Taylorrekkje

Taylorrekkjer av ein reell eller kompleks funksjon ƒ(x) som er uendeleg differensierbar i omgjevnaden til ein reelt eller komplekst tal a, er ei potensrekkje som i ei meir kompakt form kan skrivast:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}}$ 

der n! står for fakultetsverdien til n og ƒ ⁽ⁿ⁾(a) står for n-te deriverte av ƒ vurdert i punktet a; den nullte deriverte av ƒ er definert til å vere ƒ sjølv og (x − a)⁰ og 0! er begge definerte til å vere 1.

I spesialtilfellet der a = 0 vert rekkna òg kalla ei maclaurinrekkje.

Maclaurinrekkje for alle polynom er polynomet sjølv.

Maclaurinrekkje for (1 − x)⁻¹ er den geometriske rekkja.

${\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots \!}$ 

så Taylorrekkjene for x⁻¹ ved a = 1 er

${\displaystyle 1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots .\!}$ 

Ved å integrere maclaurinrekkja over finn vi maclaurinrekkja for −log(1 − x), der log er den naturlege logaritmen.

${\displaystyle x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots \!}$ 

og den tilsvarande taylorrekkja for log(x) ved a = 1 er

${\displaystyle (x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\cdots .\!}$ 

Taylorrekkja for eksponentialfunksjonen e^x ved a = 0 er

${\displaystyle 1+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \quad =\quad 1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots .\!}$ 

Utvidinga over er gyldig fordi den deriverte av e^x er lik e^x og e⁰ er lik 1. Dette gjev att leddet (x − 0)ⁿ i teljaren og n! i nemnaren for kvart ledd i den uendelege summen.

Her er ei liste over fleire viktige maclaurinrekkjer. Alle desse utvidingane er gyldige for komplekse argument x.

Eksponentialfunksjonen:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots {\text{ for alle }}x\!}$ 

Naturleg logaritme:

${\displaystyle \ln(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}{\text{ for }}|x|\leq 1,\,x\not =1}$ 

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}{\text{ for }}|x|\leq 1,\,x\not =-1}$ 

Endeleg geometrisk rekkje:

${\displaystyle {\frac {1-x^{m+1}}{1-x}}=\sum _{n=0}^{m}x^{n}\quad {\mbox{ for }}x\not =1{\text{ og }}m\in \mathbb {N} _{0}\!}$ 

Uendeleg geometrisk rekkje:

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}{\text{ for }}|x|<1\!}$ 

Variantar av uendelege geometriske rekkjer:

${\displaystyle {\frac {x^{m}}{1-x}}=\sum _{n=m}^{\infty }x^{n}\quad {\mbox{ for }}|x|<1{\text{ og }}m\in \mathbb {N} _{0}\!}$ 

${\displaystyle {\frac {x}{(1-x)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n}\quad {\text{ for }}|x|<1\!}$ 

Kvadratrot:

${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^{2}4^{n}}}x^{n}{\text{ for }}|x|<1\!}$ 

Binomrekkje (inkluderer kvadratrota for α = 1/2 og den uendelege geometriske rekkja for α = −1):

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}\quad {\mbox{ for alle }}|x|<1{\text{ og alle komplekse }}\alpha \!}$ 

med generaliserte binomkoeffisientar

${\displaystyle {\alpha \choose n}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}.\!}$ 

Trigonometriske funksjonar:

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ for alle }}x\!}$ 

${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ for alle }}x\!}$ 

${\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}$ 

der B_s er Bernoullital.

${\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}$ 

${\displaystyle \arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}{\text{ for }}|x|\leq 1\!}$ 

${\displaystyle \arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}{\text{ for }}|x|\leq 1\!}$ 

Hyperbolske funksjonar:

${\displaystyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots {\text{ for alle }}x\!}$ 

${\displaystyle \cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots {\text{ for alle }}x\!}$ 

${\displaystyle \tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}-{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}$ 

${\displaystyle \operatorname {arsinh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}{\text{ for }}|x|\leq 1\!}$ 

${\displaystyle \operatorname {artanh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}{\text{ for }}|x|<1\!}$ 

Lambert sin W-funksjon:

${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}{\text{ for }}|x|<{\frac {1}{\mathrm {e} }}\!}$ 

Tala B_k som dukkar opp i summasjonsutvidingane til tan(x) og tanh(x) er bernoullital. E_k i utvidinga av sec(x) er eulertal.