Stokes’ teorem

Stokes' teorem sier hvordan et linjeintegral rundt en lukket kurve kan omskrives som et flateintegral over en flate som ligger innenfor denne kurven:

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {l} =\int _{S}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot d\mathbf {a} }$

Her er kurven C randen til flaten S, matematisk uttrykt som C = ∂ S. Det kan være nyttig å bruke teoremet begge veier.

Et eksempel på bruk er innen elektromagnetismen hvis en vil omskrive Faradays induksjonslov fra integralform til differensialform:

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =-\ {\partial \over \partial t}\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {a} }$

gir ved Stokes' teorem:

${\displaystyle \int _{S}(\nabla \times \mathbf {E} )\cdot d\mathbf {a} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {a} }$

Derivasjonsoperatoren på tid i det siste uttrykket kan settes på innsiden av integraltegnet siden tida er uavhengige av arealet:

${\displaystyle \int _{S}(\nabla \times \mathbf {E} )\cdot d\mathbf {a} =-\int _{S}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {a} }$

Ettersom integralet er helt likt på begge sider, kan integrasjonsoperatorene fjernes:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$

Vi har her fått Faradays lov på differensialform.

• Divergensteoremet