Euklids Elementer

Elementer (gresk: Στοιχεῖα, Stoikheia) er et læreverk i matematikk skrevet av grekeren Euklid omkring 300 f.Kr. Euklid ledet en skole i Alexandria, anagelig tilknyttet biblioteket i Alexandria. De 13 bøkene i verket er en grunnleggende innføring i geometri, både plan- og romgeometri, samt tallteori.

Den systematiske oppbyggingen av læreverket, med bruk av postulater, definisjoner, setninger og bevis, har hatt svært stor betydning for all senere matematikk. Elementer er blitt karakterisert som «den største og mest betydningsfulle lærebok i matematikk som er skrevet»^[1] og som «den mest innflytelsesrike lærebok gjennom tidene»^[2]. Verket og kommentarverk er gitt ut på en lang rekke språk over hele verden. I den vestlige verden er det antagelig bare Bibelen som har blitt distribuert videre og studert nøyere.^[1]

Elementer ble bevart i fragmenter på originalspråket og i arabiske oversettelser. I europeisk kultur ble verket gjenintrodusert i middelalderen, ved oversettelse fra arabisk til latin. Oversettelsene fikk stor betydning for revitaliseringen av matematikk i middelalderen. Verket fikk også betydning for utvikling av logikk og filosofi. Gjennom de følgende århundrene er verket blitt spredd i et utall oversettelser og bearbeidelser. På 1800-tallet førte studiet av Elementer til en fornying av det aksiomatiske grunnlaget for geometri. Det ble også oppdaget at det er mulig å definere flere alternative geometrier.

På tross av den store betydningen til Elementer er svært lite kjent om Euklid. Mesteparten av kunnskapen kommer fra Det eudemiske sammendraget til Proklos, skrevet over 700 år etter at Euklid levde. Sammendraget er basert på et eldre verk, Geometriens historie av Eudemos, et verk som er gått tapt. Proklos er ikke kjent med nøyaktige leveår for Euklid, men relaterer ham i tid til andre kjente greske personer. Ut fra dette er det anslått at Euklid levde omkring 300 f.Kr., kanskje fra omkring 325 f.Kr. til ca. 265 f.Kr.^[3][4]

Proklos framstiller Euklid som platoniker, og Euklid har antagelig fått opplæring av elever av Platon i Athen. Platon la stor vekt på hypoteser og definisjoner.^[5] Elementer er imidlertid ikke påvirket av den metafysiske tenkningen til Platon, som betraktet geometriske former som fundamentale byggesteiner i universet. Verket er mer preget av logikk-læren til Aristoteles.^[6]

Fra Pappos er det kjent at Euklid virket i Alexandria og dannet en skole i matematikk der. Euklid var kjent som en god pedagog, men han er ikke selv blitt tillagt nye matematiske resultater.^[7] Euklid store bidrag er at han har samlet materiale, systematisert det og gitt det en helhetlig form. Proklos skriver i Det eudemiske sammendraget at «... Euklid, som satte sammen Elementer, samlet mange av teoremene til Eudoksos, perfeksjonerte resultatene til Teaetetos og viste også på en ugjendrivelig måte resultater som forgjengere bare hadde vært vist løselig».^[8] Eudoksos har fått æren for teorien om forholdstall, som er gjengitt i Elementer bind V. Teaetetos er tillagt materialet i bind X, om inkommensurable lengder.

Ifølge Proklos er det Ptolemaiois I som skal ha spurt Euklid om det finnes en enklere vei for å lære geometri enn gjennom Elementer, hvorpå Euklid skal ha svart at «det er ingen kongelig vei til geometri».

Euklid skrev også flere andre verk, både i matematikk, i optikk og i astronomi. Mangel på biografiske kilder har fått enkelte til å spekulere i om Euklid ikke er en historisk person, men at navnet har vært et pseudonym som har vært benyttet av flere matematikere fra Alexandria. En annen hypotese er at personen Euklid har ledet en gruppe matematikere som alle har bidratt til verkene. Et argument for begge disse teoriene er en variasjon i skrivestil som en kan finne i verkene etter Euklid. En slik variasjon er imidlertid ikke uvanlig også fra en og samme forfatter, og tilhengerne av disse teoriene er i mindretall.^[3][4]

Det greske navnet på Elementer er Stoikheia,^[9] et ord som kunne brukes både om «bokstaver i alfabetet», «geometriske former» og «byggesteiner».^[10] Grunnformen av ordet hadde betydning «en i en rekke».^[11] Bokstavene i alfabetet ble kalt «stoikheia» fordi de hadde en viss rekkefølge og orden.^[12] I omtalen av Elementer sier Proklos at verket forholder seg til resten av matematikken på samme måte som bokstavene i alfabetet forholder seg til språk.^[7]

Platon brukte ordet «stoikheia» ofte, som en betegnelse på grunnleggende kosmologiske elementer som bygger opp alle ting.^[10]

Flere grekere før Euklid hadde gitt ut læreverk i matematikk, og noen av disse hadde også brukt tittelen Elementer. Disse verkene er imidlertid tap og kun kjent gjennom senere omtale. Den første kjente forfatteren av Elementer er Hippokrates fra Khíos.^[13][14] Andre kjente forfattere som har brukt samme tittel, er Leon og Teudios.^[15]

Euklid er ofte omtalt som stoikheiotes istedenfor ved navn, det vil si som «elementator» eller «forfatter av Elementer».^[16]

På norsk er verket blitt omtalt både som Elementer^[3][17][18] og som Elementene^[19]. Noen presentasjoner bruker begge titler side om side.^[20]

Elementer består av 13 bind eller bøker, i referanser ofte nummerert med romertall.

Bruken av grunnbegreper i læreverket er farget av vitenskapslæren til Aristoteles, som skilte skarpt mellom postulater og bruk av «allmenn innsikt» eller aksiomer. Aksiomer var betraktet som selvinnlysende utsagn, som alle ville være enig i, gyldig i alle vitenskaper. Postulater kunne være mindre opplagte og gjorde ikke krav på allmen aksept, men ble tatt som forutsetning i en gitt undersøkelse eller i en gitt vitenskap.^[21] Bind I blir som oftest framstilt som å inneholde fem postulater og fem «allmenne innsikter».^[22][23][24] De eldre kildene er imidlertid ikke konsistente om dette, og noen kilder grupperer alle ti sammen. I dagens matematikk er det ikke vanlig å skille mellom «postulater» og «aksiomer».^[21]

Hoveddelen av verket består av setninger eller teoremer, med tilhørende bevis. Gresk matematikk skilte mellom analyse og syntese: I analyse blir et komplekst problem brutt ned til kjente elementer, mens syntese går ut på å utlede nye resultater fra kjente og beviste setninger. Elementer er helt og fullt gjennomført basert på syntese.^[25] Verket inkluderer figurer, men ellers er formen verbal, uten bruk av ligninger eller formler.

Elementer har verken forord eller innledning. Første bind går rett på sak med 23 definisjoner, der de tre første er slik:

1. Et punkt er det som ikke har noen del.
2. En linje er en lengde uten bredde.
3. Starten og slutten på en linje er punkter.

En linje trenger ikke være rett, men blir betraktet som endelig, det vi i dag omtaler som et linjestykke. Fortsettelsen inkluderer definisjon av vinkler, både rette, spisse og stumpe. En sirkel blir definert, med sentrum og diameter. En av definisjonene inkluderer et teorem tillagt Tales fra Milet, om at diameteren deler sirkelen i to. Trekanter blir også presentert, inkludert spesielle trekanter som likesidet, likebeint og rettvinklet. Firkantene kvadrat, rektangel, rombe og trapes er definert, men ikke parallellogrammet.

I bind I har Euklid til en viss grad bygd på definisjoner kjent fra Platons skole, men har også reformulert noen av disse. Et par av definisjonene er antatt å være laget av Euklid selv.

Bind VI definerer for eksempel formlike figurer. Bind X definerer kommensurable og inkommensurable størrelser.

Gresk geometri hadde ingen definisjoner av lengde, areal eller volum, og det ble ikke knyttet tallverdier til slike størrelser. Et spørsmål som «hva er arealet av en sirkel» ville derfor ikke gi mening i gresk geometri. Derimot kunne en sammenligne to størrelser av samme type, for eksempel ved å definere forholdet mellom to areal.^[26]

Respekt for tradisjonen viser seg ved at Euklid tar med enkelte definisjoner som ikke blir brukt videre i verket. Dette gjelder for eksempel definisjonen av en rombe.^[27]

De fem grunnleggende postulatene er gitt i bind I:^[28][29]

1. Mellom to punkter kan det trekkes en entydig linje.
2. En linje kan forlenges vilkårlig i hver retning.
3. Rundt hvert punkt kan beskrives en sirkel med en vilkårlig radius.
4. Alle rette vinkler er like store.
5. Hvis en rett linje skjærer to rette linjer slik at summen av de indre vinklene på samme side er mindre enn to rette vinkler, da skjærer de to rette linjene hverandre på den siden hvor de indre vinklene befinner seg, når linjene forlenges vilkårlig langt.

Postulat 4 er ofte omtalt som et teorem, men trengs som et postulat for at innholdet i postulat 5 skal ha mening.^[27]

Postulat 5 er det berømte parallellpostulatet. Parallelle linjer er introdusert i den siste definisjonen i bind I, men postulatet er formulert uten å nevne slike linjer. Postulatet gir et vilkår for at to linjer ikke er parallelle.

Thomas Heath mener at formuleringen av både det fjerde og det femte postulatet, muligens alle fem, må komme fra Euklid selv.^[27]

De fem «allmenne innsiktene» eller aksiomene i Elementer er, i oversettelse fra engelsk:^[30]

1. Ting som er lik samme ting, er også like hverandre.
2. Dersom likt blir lagt til likt, så er det hele også likt.
3. Dersom likt blir tatt fra likt, så er resten også likt.
4. Ting som er sammenfallende, er like.
5. Det hele er større enn hver enkelt del.

Thomas Heath påpeker at aksiom 4 er knyttet til geometri og derfor ikke helt i samsvar med Aristoteles definisjon av aksiomer, som allmenne sannheter. Etter Heaths mening er det sannsynlig at de to siste aksiomene ikke er laget av Euklid, men er lagt til verket i ettertid.^[27]

Hvert bind inneholder en rekke setninger eller teoremer som stegvis bygger på hverandre, med tilhørende bevis for hver setning. Referanse til en setning blir i dag vanligvis gitt ved numeret på bindet og setningsnummeret. Pytagoras’ læresetning er for eksempel gitt i slutten av bind I, som setning I.47.

Til en setning skulle det høre «data», det vil si former og objekter som var «gitt». Tilsvarende starter en i dag ofte geometriske problem med utsagn av typen «Gitt en rett linje og en sirkel med sentrum som ikke ligger på linjen». Euklid drøfter i et annet verk, Data, hva som ligger i at data er «gitt».^[31] Dette verket ligger tett opp til de fire første bøkene i Elementer.

Der det har vært nødvendig for sammenhengen, har Euklid konstruert nye bevis, hvis rekkefølgen i verket har gjort at kjente bevis ikke har fungert. Beviset for Pytagoras’ setning er antagelig konstruert av Euklid selv.^[32]

De første fire bindene inneholder plageometri. Storparten av materialet i bind I og II var kjent fra pytagoreerne.^[33] Teorien i bind III og VI var kjent fra Hippokrates' tid. Siden formlike trekanter blir introdusert først i bind VI, så er alle bevisene gjennomført uten bruk av teori for formlikhet.

Et produkt av to størrelser ble i gresk geometri alltid behandlet som et areal. Geometrisk algebra var etter pytagoreerne en form for geometri og aritmetikk for areal. Behandling av areal var helt grunnleggende i gresk matematikk og opptrer for eksempel i beviset for Pytagoras’ læresetning. Til en gitt lengde ${\displaystyle a}$ kunne en definere produktet ${\displaystyle a^{2}}$, som arealet av et kvadrat konstruert med ${\displaystyle a}$ som sidelengde. Grekerne sammenlignet aldri et areal med en lengde, og en ligning som ${\displaystyle x^{2}=a}$ ville derfor ikke gitt greske matematikere mening.

• Bind I: Postulatene og aksiomene som presenteres i bind I, er felles for alle de 13 bøkene. Bindet inneholder grunnleggende plangeometri, med setninger for linjer, vinkler, trekanter og firkanter. Setning I.32 viser for eksempel at vinkelsummen i en trekant er lik to rette vinkler. Bindet avsluttes med den pytagoreiske læresetningen I.47 og det omvendte teoremet I.48.
• Bind II: Geometrisk algebra. Her vises en rekke setninger som vi i dag vil uttrykke med algebra, for eksempel kvadratsetningene. Setning II.11 gir en geometrisk løsning til ligningen ${\displaystyle x^{2}+ax=a^{2}}$. Setningene II.12 og II.13 er geometriske former for cosinussetningen, for henholdsvis en spissvinklet og stumpvinklet trekant.
• Bind III: Grunnleggende geometri for sirkler. Setning III.31 svarer til Tales’ teorem om en rett vinkel i en halvsirkel. De to siste setningene behandler et punkts potens med hensyn på en sirkel.
• Bind IV: Setninger om innskrevne og omskrevne sirkler til trekanter og til regulære polygoner med 4, 5, 6 og 15 sider.

Tall som vi i dag omtaler som rasjonale tall eller brøker ble av grekerne behandlet geometrisk, som et forhold mellom to linjestykker eller to areal. En proporsjon er likhet mellom to eller flere tallforhold og kan for eksempel uttrykkes i dagens formspråk som

${\displaystyle a:b=A:B\ .}$

Størrelsene ${\displaystyle a}$ og ${\displaystyle b}$ må være av samme type (heltall, linjestykke, areal, volum), men trenger ikke være av samme type som ${\displaystyle A}$ og ${\displaystyle B}$.

• Bind V: Teori for proporsjoner, ofte tilskrevet Eudoksos. Thomas Heath skriver at «gresk geometri kan ikke skryte av noen finere enn denne teorien».^[1] Teorien er gjeldende for alle typer størrelser, både rette linjer, areal, volum eller heltall, så lenge størrelsene som inngår er av samme type.
• Bind VI: Bindet bruker teorien i fra bind V til plangeometri. Her defineres likedannede eller formlike figurer. Geometrisk algebra brukes til å finne løsning på generelle former for kvadratiske ligninger. Løsningene er alltid begrenset til å være positive størrelser.

Tre bøker omhandler elementær tallteori. Platon omtaler slik tallteori for «aritmetikk», en bruk av ordet som ikke samsvarer med moderne definisjon av aritmetikk.^[34] Grekerne skilte mellom tallteori (aritmetikk) og beregning med tall, omtalt som «logistikk». I logistikk studerte en addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon av heltall. De tre bøkene omtales som «de aritmetiske bøkene i Elementer».

For Euklid var et tall alltid et positivt heltall. I definisjonene i bind VII er 1 ikke regnet som et tall, men som en grunnleggende enhet.

• Bind VII: Grunnleggende tallteori. Innledningsvis defineres blant annet partall og oddetall, primtall og sammensatte tall. Et plant tall er et tall som kan skrives som et produkt av to tall, mens et romlig tall er et produkt av tre tall. Setning VII.2 beskriver det som i dag kalles Euklids algoritme for å beregne største felles divisor for to heltall. Algoritmen var kjent lenge før Euklid.^[35]
• Bind VIII: Konstruksjon av geometriske følger. Også dobbelte proporsjoner blir behandlet, slik som ${\displaystyle a:b=c:d=e:f}$.
• Bind IX: Bruker resultatene fra bind VII og VIII. Setning IX.14 gir en form av aritmetikkens fundamentalteorem, som sier at en primtallsfaktorisering av et vilkårlig tall alltid er entydig. Om setningen er helt samsvarende med fundamentalteoremet eller gir et noe svakere resultat, er omdiskutert.^[36] Setning IX.20 sier at antall primtall er uendelig. Setning IX.35 gir et uttrykk for summen av et endelig antall ledd i en geometrisk følge. Den siste setningen IX.36 viser hvordan en kan finne perfekte tall.

Thomas Heath beskriver bok X sm den mest bemerkelsesverdige av alle de 13 bindene og den boka som er mest perfekt i form. Carl Boyer skriver også at dette var den boka som var mest fryktet.^[37] Boka omhandler inkommensurable størrelser, svarende til irrasjonale tall. Innholdet i bindet er hele tiden i en geometrisk form. Oppdagelsen av de første tilfellene av inkommensurable størrelser skal ha vært gjort av pytagoreerne, og antagelig var en lengde svarende til ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ den første som ble oppdaget.^[38] Teodors fra Kyrene viste at størrelser svarende til tallene ${\displaystyle {\sqrt {3}},{\sqrt {5}},...,{\sqrt {17}}}$ er inkommensurable. Æren for det mer generelle innholdet i bind X er i hovedsak gitt Teaetetos.^[39]

Bok X starter med å legge grunnlaget for det som i dag betegnes som ekshausjonsbevis^[40] eller «utfyllingsprinsippet»^[41]. Dette er en bevisform hvor en kontinuerlig størrelse, en lengde, et areal eller et volum, blir tilnærmet med stadig mindre enheter. For eksempel kan en sirkel tilnørmes med regulære mangekanter av stadig høyere orden. En slik prosess ligger nært opp til en moderne uendelig grenseprosess. For grekerne var det imidlertid alltid en prosess som ble avsluttet med en rest, etter et endelig antall steg.^[42]

I bok X er det videre drøftet linjer som (i moderne notasjon) kan konstrueres som uttrykk av typen

${\displaystyle a\pm {\sqrt {b}}\qquad {\sqrt {a}}\pm {\sqrt {b}}\qquad {\sqrt {a\pm {\sqrt {b}}}}\qquad {\sqrt {{\sqrt {a}}\pm {\sqrt {b}}}}\ ,}$

når ${\displaystyle a}$ og ${\displaystyle b}$ er to kommensurable størrelser. Hver enkelt form er i Elementer gitt sitt eget navn.

De tre bøkene XI, XII og XIII drøfter geometri i tre dimensjoner. Arkimedes gir Eudoksos æren for å ha vært den første som beregnet volumet av en kjegle og en pyramide.^[43]

• Bind XI: Definisjonene i dette bindet gjelder alle tre bindene om romgeometri. Her defineres blant annet romlige legemer, en normal til et plan, vinkelen mellom plan og romvinkler. Mange av setningene i bindet er paralleller til setninger i plangeometri gitt i bind I og IV. Boka drøfter også formlike parallellepiped.
• Bind XII: Beregning av volum av ulike romlegemer, som kjegle og pyramide, ved hjelp av utfyllingsprinsippet. Dette prinsippet blir også brukt til å vise at forholdet mellom arealet av to sirkler er lik forholdet mellom kvadratet av diameterne.
• Bind XIII: Konstruksjon av de fem platonske legemene inne i en kuleflate.

Den følgende tabellen gir en oversikt over innholdet i Euklids Elementer.

Bok	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII	XIII	Sum
Definisjoner	23	2	11	7	18	4	22	-	-	16	28	-	-	131
Postulater	5	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	5
Allmenne innsikter	5	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	5
Setninger	48	14	37	16	25	33	39	27	36	115	39	18	18	465

To ekstra bind XIV og XV ble i middelalderen tillagt Elementer, men i dag er det kjent at disse to er apokryfer, antageligvis skrevet av henholdsvis Hypsikles og Isidoros fra Milet.^[44] Hypsikles levde i den andre århundre før Kristus, mens Isidoros levde i det femte århundre etter Kristus. Begge de to apokryfe bindene omhandler romgeometri.

Ingen originalversjon av Elementer er bevart. Biblioteket i Alexandria, der Euklid virket, ble ødelagt under ulike stridigheter og kriger en gang før år 300 e.Kr. Da verket ble reintrodusert i europeisk kultur, omkring 1100 e.Kr., ble oversettelsene til latin basert på arabiske tekster. Det er også funnet fragmenter av ulike versjoner av Elementer samt kommentarverk på gresk. Teon fra Alexandria (ca. 335-405 e.Kr.) reviderte Elementer, både språklig og innholdsmessig. I revisjonen fyller han ut steg i bevisene og ga alternative bevis. Det er Teons versjon som er bevart i de fleste greske fragmentene vi i dag har at verket. En stor utfordring for ettertiden har vært å rekonstruere Elementer, slik en tror Euklid laget verket.

En rekke greske forfattere skrev kommentarverk til Elementer, inkludert Heron, Pappos, Porfyrios, Proklos og Simplicius.^[1] Noen av disse er skolia, det vil si verk med kommentarer plassert i margen. Den første romerske kilden som nevner Euklid er Cicero, men antagelig var ikke Elementer oversatt til latin på dette tidspunktet, da teoretisk geometri ikke vekte særlig interesse blant romerne.

Noen eldre kilder hevder at Boëthius (ca. 480-525) oversatte Euklid til latin. Det geometriske verket som i dag er kjent etter Boëthius, er imidlertid høyst sannsynlig satt sammen fra flere kilder på 1100-talet. Verket inneholder et fåtall deler av de fire første bindene av Elementer, uten noen av bevisene. Tegn tyder på at den som laget sammensetningen, kan ha hatt tilgang til eldre oversettelser til latin, av uvisst opphav.^[45]

Til den arabiske verden kom Elementer som en følge av kontakten med østromerriket. Kalif Al-Mansur (regjeringstid 754-775) skal ha vært den første som fikk en utgave.^[46] I Bagdad var Visdommens hus et bibliotek, et verksted for oversettelser og et senter for vitenskap, opprettet av abbasidene. Et stort antall manuskripter på gresk, hebraisk og syrisk ble oversatt til arabisk. Svært viktig for oversettelser av matematiske verk ble Thābit ibn Qurra (826-901), som ledet en gruppe av oversettere i Bagdad. I tillegg til å få laget svært gode oversettelser, leverte han også egne bidrag i matematikk, for eksempel et alternativt bevis for Pytagoras' setning I.47.^[47] Noen av de arabiske oversettelsene av greske manuskripter er bevarte i dag.

I Europa ble matematikk lenge neglisjert, inntil interessen våknet opp igjen i middelalderen. Den engelske munken Adelard fra Bath (ca.1075-1160) er den første vi kjenner til som oversatte Elementer til latin, og innslag av arabiske ord i oversettelsen viser at kilden må ha vært arabiske manuskript. Hovedkanalene for utveksling mellom den muslimske verden og Europa var gjennom Spania, Sicilia og Øst-Europa, men det er ikke kjent i detalj hvordan Adelard kom i kontakt med muslimsk kultur. Italieneren Gerard fra Cremona (ca. 1114-1187) arbeidet i Toledo i Spania, og han laget en ord-for-ord oversettelse av en revidert utgave av Thābit ibn Qurras arabiske versjon av Elementer. En tredje oversettelse ble laget av Johannes Campanus (ca. 1220-1296).^[48]

Verket Practica geometriae av Leonardo Fibonacci er fra 1220, og innholdet er delvis basert på Elementer, men også flere andre greske verk.^[49]

Den første trykte utgaven av Elementer ble gitt ut i Venezia i 1482, av Erhard Ratdolt.^[50] Denne var basert på oversettelsen til Johannes Campanus. Hvordan Ratdolt greide å trykke figurene, er ikke kjent med sikkerhet. Andre utgaver ble gitt ut i 1486 i Ulm i Tyskland og i 1491 i Vicenza i Italia. Siden disse første versjonene, er det gitt ut over tusen utgaver av verket.^[2]

Som den viktigste oversettelsen av Elementer til latin, regnes utgaven til Federico Commandino. Denne oversettelsen kom ut i Italia i 1572. Verket var basert på både greske or arabiske tekster. I tillegg til eldre merknader inneholdt denne utgaven også kommentarer fra Commandino selv.^[50]

En fullstendig utgave på engelsk kom første gang i 1570, i oversettelse av Henry Billingsley. En viktig oversettelse til latin ble utført av Isaac Barrow i 1655, fulgt av en engelsk versjon i 1660. Barrow var professor ved universitetet i Cambridge.

François Peyrard (1760-1822) oversatte Elementer til fransk. Under arbeidet fant Peyrard i Vatikanet en versjon av Elementer som ikke inneholdt Teons revisjoner. Det er antatt at denne versjonen er eldre enn Teons. Versonen er i dag omtalt bare som «P», til ære for finneren.^[51]

Den italienske misjonæren Matteo Ricci oversatte på begynnelsen av 1700-tallet deler av Elementer til kinesisk, fra en latinsk versjon. Tidlig på 1800-tallet ble det også laget en versjon på sanskrit, basert på en arabisk versjon.^[52]

En nyere oversettelsen til engelsk ble gjort av Thomas Heath, gitt ut første gang i 1908.

Da de første universitetene ble grunnlagt i middelalderen, ble studiet av matematikk svært ofte en del av undervisningen. I de frie kunstene som var grunnlag for undervisningen, inngikk aritmetikk og geometri. Euklids Elementer ble en ofte brukt lærebok. Hvor mye som krevdes, kunne variere fra universitet til universitet.

For mange stoppet undervisningen etter ganske få setninger. Den femte setningen I.5 (om vinkler i en likebeint trekant) er noe foraktelig blitt kalt pons asinorum, latin for «eselbroen». Denne setningen ble betraktet av mange studenter som siste hindring i studiet av matematikk. Robert Bacon brukte også navnet «elefuga» og «fuga miserorum» om setningen, fra latin fuga («flukt») og gresk elegia («misere, tristhet»), altså «flukten fra miseren».^[53]

Undervisning basert på Elementer ble gitt i Wien (grunnlagt 1365), Heidelberg (1386) og i Køln (1388). Wien krevde gjennomgang av første bind for lavere grad, men de fem første bindene for å få lisens til å undervise. I Paris ble undervisning i geometri på 1300-tallet neglisjert, mens ved universitetet i Praha ble det til den høyere graden krevd at en hadde gjennomgått de seks første bindene av Elementer. I Oxford, midt på 1500-tallet, var studiet av de to første bindene obligatorisk.^[53]

Isaac Newton begynte på universitetet i Cambridge i 1661, 18 år gammel. Han skal ha kjøpt sin første utgave av Elementer i 1663, men begynte å studere verket for alvor først i 1664, et år som regnes som svært viktig for Newtons utvikling som vitenskapsmann. Han skal først ha tatt lett på lesingen, for mange av resultatene syntes ham banalt riktige. En historie forteller at Isaac Barrow eksaminerte Newton i Elementer og konkluderte med at studenten manglet kunnskap om emnet. Newton tok opp lesingen på nytt, med større grundighet, og han skal ha blitt spesielt påvirket av bind II, V, VII og X. Newtons sekretær fortalte at han aldri hadde hørt Newton le, bortsett fra den ene gangen da han ble spurt om en kunne ha nytte av å studere Elementer. Da Newton døde, arvet slektninger boksamlingen etter ham. Deler av samlingen ble solgt på auksjon i 1920 som «diverse bøker», uten at selgeren forsto verdien av bøkene. Newtons utgave av Barrows' Elementer, med håndskrevne kommentarer, ble solgt for fem shilling!^[54][55]

Joachim Frederik Ramus (1685-1769) var norsk-født og professor i matematikk ved universitetet i København. I 1737 fikk han utgitt de seks første bøkene av Elementer på latin, til undervisningsformål. Et nytt opplag kom ut i 1740.^[56]

Geometri basert på postulatene i Elementer er i dag kalt euklidsk geometri. Innholdet i Elementer er i planet begrenset til studiet av punkt, linjer og sirkler, mens det i dag ikke ligger noen begrensning hvilke typer objekter en studerer i euklidsk geometri. I tradisjonen etter Euklid har en skilt mellom elementær geometri (punkt, linjer, sirkler) og høyere geometri (kjeglesnitt, transendentale kurver).^[57] Geometrisk konstruksjon er i elementær geometri begrenset til kun å omfatte konstruksjoner som lar seg gjennomføre med passer og linjal. Disse hjelpemidlene kan også bare brukes i overensstemmelse med Euklids postulater og kalles da euklidske hjelpemidler. Detaljer om hvordan disse reglene kom til å bli etablert er ikke kjent, men de ble praktisert før Euklid virket. Tradisjonen har knyttet opphavet til Platon, men det er tegn på at reglene var i bruk også før Platon.^[58][59] Platon mente at linjer og sirkler var mer ideelle objekter en andre typer kurver.

Euklids fire første postulater ble lenge betraktet som selvinnlysende. Det femte postulatet, parallellpostulatet, skapte imidlertid hodebry og kontroverser. Mange matematikere var misfornøyd med dette postulatet og forsøkte enten å finne alternative formuleringer eller å bevise det ved hjelp av de fire første postulatene. Både Ptolemaios og Proklos forsøkte å finne et slikt bevis. Under dette arbeidet ble det oppdaget mange alternative formuleringer av det femte postulatet.^[60] En ofte brukt formulering ble først gitt av Proklos og kalles i dag Playfairs aksiom, etter den skotske matematikeren John Playfair.

Elementer fikk svært stor betydning for overføring av gresk matematikk til resten av Europa og for revitaliseringen av matematikk i middelalderen. Men begrensningene som er innebygget i verket var kanskje også et hinder for videreutvikling av nyere matematiske retninger. Carl Boyer spekulerer i om kanskje noen av Euklids verker som i dag er tapt, har hatt større betydning for utvikling av analytisk geometri, for eksempel Porismata og Flatepunkter.^[61] Analytisk geometri er basert på bruk av koordinater, mens koordinatfri geometri - slik som en finner det i Elementer - omtales som syntetisk geometri eller ren geometri. Da infinitesimalregning ble introdusert på slutten av 1600-tallet, hadde mange matematikere motforestillinger, blant annet fordi en mente at teorien stod i strid med innholdet i Elementer.^[62].

Ettertiden har erkjent at grunnlaget som Euklid la for geometri, ikke er tilstrekkelig rigorøst, verken i definisjonene, postulatene eller aksiomene. For å rette på dette, er det foreslått flere moderne versjoner av grunnlaget for euklidsk geometri, blant annet av David Hilbert i 1899.^[63]

Geometri var lenge synonymt med euklidsk geometri. På 1800-tallet ble det innsett at det femte postulatet ikke er en absolutt sannhet. Det er mulig å definere geometrier både ved å utelate parallellpostulatet og ved å erstatte det med alternativ. Geometri basert kun på Hilberts aksiomer, uten parallellpostulatet, kalles nøytral geometri eller absolutt geometri. Ved å erstatte parallellpostulatet med alternativ, kan en definere ikke-euklidske geometrier.^[63]

• Carl B.Boyer (1968). A history of mathematics. Princeton, USA: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-691-02391-3. 
• Thomas Heath (1981). A history of Greek mathematics. I og II. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-24073-8. 
• Audun Holme (2008). Matematikkens historie. 1 og 2. Bergen: Fagbokforlaget. ISBN 978-82-450-0697-1. 
• Audun Holme (2002). Geometry. Our cultural heritage. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-41949-7. 
• M. Kline (1972). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-506135-7. 

• «Byrne's Euclid» (på engelsk). Nicholas Rougeux. Besøkt 18. april 2021.  Nettutgave av Oliver Byrnes Euclid fra 1847
• «Euclid, Elements» (på engelsk). Perseus Digital Library. Besøkt 18. april 2021.  Nettutgave av T.Heaths Euclid, uten figurer
• «Euclid's Elements» (på engelsk). David E. Joyce, Clark University. Besøkt 23. april 2021.  Med figurer
• «Euclidis Elementa» (på svensk). Project Runeberg. Besøkt 23. april 2021. 
• «Euclid, Elements» (på gresk). Perseus Digital Library. Besøkt 18. april 2021.  Nettutgave av J.L-Heibergs Euclid, uten figurer