kondensator

• Youtube, What is a Dielectric?
• H. Föll, Electronic Materials: Dielectrics, forelesninger ved Universitetet i Kiel