Hill-sfære

En Hill-sfære er volumet rundt et himmellegeme, eksempelvis en planet, der legemet gravitasjonelt dominerer attraksjonen av satellitter, over andre større himmellegemer, eksempelvis en stjerne, som den selv befinner seg i en omløpsbane rundt. For at en planet skal beholde en måne må månen således ha en bane som ligger innenfor planetens Hill-sfære. Månen har i sin tur en egen Hill-sfære og hvert objekt innenfor denne avstanden vil kunne bli satellitter til månen, snarere enn til selve planeten.

Med andre ord tilnærmes Hill-sfæren den gravitasjonelle sfæren der den har større gravitasjonell påvirkning på et mindre objekt sammenlignet med et annet større objekt. Dette ble definert av den amerikanske astronomen George William Hill, basert på arbeid av den franske astronomen Édouard Roche. Derfor kalles Hill-sfæren også for Roche-sfæren.

Som illustrasjon kan man betrakte det spesifikke tilfellet med planeten Jupiter som kretser rundt Solen. For hvert punkt i rommet kan man beregne summen av følgende tre krefter:

gravitasjon på grunn av Solen
gravitasjon på grunn av Jupiter
sentrifugalkraften som oppleves av en partikkel som ved et slikt punkt beveger seg rundt Solen med samme frekvens som Jupiter.

Hill-sfæren for Jupiter er det største området, med Jupiter i sentrum, der summen av de tre kreftene alltid er rettet mot Jupiter. Mer generelt er det sfæren rundt et sekundærlegeme i en bane rundt et primærlegeme hvor nettokraften er en sentripetalkraft rettet mot sekundærlegemet. Dermed beskriver Hill-sfæren i vårt eksempel den ytre grensen der et enda mindre objekt, eksempelvis en måne eller en kunstig satellitt, kan befinne seg i en stabil omløpsbane rundt Jupiter, snarer enn at bare havne i en egen elliptisk bane rundt Solen.

Hill-sfæren strekker seg mellom lagrange-punktene L₁ og L₂ som ligger langs linjen gjennom de to legemenes sentrum. Regionen av gravitasjonell dominans for det andre legemet er minst i den retningen og fungerer dermed som den begrensende faktroen for størrelsen på Hill-sfæren. Utenfor denne avstanden vil et tredje objekt i en bane rundt det andre (for eksempel Jupiter) tilbringe i det minste en del av sin omløpsbane utenfor Hill-sfæren og ville suksessivt forstyrres av tidevannskreftene fra det sentrale objektet (for eksempel Solen) og etterhvert legge seg i en bane direkte rundt dette.

Roche-sfæren bør ikke forveksles med Roche-lobe og Roche-grensen som også ble beskrevet av Roche. Roche-grensen er den avstanden hvor et objekt som holdes sammen kun av tyngdekraften begynner å gå i oppløsning på grunn av tidevannskrefter. Roche-lobe beskrive de grensene hvor et objekt i bane rundt to objekter vil bli fanget av det ene eller det andre.

Formler og eksempel

Om massen på det mindre legemet (for eksempel jorden) er m og det befinner seg i en bane rundt et tyngre legeme (for eksempel Solen) med massen M og med en store halvakse a og en eksentrisitet e blir radien r på Hill-sfæren for det mindre legemet cirka

r\approx a(1-e){\sqrt[{3}]{\frac {m}{3M}}}

^[1]

Om eksentrisiteten er ubetydelig (det mest tilfellet for stabiliteten i banen) blir det

r\approx a{\sqrt[{3}]{\frac {m}{3M}}}

I eksempelet med jorden (5,97×10²⁴ kg) kretser den rundt Solen (1,99×10³⁰ kg) i en avstand på 149,6 millioner kilmeter. Hill-sfæren for jordens strekker seg altså ut til ca 1,5 millioner kilometer (0,01 AU). Månens omløpsbane, i en avstand av 0,384 millioner kilometer fra jorden, befinner seg altså med god margin innenfor området for jordens Hill-sfære og risikerer derfor ikke å bli dratt inn i en selvstendig bane rundt Solen. Regnet i omløpstid må alle stabile satellitter rundt jorden ha en kortere omløpstid enn syv måneder.

Den tidligere formelen (der eksentrisitet ikke tas hensyn til) kan skrives som følger:

3{\frac {r^{3}}{a^{3}}}\approx {\frac {m}{M}}

Dette uttrykker forholdet når det gjelder volumet på Hill-sfæren sammenlignet med volumet på det andre legemets bane rundt den første. Mer spesifikt er forholdet av massene tre ganger forholdet mellom disse to sfærene.

En rask måte å beregne radiusen på Hill-sfæren kan er ved å erstatte massen med tettheten i ligniingen over:

{\frac {r}{R_{sek}}}\approx {\frac {a}{R_{prim}}}{\sqrt[{3}]{\frac {\rho _{sek}}{3\rho _{prim}}}}\approx {\frac {a}{R_{prim}}}

der $\rho _{prim}$ og $\rho _{sek}$ er tetthetene på henholdsvis det primære og det sekundære legemet, og ${\frac {r}{R_{prim}}}$ og ${\frac {r}{R_{sek}}}$ er deres radier. Den andre tilnærmingen begrunnes av det faktum at for de fleste tilfeller i solsystemet bruker ${\sqrt[{3}]{\frac {\rho _{sek}}{3\rho _{prim}}}}$ bli tilnærmet én (Jorden-månen er det største unntaket). Dette er praktisk fordi mange forskere i planetarisk astronomi arbeider med og husker avstanden i enheter av planeters radier.

Den egentlige regionen med stabilitet

Hill-sfæren er i praksis bare en tilnærming og andre krefter (som strålingstrykk eller Jarkovski-effekten) kan til slutt forstyrre et objekt ut av sfæren. Dette tredje objektet bør også ha en såpass liten masse at ingen ytterligere kompikasjoner oppstår på grunn av dens egen gravitasjon. Detaljerte numeriske beregninger viser at baner ved eller rett innenfor Hill-sfæren ikke er stabile på lang sikt; Det virker som at stabile satellittbaner kun finnes innenfor 1/2 til 1/3 av Hill-radiusen. Regionen av stabilitet for retrograd omløpsbane på stor avstand fra det primære legemete er større enn området for direkte omløpsbane på stor avstand fra det primære legemet. Dette ble ansett å forklaer overvekten av retrograde måner rundt Jupiter, dog har Saturn en jevnere blanding av måner med retrograd og direkte bevegelse hvor årsakene synes være mer kompliserte.^[2]

Flere eksempel

En astronaut kan ikke kretse rundt sitt eget romskip (med en masse på 104 tonn) der banen er 300 km over jorden ettersom Hill-sfæren kun er 120 cm i radius, noe som er mye mindre enn romferjen i seg selv. Faktisk må alle sfæriske objekt i en lav omløpsbane rundt jorden (der romskipene ferdes) ha en densitet omkring 800 ganger høyere enn bly for å romme i sin egen Hill-sføre, ellers kommer objektet ikke til å kunne støtte en omløpsbane. En sfæriske satellitt i geostasjonær omløpsbane vil trenge mer enn 5 ganger større densitet enn bly for å støtte sin egen satellitt, noe som tilsvarer 2,5 ganger osmiums densitet, det tyngste naturlig forekomne grunnstoffet på jorden. Bare ved to ganger den geostasjonære avstanden kan en sfære av bly muligens støtte sin egen satellitt. Ettersom månen er tre ganger lengre unna enn den avstanden som trengs for månens densitet (tre ganger den geostasjonære avstanden) er omløpsbaner rundt månen mulige.

Innen solsystemet er planeten med den største Hill-radien Neptun med 116 millioner km (0,775 AU). Den store avstanden fra Solen kompenserer mer en kompenserer for den lave massen i forhold til Jupiter (hvis Hill-radie er 53 millioner km). En asteroide fra asteroidebeltet kan ha en Hill-sfære opp mot 220 000 km (for 1 Ceres), men dette avtar raskt med massen på asteroiden. For asteroiden (66391) 1999 KW₄, en Merkurkryssende astroide som har månen (S/2001 (66391) 1), er Hill-sfæren kun 22 km i radius.

Utledning

En ikke-streng, men begrepsmessig korrekt utledning av Hill-radien kan gjøres ved å sette likhetstegn mellom omløpshastigheten av et objekt rundt et tyngre legeme (for eksempel en planet) og omløpshastigheten til planeten rundt stjerneverten. Dette er den radien der gravitasjonskraften fra stjernen er omtrent like stor som den fra planeten.